Fonds Grothendieck, cote n° 130, pages 21–40

[Accouplements locaux \langle C_\eta, D_\eta \rangle_v et nombre d'intersection i(C.D)]

titre de l'éditeur, entre crochets. Les notations \langle C_\eta, D_\eta \rangle_v et i(C.D) sont posées au lot 1 (feuillet 16). Les feuillets de cette suite sont des demi-feuilles tenues en largeur ; seuls les feuillets impairs portent sa main.

\begin{tikzcd} X \arrow[d, "f"] \\ S \end{tikzcd}

-\langle D_\eta, C_\eta \rangle = D.C si D_\eta et C_\eta alg. équiv. à 0 ; -\langle D_\eta, C_\eta \rangle = \sum_v \langle D_\eta, C_\eta \rangle_v = \sum_v (D.C)_v le second membre est écrit sous le premier, relié par un signe = vertical.

f projectif, à fibres géom. irréductibles, fibre générique lisse, X régulier ; S muni d'un ensemble M de val. discrètes satisfaisant la formule du produit. ces hypothèses (situation globale) sont soulignées et séparées du reste du feuillet par un long trait.

S local complet, corps résiduel alg. clos, X \xrightarrow{f} S projectif, X_\eta lisse, X_0 lisse sauf en un nombre fini de pts, ces derniers étant , X régulier en ces pts ; la flèche X \to S est tracée de droite à gauche ; « en ces pts » est écrit au-dessus de la ligne.

C, D sur X, se : pas de comp. verticale ; ~~C.D~~ \operatorname{Supp} C \cap \operatorname{Supp} D \subset X_0 = se coupent avec la bonne dimension ; les deux conditions sont réunies par une accolade.

C_\eta, D_\eta alg. équiv. à 0 sur X_\eta : \boxed{\ \langle C_\eta, D_\eta \rangle_v = i(C.D)\ }

trois mots soulignés au bas du feuillet, illisibles.

A anneau local noeth. réduit de dim 2, de profondeur = 2, f \in \mathfrak{m}_A tel que A/fA soit régulier. encadré en haut du feuillet ; « noeth. » est ajouté au-dessus de la ligne.

Le reste du feuillet est une page de brouillon sur les modèles de Néron, sans phrase suivie ; on en donne les éléments dans l'ordre de la page. Le soulignement sous une lettre (\underline{A}, \underline{B}) est le sien.

\underline{X} un trait vertical descend sous la lettre, qui est barrée d'un trait oblique.

\underline{A} \supset B ; B \times B' ; A_\eta = A_{1\eta} \times A_{2\eta}, \underline{A} ok.

B_1 = \overline{A_{1\eta}}, B_2 = \overline{A_{2\eta}} ; \underline{A} ; \underline{A} \to \overline{A_{1\eta}}, \underline{A} \to \overline{A_{2\eta}}. un grand X isolé au milieu du feuillet.

\begin{tikzcd} & \underline{T} \\ \underline{A}^{\circ} & \underline{B} \arrow[l] \end{tikzcd}

\begin{tikzcd} A_\eta & B_\eta \arrow[l] \\ & T_\eta \arrow[u] \end{tikzcd}

dans le premier schéma, \underline{T} est écrit directement au-dessus de \underline{B}, sans flèche ; l'exposant de \underline{A} est un petit point, lu \circ.

\begin{tikzcd} \underline{A} \arrow[r, bend left=20] & \underline{B_1 \times B_2} \arrow[l, bend left=20] \\ B_1 \times B_2 \arrow[u] \end{tikzcd}

les deux flèches entre \underline{A} et \underline{B_1 \times B_2} sont superposées, en sens contraires ; le B_1 est surchargé. Au-dessous, un croquis : deux traits verticaux, l'un simple, l'autre hachuré, posés sur un trait horizontal.

\begin{tikzcd} B_\eta & A_\eta \arrow[l, "\beta"'] & B_\eta \arrow[l, "\alpha"'] \arrow[ll, bend right=40, "N"'] \\ \underline{B} & \underline{A} \arrow[l] \arrow[u] & \underline{B} \arrow[l] \end{tikzcd}

N_\eta écrit sous ce diagramme.

\begin{tikzcd} 0 \arrow[d, leftrightarrow] \\ \underline{A} \\ \underline{B} \arrow[u] \\ C \arrow[u] \end{tikzcd}

\begin{tikzcd} 0 \\ A \arrow[d] \\ B \arrow[d] \\ C \end{tikzcd}

deux colonnes côte à côte sur le feuillet, la seconde d'un trait plus léger ; la première flèche de la première colonne porte une pointe aux deux bouts, lecture douteuse ; en tête de la seconde, un « 0 » ou un « i », lecture douteuse.

A \subset B ; \overline{A} ; B \to C ; \underline{A} \to S.

\langle C_\eta, \operatorname{div} f_\eta \rangle_v = i(C.\operatorname{div} f) = v\bigl(f_\eta(C_\eta)\bigr) dans i(C.\operatorname{div} f), un f_\eta est biffé et remplacé par f au-dessus de la ligne ; la suite de la ligne est biffée.

\begin{tikzcd} X_\eta & X \arrow[d, no head] & X' \arrow[r, hook] \arrow[d, no head] & J \\ \eta & S & S \end{tikzcd}

S spectre d'anneau de val. discrète.

\begin{tikzcd} X' \arrow[r, hook] & \widetilde{X''} \arrow[r, "\mathrm{birat.}"] & X'' \arrow[r, hook] & J \end{tikzcd}

X''_0 = X_0 au-dessus de la flèche \widetilde{X''} \to X'' : « birat. » ; une flèche en pointillé part de X' vers la droite, avec un mot illisible. La flèche entre X'' et J est tracée de droite à gauche, crochet du côté de X''. Sous la ligne, des arcs esquissent les fibres.

x \in X_\eta(k(\eta)) \exists\, L faisceau loc. libre sur X et une section rationnelle dont le diviseur sur X_\eta est x : (*)

En normalisant, on peut supposer que cette section est définie partout, en ~~x \in X~~ le pt critique x_0, et que son diviseur n'a pas de composante verticale. Ceci pour la section donnée un diviseur. le mot après « partout » est souligné. Au bas du feuillet, deux petits croquis : un cercle traversé d'un arc épais et d'un axe vertical, un cercle centré sur un axe vertical.

a) Cas où f est lisse, alors X_\eta/K a un Albanese A_\eta/K et Picard°° A^*_\eta/K, X sur S, cf. th. de Weil, le repère en tête (« a) ») est peu formé ; le corps de base est lu K. Les deux lignes sous « Albanese » sont en partie biffées (on y lit A, A^* et « Albanese ») ; une insertion soulignée au-dessus de la ligne est illisible.

\begin{tikzcd} X \arrow[rr, "\alpha"] \arrow[dr, no head] & & A \arrow[dl, no head] \\ & S & \end{tikzcd}

~~de X sur A_\eta~~

D'_\eta tel que \alpha^*(D'_\eta) \sim_\ell D_\eta, d'où \alpha^*(D'_\eta) = D_\eta + \operatorname{div}_{X_\eta}(f) d'où un prenant les adhérences ce bloc est encadré et annulé par deux traits obliques.

~~D = \overline{D_\eta} = \alpha^*(\overline{D'_\eta})~~

Supposons d'abord que D = \alpha^*(D') D' un diviseur sur A sans tel que \alpha^*(D') défini. Posons C' = \alpha_*(C) . Alors on a C'.D' = \alpha_*(C).D' = \alpha_*\bigl(C.\alpha^*(D')\bigr) = \alpha_*(C.D) d'où i(C.D) = i\bigl(\alpha_*(C.D)\bigr) = i(C'.D')

et notre formule dans ce cas se réduit à : \boxed{\ i\bigl(\overline{C'_\eta}.\overline{D'_\eta}\bigr) = \langle C'_\eta, D'_\eta \rangle_v\ } ~~si C', D' sans~~

Dans le cas général, on voit aussitôt qu'on D_\eta \sim \alpha^*(D'_\eta) , où D'_\eta est un diviseur sur A_\eta tel que D'_\eta \not\supset \alpha_\eta(X_\eta) \quad\text{et}\quad \overline{D'_\eta} \not\supset \alpha_0(X_0) sur le premier D'_\eta, une barre d'adhérence est biffée ; entre \overline{D'_\eta} et le second \not\supset, un petit rond.

[Lemme : ]

d'où D = \alpha^*(D') + \operatorname{div}(f) , où D' est tel que \alpha^*(D') soit défini et sans composante verticale, et f \in R^*(X). ~~Donc~~

On est donc ramené à prouver la formule \boxed{\ \langle C_\eta, \operatorname{div} f_\eta \rangle_v = i(C.\operatorname{div} f)\ } = v\bigl(f_\eta(C_\eta)\bigr) valable si \operatorname{div}(f) est sans composante horizontale. le dernier membre est écrit sous le premier, relié par un signe = vertical ; la condition est écrite en marge droite de la formule.

b) Cas général. Soit A le modèle de Néron de \operatorname{Alb} X_\eta, alors par Néron on a

\begin{tikzcd} X' \arrow[rr, "\alpha"] \arrow[dr, no head] & & A \arrow[dl, no head] \\ & S & \end{tikzcd}

où ~~\alpha est défini~~ X' = X - x_0, où x_0 le pt singulier de X'. le feuillet s'arrête là ; le reste est vierge.

Quasi-fonctions de Néron-Weil

titre souligné de sa main, en tête du feuillet 34.

K corps muni d'un ens. « propre » M_K de val. abs., qu'on écrit sous forme logarithmique v(x). \overline{K} une clôture algébrique, M_{\overline{K}} l'ens. des val. absolues sur \overline{K} prolongeant celles de K. Si \Gamma est le groupe de Galois de \overline{K} sur K, on a M_{\overline{K}} / \Gamma \xrightarrow{\ \sim\ } M_K « algébrique » est biffé puis rétabli par un soulignement pointillé ; au-dessus, « séparable » est biffé. Un signe (*) cerclé, écrit juste sous cette formule, semble la désigner : il y est renvoyé plus bas.

Fonctions réelles sur X(\overline{K}) \times M_{\overline{K}}, notations

Soit X un préschéma sur K, \varphi : X(\overline{K}) \times M_{\overline{K}} \to \mathbf{R} une fonction, notée \varphi(P, v). Supposons que \varphi commute avec \Gamma : \varphi(\sigma P, \sigma v) = \varphi(P, v) alors ~~pour tout~~ si P \in X(\overline{K})^{\Gamma} = X(K^{p^{-\infty}}) (où K^{p^{-\infty}} la clôture parfaite de K) on a \varphi(\sigma P, \sigma v) = \varphi(P, v) \quad \text{pour tt } v, \sigma , donc en vertu de (*) \varphi(P, v) ne dépend que de v|K. Donc \varphi induit X(K^{p^{-\infty}}) \times M_K \to \mathbf{R} fonction X(K) \times M_K \to \mathbf{R}. dans la première formule, un X est surchargé.

Le même argument montre que pour toute K-extension finie L de \overline{K}/K, \varphi induit \varphi_L : X(L) \times M_L \to \mathbf{R} , ces fonctions \varphi_L ont une propriété de transitivité évidente \varphi_L(P, v|L) \simeq \varphi_{L'}(P, v) \qquad \left| \begin{array}{l} P \in X(L) \\ v \in M_{L'} \end{array} \right. et la donnée de \varphi équivaut au système des \varphi_L satisfaisant la condition de compatibilité précédente. On ~~dit~~ désigne par \widehat{\Phi}(X) [ou bien, en cas d'ambiguïté, \widehat{\Phi}(X/K, M_K)] l'ens. de ces \varphi. Notons que \widehat{\Phi}(X) est déterminé à isom. unique près, indépendamment du choix de la clôture alg. \overline{K}. On a, pour une extension finie K' de K, une application naturelle \widehat{\Phi}(X/K) \to \widehat{\Phi}(X_{K'}/K') ~~et pour X fixé~~, qui est bijective « finie » est ajouté au-dessus de la ligne.

si K'/K est radicielle, et plus généralement ~~telle que~~ si K'/K est quasi-galoisienne de groupe \pi, on a \widehat{\Phi}(X/K) \simeq \widehat{\Phi}(X_{K'}/K')^{\pi} .

Fonctions et parties M_K-bornées

~~Une fonction de X~~

Soit E un ens. muni d'une application \pi : E \to M_{\overline{K}}. Une fonction \varphi sur E est dite M_K-bornée (rel. à \pi) s'il existe un M_K-diviseur c tel que |\varphi(\xi)| \leqslant c(\pi(\xi)) i.e. s'il existe une partie finie S de M_K telle que \varphi(\xi) = 0 \quad \text{si } \pi(\xi)|K \notin S et si de plus \varphi est bornée.

Soit E = \bigcup_{v \in M_{\overline{K}}} E_v \times \{v\} une partie de X(\overline{K}) \times M_{\overline{K}}, on dit que E est M_K-bornée s'il est contenue dans une réunion finie d'ensembles de la forme E(U; x_1, \ldots, x_n; c) , où U est un ouvert X loc. de t.f. sur K l'expression de E comme réunion est écrite au-dessus de la ligne ; la note marginale, en oblique, est rattachée à « Soit ».

affine de X, \underline{x} = (x_1, \ldots, x_n) est un syst. de générateurs de son anneau affine sur K, c un M_K-diviseur, et E(\ \text{---}\ ) est l'ens. des (P, v) \in X(\overline{K}) \times M_{\overline{K}} tels que v(\underline{x}(P)) = \operatorname*{Inf}_{1 \leqslant i \leqslant n} v(x_i(P)) \geqslant c(v) [i.e. essentiellement il existe une partie finie S de M_K telle que E est formé des (P, v) \in U(\overline{K}) \times M_{\overline{K}} tels que

a)P entier pour \underline{x}, v si v|K \in M_K - S b)v(\underline{x}(P)) \geqslant -M si v|K \in S ].

« essentiellement » et « \in U(\overline{K}) \times M_{\overline{K}} » sont écrits au-dessus de la ligne.

N.B. La notion de partie bornée est inv. par ext. finie du corps de base. La fonctorialité pour X \to Y n'est pas claire, aussi il y aurait peut-être lieu de remplacer U \subset X par U \to X . Question : Dans le cas « global », y a-t-il une notion « M_K-bornée » de \mathbf{P}^r_K, celles des hauteurs bornées ? note marginale, écrite en oblique dans la marge gauche et reliée par un trait aux conditions a), b).

Fonctions admissibles

Une fonction \varphi : X(\overline{K}) \times M_{\overline{K}} \to \mathbf{R} est dite admissible si elle est M_K-bornée sur toute partie M_K-bornée. Comme les ens. \{P\} \times M_{\overline{K}} , \quad \text{où } P \in X(\overline{K}) , sont M_K-bornés, on voit que si pour tt P \in X(\overline{K}) fixé, la fonction \widetilde{\varphi}(P) = \bigl(v \mapsto \varphi(P, v)\bigr) : M_{\overline{K}} \to \mathbf{R} a la vertu d'être majorée en module par une fonction de la forme c(v), avec

c un M_K-diviseur positif. D'ailleurs, si P est rationnel sur l'ext. finie K' de K, alors \widetilde{\varphi}(P) est rat./K', i.e. se factorise en M_{\overline{K}} \to M_{K'} \to \mathbf{R} , où M_{K'} \to \mathbf{R} est induit par un K'-diviseur. Donc [posant \operatorname{Div}(M_{\overline{K}}) = \varinjlim_{K'/K} \operatorname{Div}(M_{K'}) K' ext. finie de \overline{K}/K] on trouve une application \widetilde{\varphi} : X(\overline{K}) \to \operatorname{Div}(M_{\overline{K}}) qui a au moins les vertus suivantes

a)\widetilde{\varphi} est compatible avec les op. de \Gamma = \operatorname{Gal} \overline{K}/K b)\widetilde{\varphi} transforme tte partie M_K-bornée F de X(\overline{K}) [i.e. une partie F telle que F \times M_{\overline{K}} soit M_K-bornée] en une partie bornée de M_{\overline{K}}-diviseurs [bornée au sens de la relation d'ordre, au sens : \exists\, c \in \operatorname{Div}(M_K) avec |\widetilde{\varphi}(P)| \leqslant c pour tt P \in F].

(Supposons que \varphi est rat./K, i.e. invariante par \operatorname{Gal} \overline{K}/K = \Gamma) « l'ext. finie » est ajouté au-dessus de la ligne. La note marginale est entre parenthèses en haut à droite du feuillet et se poursuit, cerclée, en haut à gauche ; elle est rattachée à « D'ailleurs ».

Exemples de \varphi admissibles

Soit f \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X^*), posons \varphi_f(P, v) = v(f(P)) \qquad \text{si } P \in X(\overline{K}),\ v \in M_{\overline{K}} . C'est une fonction invariante par \Gamma, je dis qu'elle est admissible. Il suffit de

que si X est affine, c \in \operatorname{Div}(M_K), K[X] engendré par x_1, \ldots, x_n, alors \varphi_f est M_K-bornée sur E[X; x_1, \ldots, x_n; c], i.e. \exists\, c' \in \operatorname{Div}(M_K) tel que \operatorname*{Inf}_i v(x_i(P)) \geqslant c(v) \Longrightarrow |v(f(P))| \leqslant c'(v) . ce passage, depuis « que si X est affine », est encadré et annulé par deux traits obliques ; la dernière formule est de plus barrée d'un trait horizontal.

Par fonctorialité, on est ramené au cas où X = \mathbf{G}_{m,K}, f la section canonique x, ~~et à vérifier~~ . Dans ce cas, ~~pour tt~~ une partie M_K-bornée de X(\overline{K}) \times M_{\overline{K}} = \overline{K}^* \times M_{\overline{K}} est contenue dans une partie de la forme E(M, S), S partie finie de M_K, ~~M \geqslant 0~~, M un nb > 0, formée des (x, v) tels que

a)v(x) = 0 i.e. x unité si v|K \notin S b) |v(x)| \leqslant M si v|K \in S.

« f la section canonique x », « = \overline{K}^* \times M_{\overline{K}} » et « i.e. x unité » sont écrits au-dessus des lignes.

Or on a \varphi_f(x, v) = v(x) d'où aussitôt la conclusion.

Faisceautisation

Pour tt ouvert U de X, soit \underline{\Phi}_X(U) l'ens. des fonctions admissibles \Gamma-invariantes sur U(\overline{K}) \times M_{\overline{K}}. Pour U variable, on trouve ainsi un préfaisceau \underline{\Phi}_X sur X, je dis que c'est un faisceau. Évidemment, c'est un préfaisceau « séparé », reste à montrer que si une fonction \varphi : X(\overline{K}) \times M_{\overline{K}} \to \mathbf{R} invariante par \Gamma est telle que l'on ait \varphi | U_i(\overline{K}) \times M_{\overline{K}} admissible pour tt i (où (U_i) est un recouvrement ouvert de X), alors \varphi est admissible. On est ramené au cas où X est affine, et il semble qu'on ait besoin de savoir que ~~tte~~ la réunion partie M_K-bornée de X(\overline{K}) \times M_{\overline{K}} le feuillet s'arrête au milieu de la phrase ; « la réunion » est écrit au-dessus de « tte », biffé. La lettre de \underline{\Phi}_X est celle de \widehat{\Phi} (feuillets 35-36), soulignée ; lue \Phi sous réserve.