Cote n° 130 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Hauteurs et symboles locaux : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [vers 1971]
Édition de démonstration

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[Accouplements locaux \(\langle C_\eta, D_\eta \rangle_v\) et nombre d'intersection \(i(C.D)\)]

titre de l'éditeur, entre crochets. Les notations \(\langle C_\eta, D_\eta \rangle_v\) et \(i(C.D)\) sont posées au lot 1 (feuillet 16). Les feuillets de cette suite sont des demi-feuilles tenues en largeur ; seuls les feuillets impairs portent sa main.

21

\begin{tikzcd}
X \arrow[d, "f"] \\
S
\end{tikzcd}

\[-\langle D_\eta, C_\eta \rangle = D.C\] si \(D_\eta\) et \(C_\eta\) alg. équiv. à 0 ; \[-\langle D_\eta, C_\eta \rangle = \sum_v \langle D_\eta, C_\eta \rangle_v = \sum_v (D.C)_v\] le second membre est écrit sous le premier, relié par un signe \(=\) vertical.

\(f\) projectif, à fibres géom. irréductibles, fibre générique lisse, \(X\) régulier ; \(S\) muni d'un ensemble \(M\) de val. discrètes satisfaisant la formule du produit. ces hypothèses (situation globale) sont soulignées et séparées du reste du feuillet par un long trait.

\(S\) local complet, corps résiduel alg. clos, \(X \xrightarrow{f} S\) projectif, \(X_\eta\) lisse, \(X_0\) lisse sauf […] en un nombre fini de pts, ces derniers étant […] […], \(X\) régulier en ces pts ; la flèche \(X \to S\) est tracée de droite à gauche ; « en ces pts » est écrit au-dessus de la ligne.

\(C\), \(D\) sur \(X\), se […] : pas de comp. verticale ; \(C.D\) \(\operatorname{Supp} C \cap \operatorname{Supp} D \subset X_0\) \(=\) se coupent avec la bonne dimension ; les deux conditions sont réunies par une accolade.

\(C_\eta\), \(D_\eta\) alg. équiv. à 0 sur \(X_\eta\) : \[\boxed{\ \langle C_\eta, D_\eta \rangle_v = i(C.D)\ }\]

[…] […] […] trois mots soulignés au bas du feuillet, illisibles.

23\(A\) anneau local noeth. réduit de dim 2, de profondeur \(= 2\), \(f \in \mathfrak{m}_A\) tel que \(A/fA\) soit régulier. encadré en haut du feuillet ; « noeth. » est ajouté au-dessus de la ligne.

Le reste du feuillet est une page de brouillon sur les modèles de Néron, sans phrase suivie ; on en donne les éléments dans l'ordre de la page. Le soulignement sous une lettre (\(\underline{A}\), \(\underline{B}\)) est le sien.

\(\underline{X}\) un trait vertical descend sous la lettre, qui est barrée d'un trait oblique.

\(\underline{A} \supset B\) ; \(B \times B'\) ; \(A_\eta = A_{1\eta} \times A_{2\eta}\), \(\underline{A}\) ok.

\(B_1 = \overline{A_{1\eta}}\), \(B_2 = \overline{A_{2\eta}}\) ; \(\underline{A}\) ; \(\underline{A} \to \overline{A_{1\eta}}\), \(\underline{A} \to \overline{A_{2\eta}}\). un grand \(X\) isolé au milieu du feuillet.

\begin{tikzcd}
& \underline{T} \\
\underline{A}^{\circ} & \underline{B} \arrow[l]
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}
A_\eta & B_\eta \arrow[l] \\
& T_\eta \arrow[u]
\end{tikzcd}

dans le premier schéma, \(\underline{T}\) est écrit directement au-dessus de \(\underline{B}\), sans flèche ; l'exposant de \(\underline{A}\) est un petit point, lu \(\circ\).

\begin{tikzcd}
\underline{A} \arrow[r, bend left=20] & \underline{B_1 \times B_2} \arrow[l, bend left=20] \\
B_1 \times B_2 \arrow[u]
\end{tikzcd}

les deux flèches entre \(\underline{A}\) et \(\underline{B_1 \times B_2}\) sont superposées, en sens contraires ; le \(B_1\) est surchargé. Au-dessous, un croquis : deux traits verticaux, l'un simple, l'autre hachuré, posés sur un trait horizontal.

\begin{tikzcd}
B_\eta & A_\eta \arrow[l, "\beta"'] & B_\eta \arrow[l, "\alpha"'] \arrow[ll, bend right=40, "N"'] \\
\underline{B} & \underline{A} \arrow[l] \arrow[u] & \underline{B} \arrow[l]
\end{tikzcd}

\(N_\eta\) écrit sous ce diagramme.

\begin{tikzcd}
0 \arrow[d, leftrightarrow] \\
\underline{A} \\
\underline{B} \arrow[u] \\
C \arrow[u]
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}
0 \\
A \arrow[d] \\
B \arrow[d] \\
C
\end{tikzcd}

deux colonnes côte à côte sur le feuillet, la seconde d'un trait plus léger ; la première flèche de la première colonne porte une pointe aux deux bouts, lecture douteuse ; en tête de la seconde, un « \(0\) » ou un « \(i\) », lecture douteuse.

\(A \subset B\) ; \(\overline{A}\) ; \(B \to C\) ; \(\underline{A} \to S\).

25\[\langle C_\eta, \operatorname{div} f_\eta \rangle_v = i(C.\operatorname{div} f) = v\bigl(f_\eta(C_\eta)\bigr)\] dans \(i(C.\operatorname{div} f)\), un \(f_\eta\) est biffé et remplacé par \(f\) au-dessus de la ligne ; la suite de la ligne est biffée.

\begin{tikzcd}
X_\eta & X \arrow[d, no head] & X' \arrow[r, hook] \arrow[d, no head] & J \\
\eta & S & S
\end{tikzcd}

\(S\) spectre d'anneau de val. discrète.

\begin{tikzcd}
X' \arrow[r, hook] & \widetilde{X''} \arrow[r, "\mathrm{birat.}"] & X'' \arrow[r, hook] & J
\end{tikzcd}

\(X''_0 = X_0\) au-dessus de la flèche \(\widetilde{X''} \to X''\) : « […] birat. […] […] » ; une flèche en pointillé part de \(X'\) vers la droite, avec un mot illisible. La flèche entre \(X''\) et \(J\) est tracée de droite à gauche, crochet du côté de \(X''\). Sous la ligne, des arcs esquissent les fibres.

\(x \in X_\eta(k(\eta))\) \(\exists\, L\) faisceau loc. libre sur \(X\) et une section rationnelle dont le diviseur sur \(X_\eta\) est \(x\) : \((*)\)

En normalisant, on peut supposer que cette section est définie partout, […] en \(x \in X\) le pt critique \(x_0\), et que […] son diviseur n'a pas de composante verticale. Ceci […] pour la section donnée […] un diviseur. le mot après « partout » est souligné. Au bas du feuillet, deux petits croquis : un cercle traversé d'un arc épais et d'un axe vertical, un cercle centré sur un axe vertical.

27a) Cas où \(f\) est lisse, alors \(X_\eta/K\) a un Albanese \(A_\eta/K\) et Picard°° \(A^*_\eta/K\), […] […] […] \(X\) sur \(S\), cf. th. de Weil, […] le repère en tête (« a) ») est peu formé ; le corps de base est lu \(K\). Les deux lignes sous « Albanese » sont en partie biffées (on y lit \(A\), \(A^*\) et « Albanese ») ; une insertion soulignée au-dessus de la ligne est illisible.

\begin{tikzcd}
X \arrow[rr, "\alpha"] \arrow[dr, no head] & & A \arrow[dl, no head] \\
& S &
\end{tikzcd}

[…] de \(X\) sur \(A_\eta\) […]

\(D'_\eta\) tel que \(\alpha^*(D'_\eta) \sim_\ell D_\eta\), d'où \[\alpha^*(D'_\eta) = D_\eta + \operatorname{div}_{X_\eta}(f)\] d'où un […] prenant les adhérences ce bloc est encadré et annulé par deux traits obliques.

\(D = \overline{D_\eta} = \alpha^*(\overline{D'_\eta})\)

Supposons d'abord que […] \[D = \alpha^*(D')\] \(D'\) un diviseur sur \(A\) sans […] tel que \(\alpha^*(D')\) défini. Posons \[C' = \alpha_*(C) .\] Alors on a \[C'.D' = \alpha_*(C).D' = \alpha_*\bigl(C.\alpha^*(D')\bigr) = \alpha_*(C.D)\] d'où \[i(C.D) = i\bigl(\alpha_*(C.D)\bigr) = i(C'.D')\]

29et notre formule dans ce cas se réduit à : \[\boxed{\ i\bigl(\overline{C'_\eta}.\overline{D'_\eta}\bigr) = \langle C'_\eta, D'_\eta \rangle_v\ }\] si \(C'\), \(D'\) sans […]

[…] Dans le cas général, on voit aussitôt qu'on […] \[D_\eta \sim \alpha^*(D'_\eta) ,\] où \(D'_\eta\) est un diviseur sur \(A_\eta\) tel que \[D'_\eta \not\supset \alpha_\eta(X_\eta) \quad\text{et}\quad \overline{D'_\eta} \not\supset \alpha_0(X_0)\] sur le premier \(D'_\eta\), une barre d'adhérence est biffée ; entre \(\overline{D'_\eta}\) et le second \(\not\supset\), un petit rond.

[Lemme […] : […]]

d'où \[D = \alpha^*(D') + \operatorname{div}(f) ,\] où \(D'\) est tel que \(\alpha^*(D')\) soit défini et sans composante verticale, et \(f \in R^*(X)\). Donc

On est donc ramené à prouver la formule \[\boxed{\ \langle C_\eta, \operatorname{div} f_\eta \rangle_v = i(C.\operatorname{div} f)\ } = v\bigl(f_\eta(C_\eta)\bigr)\] valable si \(\operatorname{div}(f)\) est sans composante horizontale. le dernier membre est écrit sous le premier, relié par un signe \(=\) vertical ; la condition est écrite en marge droite de la formule.

31b) Cas général. Soit \(A\) le modèle de Néron de \(\operatorname{Alb} X_\eta\), alors par Néron on a

\begin{tikzcd}
X' \arrow[rr, "\alpha"] \arrow[dr, no head] & & A \arrow[dl, no head] \\
& S &
\end{tikzcd}

où \(\alpha\) est défini \(X' = X - x_0\), où \(x_0\) le pt singulier de \(X'\). le feuillet s'arrête là ; le reste est vierge.

Quasi-fonctions de Néron-Weil

titre souligné de sa main, en tête du feuillet 34.

34\(K\) corps muni d'un ens. « propre » \(M_K\) de val. abs., qu'on écrit sous forme logarithmique \(v(x)\). \(\overline{K}\) une clôture algébrique, \(M_{\overline{K}}\) l'ens. des val. absolues sur \(\overline{K}\) prolongeant celles de \(K\). Si \(\Gamma\) est le groupe de Galois de \(\overline{K}\) sur \(K\), on a \[M_{\overline{K}} / \Gamma \xrightarrow{\ \sim\ } M_K\] « algébrique » est biffé puis rétabli par un soulignement pointillé ; au-dessus, « séparable » est biffé. Un signe \((*)\) cerclé, écrit juste sous cette formule, semble la désigner : il y est renvoyé plus bas.

Fonctions réelles sur \(X(\overline{K}) \times M_{\overline{K}}\), notations

Soit \(X\) un préschéma sur \(K\), […] \[\varphi : X(\overline{K}) \times M_{\overline{K}} \to \mathbf{R}\] une fonction, notée \(\varphi(P, v)\). Supposons que \(\varphi\) commute avec \(\Gamma\) : \[\varphi(\sigma P, \sigma v) = \varphi(P, v)\] alors pour tout si […] \(P \in X(\overline{K})^{\Gamma} = X(K^{p^{-\infty}})\) (où \(K^{p^{-\infty}}\) la clôture parfaite de \(K\)) […] on a \[\varphi(\sigma P, \sigma v) = \varphi(P, v) \quad \text{pour tt } v, \sigma ,\] donc en vertu de \((*)\) \(\varphi(P, v)\) ne dépend que de \(v|K\). Donc \(\varphi\) induit \[X(K^{p^{-\infty}}) \times M_K \to \mathbf{R}\] […] fonction \(X(K) \times M_K \to \mathbf{R}\). dans la première formule, un \(X\) est surchargé.

35Le même argument montre que pour toute \(K\)-extension finie \(L\) de \(\overline{K}/K\), \(\varphi\) induit \[\varphi_L : X(L) \times M_L \to \mathbf{R} ,\] ces fonctions \(\varphi_L\) ont une propriété de transitivité évidente \[\varphi_L(P, v|L) \simeq \varphi_{L'}(P, v) \qquad \left| \begin{array}{l} P \in X(L) \\ v \in M_{L'} \end{array} \right.\] et la donnée de \(\varphi\) équivaut au système des \(\varphi_L\) satisfaisant la condition de compatibilité précédente. On dit désigne par \[\widehat{\Phi}(X)\] [ou bien, en cas d'ambiguïté, \(\widehat{\Phi}(X/K, M_K)\)] l'ens. de ces \(\varphi\). Notons que \(\widehat{\Phi}(X)\) est déterminé à isom. unique près, indépendamment du choix de la clôture alg. \(\overline{K}\). On a, pour une extension [finie] \(K'\) de \(K\), une application naturelle \[\widehat{\Phi}(X/K) \to \widehat{\Phi}(X_{K'}/K')\] et pour \(X\) fixé, qui est bijective « finie » est ajouté au-dessus de la ligne.

36si \(K'/K\) est radicielle, et […] plus généralement telle que si \(K'/K\) est quasi-galoisienne de groupe \(\pi\), on a \[\widehat{\Phi}(X/K) \simeq \widehat{\Phi}(X_{K'}/K')^{\pi} .\]

Fonctions et parties \(M_K\)-bornées

Une fonction […] de \(X\)

Soit \(E\) un ens. muni d'une application \(\pi : E \to M_{\overline{K}}\). Une fonction \(\varphi\) sur \(E\) est dite \(M_K\)-bornée (rel. à \(\pi\)) s'il existe un \(M_K\)-diviseur \(c\) […] tel que \[|\varphi(\xi)| \leqslant c(\pi(\xi))\] i.e. s'il existe […] une partie finie \(S\) de \(M_K\) telle que \[\varphi(\xi) = 0 \quad \text{si } \pi(\xi)|K \notin S\] et si de plus \(\varphi\) est bornée. […]

Soit \(E\) [\(= \bigcup_{v \in M_{\overline{K}}} E_v \times \{v\}\)] une partie de \(X(\overline{K}) \times M_{\overline{K}}\), on dit que \(E\) est \(M_K\)-bornée s'il […] est contenue dans une réunion […] finie d'ensembles de la forme \[E(U; x_1, \ldots, x_n; c) ,\] où \(U\) est un ouvert \(X\) loc. de t.f. sur \(K\) l'expression de \(E\) comme réunion est écrite au-dessus de la ligne ; la note marginale, en oblique, est rattachée à « Soit ».

37affine de \(X\), \(\underline{x} = (x_1, \ldots, x_n)\) est un syst. de générateurs de son anneau affine sur \(K\), \(c\) un \(M_K\)-diviseur, et \(E(\ \text{---}\ )\) est l'ens. des \((P, v) \in X(\overline{K}) \times M_{\overline{K}}\) tels que \[v(\underline{x}(P)) = \operatorname*{Inf}_{1 \leqslant i \leqslant n} v(x_i(P)) \geqslant c(v)\] [i.e. [essentiellement] il existe une partie finie \(S\) de \(M_K\) telle que \(E\) est formé des \((P, v)\) [\(\in U(\overline{K}) \times M_{\overline{K}}\)] tels que

• a)\(P\) entier pour \(\underline{x}\), \(v\) si \(v|K \in M_K - S\)
• b)\(v(\underline{x}(P)) \geqslant -M\) si \(v|K \in S\) ].

« essentiellement » et « \(\in U(\overline{K}) \times M_{\overline{K}}\) » sont écrits au-dessus de la ligne.

N.B. La notion de partie bornée est inv. par ext. finie du corps de base. La fonctorialité pour \(X \to Y\) n'est pas claire, aussi il y aurait peut-être lieu de remplacer \(U \subset X\) par \(U \to X\) […]. Question : Dans le cas « global », y a-t-il une notion « \(M_K\)-bornée » […] de \(\mathbf{P}^r_K\), celles des hauteurs bornées ? note marginale, écrite en oblique dans la marge gauche et reliée par un trait aux conditions a), b).

Fonctions admissibles

Une fonction \(\varphi : X(\overline{K}) \times M_{\overline{K}} \to \mathbf{R}\) est dite admissible si elle est […] \(M_K\)-bornée sur toute partie \(M_K\)-bornée. Comme les ens. \[\{P\} \times M_{\overline{K}} , \quad \text{où } P \in X(\overline{K}) ,\] sont \(M_K\)-bornés, on voit que si pour tt \(P \in X(\overline{K})\) fixé, la fonction \[\widetilde{\varphi}(P) = \bigl(v \mapsto \varphi(P, v)\bigr) : M_{\overline{K}} \to \mathbf{R}\] a la vertu d'être […] majorée [en module] par une fonction de la forme \(c(v)\), avec

38\(c\) un \(M_K\)-diviseur positif. D'ailleurs, si \(P\) est rationnel sur [l'ext. finie] \(K'\) de \(K\), alors \(\widetilde{\varphi}(P)\) est rat.\(/K'\), i.e. se factorise en \[M_{\overline{K}} \to M_{K'} \to \mathbf{R} ,\] où \(M_{K'} \to \mathbf{R}\) est induit par un \(K'\)-diviseur. Donc [posant \[\operatorname{Div}(M_{\overline{K}}) = \varinjlim_{K'/K} \operatorname{Div}(M_{K'})\] \(K'\) ext. finie de \(\overline{K}/K\)] on trouve une application \[\widetilde{\varphi} : X(\overline{K}) \to \operatorname{Div}(M_{\overline{K}})\] qui a […] au moins les vertus suivantes

• a)\(\widetilde{\varphi}\) est compatible avec les op. de \(\Gamma = \operatorname{Gal} \overline{K}/K\)
• b)\(\widetilde{\varphi}\) transforme tte partie \(M_K\)-bornée \(F\) de \(X(\overline{K})\) [i.e. une partie \(F\) telle que \(F \times M_{\overline{K}}\) soit \(M_K\)-bornée] en une partie bornée de \(M_{\overline{K}}\)-diviseurs [bornée au sens de la relation d'ordre, au sens : \(\exists\, c \in \operatorname{Div}(M_K)\) avec \(|\widetilde{\varphi}(P)| \leqslant c\) pour tt \(P \in F\)].

(Supposons que \(\varphi\) est rat.\(/K\), i.e. invariante par \(\operatorname{Gal} \overline{K}/K = \Gamma\)) « l'ext. finie » est ajouté au-dessus de la ligne. La note marginale est entre parenthèses en haut à droite du feuillet et se poursuit, cerclée, en haut à gauche ; elle est rattachée à « D'ailleurs ».

39

Exemples de \(\varphi\) admissibles

Soit \(f \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X^*)\), posons \[\varphi_f(P, v) = v(f(P)) \qquad \text{si } P \in X(\overline{K}),\ v \in M_{\overline{K}} .\] C'est une fonction invariante par \(\Gamma\), je dis qu'elle est admissible. Il suffit de […]

[…] que si \(X\) est affine, [\(c \in \operatorname{Div}(M_K)\)], […] \(K[X]\) engendré par \(x_1, \ldots, x_n\), alors \(\varphi_f\) est \(M_K\)-bornée sur \(E[X; x_1, \ldots, x_n; c]\), i.e. \(\exists\, c' \in \operatorname{Div}(M_K)\) tel que \[\operatorname*{Inf}_i v(x_i(P)) \geqslant c(v) \Longrightarrow |v(f(P))| \leqslant c'(v) .\] ce passage, depuis « […] que si \(X\) est affine », est encadré et annulé par deux traits obliques ; la dernière formule est de plus barrée d'un trait horizontal.

Par fonctorialité, on est ramené au cas où \(X = \mathbf{G}_{m,K}\), [\(f\) la section canonique \(x\),] et à vérifier […]. Dans ce cas, pour tt une partie \(M_K\)-bornée de \(X(\overline{K}) \times M_{\overline{K}}\) [\(= \overline{K}^* \times M_{\overline{K}}\)] est contenue dans une partie de la forme \(E(M, S)\), \(S\) partie finie de \(M_K\), \(M \geqslant 0\), \(M\) un nb \(> 0\), formée des \((x, v)\) tels que

• a)\(v(x) = 0\) […] [i.e. \(x\) unité] si \(v|K \notin S\)
• b)[…] \(|v(x)| \leqslant M\) si \(v|K \in S\).

« \(f\) la section canonique \(x\) », « \(= \overline{K}^* \times M_{\overline{K}}\) » et « i.e. \(x\) unité » sont écrits au-dessus des lignes.

40Or on a \[\varphi_f(x, v) = v(x)\] […] d'où aussitôt la conclusion.

Faisceautisation

Pour tt ouvert \(U\) de \(X\), soit \(\underline{\Phi}_X(U)\) l'ens. des fonctions admissibles \(\Gamma\)-invariantes sur \(U(\overline{K}) \times M_{\overline{K}}\). Pour \(U\) variable, on trouve ainsi un préfaisceau \(\underline{\Phi}_X\) sur \(X\), je dis que c'est un faisceau. Évidemment, c'est un préfaisceau « séparé », reste à montrer que si une fonction \[\varphi : X(\overline{K}) \times M_{\overline{K}} \to \mathbf{R}\] invariante par \(\Gamma\) est telle que l'on ait \(\varphi | U_i(\overline{K}) \times M_{\overline{K}}\) admissible pour tt \(i\) (où \((U_i)\) est un recouvrement ouvert de \(X\)), alors \(\varphi\) est admissible. On est ramené au cas où \(X\) est affine, et il semble qu'on ait besoin de savoir que tte [la réunion] partie \(M_K\)-bornée de \(X(\overline{K}) \times M_{\overline{K}}\) le feuillet s'arrête au milieu de la phrase ; « la réunion » est écrit au-dessus de « tte », biffé. La lettre de \(\underline{\Phi}_X\) est celle de \(\widehat{\Phi}\) (feuillets 35-36), soulignée ; lue \(\Phi\) sous réserve.