Fonds Grothendieck, cote n° 128, pages 21–31

Descente le long des voisinages infinitésimaux (suite)

titre de l'éditeur, qui ne figure pas sur les feuillets ; le lemme 1 et le corollaire 1 auxquels renvoient les pages 21 et 22 précèdent ce lot et n'y figurent pas

Corollaire 2. Sous les conditions du lemme 1/, soit n \geqslant 1 un entier, \mathbb{M}_n le faisceau « matrices carrées de degré n à coeff. dans », \mathrm{Gl}_n = \mathbb{M}_n^{*}, alors on a une bijection respectant l'unité \mathrm{Ker}\bigl(H^1(A'/A, \mathrm{Gl}_n) \to H^1(A'_0/A_0, \mathrm{Gl}_n)\bigr) \to \mathrm{Ker}\bigl(H^1(A'/A, \mathbb{M}_n) \to H^1(A'_0/A_0, \mathbb{M}_n)\bigr) . Par suite, si ~~H^1(A'/A, \mathrm{Gl}_n) = e, alors~~ H^1(A'_0/A_0, \mathrm{Gl}_n) = \{e\}, H^1(A'_0/A_0, \mathbb{M}_n) = \{e\}, on a une bijection H^1(A'/A, \mathrm{Gl}_n) \xrightarrow{\ \sim\ } H^1(A'/A, \mathbb{M}_n) = \mathbb{M}_n\bigl(H^1(A'/A)\bigr) donc pour que H^1(A'/A, \mathrm{Gl}_n) = \{e\}, il f. et s. que H^1(A'/A, G_a) = \{e\}. sous « H^1(A'_0/A_0, \mathbb{M}_n) = \{e\} » une accolade et une double flèche verticale renvoient à « H^1(A'_0/A_0) = 0 » ; devant \mathbb{M}_n(H^1(A'/A)) un symbole biffé, illisible

Démonstration. Les deux membres sont égaux respectivement à : H^1\bigl(Z C^{\cdot}(A'/A, \mathbb{M}_n)\bigr) / \mathrm{Gl}(n, C_0) et à : H^1\bigl(Z C^{\cdot}(A'/A, \mathbb{M}_n)\bigr) / \mathbb{M}_n(C_0) le symbole lu Z devant C^{\cdot} est douteux dans les trois occurrences. Dans la preuve du lemme 1 (pages 19–20, lot 1), le même complexe s'écrit nettement I\,C^{\cdot}(A'/A), l'idéal I fois le complexe de cochaînes : la lecture I est donc probable ici aussi, à confronter aux pages et les opérations de \mathrm{Gl}(n, C_0) sur H^1(Z C^{\cdot}(A'/A, \mathbb{M}_n)) sont induites par celles de \mathbb{M}_n(C_0). De plus un élément de \mathbb{M}_n(C_0) provenant de \mathbb{M}_n(B) opère trivialement. Donc il suffit en utilisant l'hypothèse ~~que~~ « utilisant l'hypothèse » en interligne ; la phrase s'arrête sur le trait qui sépare la note de bas de page

/ On suppose que \mathbb{M}_n(C_0) = \mathbb{M}_n(C_0)^{*} + \mathrm{Im}\bigl(\mathbb{M}_n(B) \to \mathbb{M}_n(C_0)\bigr) [ce qui est vérifié sous les conditions signalées en N.B. au lemme 1] note de bas de page de sa main, sous un trait, appelée par la barre oblique placée après « lemme 1 » dans l'énoncé ; devant « Im » un mot noirci

Corollaire 3. Soit N un ens. d'indices, et supposons E = A^{(N)}, et supposons que l'on ait \mathrm{End}_{C_0}(E_{C_0}) = \mathrm{Aut}_{C_0}(E_{C_0}) + \mathrm{Im}\bigl(\mathrm{End}_{B_0}(E_{B_0}) \to \mathrm{End}_{C_0}(E_{C_0})\bigr) . Sous ces conditions, on a une bijection can., respectant les éléments unités, \mathrm{Ker}\bigl(H^1(A'/A, \underline{\mathrm{Aut}}(E)) \to H^1(A'_0/A_0, \underline{\mathrm{Aut}}(E))\bigr) \to \mathrm{Ker}\bigl(H^1(A'/A, \underline{\mathrm{End}}(E)) \to H^1(A'_0/A_0, \underline{\mathrm{End}}(E))\bigr) \simeq \Bigl[\bigl(\mathrm{Ker}(H^1(A'/A) \to H^1(A'_0/A_0))\bigr)^{(N)}\Bigr]^{N} le \simeq est écrit verticalement sous le second noyau ; les exposants (N) et N sont repassés à l'encre foncée

[Donc le noyau du premier nous est connu [i.e. les données de descente sur E_{A'} qui sont triviales sur E_{A'_0} et donnant un Module libre ~~\simeq E_{C_0}~~ sur C_0], ses éléments sont effectives et donnent un Module libre \simeq E_B sur B] lesquels … \mathrm{Ker}(H^1(A'/A) \to H^1(A'_0/A_0)) = 0] « telles que sur E_{A'_0} » (lecture douteuse du premier mot) et un mot au-dessus de « effectives », biffé, sont en interligne ; les crochets ne se referment pas tous nettement

En particulier, si H^1(A'_0/A_0, \underline{\mathrm{Aut}}(E)) = \{e\} et H^1(A'_0/A_0) = 0, on a une bijection H^1(A'/A, \underline{\mathrm{Aut}}(E)) \simeq H^1(A'/A, \underline{\mathrm{End}}(E)) \simeq \Bigl[H^1(A'/A)^{(N)}\Bigr]^{N} . dans H^1(A'/A, \underline{\mathrm{End}}(E)) les indices 0 de A'_0/A_0 semblent effacés par des pâtés d'encre ; le second \simeq est vertical

Démonstration. Même principe que précédemment, en utilisant les suites exactes de groupes simpliciaux

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] e \arrow[r] & C^{\cdot}(A'/A, \underline{\mathrm{Hom}}(E, IE)) \arrow[r] \arrow[d] & C^{\cdot}(A'/A, \underline{\mathrm{Aut}}(E)) \arrow[r] \arrow[d] & C^{\cdot}(A'_0/A_0, \underline{\mathrm{Aut}}(E)) \arrow[r] & e \\ 0 \arrow[r] & C^{\cdot}(A'/A, \underline{\mathrm{Hom}}(E, IE)) \arrow[r] & C^{\cdot}(A'/A, \underline{\mathrm{End}}(E)) \arrow[r] & C^{\cdot}(A'_0/A_0, \underline{\mathrm{End}}(E)) \arrow[r] & 0 \end{tikzcd}

la flèche verticale de droite n'est pas dessinée sur la page ; les deux autres le sont

Lemme 2. Soit B un anneau ½ local, C une algèbre finie sur B, telle que C soit ½ local, et les idéaux maximaux \mathfrak{n} de C sont induits par les idéaux maximaux \mathfrak{m} de B. Supposons les conditions suivantes satisfaites :

(i)Les corps k(\mathfrak{m}) sont infinis. (ii)Deux idéaux maximaux \mathfrak{n}, \mathfrak{n}' distincts de C induisent des idéaux maximaux \mathfrak{m}, \mathfrak{m}' distincts de B, et pour tout \mathfrak{n}, l'extension résiduelle k(\mathfrak{n})/k(\mathfrak{m}) est radicielle (p.ex. C fini et radiciel sur B ½ local).

Alors pour tout n \geqslant 1, et tout élément u \in \mathbb{M}_n(C), \exists\, v \in \mathbb{M}_n(B) tel que u + \varphi(v) \in \mathbb{M}_n(C)^{*}. « \mathfrak{n} » et « \mathfrak{m} » sont écrits en interligne au-dessus de deux mots biffés

Dém. Soient \mathfrak{m}_i (resp. \mathfrak{n}_i) les idéaux maximaux de B de C. \to fini ; donc par th. d'éléments v_i \in \mathbb{M}_n(k(\mathfrak{m}_i)), il existe un v \in \mathbb{M}_n(B) qui les donne. D'ailleurs pour u' \in \mathbb{M}_n(C), le fait que ce soit inversible ne dépend que de l'inversibilité de ses images dans \mathbb{M}_n(C/\mathrm{rad}\,C) ! Cela nous ramène au cas où C est un produit de corps, et B aussi. On au cas B un corps, B = k.

— v \in \mathrm{End}_C(E_C)

Il existe u \in \mathrm{End}_B(E) tel que v + \struck{\ill{}}\, u_C soit inversible.

Dém. Si E \simeq B^{(N)}, \mathrm{End}_B(E) \simeq E^{N}, donc la remarque l'élément u \in \underline{\mathrm{End}}(E)(B) \underline{\mathrm{End}}(E)(k(\mathfrak{m}_i)) [ : \alpha_i \in E(k(\mathfrak{m}_i)), et , : E \simeq B^{(I)}, dans k(\mathfrak{m}_i) \Rightarrow ]. , ? l'hypothèse (C) , (C). Car C B, , : l'hypothèse , u = \mathrm{id}_E - v. ~~B \rightrightarrows C, B ; (i), u = \lambda\, \mathrm{id}_E~~ page très rapide ; trois lignes à la fin de la démonstration sont biffées d'un trait ; au-dessus de l'une d'elles un C en interligne

N.B. Il faudrait dégager la possibilité d'une extension résiduelle transcendante k(t), qui fera en (i) …

Théorème. A anneau ~~artinien~~ ½ local noethérien, \mathfrak{m} son radical, A' une algèbre finie sur A. Pour tout entier n, on pose A_n = A/\mathfrak{m}^{n+1}, A'_n = A'/\mathfrak{m}^{n+1}A' = A' \otimes_A A_n. « ½ local noethérien » est écrit au-dessus d'« artinien », biffé

[a) Soit m un entier \geqslant 1. Les conditions suivantes sont équivalentes

(i)\forall n, on a H^1(A'_n/A_n) = 0 (ii_1)\forall n, on a H^1(A'_n/A_n, \mathrm{Gl}_1) = 0 (ii_m)\forall n on a H^1(A'_n/A_n, \mathrm{Gl}(m)) = \{e\} (iii)\forall n, désignant par B^{(n)} l'anneau H^0(A'_n/A_n), le morphisme \operatorname{Spec} A'_n \to \operatorname{Spec} B^{(n)} est un morphisme de descente effective pour la catégorie fibrée des Modules qu. cohér. / plats.

un crochet vertical embrasse les deux lignes « a) Soit m… » et « A'\otimes_A A_n » ; « qu. cohér. » et « plats » sont écrits l'un au-dessus de l'autre, séparés par un trait, comme une fraction

b) Ces conditions impliquent

(i)H^1(A'/A) = 0 (ii)H^1(A'/A, \mathrm{Gl}_m) = 0, plus généralement pour tout entier m H^1(A'/A, \mathrm{Gl}(m)) = \{e\} (iii)Désignant par B l'anneau H^0(A'/A), le morphisme \operatorname{Spec}(A') \to \operatorname{Spec}(B) est un morphisme de descente effective pour la catégorie des modules plats de type fini.

« de type fini » est souligné et entouré au crayon

c) Supposons A artinien, et les conditions de a) satisfaites. Alors pour tout B-préschéma X plat sur B, posant X' = X \otimes_B A', le morphisme X' \to X est un morphisme de descente effective pour la catégorie fibrée des Modules plats quasi-cohérents. « artinien » est entouré au crayon

N.B. Dans a) les hypothèses [A anneau local noethérien quelconque, A' A …] écrit en diagonale dans la marge gauche, de bas en haut, face à (ii)–(iii) de a) ; un mot souligné d'un double trait. Plus bas, dans la même marge et en diagonale, un mot qui semble relié à la ligne « morphisme de descente » de (iii)

(a) Démonstration. Par les lemmes 1 et 2, l'équivalence des conditions (i) ~~(ii)~~ (ii_m) ~~(iii)~~ est immédiate par récurrence sur n, compte tenu que (i) elle est vraie pour n = 0 (descente fid. plate) (ii) les conditions \mathbb{M}_m(B^{(n)}) = \mathbb{M}_m(B^{(n)})^{*} + \mathrm{Im}\,\mathbb{M}_m(B^{(n)}) ~~relatif à~~ sont satisfaites pour tout n, en vertu du lemme 2 (ii) et de la théorie des anneaux artiniens … au-dessus de « et 2 », « cor. 2 » en interligne, relié par une accolade ; la seconde égalité est écrite de façon très serrée et son dernier terme est douteux

La condition (ii_m) signifie que \forall n, \operatorname{Spec} A'_n \to \operatorname{Spec} B^{(n)} est un morphisme de descente effective pour la catégorie des Modules qu. coh. libres de ~~type fini~~ rang fini. Cela signifie aussi que tout A'_n-module A'^{\,m}_n muni d'une donnée de descente relative à A'_n/B^{(n)}, est effectif et donne un module E_{B^{(n)}} sur B^{(n)} (qui après changement de base B^{(n)} \to A'_n). « rang fini » en interligne au-dessus de « type fini », biffé ; la parenthèse est en interligne, reliée par un trait

Je dis que les modules descendus , \mathrm{Ker}(B^{(n)}) l'est, , corps, … : en marge gauche, séparés du texte par un trait vertical, deux mots de sa main ; « de corps, puis » en interligne au-dessus d'un mot

Donc il est clair que (iii) \Longrightarrow (ii_m). Pour voir que

~~(iii)~~ (i) \Longrightarrow (iii) pour donné ; [ que (i) est stable par changement de base, et (iii) est invariant par changement ~~plat~~ fid. plat de la base. Cela nous ramène au cas où les extensions résiduelles de A'/A sont triviales. ~~Mais~~ A = A_n = \underline{B}^{(n)}, et on peut supposer [A local [en le remplaçant par ses localisés]. Alors on sait que E_{A'_n} ~~plat sur~~ A'_n est muni d'une donnée de descente, relative à A'_n/A_n [i.e. : A'_n/B^{(n)}] un crochet ouvert devant « que (i) » ; « fid. » en interligne au-dessus de « plat », biffé ; « A = A_n = B^{(n)}, et » en interligne, relié par un trait

A'_n-module libre [car il est sur un anneau local défini par \ill{}, on peut ramener au cas la spectre d'un corps, de descente.]

Je dis que ces effectivités par A'_n/B^{(n)} ; donc celles sur B^{(n)} : cela résulte des lemme 1, cor. 3, compte tenu du lemme 2.

On a ainsi prouvé a).

(b) Pour prouver (i), prenons la formation de H^1(A'/A) commutant : l'extension plate de la base, on peut supposer A complet. Alors

C^{\cdot}(A'/A) = \varprojlim_n C^{\cdot}(A'_n/A_n) , donc en vertu de M.L. on a H^1(A'/A) = H^1\bigl(C^{\cdot}(A'/A)\bigr) = \varprojlim H^1\bigl(C^{\cdot}(A'_n/A_n)\bigr) = \varprojlim_n H^1(A'_n/A_n) = 0 .

On peut aussi déduire formellement (i) de (iii) sans difficulté (en faisant m = 1, et m = 2).

(ii) Vm résulte de (iii), par le même argument que dans a).

(iii) On voit comme dans (i) que l'on peut supposer A ~~local~~ complet, ~~et évidemment~~ ~~Enfin, on~~ On peut aussi supposer A = B, et A local. Soit E' = E_{A'} plat de type fini sur A', muni d'une donnée de descente, et soit E = H^0_D(A'/A, E') . Il faut prouver 1°) E plat sur A 2°) E \otimes_A A' \to E' est un isomorphisme. Or on a C^{\cdot}_D(A'/A, E') \simeq \varprojlim_n C^{\cdot}_D(A'_n/A_n, E'_n) d'où par M.L. E = H^0_D(A'/A, E') = \varprojlim_n H^0(A'_n/A_n, E'_n) . dans « E' = E_{A'} », l'indice de E' est noirci

Posons E^{(n)} = H^0(A'_n/A_n, E'_n) alors grâce à l'hypothèse a), sous la forme (iii), on sait que E^{(n)} est un B^{(n)}-module plat de t.f., et E^{(n)} \otimes_{B^{(n)}} A'_n \to E'_n est un isom.

Moyennant un lemme facile de passage à la limite, on en déduit que E = \varprojlim E^{(n)} est plat sur A = \varprojlim_n B^{(n)}. Pour voir enfin que E \otimes_A A' \to E' est un isomorphisme, on note que les deux membres sont respectivement les \varprojlim des E^{(n)} \otimes_{B^{(n)}} A'_n et des E'_n = E' \otimes_A A'_n, et l'homomorphisme est la \varprojlim des isomorphismes E^{(n)} \otimes_{B^{(n)}} A'_n \to E'_n, donc est un isomorphisme.

(c) Montrons que X' \to X est un morphisme de descente pour la catégorie en question, puis que c'est un morphisme de descente effective, [De plus, on peut supposer évidemment A = B , pour les A_n …, l'hypothèse sous la forme a) (iii) … ]

A \longrightarrow A' \rightrightarrows A'' ligne isolée au bas de la page, sans texte

feuillet d'une autre main, écrit proprement en anglais, sans intervention de Grothendieck repérée ; vu le titre du dossier, il s'agit vraisemblablement d'une page des notes Murre–Levelt, mais rien sur la feuille n'en nomme l'auteur. Pour A' = k + V = k[X_1, \ldots, X_n]/(X_i)^2 et I un « equivalence ideal » de A' \otimes_k A', engendré par des F_\alpha(X, Y) = L'_\alpha(X) + L''_\alpha(Y) + Q_\alpha(X, Y) (parties linéaires et bilinéaire), la condition p_{13}(I) \subset p_{12}(I) + p_{23}(I) fournit des G_{\alpha\beta}, H_{\alpha\gamma} tels que F_\alpha(X, Z) \equiv \sum_\beta F_\beta(X, Y) G_{\alpha\beta}(X, Y, Z) + \sum_\gamma F_\gamma(Y, Z) H_{\alpha\gamma}(X, Y, Z) modulo les carrés ; on en tire une expression de Q_\alpha(X, Z) par des formes linéaires g_{\alpha\beta}, h_{\alpha\gamma}, on remplace les générateurs par F'_\alpha = F_\alpha - \sum_\beta F_\beta\, g_{\alpha\beta} - \ldots, qui engendrent encore I, et, si I \subset \Delta, on conclut que F'_\alpha(X, Y) = L'_\alpha(X) - L'_\alpha(Y)