tapuscrit, chapitre II, suite du n° 4.1 commencé page 40 : relations
de l'anneau de Dieudonné (F\lambda = \lambda^{\sigma}F,
\lambda V = V\lambda^{\sigma}, FV = VF = p), catégorie des modules de
Dieudonné de longueur finie, objets (M, F_M, V_M) avec
M^{\sigma} = M \otimes_W (W,\sigma), et énoncé du Théorème 4.2
(Dieudonné) ; la page s'arrête en cours de phrase. Texte d'autrui, non
transcrit. Interventions manuscrites, d'une main qu'on ne peut pas
identifier d'après le feuillet (rien ne permet de dire si c'est celle de
Grothendieck) : folio « II.13 » ; en marge une croix et le signe
\otimes, devant M^{\sigma} = M \otimes_W (W,\sigma), dont le
\otimes dactylographié est repassé à l'encre
même tapuscrit, fin de l'énoncé du Théorème 4.2
(D^*(F_{G/k}) = F_{D^*(G)}, D^*(V_G) = V_{D^*(G)}), Corollaire 4.2.1
(caractérisation des groupes infinitésimaux, unipotents,
bi-infinitésimaux, étales, de type multiplicatif par F et V), renvoi à
Gabriel et Demazure, Groupes algébriques, réduction aux cas
unipotent et multiplicatif (d'après 3.2), et n° 4.3 « Cas des groupes
unipotents », 4.3.1 (définition de D^*(G), renvois à I, 3 et I, 4.2).
Interventions manuscrites, main non identifiée : folio « II.14 » ; en
tête de page, au-dessus des formules dactylographiées, une ligne écrite à
l'encre qui achève la phrase restée ouverte au bas de la page 41 :
« conduisant aux identifications » ; en marge, une croix
même tapuscrit, action de F et V sur D^*(G), structure de
\mathcal{D}-module, et n° 4.3.2 (isomorphisme
D^*(G^{(p)}) \simeq (D^*(G))^{\sigma} compatible au Frobenius et à la
Verschiebung ; renvoi à I, 5.2). Interventions manuscrites, main non
identifiée : folio « II.15 » ; en marge « XX », devant « des morphismes
correspondant sur W_n » : un s ajouté à la main à « correspondant », et
« les » inséré par un signe d'insertion avant W_n, ce qui donne « des
morphismes correspondants sur les W_n » ; plus bas, en marge une croix
et le signe \mapsto, devant la ligne « u \mapsto u \circ F_{G/k} », dont
le \mapsto est tracé à l'encre
même tapuscrit, fin du n° 4.3.2 (renvoi à I, 5.3), cas unipotent
(renvoi à 2.5.2) et Corollaire 4.3.3 (trois équivalences de catégories :
p-groupes finis unipotents, étales, bi-infinitésimaux, et les
sous-catégories correspondantes de modules de Dieudonné ; renvoi à 2.5).
Seule intervention manuscrite : le folio « II.16 »
même tapuscrit, n° 4.4 « Cas des groupes de type multiplicatif » :
réduction, par la dualité de Cartier et le Corollaire 4.3.3, aux
p-groupes étales, et dualité de Pontryagin
G \mapsto \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{gr}}(G,
\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p). Interventions manuscrites, main non
identifiée : folio « II.17 » ; en marge, devant cette dernière formule, une
croix et \mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p, sans correction visible dans la
ligne
même tapuscrit, diagramme résumant le cas multiplicatif (dualités de
Cartier et de Pontryagin, renvoi à 4.3.3) et n° 4.5 « Cas général »
(G = G^{\mathrm{uni}} \times G^{\mathrm{mult}} d'après 3.2,
D^*(G) = D^*(G^{\mathrm{uni}}) \times D^*(G^{\mathrm{mult}})). Interventions
manuscrites, main non identifiée : folio « II.18 » ; en marge une croix, et
dans la première ligne du diagramme (« formée des objets où V est
objectif ») le mot « objectif » biffé d'un trait oblique, « bijectif »
écrit au-dessous
même tapuscrit, équivalence de la catégorie des modules de Dieudonné
avec un produit de deux sous-catégories (V nilpotent, V bijectif),
Lemme (décomposition M = M' \times M'') et sa preuve, puis §5
« Corollaires et compléments », Corollaire 5.1 (changement de base à une
extension parfaite K de k). Interventions manuscrites, main non
identifiée : folio « II.19 » ; en marge une croix, et dans la formule
détachée du haut la flèche marquée \approx est tracée à l'encre
même tapuscrit, preuve du Corollaire 5.1 (d'après Oda et Oort),
Corollaire 5.2 (rang de G égal à p puissance la longueur de D^*(G))
et sa preuve (cas de \alpha_p et de \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}, renvoi à
2.4). Seule intervention manuscrite : le folio « II.20 », au crayon
même tapuscrit, n° 5.3 « Remarques » : 5.3.1 (groupes formels et
groupes de Barsotti-Tate, renvoi à III, 5.6), 5.3.2 (dualité
D^*(G^*) \simeq \mathrm{Hom}_W(D^*(G), K/W), renvoi à Gabriel et
Demazure) ; début du §6 « Annexe = Construction du foncteur quasi inverse
de D^* ». Seule intervention manuscrite : le folio « II.21 »
même tapuscrit, suite du §6 : n° 6.1 (le foncteur en groupes
\mathbb{E}(M)) et n° 6.2 « \mathbb{E}(M) est représentable par un
schéma affine » (polynômes P_N, S_N, relations i)–iii) définissant la
k-algèbre A). Interventions manuscrites, main non identifiée : folio
« II.22 » ; en marge une croix, devant la relation iii), où les quatre
\lambda (dans T_{\lambda x} et dans les arguments de P_N) sont écrits
à la main, et où les deux derniers x (dans T_{V^N(x)} et T_x) sont
repassés à l'encre
même tapuscrit, suite du n° 6.2 (factorisation par
\mathbb{W}_{N+1}(S), isomorphisme fonctoriel \phi_S et son inverse) et
début du n° 6.3 « Le schéma \mathbb{E}(M) est un p-groupe fini
unipotent ». Interventions manuscrites, main non identifiée : folio
« II.23 » ; en marge une croix, devant la ligne « Il est clair que
\phi_S(u) est bien défini », dont le \phi est tracé ou repassé à
l'encre
même tapuscrit, suite du n° 6.3 : \mathbb{E}(M) est fini (système
de générateurs), puis unipotent (renvois à 2.5.2 et I.5.3 ; diagramme
commutatif reliant \phi_S et \phi_{S,\sigma}, morphisme identifié à la
Verschiebung). Seule intervention manuscrite : le folio « II.24 »
même tapuscrit, n° 6.4 « Le foncteur \mathbb{E} est adjoint à
gauche de D^* » : définition de \mathrm{Prim}(G), isomorphismes
D^*(G) \simeq \mathrm{Prim}(G) et
\mathrm{Hom}_k(G, \mathbb{E}(M)) = \mathrm{Hom}_{\mathcal{D}}(M,
\mathbb{W}(G)), diagramme commutatif pour \Delta. Interventions
manuscrites, main non identifiée : folio « II.25 » ; en marge « XX »,
devant la formule qui définit \mathrm{Prim}(G), où deux traits obliques
biffent une parenthèse ouvrante en trop après « Prim » et l'accolade
fermante en trop à la fin de la formule
même tapuscrit, fin du n° 6.4 : calcul de \phi_S(u+u') et
condition pour que \bar u soit un morphisme de groupes, d'où le noyau
contenu dans \mathrm{Prim}(G) ; la page s'arrête à mi-hauteur, fin du
chapitre II. Interventions manuscrites, main non identifiée : folio
« II.26 » ; en marge une croix et le signe \otimes, devant
« \mathbb{W}_{N+1}(\Gamma(\mathcal{O}_G) \otimes
\Gamma(\mathcal{O}_G)) », où le signe dactylographié entre les deux
facteurs est entouré à l'encre et souligné d'un trait
page de titre dactylographiée : « Chapitre III. Groupes de
Barsotti-Tate ». Aucun nom d'auteur ; aucune intervention manuscrite
tapuscrit, chapitre III « Groupes de Barsotti-Tate », §1
« Notations et définitions préliminaires » : topologie sur Sch/S entre
f.p.p.f. et f.p.q.c. (renvoi à SGA 3, IV, 6.3), groupes comme faisceaux en
groupes commutatifs, \Lambda_n = \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}, G(n),
G(\infty) (renvoi à 5.1). Texte d'autrui, non transcrit. Seule
intervention manuscrite, main non identifiée : le folio « III-1 », au
crayon
même tapuscrit, §2 « Platitude et critère de représentabilité » :
n° 2.1 (platitude sur \Lambda_n), n° 2.2 Proposition (équivalences (a)
à (g) pour un groupe G(n) annulé par p^n) et début de la
démonstration. Seule intervention manuscrite : le folio « III-2 », au
crayon
même tapuscrit, suite de la démonstration de 2.2 : (b)
\Leftrightarrow (c) par des triangles commutatifs, (c) \Rightarrow
(a), (d) \Rightarrow (e) par un diagramme à lignes exactes, début de
(e) \Leftrightarrow (f). Seule intervention manuscrite : le folio
« III-3 », au crayon
même tapuscrit, fin de la démonstration de 2.2 ((e) \Leftrightarrow
(f), (e) \Rightarrow (g) \Rightarrow (c)) et début du n° 2.3
(représentabilité de G(n) par un schéma fini localement libre).
Interventions manuscrites, main non identifiée : folio « III-4 », au
crayon, précédé d'une marque pâle ; en marge une croix et j,
devant la formule \beta^i = j \circ \lambda^{n-2} \circ \dots \circ
\lambda^i, où le J majuscule dactylographié est biffé d'un trait oblique
et un j cursif écrit au-dessus
même tapuscrit, fin du n° 2.3 (critère de platitude fibre à fibre,
renvoi à EGA IV, 11.3.1 ; renvoi à II, 1.6), n° 2.4 Proposition, et début
du §3 « Groupes de Barsotti-Tate tronqués d'échelon n », n° 3.1
(condition supplémentaire pour n = 1, renvoi à 3.3 ; morphismes
F_{G_0/S_0} et V_{G_0}) ; la page s'arrête où finit le lot. Seule
intervention manuscrite : le folio « III-5 », au crayon