Fonds Grothendieck, cote n° 131, pages 21–40 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-24)Opus 5.5 (claude-opus-5-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-09-25
Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription
est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une
machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La
source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.
https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)131
Foncteurs représentables par schéma quasi fini : notes manuscrites (s.d.).
Pages 21 à 40 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 2 de vingt pages.
Les pages absentes de la transcription ne portent pas de
mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.[vers 1971]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/131.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement
par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \add devient
supplied ; \struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
\note devient note[@type='editorial']
(du transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
Les mathématiques sont transportées en TeX dans
formula[@notation='TeX'], les diagrammes
commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'],
sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une
formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de
la formule, sous les mêmes macros.
Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une
faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurPremière passe de transcription.Export TEI depuis la source LaTeX.
[Critères de représentabilité par un préschéma localement de présentation finie]
titre de l'éditeur, entre crochets.
Conditions sur F ; , immersion.note marginale à l'encre brune, écrite en biais dans le coin supérieur
gauche ; seuls quelques mots se lisent.
Proposition 1Lemme. S préschéma,
F : (\mathrm{Sch})^{\circ}_{/S} \to \mathrm{Ens}, X un préschéma loc. de
prés. finie sur S\in \operatorname{Ob} (\mathrm{Sch})_{/S},
\xi \in F(X). On suppose
« un préschéma loc. de prés. finie sur S » est écrit au-dessus de la
ligne et renvoyé après X.
\underleftarrow{L}_1)F de nature locale ;
\underleftarrow{L}_2)F « commute aux limites inductives d'anneaux » ;
R_{\mathrm{loc}})(X, \xi) représente F quand on se restreint aux
arguments T/S qui sont des anneaux locaux et essentiellement de
type fini sur S, à extension résiduelle finie sur S.
les trois étiquettes sont écrites sur des étiquettes antérieures,
biffées et illisibles ; le L porte une flèche tracée dessous, rendue ici et
dans la suite par \underleftarrow{L}.
Alors (X, \xi) représente F, i.e. \xi : X \to F est un isom.
« \xi : X \to F est un isom. » est au-dessus de la ligne.
Dém. Comme F est de nature locale, on peut supposer S affine
(), alors R_{\mathrm{loc}} signifie que pour tout spectre T d'un
localisé B d'une algèbre de t.f. sur un anneauA,
\operatorname{Hom}_S(\struck{\operatorname{Spec}(B)}\, T, X)
\xrightarrow{\ \sim\ } F(T)
par \xi. On est ramené à : prouver que ceci
reste vrai pour tout Tloc. de t.f. sur S ().
« spectre T d'un » est au-dessus de la ligne ; le même mot illisible
entre parenthèses suit « S affine » et « sur S ».
1°) Injectivité. Soient u, v : T \rightrightarrows Xdéfinis tels que F(u)(\xi) = F(v)(\xi), prouvons u = v. Par
l'hyp. R_{\mathrm{loc}}, u et v ont même restriction aux
\operatorname{Spec} \mathcal{O}_{T,t} (à ext. résiduelle finie), d'où la
conclusion.
2°) Surjectivité. Soit \eta \in F(T). Pour tout t \in T (à ext.
résiduelle finie), il existe grâce à R_{\mathrm{loc}} un
u_t : \operatorname{Spec} \mathcal{O}_{T,t} \to X
(unique par 1°)) induisant
\uncertain{\eta_t} \in F(\operatorname{Spec} \mathcal{O}_{T,t}).
En outre
« (à ext. résiduelle finie) » est ajouté dans la marge droite et relié
par une accolade aux deux lignes. La lettre de \eta_t est tracée comme un
\xi.
en vertu de b), comme X est loc. de prés. finie sur S, u_t
provient d'un A \to \varinjlim B_fv_t : U_t \to X, où U_t est un voisinage ouvert de t. En vertu de b),
prenant U_t assez petit, on aura F(v_t)(\xi) = \eta | U_t.
En vertu de 1°), on a, pour t, t' \in T,
v_t | U_t \cap U_{t'} = v_{t'} | U_t \cap U_{t'} ,
où les U_t recouvrent T, un v : T \to Xinduisant
induisant les v_t.
Alors en vertu de a), on a F(v)(\xi) = \eta.
CQFD
les renvois « a) » et « b) » visent vraisemblablement les conditions de
la page 22 sous leurs premières étiquettes, biffées. « où les U_t
recouvrent T » est au-dessus de la ligne.
Corollaire 1Corollaire 1. Sous les conditions préliminaires de la
prop., supposons en plus S loc. noeth., conditions
ci-dessusSupposons aussi les conditions a), b), c) de conditions
suivantes de : pour tout anneau local B ess. de type fini sur S,
\underleftarrow{L}_3^{\circ\circ})a) F compatible F(B) \to F(B')injectif complétion
B', et complets [il existe dans certains
cas ]
F(B) \to F(\hat{B}) \to \varprojlim, injectifpassage très raturé : la condition, d'abord posée sur un complété B',
est biffée ligne par ligne ; la note de marge, reliée par une flèche, en
donne la forme retenue.
\underrightarrow{L}_4^{\circ\circ})a) F pour tout anneau
local B (à ext. résiduelle finie sur S) ess. de type fini sur S,
F(\hat{B}) \xrightarrow{\ \mathrm{can}\ } \varprojlim F(B_n)
est injectif.
R_0)(X, \xi) représente F pour des arguments artiniens ess. de type
fini sur S, à ext. résiduelle finie sur S.
Si \underleftarrow{L}_1, \underleftarrow{L}_2,
\underleftarrow{L}_3^{\circ\circ}, \underrightarrow{L}_4^{\circ\circ}R_0 sont satisfaits, alors F est représentable par
(X, \xi).
l'énoncé du corollaire est tenu par un trait vertical dans la marge
gauche.
Il suffit de prouver que F satisfait à R_{\mathrm{loc}}.
On peut supposer S affine, soit T loc. ess. de t. fini sur S, défini
par B, T_n = \operatorname{Spec}(B_n), T' = \operatorname{Spec} \hat{B},
\eta' = image de \eta par F(T) \to F(T'). À prouver que
(*) est un isom.
« on peut supposer S affine » est au-dessus de la ligne ; « image de
\eta par F(T) \to F(T') » est ajouté dans la marge droite. Le signe
cerclé renvoie à une application qui n'est pas écrite sur ce feuillet,
vraisemblablement \operatorname{Hom}_S(T, X) \to F(T).
1°) C'est injectif. En effet, il suffit de noter que si
u, v : T \to X sont tels que F(u)(\xi) = F(v)(\xi), on a
F(u_n)(\xi) = F(v_n)(\xi) [induites sur T_n par u, v], d'où par
R_0u_n = v_n pour tout n, d'où u = v car B noeth. donc
B \subset \hat{B}.
2°) C'est surjectif. Il suffit Soit \eta \in F(T). Il existe par
R_0 des u_n : T_n \to X qui induisent les \eta_n, uniques, donc
compatibles, d'où u' : T' \to Xunique induisant
les u_n, d'où en vertu de \underleftarrow{L}_{\mathrm{loc}}la relationF(u')(\xi) = \eta'.
Je dis qu'on a u' p_1 = u' p_2. En vertu de 1°), cela
signifie
F(u' p_1)(\xi) = F(u' p_2)(\xi), qui se réduit à
F(p_1)(\eta') = F(p_2)(\eta'), qui résulte de \eta' = F(f)(\eta) et
f p_1 = f p_2.
T' \times_T T' \;\overset{p_1}{\underset{p_2}{\rightrightarrows}}\; T'
\xrightarrow{\ f\ } T ,
\qquad u' : T' \to Xdiagramme dans la marge gauche ; u' y est une flèche oblique de T'
vers X.
Donc il existe u : T \to X tel que u' = u f. Alors on a \eta = F(u)(\xi), car en vertu de \underleftarrow{L}_3 a) il suffit de
vérifier que F(f)(\eta) = F(f) F(u)(\xi), i.e. \eta' = F(u')(\xi), ce
qui est vrai.
les deux F(f) portent un trait qui peut être un accent : F(f').
OK
N.B. Il est plus naturel d'énoncer ces deux résultats ainsi :
un hom. de foncteurs G \to F satisfaisant les
conditions envisagées pour F, et qu'il est un
isom.
Corollaire 2. Soient S schéma artinien,
F : (\mathrm{Sch})^{\circ}_{/S} \to (\mathrm{Ens}), pour que F soit
représentable par un X loc. quasi fini sur S, il faut et il suffit que
F satisfasse les conditions suivantes :
1°) F est proreprésentable, les anneaux locaux qui interviennent dans la
proreprésentation de F sont artiniens, i.e. finis
sur S.
2°) F satisfait les conditions \underleftarrow{L}_1,
\underleftarrow{L}_2, \underleftarrow{L}_3^{\circ\circ},
\underrightarrow{L}_4^{\circ\circ}.
En effet, grâce à 1°) et à \underleftarrow{L}_1 (), on dispose d'un
(X, \xi). On peut lui appliquer le cor. 1, d'où la conclusion.
Prop. Plus généralement, on obtient
Corollaire 3
Proposition 2. S = \operatorname{Spec}(A), A anneau local noeth.
complet, S' = complémentaire de l'origine, F : (\mathrm{Sch})^{\circ}_{/S} \to (\mathrm{Ens}). On suppose que
1°) F_{S'} représentable par un sch. préschéma X' loc. de type
fini sur S.
2°) La restriction de F aux B artiniens finis sur S est
proreprésentable, les anneaux locaux qui interviennent dans la
proreprésentation étant finis sur sont finis sur A.
au-dessus de la ligne : « il suffit de le vérifier pour A \to », la fin raturée.
3°) F satisfait les conditions \underleftarrow{L}_1\underleftarrow{L}_2\underleftarrow{L}_3^{\circ\circ}\underleftarrow{L}_4^{\circ\circ}.
ici la flèche sous le quatrième L paraît tournée vers la gauche.
On construit grâce à 2°) un
X_1^{*} = \coprod_i \operatorname{Spec}(B_i) et
\xi_1^{*} \in F(X_1^{*}). Considérons X'_1 = X_1 | S',
\xi'_1 = \xi_1 | X'_1, d'où \xi'_1 = F(u)(\xi') où
u : X'_1 \to X' est un morphisme. On suppose
4°) u est une immersion ouverte.
: supposons donnés X_U sur U et Z sur S,
X_U \xrightarrow{\sim} F_U, Z \to F, tels que (i) Z_U \to X_U une
immersion ouverte ; (ii) Z \to F en les pts de
Z_0 ; (iii) Z_0 \to F_0 un isom.note écrite en biais dans le coin inférieur gauche, d'une autre
plume ; elle reformule les hypothèses de la proposition.
Sous ces conditions, F est représentable.
En effet, on peut recoller X_1 et X' suivant u : X'_1 \to X', on
obtient X, et sur X, grâce à \underleftarrow{L}_1, on a un
\xi \in F(X), induisant \xi_1 et \xi'. On lui applique le
corollaire 1, qui implique que (X, \xi) représente F.
Transformer 4°) en une plus facile à vérifier, avec une
bonne de dim 1.
Prop. 3. Soit F : (\mathrm{Sch})^{\circ}_{/S} \to \mathrm{Ens}, on
suppose :
1°) Pour tout a \in S, posant
S_a = \operatorname{Spec} \mathcal{O}_{S,a}, le foncteur F_a = F_{/S_a}
est représentable par un préschéma X_a loc. de t.f. sur S_a.
2°) Pour tout T sur S, loc. de type fini sur S, et \eta \in F(T),
l'ensemble M(T, \eta) des t \in T tels que
\eta_t \in F(\uncertain{T_t}) soit modulaire (loc.), est une partie
constructible de T.
3°) F satisfait \underleftarrow{L}_1 et \underleftarrow{L}_2.
Sous ces conditions, F est représentable.
Transformer en une condition de modularité « générique ».3°) est écrit en bas du feuillet et renvoyé par une flèche avant la
conclusion ; « M(T, \eta) » et « (loc.) » sont ajoutés au-dessus de la
ligne. La note de marge est reliée par une flèche à 2°).
N.B. On dit que, pour un Tlocal sur S et
\eta \in F(T), (T, \eta) est modulaire (loc.) si :
1°) pour tout T' local sur S, l'application
\operatorname{Hom}_{\mathrm{loc}, S}(T', T) \longrightarrow F(T')
définie par \eta est une application bijection du premier
ensemble sur le sous-ensemble des \eta' \in F(T') tels que
\eta'(t') \in F(k(t')) soit dans
\operatorname{Im}\bigl[\operatorname{Hom}_k(k(t'), k(t))
\longrightarrow F(k(t'))\bigr] ,
où la deuxième flèche est définie par \eta(t) \in F(k(t)).
t, t' les pts fermés de T, T'
2°) Pour tout diagramme commutatif de corps (Q), où
L = k(t), L' = k(t'), k \to L et k \to L' les homomorphismes
canoniques, et tout \beta' \in F(L') tel que
F(j')(\beta') = F(j)(\beta) [où \beta = \eta(t)], on a
\begin{cases}
j'(L') \supset L & (\text{d'où } \lambda : L \to L') \\
\beta' = F(\lambda)(\beta)
\end{cases}
\begin{tikzcd}
L \arrow[r, "j"] \arrow[dr, dashed, "\lambda"] & M \\
k \arrow[u, "i"] \arrow[r, "i'"'] & L' \arrow[u, "j'"']
\end{tikzcd}
le diagramme (Q) est en marge gauche, avec l'annotation
\eta(t) = \beta devant L et \beta' = sous L' ; la flèche
\lambda est pointillée.
[N.B. On dit que que exprime 2°) en disant que L est
un corps de définition pour \beta.]
\begin{tikzcd}
B \arrow[r] & L & \\
& k \arrow[u] \arrow[r] & L' \\
A \arrow[uu] \arrow[ur] \arrow[rr] & & B' \arrow[u]
\end{tikzcd}
croquis en marge gauche, sous les indications t \in T, s \in S,
T' \ni t' séparées par une courbe ; plusieurs lettres y sont biffées
(un k à gauche de B et de A, un objet à droite de B'), et une flèche
pointillée descend vers L' depuis une lettre biffée voisine de L ; on n'a
retenu que les flèches non biffées.
Si a est le pt de S au-dessous de t, et si F_a est
représentable par X_a loc. de type fini sur S_a,
fini \eta définit u : T \to X_a, posant
x = u(t), d'où \bar{\eta} : \mathcal{O}_{X_a, x} \to \mathcal{O}_{T,t},
le fait que \eta soit modulaire (loc.) signifie que \bar{\eta} est un
isomorphisme.
la lettre surmontée d'une barre est tracée comme \eta.
Rem.N.B. Si \eta \in F(T), \eta' \in F(T') sont
modulaires (loc.), et s'il existe un diagramme commutatif (Q) tel que
F(j)(\eta(t)) = F(j')(\eta'(t')), alors (et alors seulement)
il existe un (unique)\varphi : T \to T'tel que
\eta = F(\varphi)(\eta').
Preuve prop. 3 (on peut supposer S noeth.). De 1°) résulte que
l'ensemble M(T, \eta) est stable par
générisation. Par 2°), il est donc ouvert. Donc
Utilisant \underleftarrow{L}_2, (pour tout a \in S et x \in X_a sur
a,) il existe un X^{(x)}noethérien, de t.f. sur S, et
\eta^{(x)} \in F(X^{(x)}), modulaire (loc.) en
« on peut supposer S noeth. » est ajouté au-dessus de la ligne ;
« Utilisant \underleftarrow{L}_2 » est interlinéaire.
tous les pts de X^{(x)}.
Pour tout que les X^{(x)} se recollent .
Pour tout couple (x, y) correspondant à (a, b), soit X^{(a,b)}
l'ensemble des u \in X^{(a)} qui sont apparentés à un pt de X^{(b)}.
D'après \underleftarrow{L}_2, résulte . De plus, on a untout ce passage est encadré et barré de longs traits obliques.
Lemme. Soit (Z, \eta) (Z loc. de t.f. sur S,
\eta \in F(\uncertain{S})) tel que pour tout z \in Z, \eta_z soit
modulaire. Considérons h_Z \xrightarrow{\eta} F, et alors
h_Z \times_F h_Z \subset h_{Z \times Z} est représentable par un
sous-préschéma de Z \times Z, soit Z'. Les projections
Z' \overset{\mathrm{pr}_1}{\underset{\mathrm{pr}_2}{\rightrightarrows}} Z
sont des isomorphismes locaux, [et font de Z' un préschéma graphe
d'équivalence dans Z].
on attendrait \eta \in F(Z).Reprendre les conditions (nécessaires) sur F.
Celles : puis …
AQT
abréviation non résolue, centrée sous le lemme.
Or sous les conditions préliminaires, prenant Z = X^{(x)}, on voit que
quand on se restreint au-dessus de S_a,
Z'_a \rightrightarrows Z_a est la relation d'équivalence triviale.
Donc
il en est de même de Z' | U \rightrightarrows Z | U, où U est un
voisinage ouvert convenable de a. En d'autres termes, à condition de
prendre X^{(x)} assez petit, on peut supposer que
(X^{(x)}, \eta^{(x)}) est « presquemodulaire »
[Précision de la signification de ce terme :
\eta_x : h_{X^{(x)}} \to F est une immersion ouverte]. Alors, une autre
proposition « formelle » nous permet de recoller les X^{(x)} et de trouver
un (X, \xi) qui représente F (grâce à \underleftarrow{L}_2).
« presque » est cerclé ; la précision entre crochets est ajoutée
au-dessus de la ligne et reliée par une accolade.