Cote n° 131 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Foncteurs représentables par schéma quasi fini : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [vers 1971]
Édition de démonstration

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1en haut à droite, un « A » entouré ; les conditions 1° à 4° sont réunies par une accolade à l'encre, et reliées au crayon, par des traits qui convergent dans la marge, à la mention « conditions d'exactitude » et aux signes \(\varprojlim\), \(\varinjlim\)

1° \(F\) faisceau pour la top. fpqc \(\left\{\begin{array}{l} \text{a) de nature locale Zariski} \\ \text{b) compatible avec descente fid. plate qu. cpte affine} \end{array}\right.\) « de nature locale Zariski » est écrit à l'encre brune, comme « affine » en fin de ligne

2° \(F\) commute aux \(\varinjlim\) d'anneaux (propriété relative)

3° \(F\) commute aux \(\varprojlim\) adiques d'anneaux artiniens « artiniens » est souligné trois fois

4° Pour tout anneau artinien \(A\) sur \(S\), \(F_A\) est exact i.e. sur la catégorie des algèbres […] artiniennes finies sur \(A\) [on a ainsi une suite exacte \[A \to A' \rightrightarrows A' \otimes_A A' = A''\] \(A\) artinien, local […] artiniens, avec \(A'\) […] finie sur \(A\), [ext. résiduelles triviales, \(\mathrm{long}_A\, A'/A = 1\)] donne une suite exacte \[F(A) \to F(A') \rightrightarrows F(A'')\] ].

finitude ou discrétion peut aussi se formuler pour \(X/k\) deux notes au crayon dans la marge de gauche, en face de 5°, la première soulignée

5° […] Pour tout anneau […] noeth. corps […] \(k\) sur \(S\), et \(\forall\, \xi \in F(k)\), l'anneau \(B\) sur \(k\) qui pro-représente \(F_k\) en \(\xi\) est fini sur \(k\). (propriété relative) la correction au-dessus de la ligne, où se lit « corps », remplace un premier « anneau local » biffé ; le \(k\) est surchargé

\(F(k) \to F(X)\) […] […] ([…] mod \(k\)) se réduit comme […] (cas : \(X\) intègre […]) note au crayon, oblique, écrite en travers de la ligne de 5°, entre le numéro et le texte ; la flèche de \(F(k)\) vers \(F(X)\) est double ou barrée, lecture douteuse

séparation

6° \(F\) est séparé sur \(S\) (propriété relative) (par critère valuatif)

critère de modularité : a) locale

7° Pour tout \(S'\) local noeth. complet [sur \(S\)], tout \(Z\) [local] fini sur \(S'\), pt fermé \(t\), […] tout \(\xi : Z \to F_{S'}\) [i.e. \(\xi : Z \to F\)] qui est modulaire (pour \(F_{S'}\)) au pt fermé \(t\) de \(Z\), \(\xi\) est modulaire [ou tout au moins, étale] en tout point.

\begin{tikzcd}
  F \arrow[d] & F_{S'} \arrow[l] \arrow[d] & \\
  S & S' \arrow[l, no head] & Z \arrow[l] \arrow[ul, "\xi"']
\end{tikzcd}

le diagramme est dessiné à gauche du texte de 7° ; le trait entre \(S\) et \(S'\) n'a pas de pointe ; les deux traits verticaux descendent de \(F\) vers \(S\) et de \(F_{S'}\) vers \(S'\)

On peut prendre \(S'\) irréductible de dim 1 (et \(F_{S'\ill{}}\) représentable, […] […] […] fermé de \(S'\)) \(\to\) 8° dans la marge de gauche, entre 7° et 8°, à l'encre, en partie coupé par une accolade au crayon ; une flèche renvoie à 8°

b) générique

8° Pour tout \(S'\) noeth. irréductible sur \(S\), et \(Z\) [irréductible] \(S'\) fini sur \(S'\), \(\xi : Z \to F_{S'}\), tel que \(\xi\) soit modulaire pour \(F_{S'}\) au pt générique \(z\) de \(Z\), il existe un ouvert \(U \ni z\) tel que \(\xi\) soit modulaire (ou tt au moins étale) en tt point de \(U\). « irréductible » est écrit au crayon au-dessus de \(Z\), avec une accolade ; « ou tt au moins étale » est interlinéaire

2page au crayon, sans titre

Dans le cas des critères pour les foncteurs non-ramifiés remplacer 5° par la non ramification (en outre) et […] 4° et 5°, […] une condition […] aussi simple que pour la [construction des foncteurs pro-représentables non ramifiés]

3On notera que les conditions 1° à 8° sont stables par toute extension de la base. Sauf 2°, 5°, 6°, ce sont des conditions locales sur \(F\).

Pour prouver la représentabilité de \(F\), on commence par le faire pour \(\dim S < +\infty\), […]

(1) \(\dim S = 0\). On est ramené au cas \(S\) local artinien, on construit un préschéma loc. qu. fini sur \(S\) grâce à : 4°, 5°, on voit qu'il représente \(F\) grâce à : 1°, 2°, 3° [cf. notes précédentes, cor 2 à prop. 1] OK. NB On n'a eu besoin que de 1° à 5°. les numéros de conditions de cette page sont entourés au crayon

N.B. Si \(\dim S = 1\) (\(S\) local complet), l'hypothèse 8° est inutile.

(2) \(\dim S = n > 0\), \(S\) local complet. Soit \(s\) son pt fermé, et \(U = S - s\), alors par l'hypothèse de récurrence [où 1° à 5° suffisent si \(S\) de dim 1] on sait que \(F_U\) est représentable [par un \(X_U\)]. De plus, grâce à : 2°, 5°, on construit une famille (utilisant \(S\) complet) de schémas finis \(X_i\) sur \(S\), correspondant aux pts de \(F_0\), et […] grâce à : 3° des homs \(u_i : X_i \to F\). En vertu de la prop. 2 des notes, on est ramené à vérifier que \(u_i|U : X_{iU} \to X_U\) sont des immersions immersions ouvertes, à images deux à deux disjointes. Ce dernier point provient de l'hypothèse « \(X_U\) » est écrit au-dessus du premier « immersions », biffé

4Dégager un lemme […] effet note à l'encre brune dans la marge de gauche, à la hauteur des lignes 3 et 4

6°. Utilisant la condition 7°, on est ramené à montrer que \(X_i \xrightarrow{u_i} F\) est modulaire en le centre \(x_i\) de \(X_i\). Comme la restriction \(u_{i0} : X_{i0} \to F_0\) est modulaire (donc […] le \(k(x_i)\) est un corps de définition pour \(u_i : k(x_i) \to F\) sur \(S\)] il reste à vérifier la condition modulaire. Nous […] […] d'abord démontrer le théorème dans le cas où la condition 7° est renforcée, en y exigeant seulement \(\xi\) pro-modulaire sur \(S\) en \(z\). De plus, \(X\) est loc. qu. fini sur \(S\) par construction, et séparé sur \(S\) par 6°. le « 6° » entouré en tête de page ne désigne pas la condition 6°, mais la suite de l'hypothèse sur laquelle s'achève la page 3 ; le « 7° » de la première ligne est entouré au crayon

Pour l'instant on n'utilise que la forme plus une version affaiblie mentionnée de 7° note oblique dans la marge de gauche, à la hauteur de la fin de (2)

(3) \(\dim S = n > 0\), \(S\) local. On sait par 2) que \(F_{\hat{S}}\) est représentable par un \(X_{\hat{S}}\) loc. quasi-fini et séparé sur \(\hat{S}\). Il Il en résulte que la donnée de descente canonique sur \(F_{\hat{S}}\) est effective, Utilisant d'où un \(X\) sur \(S\), loc. quasi-fini sur \(S\) et séparé sur \(S\). Utilisant 1°, b) on trouve qu'il représente \(F\).

(4) \(\dim S = n\), \(S\) quelconque. Comme en On utilise le [\(F\) comme dessus]

Lemme. Supposons que pour tout \(a \in S\), \(F_{S^a}\) sur \(S^a = \mathrm{Spec}\, \mathcal{O}_{S,a}\) soit représentable. Alors \(F\) est représentable.

On utilise la prop. 3 des notes préc.

5une seule ligne, au crayon, en haut de la page

Compte tenu des conditions 1° et 2°, on est ramené à vérifier la condition de constructibilité de loc. cit.

6\(C_1\) peut aussi se mettre sous la forme

7°) Pour tt \(S' \to S\) [avec \(S'\) local noeth. [local] complet irréductible de dim 1] et \(S'_0\) sous-préschéma schéma défini par un idéal nilpotent [de carré nul], toute ouvert \(U \subset S'\) [\(U = S' -\) pt fermé], et section \(\xi\) de \(F_T\) \(S'\)-morphismes \(\xi_0 : S'_0 \to F_{S'}\), tel que et \(\xi : S'\) si \(\xi_0 | U_0\) se prolonge en \(\xi_U : U \to F_{S'}\), alors \(\xi_0\) se prolonge en \(\xi : S' \to F_{S'}\).

d'adhérence schématique \(S'\) note entourée dans la marge de gauche, reliée par un trait à « \(U \subset S'\) »

[NB. Cette condition est vide si \(F \to S\) est étale]

Ceci se met sous la forme : au crayon, entouré, dans la marge de gauche

8°) Soit \(S'\) sur \(S\) noeth. irréductible, [de pt gén. \(x\)] \(S'_0\) défini par un idéal nilpotent, \(\xi : S'_0 \to F_{S'}\), supposons que \(\xi\) soit modulaire [i.e. étale] en \(x\), alors il est modulaire en un voisinage de \(x\).

Revenons au cas général, [(pas néc. non ram.)] je dis que (A), et (B) peuvent se remplacer par

(D) (D\({}_1\)) Si \(S'\) noeth. sur \(S\), \(X\) […] \(X\) fini sur \(S'\), et \(\xi : X \to F_{S'}\) un \(S'\)-morphisme, […] \(U\) […] \(\xi\) est inj. étale est ouvert ; Et \(F \xrightarrow{\mathrm{diag}} F \times_S F\) (puis […]) […] il en est de même […] […] \(X \times_{F_{S'}} X\) sur \(S'\) […] de sorte que cette condition […] 7° et 8°) s'expriment […]. le bas de la page est un palimpseste : deux lignes au crayon (« conditions […] de base […] 7° et 8° […] ») biffées, un cadre, une flèche vers \(X \times_S X\), et plusieurs traits obliques qui biffent ou relient ; seuls les mots rendus ci-dessus se lisent

8Axiomes 1° à 6°, et

(A) Si \(S'\) local noeth. complet [de dim 1 si on veut], la promodularité de \(X \xrightarrow{\xi} F_{S'}\) en \(z\) sur le pt fermé de \(S'\) (\(X\) fini sur \(S'\)) implique que \(\xi\) modulaire imm. ouverte (Cela si \(F|(S' - \{s'\})\) repr.)

(B) Si aux des \(S'\) noeth. sur \(S\), \(X\) […] sur \(S\), \(\xi : X \to F_{S'}\) et \(x \in X\) sont tels que \(\xi\) modulaire […] en \(x\), alors \(\exists\, U \ni x\) voisinage ouvert, t.q. \(\xi | U : U \to F_{S'}\) soit une imm. ouverte [On veut dire simplement que \(X \times_{\mathrm{Sp}\, \mathcal{O}_{S',s'}} \to F_{\mathrm{Sp}\, \mathcal{O}_{S',s'}}\) est une imm. ouverte]

Cas particuliers

(i) \(F \to S\) un monomorphisme. Alors (A) et (B) contiennent les

(C) Pour tt \(S'\) noethérien /\(S\), […] et \(\xi : X \to F_{S'}\), [\(X \to S'\) un mor.], l'ens des \(x \in X\) en lesquels \(\xi\) est [inj.] étale est ouvert. un long trait oblique traverse ces lignes, de « (i) » à « l'ens des », et la condition (C) est encadrée ; on ne sait si le trait biffe le passage

Lemme \(\to\) On peut supposer en A resp. B que \(X \to S'\) est une imm. fermée. Les conditions (A) et (B), si \(F \to S\) non ramifié, se réduisent donc

définie si on veut par un Idéal de carré nul note de la marge de gauche, reliée à « fermée » ; la même mention est répétée, entourée, à droite de la ligne suivante

(C) Si \(S'\) noeth. sur \(S\), \(S'_0 \to S'\) immersion fermée […] sur \(S'\), \(\xi : X \to F_{S'}\), l'ens. \(U\) des pts en lesquels \(\xi\) est inj. étale est ouvert i.e.

(C\({}_1\)) stable par générisation [est aussi équivalent : A]

(C\({}_2\)) si \(x \in U\), alors […] \(U \cap \bar{x}\) est un voisinage de \(x\) dans \(\bar{x}\).

N.B. La condition (C) est automatique si \(F \to S\) est étale.

11feuillet plus court ; la marge de gauche porte deux colonnes de notes écrites verticalement, serrées et surchargées, que la présente lecture ne restitue pas (on y distingue « Alors », \(S'\), \(\bar{X}\), \(S\), « N.B. », « 8° et 9° »), et, en bas à gauche, une note oblique sur 4° (« peut se remplacer par […] : \(A \to A'\) […] \(A'\) fini sur \(A\) […] [local] […] \(\mathrm{long}\, A'/A = 1\)] alors \(F(A) \rightrightarrows F(A')\) »)

(9°) Si \(T\) noeth. irréd. sur \(S\), \(\exists\, U \subset T\) ouvert non vide tel que \(F_U\) soit représentable le numéro entouré, « 9° », est écrit par-dessus un autre, peut-être « 10° »

peut se formuler de façon un […] plus faible, avec impossibilité […] de prolongement note à l'encre brune, entourée, reliée par une flèche au numéro « 9° »

(1°) Foncteur \(F\) de nature locale

(2°) \(F\) compatible avec descente fid. plate qu.-compacte

(3°) \(F\) commute aux \(\varinjlim\) d'anneaux

(4°) \(F\) commute aux \(\varprojlim\) d'anneaux artiniens (i.e. les conditions habituelles cela suffit sur les artiniens)

(7°) \(F\) « non ramifié » ét [\(\ill{} = : \ill{}\ k[t]/(t^2)\)] le « 7° » entouré est relié par un trait à la marge de gauche

(6°) Tout pt de \(F\) à valeurs dans une ext. extension \(K\), est sur \(K\), provient d'une sous-extension finie le numéro est barré en croix et les deux lignes sont biffées de traits obliques au crayon

(5°) \(F\) pro-représentable universellement, […] à la suite, un cadre entièrement couvert de hachures

(6°) \(F\) « séparé » (critère valuatif).

(8°) Pour tout \(A\) anneau local noeth. de dim 1, [complet] irréductible sur \(S\), et tt idéal \(I\) de \(A\) nilpotent, [i.e. […] \(\mathfrak{p}\) idéal premier] et \(\xi \in F(A/I)\), si \(\xi_{\mathfrak{p}} \in \mathrm{Im}\, F(A_{\mathfrak{p}})\) alors \(\xi \in \mathrm{Im}\, F(A/I)\) […] les deux dernières lignes, où se lisent encore \(\xi \in F(A/I)\), \(\mathfrak{p} \in I\) et \(\xi_{\mathfrak{p}} \in F(A_{\mathfrak{p}}/I_{\mathfrak{p}})\), sont biffées et reprises par une accolade ; une note entourée, sous le second « 8° », est illisible

13Théorème. Soit \(S\) préschéma loc. noeth., \(F : (\mathrm{Sch})_{/S}^{\circ} \to \mathrm{Ens}\). Pour que \(F\) soit représentable par un \(X\) localement quasi-fini sur \(S\) et séparé sur \(S\), il faut et il suffit que \(F\) satisfasse les conditions suivantes :

1°) \(F\) de nature locale

3°) \(F\) « commute aux \(\varinjlim\) d'anneaux »

2°) \(F\) compatible avec descente fid. plate et qu. compacte [il suffit pour \(B \to \hat{B}\), où \(B\) est un anneau local noeth. sur \(S\)] […] de type fini et […] cat. résiduelle […] finie[…]] « noeth. » est écrit au-dessus de « local » ; l'ordre 1°, 3°, 2° est celui de la page

4°) \(F\) commute aux \(\varprojlim\) d'anneaux artiniens, pour \(\hat{B} = \varprojlim B_n\), avec \(B\) comme dans 2°

5°) \(F\) pro-représentable au dessus de tt [tout anneau artinien \(A\) sur \(S\)] […], les anneaux \(B\) qui représentent pro-représentent \(F\) sur \(A\) sont finis sur \(A\) \(A\) ] la mention « anneau artinien \(A\) sur \(S\) » est entourée et reportée d'une ligne plus bas par un trait

6°) \(F\) « séparé » (par critère valuatif …)

7°) Pour tout \(A\), […] [anneau local noeth. complet, sur \(S\)] […], et tout hom local \(A \to B\), \(B\) fini sur \(A\), et tt \(\xi \in F(B)\), qui soit pro-modulaire [[…] que \(\xi\) soit modulaire], [on verra que ça implique : pro-modulaire …] et tout \(\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(B)\), \(\xi_{\mathfrak{p}} \in F(B_{\mathfrak{p}})\), est modulaire. [Cf plus bas des conditions plus particulières) le numéro « 7° » est entouré ; « sans modulaires » semble écrit au-dessus de « modulaire », lecture douteuse

[en fait, cela suffit, et cela signifie que \(\xi : \mathrm{Spec}\, B \to F\) est étale] note dans la marge de gauche, à la hauteur de la fin de 7°

N.B. On pourrait […] que les conditions 1° à 5°, [y compris 6°] \(+\) 7° impliquent l'analogue de 7° sans hyp. de dim 1 […] Donner l'exemple type [\(S\) de dim 1] montrant que (8°) n'est pas conséquence des autres […] \(F\) […] […]. Est-ce que 6° et 7° […] ? Non, […] […] ce qui […] unique […] (par […], continuité) deux notes obliques dans la marge de gauche, séparées par un trait ; la seconde est reliée à 7° et 8° par des flèches

8°) [Pour tt préschéma noeth. irréductible \(S'\) sur \(S\), […] et \(Z\) fini sur \(S'\), \(\xi \in F(Z) = F_{S'}(Z)\), \(z \in Z\) au dessus du pt gén. de \(S'\), tel que \(\xi\) soit modulaire le numéro « 8° » est entouré ; la phrase se poursuit en tête de la page 15

14Immersion ouverte

Conditions 1° 2° 3° 4° 1°, 2°, 3°, 4°, et de plus

a) \(F \to S\) est un monomorphisme étale pour les arguments artiniens.

15en \(Z\), il existe une partie ouverte non vide \(U\) de \(Z\) telle que \(z' \in U\) implique que \(\xi\) est étale en \(z'\) modulaire en \(z'\) [ou simplement étale en \(z'\)] le premier mot de la page achève la condition 8° de la page 13 ; la lettre, lue \(Z\), est celle de « \(Z\) fini sur \(S'\) », où l'on attend le point \(z\)

Corollaire 1 Pour que \(F\) soit représentable par un \(X\) étale et séparé sur \(S\), il faut et il suffit qu'il satisfasse les conditions 1° à 6° 1° 2° 3° 4° 6°, et de plus

(Et) (Et) Le foncteur \(F\) est étale (ou seulement, étale pour les arguments artiniens) les \(B\) de 5°) sont étales sur \(A\)

Expliciter […] cas d'un […] […] ouvert [dans ce cas plus direct et plus facile]

Corollaire 2 Pour que \(F\) soit représentable par un \(X\) non ramifié et séparé sur \(S\), il faut et il suffit que les conditions 1° à 6°, 8° […] [ainsi que] soient vérifiées, et de plus la condition 7°) [simplifiée :] « ainsi que » surcharge un mot biffé ; au-dessus, un « 8° » entouré deux fois

7° […] (NR.)

a) Le foncteur \(F\) est non ramifié (i.e. les \(B\) de 5°) sont non ramifiés sur \(A\) \(A\))

b) Pour tout \(A\) […] […] de dim 1 […] […], [irréductible] de \(S\), […] \(A\) […] [idéal […]] […] \(A\) […] […] \(\mathfrak{p}\), […] \(\forall\) […] [idéal] \(I\) [tel que \(I_{\mathfrak{p}} = 0\)], […] \(\eta \in F(A/I)\), si \(\eta_{\mathfrak{p}} \in \mathrm{Im}\, F(A_{\mathfrak{p}})\), alors \(\eta \in \mathrm{Im}\, F(A)\). a) et b) sont réunis par une accolade ; la ligne de b) est deux fois reprise, avec plusieurs passages biffés ; la lettre du point de \(F(A/I)\) est lue \(\eta\)

Expliquer 8° ici par une impossibilité de prolongements […] note oblique dans la marge de gauche, à la hauteur de b)

Remarque 3 La condition 8°), est conséquence des autres […] […] pour que la conclusion […] […] :

16(RG) Pour tt \(S'\) […] [réduit-préschéma] fermé irréductible de \(S\), \(\exists\) ouvert non vide \(U \subset S'\) tel que \(F_U\) soit représentable par un préschéma loc. de type fini sur \(U\). « RG » entouré, en tête de page

Remarque 4 Limiter les anneaux \(A\), \(B\) et schémas \(S'\) […] qui doivent être envisagés dans les conditions 2°, 4°, 5°, 7°, 8° —-

Exemples de foncteurs non ramifiés

a) […] triviaux, plus généralement \(G/H\), \(H\) sous-groupe ouvert et fermé,

b) […] Classes de Correspondances divisorielles […] plat/\(S\) …

c) Hom [foncteurs] dans un groupe commutatif

b) Hom de V.A. dans un groupe comm. [Hom de V.A.]

e) Immersions [qui s'introduisent p.ex. dans les pbs de modules primitifs de diverses […], p.ex. via problèmes d'isogénies …] en particulier 1) morphismes diagonaux \(F \to F \times_S F\) 2) Foncteurs rectification

d) Sous groupes schémas, […] d'un schéma en groupes une grande flèche courbe relie le « b) » de la quatrième ligne à « d) » ; deux mots entourés, illisibles, sont écrits au-dessus de la fin de d) et de f)

f) Décomposition des fibres d'un morphisme en composantes connexes (comp. en composantes irréd.). [Les foncteurs obtenus ici ne sont même étales]

Factorisation d'un morphisme fini mais ouvert …

Applications en vue. 1) Un schéma abélien sur \(S\) loc. noeth. connexe est projectif sur \(S\) [utiliser le schéma des correspondances div. sur \(X \times_S X\)]

2) Existence du Picard d'un schéma propre sur un corps [Seshadri-[…]] [Chevalley-Seshadri-Grothendieck-Murre], plus généralement, sur une base \(S\), existence au-dessus d'un ouvert non vide —-

17Façon d'exprimer ces deux mots, en haut du feuillet, sont tout ce qu'il porte

19En effet, l'hyp. […] qui est prouvée dans la […] […] remplie : l'étude de \(F \to F \times_S F\), […] prouve que c'est repr., et grâce à 6°, c'est une imm. fermée. Ceci posé, dans (A), \(X \times_{F_{S'}} X\) est un sous préschéma fermé [fini sur \(X\),] de \(X \times_S X\), qui coïncide formellement avec la diagonale \(X \to X \times_S X\), donc lui est identique ; donc \(X \to F\) est un monomorphisme, d'autre part étale, i.e. une imm. ouverte.

Dans B, on prouve de façon analogue […] \(\exists\, U\) voisinage ouvert de \(x\), tel que \(\xi | (X|U)\) est soit un monomorphisme, comme […] […] […] par « étale », […] […]. cette page reprend les axiomes (A) et (B) de la page 8