Cote n° 129 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · Notes séminaire Montréal (Delale, Labute, Hakim, Messing) : copies de tapuscrits annotés (s.d.), notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [1970]
Édition de démonstration

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41tapuscrit, chapitre II, suite du n° 4.1 commencé page 40 : relations de l'anneau de Dieudonné (\(F\lambda = \lambda^{\sigma}F\), \(\lambda V = V\lambda^{\sigma}\), \(FV = VF = p\)), catégorie des modules de Dieudonné de longueur finie, objets \((M, F_M, V_M)\) avec \(M^{\sigma} = M \otimes_W (W,\sigma)\), et énoncé du Théorème 4.2 (Dieudonné) ; la page s'arrête en cours de phrase. Texte d'autrui, non transcrit. Interventions manuscrites, d'une main qu'on ne peut pas identifier d'après le feuillet (rien ne permet de dire si c'est celle de Grothendieck) : folio « II.13 » ; en marge une croix et le signe \(\otimes\), devant \(M^{\sigma} = M \otimes_W (W,\sigma)\), dont le \(\otimes\) dactylographié est repassé à l'encre

42même tapuscrit, fin de l'énoncé du Théorème 4.2 (\(D^*(F_{G/k}) = F_{D^*(G)}\), \(D^*(V_G) = V_{D^*(G)}\)), Corollaire 4.2.1 (caractérisation des groupes infinitésimaux, unipotents, bi-infinitésimaux, étales, de type multiplicatif par \(F\) et \(V\)), renvoi à Gabriel et Demazure, Groupes algébriques, réduction aux cas unipotent et multiplicatif (d'après 3.2), et n° 4.3 « Cas des groupes unipotents », 4.3.1 (définition de \(D^*(G)\), renvois à I, 3 et I, 4.2). Interventions manuscrites, main non identifiée : folio « II.14 » ; en tête de page, au-dessus des formules dactylographiées, une ligne écrite à l'encre qui achève la phrase restée ouverte au bas de la page 41 : « conduisant aux identifications » ; en marge, une croix

43même tapuscrit, action de \(F\) et \(V\) sur \(D^*(G)\), structure de \(\mathcal{D}\)-module, et n° 4.3.2 (isomorphisme \(D^*(G^{(p)}) \simeq (D^*(G))^{\sigma}\) compatible au Frobenius et à la Verschiebung ; renvoi à I, 5.2). Interventions manuscrites, main non identifiée : folio « II.15 » ; en marge « XX », devant « des morphismes correspondant sur \(W_n\) » : un s ajouté à la main à « correspondant », et « les » inséré par un signe d'insertion avant \(W_n\), ce qui donne « des morphismes correspondants sur les \(W_n\) » ; plus bas, en marge une croix et le signe \(\mapsto\), devant la ligne « \(u \mapsto u \circ F_{G/k}\) », dont le \(\mapsto\) est tracé à l'encre

44même tapuscrit, fin du n° 4.3.2 (renvoi à I, 5.3), cas unipotent (renvoi à 2.5.2) et Corollaire 4.3.3 (trois équivalences de catégories : \(p\)-groupes finis unipotents, étales, bi-infinitésimaux, et les sous-catégories correspondantes de modules de Dieudonné ; renvoi à 2.5). Seule intervention manuscrite : le folio « II.16 »

45même tapuscrit, n° 4.4 « Cas des groupes de type multiplicatif » : réduction, par la dualité de Cartier et le Corollaire 4.3.3, aux \(p\)-groupes étales, et dualité de Pontryagin \(G \mapsto \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{gr}}(G, \mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p)\). Interventions manuscrites, main non identifiée : folio « II.17 » ; en marge, devant cette dernière formule, une croix et \(\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p\), sans correction visible dans la ligne

46même tapuscrit, diagramme résumant le cas multiplicatif (dualités de Cartier et de Pontryagin, renvoi à 4.3.3) et n° 4.5 « Cas général » (\(G = G^{\mathrm{uni}} \times G^{\mathrm{mult}}\) d'après 3.2, \(D^*(G) = D^*(G^{\mathrm{uni}}) \times D^*(G^{\mathrm{mult}})\)). Interventions manuscrites, main non identifiée : folio « II.18 » ; en marge une croix, et dans la première ligne du diagramme (« formée des objets où \(V\) est objectif ») le mot « objectif » biffé d'un trait oblique, « bijectif » écrit au-dessous

47même tapuscrit, équivalence de la catégorie des modules de Dieudonné avec un produit de deux sous-catégories (\(V\) nilpotent, \(V\) bijectif), Lemme (décomposition \(M = M' \times M''\)) et sa preuve, puis §5 « Corollaires et compléments », Corollaire 5.1 (changement de base à une extension parfaite \(K\) de \(k\)). Interventions manuscrites, main non identifiée : folio « II.19 » ; en marge une croix, et dans la formule détachée du haut la flèche marquée \(\approx\) est tracée à l'encre

48même tapuscrit, preuve du Corollaire 5.1 (d'après Oda et Oort), Corollaire 5.2 (rang de \(G\) égal à \(p\) puissance la longueur de \(D^*(G)\)) et sa preuve (cas de \(\alpha_p\) et de \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\), renvoi à 2.4). Seule intervention manuscrite : le folio « II.20 », au crayon

49même tapuscrit, n° 5.3 « Remarques » : 5.3.1 (groupes formels et groupes de Barsotti-Tate, renvoi à III, 5.6), 5.3.2 (dualité \(D^*(G^*) \simeq \mathrm{Hom}_W(D^*(G), K/W)\), renvoi à Gabriel et Demazure) ; début du §6 « Annexe = Construction du foncteur quasi inverse de \(D^*\) ». Seule intervention manuscrite : le folio « II.21 »

50même tapuscrit, suite du §6 : n° 6.1 (le foncteur en groupes \(\mathbb{E}(M)\)) et n° 6.2 « \(\mathbb{E}(M)\) est représentable par un schéma affine » (polynômes \(P_N\), \(S_N\), relations i)–iii) définissant la \(k\)-algèbre \(A\)). Interventions manuscrites, main non identifiée : folio « II.22 » ; en marge une croix, devant la relation iii), où les quatre \(\lambda\) (dans \(T_{\lambda x}\) et dans les arguments de \(P_N\)) sont écrits à la main, et où les deux derniers \(x\) (dans \(T_{V^N(x)}\) et \(T_x\)) sont repassés à l'encre

51même tapuscrit, suite du n° 6.2 (factorisation par \(\mathbb{W}_{N+1}(S)\), isomorphisme fonctoriel \(\phi_S\) et son inverse) et début du n° 6.3 « Le schéma \(\mathbb{E}(M)\) est un \(p\)-groupe fini unipotent ». Interventions manuscrites, main non identifiée : folio « II.23 » ; en marge une croix, devant la ligne « Il est clair que \(\phi_S(u)\) est bien défini », dont le \(\phi\) est tracé ou repassé à l'encre

52même tapuscrit, suite du n° 6.3 : \(\mathbb{E}(M)\) est fini (système de générateurs), puis unipotent (renvois à 2.5.2 et I.5.3 ; diagramme commutatif reliant \(\phi_S\) et \(\phi_{S,\sigma}\), morphisme identifié à la Verschiebung). Seule intervention manuscrite : le folio « II.24 »

53même tapuscrit, n° 6.4 « Le foncteur \(\mathbb{E}\) est adjoint à gauche de \(D^*\) » : définition de \(\mathrm{Prim}(G)\), isomorphismes \(D^*(G) \simeq \mathrm{Prim}(G)\) et \(\mathrm{Hom}_k(G, \mathbb{E}(M)) = \mathrm{Hom}_{\mathcal{D}}(M, \mathbb{W}(G))\), diagramme commutatif pour \(\Delta\). Interventions manuscrites, main non identifiée : folio « II.25 » ; en marge « XX », devant la formule qui définit \(\mathrm{Prim}(G)\), où deux traits obliques biffent une parenthèse ouvrante en trop après « Prim » et l'accolade fermante en trop à la fin de la formule

54même tapuscrit, fin du n° 6.4 : calcul de \(\phi_S(u+u')\) et condition pour que \(\bar u\) soit un morphisme de groupes, d'où le noyau contenu dans \(\mathrm{Prim}(G)\) ; la page s'arrête à mi-hauteur, fin du chapitre II. Interventions manuscrites, main non identifiée : folio « II.26 » ; en marge une croix et le signe \(\otimes\), devant « \(\mathbb{W}_{N+1}(\Gamma(\mathcal{O}_G) \otimes \Gamma(\mathcal{O}_G))\) », où le signe dactylographié entre les deux facteurs est entouré à l'encre et souligné d'un trait

55page de titre dactylographiée : « Chapitre III. Groupes de Barsotti-Tate ». Aucun nom d'auteur ; aucune intervention manuscrite

56tapuscrit, chapitre III « Groupes de Barsotti-Tate », §1 « Notations et définitions préliminaires » : topologie sur Sch/S entre f.p.p.f. et f.p.q.c. (renvoi à SGA 3, IV, 6.3), groupes comme faisceaux en groupes commutatifs, \(\Lambda_n = \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}\), \(G(n)\), \(G(\infty)\) (renvoi à 5.1). Texte d'autrui, non transcrit. Seule intervention manuscrite, main non identifiée : le folio « III-1 », au crayon

57même tapuscrit, §2 « Platitude et critère de représentabilité » : n° 2.1 (platitude sur \(\Lambda_n\)), n° 2.2 Proposition (équivalences (a) à (g) pour un groupe \(G(n)\) annulé par \(p^n\)) et début de la démonstration. Seule intervention manuscrite : le folio « III-2 », au crayon

58même tapuscrit, suite de la démonstration de 2.2 : (b) \(\Leftrightarrow\) (c) par des triangles commutatifs, (c) \(\Rightarrow\) (a), (d) \(\Rightarrow\) (e) par un diagramme à lignes exactes, début de (e) \(\Leftrightarrow\) (f). Seule intervention manuscrite : le folio « III-3 », au crayon

59même tapuscrit, fin de la démonstration de 2.2 ((e) \(\Leftrightarrow\) (f), (e) \(\Rightarrow\) (g) \(\Rightarrow\) (c)) et début du n° 2.3 (représentabilité de \(G(n)\) par un schéma fini localement libre). Interventions manuscrites, main non identifiée : folio « III-4 », au crayon, précédé d'une marque pâle […] ; en marge une croix et \(j\), devant la formule \(\beta^i = j \circ \lambda^{n-2} \circ \dots \circ \lambda^i\), où le J majuscule dactylographié est biffé d'un trait oblique et un \(j\) cursif écrit au-dessus

60même tapuscrit, fin du n° 2.3 (critère de platitude fibre à fibre, renvoi à EGA IV, 11.3.1 ; renvoi à II, 1.6), n° 2.4 Proposition, et début du §3 « Groupes de Barsotti-Tate tronqués d'échelon \(n\) », n° 3.1 (condition supplémentaire pour \(n = 1\), renvoi à 3.3 ; morphismes \(F_{G_0/S_0}\) et \(V_{G_0}\)) ; la page s'arrête où finit le lot. Seule intervention manuscrite : le folio « III-5 », au crayon