Fonds Grothendieck, cote n° 131, pages 1–20 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-24)Opus 5.5 (claude-opus-5-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-09-25
Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription
est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une
machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La
source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.
https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)131
Foncteurs représentables par schéma quasi fini : notes manuscrites (s.d.).
Pages 1 à 20 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 1 de vingt pages.
Les pages absentes de la transcription ne portent pas de
mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.[vers 1971]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/131.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement
par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \add devient
supplied ; \struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
\note devient note[@type='editorial']
(du transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
Les mathématiques sont transportées en TeX dans
formula[@notation='TeX'], les diagrammes
commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'],
sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une
formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de
la formule, sous les mêmes macros.
Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une
faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurPremière passe de transcription.Export TEI depuis la source LaTeX.
en haut à droite, un « A » entouré ; les conditions 1° à 4° sont
réunies par une accolade à l'encre, et reliées au crayon, par des traits
qui convergent dans la marge, à la mention « conditionsd'exactitude » et aux signes \varprojlim, \varinjlim
1° F faisceau pour la top. fpqc
\left\{\begin{array}{l}
\text{a) de nature locale Zariski} \\
\text{b) compatible avec descente fid. plate qu. cpte affine}
\end{array}\right.« de nature locale Zariski » est écrit à l'encre brune, comme
« affine » en fin de ligne
2° F commute aux \varinjlim d'anneaux (propriété relative)
3° F commute aux \varprojlim adiques d'anneaux artiniens« artiniens » est souligné trois fois
4° Pour tout anneau artinien A sur S, F_A est exact i.e. sur la
catégorie des algèbres artiniennes finies sur A
[on a ainsi une suite exacte
A \to A' \rightrightarrows A' \otimes_A A' = A''A artinien, local artiniens, avec A'
finie sur A, [ext. résiduelles triviales,
\mathrm{long}_A\, A'/A = 1] donne une suite exacte
F(A) \to F(A') \rightrightarrows F(A'')
].
finitude ou discrétionpeut aussi se formuler pour X/kdeux notes au crayon dans la marge de gauche, en face de 5°, la
première soulignée
5° Pour tout anneau noeth.corpsk sur S, et \forall\, \xi \in F(k),
l'anneau B sur k qui pro-représente F_k en \xi est fini sur
k. (propriété relative)
la correction au-dessus de la ligne, où se lit « corps », remplace
un premier « anneau local » biffé ; le k est surchargé
F(k) \to F(X) ( mod k) se réduit comme
(cas : Xintègre)note au crayon, oblique, écrite en travers de la ligne de 5°, entre
le numéro et le texte ; la flèche de F(k) vers F(X) est double ou
barrée, lecture douteuse
séparation
6° F est séparé sur S (propriété relative)
(par critère valuatif)
critère de modularité : a) locale
7° Pour tout S' local noeth. complet [sur S], tout Z [local] fini
sur S', pt fermé t, tout \xi : Z \to F_{S'}
[i.e. \xi : Z \to F] qui est modulaire (pour F_{S'}) au pt fermé t de
Z, \xi est modulaire [ou tout au moins, étale] en tout point.
\begin{tikzcd}
F \arrow[d] & F_{S'} \arrow[l] \arrow[d] & \\
S & S' \arrow[l, no head] & Z \arrow[l] \arrow[ul, "\xi"']
\end{tikzcd}
le diagramme est dessiné à gauche du texte de 7° ; le trait entre
S et S' n'a pas de pointe ; les deux traits verticaux descendent de
F vers S et de F_{S'} vers S'
On peut prendreS' irréductible de dim 1 (et
F_{S'\ill{}} représentable, fermé de S')
\to 8°dans la marge de gauche, entre 7° et 8°, à l'encre, en partie
coupé par une accolade au crayon ; une flèche renvoie à 8°
b) générique
8° Pour tout S' noeth. irréductible sur S, et Z
[irréductible] S' fini sur S',
\xi : Z \to F_{S'}, tel que \xi soit modulaire pour F_{S'} au pt
générique z de Z, il existe un ouvert U \ni z tel que \xi soit
modulaire (ou tt au moins étale) en tt point de U.
« irréductible » est écrit au crayon au-dessus de Z, avec une
accolade ; « ou tt au moins étale » est interlinéaire
page au crayon, sans titre
Dans le cas des critères pour les foncteurs non-ramifiés remplacer 5° par
la non ramification (en outre) et 4° et 5°,
une condition aussi simple que pour la
[construction des foncteurs pro-représentables non ramifiés]
On notera que les conditions 1° à 8° sont stables par toute extension de
la base. Sauf 2°, 5°, 6°, ce sont des conditions locales sur F.
Pour prouver la représentabilité de F, on commence par le faire pour
\dim S < +\infty,
(1) \dim S = 0. On est ramené au cas S local artinien, on construit un
préschéma loc. qu. fini sur S grâce à : 4°, 5°, on voit qu'il
représente F grâce à : 1°, 2°, 3° [cf. notes précédentes, cor 2 à
prop. 1] OK. NB On n'a eu besoin que de 1° à 5°.
les numéros de conditions de cette page sont entourés au crayon
N.B. Si \dim S = 1 (S local complet), l'hypothèse 8° est
inutile.
(2) \dim S = n > 0, S local complet. Soit s son pt fermé, et
U = S - s, alors par l'hypothèse de récurrence [où 1° à 5° suffisent si
S de dim 1] on sait que F_U est représentable [par un X_U]. De plus,
grâce à : 2°, 5°, on construit une famille (utilisant S complet) de
schémas finisX_i sur S, correspondant aux pts de F_0, et
grâce à : 3° des homs u_i : X_i \to F. En vertu de la
prop. 2 des notes, on est ramené à vérifier que
u_i|U : X_{iU} \to X_U sont des immersions immersions
ouvertes, à images deux à deux disjointes. Ce dernier point provient
de l'hypothèse
« X_U » est écrit au-dessus du premier « immersions », biffé
Dégager un lemme effetnote à l'encre brune dans la marge de gauche, à la hauteur des
lignes 3 et 4
6°. Utilisant la condition 7°, on est ramené à montrer que
X_i \xrightarrow{u_i} F est modulaire en le centre x_i de X_i. Comme
la restriction u_{i0} : X_{i0} \to F_0 est modulaire (donc
le k(x_i) est un corps de définition pour
u_i : k(x_i) \to F sur S] il reste à vérifier la condition modulaire.
Nous d'abord démontrer le théorème dans le cas où la
condition 7° est renforcée, en y exigeant seulement \xi
pro-modulaire sur S en z. De plus, X est loc. qu. fini sur
S par construction, et séparé sur S par 6°.
le « 6° » entouré en tête de page ne désigne pas la condition 6°,
mais la suite de l'hypothèse sur laquelle s'achève la page 3 ; le « 7° »
de la première ligne est entouré au crayon
Pour l'instant on n'utilise quela forme
plusune version affaibliementionnée de 7°note oblique dans la marge de gauche, à la hauteur de la fin de
(2)
(3) \dim S = n > 0, S local. On sait par 2) que F_{\hat{S}} est
représentable par un X_{\hat{S}} loc. quasi-fini et séparé sur
\hat{S}. Il Il en résulte que la donnée de descente
canonique sur F_{\hat{S}} est effective, Utilisant
d'où un X sur S, loc. quasi-fini sur S et séparé sur S. Utilisant
1°, b) on trouve qu'il représente F.
(4) \dim S = n, S quelconque. Comme en On utilise le
[F comme dessus]
Lemme. Supposons que pour tout a \in S, F_{S^a} sur
S^a = \mathrm{Spec}\, \mathcal{O}_{S,a} soit représentable. Alors F
est représentable.
On utilise la prop. 3 des notes préc.
une seule ligne, au crayon, en haut de la page
Compte tenu des conditions 1° et 2°, on est ramené à vérifier la condition
de constructibilité de loc. cit.
C_1 peut aussi se mettre sous la forme
7°) Pour tt S' \to S [avec S'local noeth. [local]
completirréductible de dim 1] et S'_0
sous-préschéma schéma défini par un idéal nilpotent [de carré
nul], toute ouvert U \subset S' [U = S' - pt fermé], et
section \xi de F_TS'-morphismes
\xi_0 : S'_0 \to F_{S'}, tel que et\xi : S' si
\xi_0 | U_0 se prolonge en \xi_U : U \to F_{S'}, alors \xi_0 se
prolonge en \xi : S' \to F_{S'}.
d'adhérence schématique S'note entourée dans la marge de gauche, reliée par un trait à
« U \subset S' »
[NB. Cette condition est vide si F \to S est étale]
Ceci se met sous la forme :au crayon, entouré, dans la marge de gauche
8°) Soit S' sur S noeth. irréductible, [de pt gén. x] S'_0 défini
par un idéal nilpotent, \xi : S'_0 \to F_{S'}, supposons que
\xi soit modulaire [i.e. étale] en x, alors il est modulaire en un
voisinage de x.
Revenons au cas général, [(pas néc. non ram.)] je dis que (A), et (B)
peuvent se remplacer par
(D) (D{}_1) Si S' noeth. sur S, XXfini sur S', et \xi : X \to F_{S'} un S'-morphisme,
U\xi est inj. étale est ouvert ;
EtF \xrightarrow{\mathrm{diag}} F \times_S F (puis )
il en est de même X \times_{F_{S'}} X sur S' de sorte que cette condition 7° et 8°) s'expriment
.
le bas de la page est un palimpseste : deux lignes au crayon
(« conditions de base 7° et 8° ») biffées, un
cadre, une flèche vers X \times_S X, et plusieurs traits obliques qui
biffent ou relient ; seuls les mots rendus ci-dessus se lisent
Axiomes 1° à 6°, et
(A) Si S' local noeth. complet [de dim 1 si on veut], la
promodularité de X \xrightarrow{\xi} F_{S'} en z sur le pt
fermé de S' (X fini sur S') implique que\ximodulaire imm. ouverte (CelasiF|(S' - \{s'\}) repr.)
(B) Si aux desS' noeth. sur S, X sur S,
\xi : X \to F_{S'} et x \in X sont tels que \ximodulaire en x, alors \exists\, U \ni x voisinage ouvert, t.q.
\xi | U : U \to F_{S'} soit une imm. ouverte [On veut dire
simplement que
X \times_{\mathrm{Sp}\, \mathcal{O}_{S',s'}} \to F_{\mathrm{Sp}\, \mathcal{O}_{S',s'}}
est une imm. ouverte]
Cas particuliers
(i) F \to S un monomorphisme. Alors (A) et (B)
contiennent les
(C) Pour tt S' noethérien /S, et
\xi : X \to F_{S'}, [X \to S' un mor.], l'ens des
x \in X en lesquels \xi est [inj.] étale est ouvert.
un long trait oblique traverse ces lignes, de « (i) » à
« l'ens des », et la condition (C) est encadrée ; on ne sait si le trait
biffe le passage
Lemme\to On peut supposer en A resp. B que X \to S'est
une imm. fermée. Les conditions (A) et (B), si F \to S non
ramifié, se réduisent donc
définie si on veut par un Idéal de carré nulnote de la marge de gauche, reliée à « fermée » ; la même mention
est répétée, entourée, à droite de la ligne suivante
(C) Si S' noeth. sur S, S'_0 \to S'immersion fermée sur S', \xi : X \to F_{S'}, l'ens. U des pts en
lesquels \xi est inj. étale est ouvert i.e.
(C{}_1) stable par générisation [est aussi équivalent : A]
(C{}_2) si x \in U, alors U \cap \bar{x} est un
voisinage de x dans \bar{x}.
N.B. La condition (C) est automatique si F \to S est
étale.
feuillet plus court ; la marge de gauche porte deux colonnes de
notes écrites verticalement, serrées et surchargées, que la présente
lecture ne restitue pas (on y distingue « Alors », S', \bar{X},
S, « N.B. », « 8° et 9° »), et, en bas à gauche, une note oblique sur
4° (« peut se remplacer par : A \to A'A' fini sur A [local] \mathrm{long}\, A'/A = 1] alors
F(A) \rightrightarrows F(A') »)
(9°) Si T noeth. irréd. sur S, \exists\, U \subset T ouvert non vide
tel que F_U soit représentable
le numéro entouré, « 9° », est écrit par-dessus un autre, peut-être
« 10° »
peut se formuler de façon un plus faible, avec
impossibilité de prolongementnote à l'encre brune, entourée, reliée par une flèche au numéro
« 9° »
(1°) Foncteur F de nature locale
(2°) F compatible avec descente fid. plate qu.-compacte
(3°) F commute aux \varinjlim d'anneaux
(4°) F commute aux \varprojlim d'anneaux artiniens
(i.e. les conditions habituellescela suffit sur les
artiniens)
(7°) F « non ramifié » ét [\ill{} = : \ill{}\ k[t]/(t^2)]
le « 7° » entouré est relié par un trait à la marge de gauche
(6°) Tout pt de F à valeurs dans une ext. extension K,
est sur K, provient d'une sous-extension finiele numéro est barré en croix et les deux lignes sont biffées de
traits obliques au crayon
(5°) F pro-représentable universellement, à la suite, un cadre entièrement couvert de hachures
(6°) F « séparé » (critère valuatif).
(8°) Pour tout A anneau local noeth. de dim 1, [complet]
irréductible sur S, et tt idéal I de A nilpotent, [i.e.
\mathfrak{p} idéal premier] et\xi \in F(A/I), si
\xi_{\mathfrak{p}} \in \mathrm{Im}\, F(A_{\mathfrak{p}})alors \xi \in \mathrm{Im}\, F(A/I)les deux dernières lignes, où se
lisent encore \xi \in F(A/I), \mathfrak{p} \in I et
\xi_{\mathfrak{p}} \in F(A_{\mathfrak{p}}/I_{\mathfrak{p}}), sont biffées
et reprises par une accolade ; une note entourée, sous le second
« 8° », est illisible
Théorème. Soit S préschéma loc. noeth.,
F : (\mathrm{Sch})_{/S}^{\circ} \to \mathrm{Ens}. Pour que F soit
représentable par un X localement quasi-fini sur S et
séparé sur S, il faut et il suffit que F satisfasse les
conditions suivantes :
1°) F de nature locale
3°) F « commute aux \varinjlim d'anneaux »
2°) F compatible avec descente fid. plate et qu. compacte [il suffit
pour B \to \hat{B}, où B est un anneau local noeth. sur S]
de type fini et cat. résiduelle finie]« noeth. » est écrit au-dessus de « local » ; l'ordre 1°, 3°, 2°
est celui de la page
4°) F commute aux \varprojlim d'anneaux artiniens, pour
\hat{B} = \varprojlim B_n, avec B comme dans 2°
5°) F pro-représentable au dessus de tt
[tout anneau artinien A sur S] , les anneaux B qui
représentent pro-représentent F sur A sont finis sur
AA ]
la mention « anneau artinien A sur S » est entourée et reportée
d'une ligne plus bas par un trait
6°) F « séparé » (par critère valuatif …)
7°) Pour tout A, [anneau local noeth. complet,
surS] , et tout hom local A \to B,
B fini sur A, et tt \xi \in F(B), qui soit pro-modulaire
[ que \xisoit modulaire], [on verra que ça implique :
pro-modulaire …] et tout \mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(B),
\xi_{\mathfrak{p}} \in F(B_{\mathfrak{p}}), est modulaire.
[Cf plus bas des conditions plus particulières)
le numéro « 7° » est entouré ; « sans modulaires » semble écrit
au-dessus de « modulaire », lecture douteuse
[en fait, cela suffit, et cela signifie que
\xi : \mathrm{Spec}\, B \to F est étale]note dans la marge de gauche, à la hauteur de la fin de 7°
N.B. On pourrait que les conditions 1° à 5°,
[y compris 6°] + 7° impliquent l'analogue de 7° sans hyp. de
dim 1Donner l'exemple type [S de dim 1] montrant que (8°) n'est
pas conséquence des autres F. Est-ce que 6°
et 7° ? Non, ce qui unique (par, continuité)deux notes obliques dans la marge de gauche, séparées par un trait ;
la seconde est reliée à 7° et 8° par des flèches
8°) [Pour tt préschéma noeth. irréductible S' sur S,
et Zfini sur S',
\xi \in F(Z) = F_{S'}(Z), z \in Z au dessus du pt gén. de S', tel
que \xi soit modulaire
le numéro « 8° » est entouré ; la phrase se poursuit en tête de la
page 15
Immersion ouverte
Conditions 1° 2° 3° 4° 1°, 2°, 3°, 4°, et de plus
a) F \to S est un monomorphismeétale pour les arguments
artiniens.
en Z, il existe une partie ouverte non vide U de Z telle que
z' \in U implique que \xi est étale en z' modulaire en z'
[ou simplement étale en z']
le premier mot de la page achève la condition 8° de la page 13 ;
la lettre, lue Z, est celle de « Z fini sur S' », où l'on attend le
point z
Corollaire 1 Pour que F soit représentable par un Xétale et séparé sur S, il faut et il suffit qu'il
satisfasse les conditions 1° à 6° 1° 2° 3° 4° 6°, et de plus
(Et) (Et) Le foncteur F est étale (ou seulement, étale pour les
arguments artiniens) les B de 5°) sont étales sur A
Expliciter cas d'un ouvert[dans ce cas plus direct et plus facile]
Corollaire 2 Pour que F soit représentable par un X non
ramifié et séparé sur S, il faut et il suffit que les conditions 1° à
6°, 8° [ainsi que] soient vérifiées, et de plus
la condition 7°) [simplifiée :]
« ainsi que » surcharge un mot biffé ; au-dessus, un « 8° » entouré
deux fois
7° (NR.)
a) Le foncteur F est non ramifié (i.e. les B de 5°) sont non ramifiés
sur AA)
b) Pour tout A de dim 1 , [irréductible] de S, A [idéal] A\mathfrak{p}, \forall [idéal] I [tel que I_{\mathfrak{p}} = 0],
\eta \in F(A/I), si
\eta_{\mathfrak{p}} \in \mathrm{Im}\, F(A_{\mathfrak{p}}), alors
\eta \in \mathrm{Im}\, F(A).
a) et b) sont réunis par une accolade ; la ligne de b) est deux fois
reprise, avec plusieurs passages biffés ; la lettre du point de
F(A/I) est lue \eta
Expliquer 8° ici par une impossibilité de
prolongements note oblique dans la marge de gauche, à la hauteur de b)
Remarque 3 La condition 8°), est conséquence des autres
pour que la conclusion :
(RG) Pour tt S' [réduit-préschéma] fermé irréductible de
S, \exists ouvert non vide U \subset S' tel que F_U soit
représentable par un préschéma loc. de type fini sur U.
« RG » entouré, en tête de page
Remarque 4 Limiter les anneaux A, B et schémas S' qui
doivent être envisagés dans les conditions 2°, 4°, 5°, 7°, 8° —-
Exemples de foncteurs non ramifiés
a) triviaux, plus généralement G/H, H sous-groupe
ouvert et fermé,
b) Classes de Correspondances divisorielles
plat/S …
c) Hom [foncteurs] dans un groupe commutatif
b) Hom de V.A. dans un groupe comm. [Hom de V.A.]
e) Immersions [qui s'introduisent p.ex. dans les pbs de modules
primitifs de diverses, p.ex. via problèmes
d'isogénies …] en particulier 1) morphismes diagonaux
F \to F \times_S F 2) Foncteurs rectification
d) Sous groupes schémas, d'un schéma en groupes
une grande flèche courbe relie le « b) » de la quatrième ligne à
« d) » ; deux mots entourés, illisibles, sont écrits au-dessus de la fin
de d) et de f)
f) Décomposition des fibres d'un morphisme en composantes connexes
(comp. en composantes irréd.). [Les foncteurs obtenus ici ne sont même
étales]
Factorisation d'un morphisme fini mais ouvert …
Applications en vue. 1) Un schéma abélien sur S loc. noeth.
connexe est projectif sur S [utiliser le schéma des
correspondances div. sur X \times_S X]
2) Existence du Picard d'un schéma propre sur un corps
[Seshadri-] [Chevalley-Seshadri-Grothendieck-Murre],
plus généralement, sur une base S, existence au-dessus d'un ouvert non
vide —-
Façon d'exprimer
ces deux mots, en haut du feuillet, sont tout ce qu'il porte
En effet, l'hyp. qui est prouvée dans la remplie : l'étude de F \to F \times_S F, prouve que c'est repr., et grâce à 6°, c'est une
imm. fermée. Ceci posé, dans (A), X \times_{F_{S'}} X est un sous
préschémafermé [fini sur X,] de X \times_S X, qui
coïncide formellement avec la diagonale X \to X \times_S X, donc lui est
identique ; donc X \to F est un monomorphisme, d'autre part
étale, i.e. une imm. ouverte.
Dans B, on prouve de façon analogue \exists\, U voisinage
ouvert de x, tel que \xi | (X|U)est soit un
monomorphisme, comme par « étale », .
cette page reprend les axiomes (A) et (B) de la page 8