Cote n° 128, pages 21–31

Cote n° 128 · batch 2 · pages 21–31 · Transcription · Descente non plate. Modules formels. Cf Notes Murre-Levelt : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Descentes » (126 à 133) est daté [avant 1970]
Édition de démonstration

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Descente le long des voisinages infinitésimaux (suite)

titre de l'éditeur, qui ne figure pas sur les feuillets ; le lemme 1 et le corollaire 1 auxquels renvoient les pages 21 et 22 précèdent ce lot et n'y figurent pas

Corollaire 2. Sous les conditions du lemme 1/, soit \(n \geqslant 1\) un entier, \(\mathbb{M}_n\) le faisceau « matrices carrées de degré \(n\) à coeff. dans […] », \(\mathrm{Gl}_n = \mathbb{M}_n^{*}\), alors on a une bijection respectant l'unité \[\mathrm{Ker}\bigl(H^1(A'/A, \mathrm{Gl}_n) \to H^1(A'_0/A_0, \mathrm{Gl}_n)\bigr) \to \mathrm{Ker}\bigl(H^1(A'/A, \mathbb{M}_n) \to H^1(A'_0/A_0, \mathbb{M}_n)\bigr) .\] Par suite, si \(H^1(A'/A, \mathrm{Gl}_n) = e\), alors \(H^1(A'_0/A_0, \mathrm{Gl}_n) = \{e\}\), \(H^1(A'_0/A_0, \mathbb{M}_n) = \{e\}\), on a une bijection \[H^1(A'/A, \mathrm{Gl}_n) \xrightarrow{\ \sim\ } H^1(A'/A, \mathbb{M}_n) = \mathbb{M}_n\bigl(H^1(A'/A)\bigr)\] donc pour que \(H^1(A'/A, \mathrm{Gl}_n) = \{e\}\), il f. et s. que \(H^1(A'/A, G_a) = \{e\}\). sous « \(H^1(A'_0/A_0, \mathbb{M}_n) = \{e\}\) » une accolade et une double flèche verticale renvoient à « \(H^1(A'_0/A_0) = 0\) » ; devant \(\mathbb{M}_n(H^1(A'/A))\) un symbole biffé, illisible

Démonstration. Les deux membres sont égaux respectivement à : \[H^1\bigl(Z C^{\cdot}(A'/A, \mathbb{M}_n)\bigr) / \mathrm{Gl}(n, C_0)\] et à : \[H^1\bigl(Z C^{\cdot}(A'/A, \mathbb{M}_n)\bigr) / \mathbb{M}_n(C_0)\] le symbole lu \(Z\) devant \(C^{\cdot}\) est douteux dans les trois occurrences. Dans la preuve du lemme 1 (pages 19–20, lot 1), le même complexe s'écrit nettement \(I\,C^{\cdot}(A'/A)\), l'idéal \(I\) fois le complexe de cochaînes : la lecture \(I\) est donc probable ici aussi, à confronter aux pages et les opérations de \(\mathrm{Gl}(n, C_0)\) sur \(H^1(Z C^{\cdot}(A'/A, \mathbb{M}_n))\) sont induites par celles de \(\mathbb{M}_n(C_0)\). De plus un élément de \(\mathbb{M}_n(C_0)\) provenant de \(\mathbb{M}_n(B)\) opère trivialement. Donc il suffit […] […] […] [en] utilisant l'hypothèse […] que « utilisant l'hypothèse » en interligne ; la phrase s'arrête sur le trait qui sépare la note de bas de page

/ On suppose que \(\mathbb{M}_n(C_0) = \mathbb{M}_n(C_0)^{*} + \mathrm{Im}\bigl(\mathbb{M}_n(B) \to \mathbb{M}_n(C_0)\bigr)\) [ce qui est vérifié sous les conditions signalées en N.B. au lemme 1] note de bas de page de sa main, sous un trait, appelée par la barre oblique placée après « lemme 1 » dans l'énoncé ; devant « Im » un mot noirci

Corollaire 3. Soit \(N\) un ens. d'indices, et supposons \(E = A^{(N)}\), et supposons que l'on ait \[\mathrm{End}_{C_0}(E_{C_0}) = \mathrm{Aut}_{C_0}(E_{C_0}) + \mathrm{Im}\bigl(\mathrm{End}_{B_0}(E_{B_0}) \to \mathrm{End}_{C_0}(E_{C_0})\bigr) .\] Sous ces conditions, on a une bijection can., respectant les éléments unités, \[\mathrm{Ker}\bigl(H^1(A'/A, \underline{\mathrm{Aut}}(E)) \to H^1(A'_0/A_0, \underline{\mathrm{Aut}}(E))\bigr) \to\] \[\mathrm{Ker}\bigl(H^1(A'/A, \underline{\mathrm{End}}(E)) \to H^1(A'_0/A_0, \underline{\mathrm{End}}(E))\bigr)\] \[\simeq \Bigl[\bigl(\mathrm{Ker}(H^1(A'/A) \to H^1(A'_0/A_0))\bigr)^{(N)}\Bigr]^{N}\] le \(\simeq\) est écrit verticalement sous le second noyau ; les exposants \((N)\) et \(N\) sont repassés à l'encre foncée

[Donc le noyau du premier nous est connu [i.e. les données de descente sur \(E_{A'}\) qui sont triviales sur \(E_{A'_0}\) […] [et] donnant un Module libre \(\simeq E_{C_0}\) sur \(C_0\)], ses éléments sont effectives et donnent un Module libre \(\simeq E_B\) sur \(B\)] lesquels […] … \(\mathrm{Ker}(H^1(A'/A) \to H^1(A'_0/A_0)) = 0\)] « telles que sur \(E_{A'_0}\) » (lecture douteuse du premier mot) et un mot au-dessus de « effectives », biffé, sont en interligne ; les crochets ne se referment pas tous nettement

En particulier, si \(H^1(A'_0/A_0, \underline{\mathrm{Aut}}(E)) = \{e\}\) et \(H^1(A'_0/A_0) = 0\), on a une bijection \[H^1(A'/A, \underline{\mathrm{Aut}}(E)) \simeq H^1(A'/A, \underline{\mathrm{End}}(E)) \simeq \Bigl[H^1(A'/A)^{(N)}\Bigr]^{N} .\] dans \(H^1(A'/A, \underline{\mathrm{End}}(E))\) les indices \(0\) de \(A'_0/A_0\) semblent effacés par des pâtés d'encre ; le second \(\simeq\) est vertical

Démonstration. Même principe que précédemment, en utilisant les suites exactes de groupes simpliciaux

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
e \arrow[r] & C^{\cdot}(A'/A, \underline{\mathrm{Hom}}(E, IE)) \arrow[r] \arrow[d] & C^{\cdot}(A'/A, \underline{\mathrm{Aut}}(E)) \arrow[r] \arrow[d] & C^{\cdot}(A'_0/A_0, \underline{\mathrm{Aut}}(E)) \arrow[r] & e \\
0 \arrow[r] & C^{\cdot}(A'/A, \underline{\mathrm{Hom}}(E, IE)) \arrow[r] & C^{\cdot}(A'/A, \underline{\mathrm{End}}(E)) \arrow[r] & C^{\cdot}(A'_0/A_0, \underline{\mathrm{End}}(E)) \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}

la flèche verticale de droite n'est pas dessinée sur la page ; les deux autres le sont

Lemme 2. Soit \(B\) un anneau ½ local, \(C\) une algèbre finie sur \(B\), telle que \(C\) soit ½ local, et les idéaux maximaux […] \(\mathfrak{n}\) de \(C\) sont induits par les idéaux maximaux […] \(\mathfrak{m}\) de \(B\). Supposons les conditions suivantes satisfaites :

(i)Les corps \(k(\mathfrak{m})\) sont infinis.
(ii)Deux idéaux maximaux \(\mathfrak{n}, \mathfrak{n}'\) distincts de \(C\) induisent des idéaux maximaux \(\mathfrak{m}, \mathfrak{m}'\) distincts de \(B\), et pour tout \(\mathfrak{n}\), l'extension résiduelle \(k(\mathfrak{n})/k(\mathfrak{m})\) est radicielle (p.ex. \(C\) fini et radiciel sur \(B\) ½ local).

Alors pour tout \(n \geqslant 1\), et tout élément \(u \in \mathbb{M}_n(C)\), \(\exists\, v \in \mathbb{M}_n(B)\) tel que \(u + \varphi(v) \in \mathbb{M}_n(C)^{*}\). « \(\mathfrak{n}\) » et « \(\mathfrak{m}\) » sont écrits en interligne au-dessus de deux mots biffés

Dém. Soient \(\mathfrak{m}_i\) (resp. \(\mathfrak{n}_i\)) les idéaux maximaux de \(B\) […] […] […] de \(C\). […] […] […] \(\to\) fini ; […] […] donc par th. […] […] […] d'éléments \(v_i \in \mathbb{M}_n(k(\mathfrak{m}_i))\), il existe un \(v \in \mathbb{M}_n(B)\) qui les donne. D'ailleurs pour \(u' \in \mathbb{M}_n(C)\), le fait que ce soit inversible ne dépend que de l'inversibilité de ses images dans \(\mathbb{M}_n(C/\mathrm{rad}\,C)\) ! Cela nous ramène au cas où \(C\) est un produit de corps, et \(B\) aussi. On […] […] au cas \(B\) un corps, \(B = k\).

[…] — \(v \in \mathrm{End}_C(E_C)\)

Il existe \(u \in \mathrm{End}_B(E)\) tel que \(v + \struck{\ill{}}\, u_C\) soit inversible.

Dém. Si \(E \simeq B^{(N)}\), […] […] \(\mathrm{End}_B(E) \simeq E^{N}\), donc la remarque […] l'élément \(u \in \underline{\mathrm{End}}(E)(B)\) […] […] \(\underline{\mathrm{End}}(E)(k(\mathfrak{m}_i))\) […] […] [ […] […] […] : […] […] […] \(\alpha_i \in E(k(\mathfrak{m}_i))\), et […] […] […], […] : \(E \simeq B^{(I)}\), […] […] […] […] […] dans \(k(\mathfrak{m}_i)\) […] \(\Rightarrow\) ]. […] […], […] ? […] l'hypothèse […] […] […]\((C)\) […], […] […] […] […] […] […]\((C)\). Car […] […] […] […] […] […] \(C\) […] \(B\), […] […] […] […] […], […] : l'hypothèse […], […] […] […] […] […] \(u = \mathrm{id}_E - v\). […] […] […] \(B \rightrightarrows C\), […] \(B\) […] […] ; […] (i), […] […] \(u = \lambda\, \mathrm{id}_E\) […] page très rapide ; trois lignes à la fin de la démonstration sont biffées d'un trait ; au-dessus de l'une d'elles un \(C\) en interligne

N.B. Il faudrait dégager la possibilité d'une extension résiduelle transcendante \(k(t)\), qui fera […] […] […] en (i) …

Théorème. \(A\) anneau artinien ½ local noethérien, […] \(\mathfrak{m}\) son radical, \(A'\) une algèbre finie sur \(A\). Pour tout entier \(n\), on pose \(A_n = A/\mathfrak{m}^{n+1}\), \(A'_n = A'/\mathfrak{m}^{n+1}A' = A' \otimes_A A_n\). « ½ local noethérien » est écrit au-dessus d'« artinien », biffé

[a) Soit \(m\) un entier \(\geqslant 1\). Les conditions suivantes sont équivalentes

(i)\(\forall n\), on a \(H^1(A'_n/A_n) = 0\)
(ii\(_1\))\(\forall n\), on a \(H^1(A'_n/A_n, \mathrm{Gl}_1) = 0\)
(ii\(_m\))\(\forall n\) on a \(H^1(A'_n/A_n, \mathrm{Gl}(m)) = \{e\}\)
(iii)\(\forall n\), désignant par \(B^{(n)}\) l'anneau \(H^0(A'_n/A_n)\), le morphisme \(\operatorname{Spec} A'_n \to \operatorname{Spec} B^{(n)}\) est un morphisme de descente effective pour la catégorie fibrée des Modules qu. cohér. / plats.

un crochet vertical embrasse les deux lignes « a) Soit \(m\)… » et « \(A'\otimes_A A_n\) » ; « qu. cohér. » et « plats » sont écrits l'un au-dessus de l'autre, séparés par un trait, comme une fraction

b) Ces conditions impliquent

(i)\(H^1(A'/A) = 0\)
(ii)\(H^1(A'/A, \mathrm{Gl}_m) = 0\), plus généralement pour tout entier \(m\) \(H^1(A'/A, \mathrm{Gl}(m)) = \{e\}\)
(iii)Désignant par \(B\) l'anneau \(H^0(A'/A)\), le morphisme \(\operatorname{Spec}(A') \to \operatorname{Spec}(B)\) est un morphisme de descente effective pour la catégorie des modules plats de type fini.

« de type fini » est souligné et entouré au crayon

c) Supposons \(A\) artinien, et les conditions de a) satisfaites. Alors pour tout \(B\)-préschéma \(X\) plat sur \(B\), posant \(X' = X \otimes_B A'\), le morphisme \(X' \to X\) est un morphisme de descente effective pour la catégorie fibrée des Modules plats quasi-cohérents. « artinien » est entouré au crayon

N.B. Dans a) les hypothèses […] […] […] […] […] […] […] […] […] [\(A\) anneau […] […] local noethérien quelconque, \(A'\) […] \(A\) …] écrit en diagonale dans la marge gauche, de bas en haut, face à (ii)–(iii) de a) ; un mot souligné d'un double trait. Plus bas, dans la même marge et en diagonale, un mot […] qui semble relié à la ligne « morphisme de descente » de (iii)

(a) Démonstration. Par les lemmes 1 et 2, l'équivalence des conditions (i) (ii) (ii\(_m\)) (iii) est immédiate par récurrence sur \(n\), compte tenu que (i) elle est vraie pour \(n = 0\) (descente fid. plate) (ii) les conditions \[\mathbb{M}_m(B^{(n)}) = \mathbb{M}_m(B^{(n)})^{*} + \mathrm{Im}\,\mathbb{M}_m(B^{(n)})\] relatif à sont satisfaites pour tout \(n\), en vertu du lemme 2 (ii) […] […] et de la théorie des anneaux artiniens … au-dessus de « et 2 », « cor. 2 » en interligne, relié par une accolade ; la seconde égalité est écrite de façon très serrée et son dernier terme est douteux

La condition (ii\(_m\)) signifie que \(\forall n\), \(\operatorname{Spec} A'_n \to \operatorname{Spec} B^{(n)}\) est un morphisme de descente effective […] pour la catégorie des Modules qu. coh. libres de type fini rang fini. Cela signifie aussi que tout \(A'_n\)-module \(A'^{\,m}_n\) muni d'une donnée de descente relative à \(A'_n/B^{(n)}\), est effectif et donne un module […] \(E_{B^{(n)}}\) sur \(B^{(n)}\) (qui […] […] après changement de base \(B^{(n)} \to A'_n\)). […] […] […] […] […] […] […] « rang fini » en interligne au-dessus de « type fini », biffé ; la parenthèse est en interligne, reliée par un trait

Je dis que les modules descendus […] […] […] […] […], […] […] \(\mathrm{Ker}(B^{(n)})\) l'est, […] […] […] […] […] […] […] […], […] corps, […] […] […] […] […] … […] : […] en marge gauche, séparés du texte par un trait vertical, deux mots de sa main ; « de corps, puis » en interligne au-dessus d'un mot

Donc il est clair que (iii) \(\Longrightarrow\) (ii\(_m\)). Pour voir que

(iii) (i) \(\Longrightarrow\) (iii) pour […] […] donné ; [ […] […] que (i) est stable par changement de base, et (iii) est invariant par changement plat fid. plat de la base. Cela nous ramène au cas où les extensions résiduelles de \(A'/A\) sont triviales. Mais […] \(A = A_n = \underline{B}^{(n)}\), et on peut supposer [\(A\) local [en le remplaçant par ses localisés]. Alors on sait que \(E_{A'_n}\) plat sur \(A'_n\) est muni d'une donnée de descente, […] relative à \(A'_n/A_n\) [i.e. : \(A'_n/B^{(n)}\)] un crochet ouvert devant « […] […] que (i) » ; « fid. » en interligne au-dessus de « plat », biffé ; « \(A = A_n = B^{(n)}\), et » en interligne, relié par un trait

[…] \(A'_n\)-module libre [car il est […] […] […] […] sur un anneau local […] […] […] défini par […] […] \(\ill{}\), on peut […] ramener au cas […] la spectre d'un corps, […] […] […] […] […] […] […] de descente.]

Je dis que ces effectivités par \(A'_n/B^{(n)}\) ; donc celles […] […] […] […] […] sur \(B^{(n)}\) : cela résulte des lemme 1, cor. 3, compte tenu du lemme 2.

On a ainsi prouvé a).

(b) Pour prouver (i), prenons la formation de \(H^1(A'/A)\) commutant : l'extension plate de la base, on peut supposer \(A\) complet. Alors […]

\[C^{\cdot}(A'/A) = \varprojlim_n C^{\cdot}(A'_n/A_n) ,\] donc en vertu de M.L. on a \[H^1(A'/A) = H^1\bigl(C^{\cdot}(A'/A)\bigr) = \varprojlim H^1\bigl(C^{\cdot}(A'_n/A_n)\bigr) = \varprojlim_n H^1(A'_n/A_n) = 0 .\]

On peut aussi déduire formellement (i) de (iii) sans difficulté (en faisant \(m = 1\), et \(m = 2\)).

(ii) Vm résulte de (iii), par le même argument que dans a).

(iii) […] On voit comme dans (i) que l'on peut supposer \(A\) local complet, et évidemment Enfin, on On peut aussi supposer \(A = B\), et \(A\) local. Soit \(E' = E_{A'}\) plat de type fini sur \(A'\), muni d'une donnée de descente, et soit \[E = H^0_D(A'/A, E') .\] Il faut prouver 1°) \(E\) plat sur \(A\) 2°) \(E \otimes_A A' \to E'\) est un isomorphisme. Or on a \[C^{\cdot}_D(A'/A, E') \simeq \varprojlim_n C^{\cdot}_D(A'_n/A_n, E'_n)\] d'où par M.L. \[E = H^0_D(A'/A, E') = \varprojlim_n H^0(A'_n/A_n, E'_n) .\] dans « \(E' = E_{A'}\) », l'indice de \(E'\) est noirci

Posons \[E^{(n)} = H^0(A'_n/A_n, E'_n)\] alors grâce à l'hypothèse a), sous la forme (iii), on sait que \(E^{(n)}\) est un \(B^{(n)}\)-module plat de t.f., et \(E^{(n)} \otimes_{B^{(n)}} A'_n \to E'_n\) est un isom.

Moyennant un lemme facile de passage à la limite, on en déduit que \(E = \varprojlim E^{(n)}\) est plat sur \(A = \varprojlim_n B^{(n)}\). Pour voir enfin que \(E \otimes_A A' \to E'\) est un isomorphisme, on note que les deux membres sont respectivement les \(\varprojlim\) des \(E^{(n)} \otimes_{B^{(n)}} A'_n\) et des \(E'_n = E' \otimes_A A'_n\), et l'homomorphisme est la \(\varprojlim\) des isomorphismes \(E^{(n)} \otimes_{B^{(n)}} A'_n \to E'_n\), donc est un isomorphisme.

(c) Montrons que \(X' \to X\) est un morphisme de descente pour la catégorie en question, puis que c'est un morphisme de descente effective, […] […] [De plus, on peut supposer évidemment \(A = B\) […], […] […] […] […] […] pour les \(A_n\) …, […] l'hypothèse sous la forme a) (iii) … ]

\[A \longrightarrow A' \rightrightarrows A''\] ligne isolée au bas de la page, sans texte

feuillet d'une autre main, écrit proprement en anglais, sans intervention de Grothendieck repérée ; vu le titre du dossier, il s'agit vraisemblablement d'une page des notes Murre–Levelt, mais rien sur la feuille n'en nomme l'auteur. Pour \(A' = k + V = k[X_1, \ldots, X_n]/(X_i)^2\) et \(I\) un « equivalence ideal » de \(A' \otimes_k A'\), engendré par des \(F_\alpha(X, Y) = L'_\alpha(X) + L''_\alpha(Y) + Q_\alpha(X, Y)\) (parties linéaires et bilinéaire), la condition \(p_{13}(I) \subset p_{12}(I) + p_{23}(I)\) fournit des \(G_{\alpha\beta}\), \(H_{\alpha\gamma}\) tels que \(F_\alpha(X, Z) \equiv \sum_\beta F_\beta(X, Y) G_{\alpha\beta}(X, Y, Z) + \sum_\gamma F_\gamma(Y, Z) H_{\alpha\gamma}(X, Y, Z)\) modulo les carrés ; on en tire une expression de \(Q_\alpha(X, Z)\) par des formes linéaires \(g_{\alpha\beta}\), \(h_{\alpha\gamma}\), on remplace les générateurs par \(F'_\alpha = F_\alpha - \sum_\beta F_\beta\, g_{\alpha\beta} - \ldots\), qui engendrent encore \(I\), et, si \(I \subset \Delta\), on conclut que \(F'_\alpha(X, Y) = L'_\alpha(X) - L'_\alpha(Y)\)