Cote n° 127 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Descente non plate : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Descentes » (126 à 133) est daté [avant 1970]
Édition de démonstration

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Application de la descente non plate : platitude d'une adhérence schématique, et lemme de Hironaka

inscrit à l'encre, souligné, en haut à droite du feuillet de garde (page 1), qui ne porte rien d'autre ; le mot lu « lemme » est repassé ou surchargé. Le feuillet ne reçoit pas de numéro de page

Platitude d'une adhérence schématique

2sa page 1 ; le titre est souligné \(\overline{U \cap T}\) \(|X|\)au crayon, en haut à droite ; la disposition (un trait, \(|X|\) dessous) n'est pas claire

1.1. \(U \subset X\), \(\mathbf{F}\), \(f \colon X \to Y\). Données \(f \colon X \to Y\), \(U\) ouvert [(]rétrocompact[)] de \(X\), \(F\) quasi-cohérent sur \(X\), \(G_U\) quotient de \(F|U\), quasi-cohérent et plat sur \(Y\). « \(X \to Y\) » et « rétrocompact » (au crayon, encerclé) sont ajoutés en interligne

Pb Trouver un quotient [quasi-coh.] \(G\) de \(F\), qui prolonge \(G_U\), qui soit plat sur \(Y\), et tel que \(G \to G_U\) (rel. à \(i\)) soit univ. injectif rel/\(S\) [[\(G \to i_*(G_U)\)]]. « quasi-coh. » est en interligne ; « [\(G \to i_*(G_U)\) » est écrit au-dessus de « univ. injectif », et « rel. à \(i\) », au crayon et encerclé, est relié par un trait à \(G \to G_U\) [Il faux et suffit pour ceci, […] si \(f\) est loc. de présentation finie, et si \(Z = S_U G\), que \(G\) est de prés. finie sur \(S\), que pour tt \(y \in Y\), \(U_y\) contienne \(\mathrm{Ass}\, G_y\)]. les deux mots au-dessus de « suffit », au crayon, sont peu sûrs

[…] […] peut supposer \(X\) plat sur \(S\) […] sur \(S\) si à l'origine il était […] de type fini) et \(F\) plat sur \(X\) (et de type fini s'il l'était initialement), quitte à […] […] note écrite en long dans la marge gauche, barrée de traits obliques ; le début est illisible

Si le Pb a une solution, elle est unique, \[G \simeq \mathrm{Im}\bigl(F \to i_*(G_U)\bigr) .\] sous la flèche, un ajout : \(\to i_*(F_U)\), avec une flèche remontant vers \(i_*(G_U)\) La question est donc de savoir si le \(G\) défini précédemment [est] plat rel/\(Y\) et \(G \to G_U\) est […] […] univ. injectif rel/\(Y\). [(]Remarque Question locale sur \(X\) et \(Y\), pour la topologie […] ![)] L'unicité s'explique […]. la remarque est ajoutée en interligne, encadrée d'un trait

Lemme 1.2. Question locale [sur \(Y\)] pour fpqc. De même la question analogue, où on veut que \(G\) soit loc. de présentation finie sur \(X\). // Plus gén., descente possible sur \(X\) par morphismes fid. plat qu. cpct \(X' \to X\). SGA 1 VIIIencerclé, dans la marge gauche, en face du lemme 1.2

La descente non plate [((des quotients plats d'un faisceau déjà donné))] permet aussi de prouver : la double parenthèse est ajoutée au crayon en interligne

Lemme 1.3. Supposons \(Y\) artinien [\(= \mathrm{Spec}\, A\)], et qu'il existe un épimorphisme de schémas \(Y' \to Y\), tel que après ce changement de base, le Pb ait une solution. Suppo… \(A = \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y)\) Il faut supposer ici \(Y' \to Y\) fini […] et \(f \colon X \to Y\) loc. de prés. […], ou alors de prés. finie « \(A = \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y)\) » est encerclé et relié à « artinien » ; la seconde note, au crayon, est écrite en oblique dans le coin inférieur gauche et chevauche le mot « Lemme »

3sa page 2

\(Y' \to Y\) fini, ou \(X\) loc. de prés. finie, et la solution \(G'\) de présentation finie. Alors le Pb a une solution, […] \(Y\), et dans le 2^ème cas, la solution \(G\) est aussi de présentation finie.

Théorème Lemme 1.4. [Néc. Suff.] Supposons que \(X\), […] \(Y\) soient loc. noeth., […] [(loc. intègres)] les anneaux locaux de \(X\) à fibres formelles géom. […] […] [(\(F\), \(G\) cohérents)]. « Théorème 1.4 » est encadré, « Lemme » biffé dessous ; « Néc. Suff. » est ajouté au crayon et relié à l'énoncé ; « \(X\), » est en interligne au-dessus d'un mot biffé en tout pt de \(X - U\)encadré au crayon, dans la marge gauche

Supposons que (a) pour tout couple de points \(y \neq y'\) de \(Y\), avec \(y \in \overline{\{y'\}}\), [et tt générisation] \(x \in X_y - U_y\) \(x \in U_y\) tel q [(\(x' \in \mathrm{Ass}(G_U)_{y'}\) de \(x\))], il existe une spécialisation \(x_1\) de \(x'\) qui qui est dans \(U_y\), et qui généralise \(x\), — et que la condition soit vérifiée pour tt \(x'\) […] \(X\). a), b), c) sont cerclés ; les ajouts sont en interligne, serrés et en partie superposés

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
U_y \ni x_1 \arrow[d] & \\
X_y \ni x & x' \arrow[ul] \arrow[l] \\
y & y' \arrow[l]
\end{tikzcd}

croquis de la marge gauche : \(x'\) se spécialise en \(x_1\) et en \(x\), \(x_1\) en \(x\), et \(y'\) en \(y\) ; à côté, au crayon : \(T = \overline{\{x'\}}\), \((T_y \cap U) \cup (T_y \cap Z) \subset \uncertain{T_y}\)

(b) Supposons de plus que pour tt \(y \in Y\), il existe une famille de morphismes locaux \[Y_i \to Y' = \mathrm{Spec}(\widehat{\mathcal{O}}_{Y,y}),\] [les \(Y_i\) noeth. locaux,] tels que après changement de base le Pb ait une solution […] […] […] [\(\bigcap_i \mathrm{Ker}(\widehat{\mathcal{O}}_{Y,y} \to \mathcal{O}_{Y_i,y_i}) = 0\)]. (c) Supposons de plus, […] \(f\) loc. de t. finie, […] [(les)] \(Y_i \to Y'\) finis. Alors le Pb a une solution, qui est un Module cohérent (plat sur \(Y\)). la fin de (b) et le début de (c) sont très surchargés ; « cohérente » est ajouté puis biffé au-dessus de la ligne

NB Si \(X\) loc. de type fini \(/S\), […] les cond. a) et b) sont nécessaires pour l'existence d'une solution, en vertu de IV 12.1.1.5. Dans le cas où \(X\) est […] […] les anneaux locaux […] […] [la condition gén. […] pour […] de \(Y\)]. la NB est écrite serrée, en interligne à droite ; « IV 12.1.1.5 » est net Utiliser pour b), et pour c) utiliser que les conditions sont […] […] 1.3.

On peut prendre pour \(Y_i\) les \[\mathrm{Spec}\bigl(\widehat{\mathcal{O}}_{Y,y} / \mathfrak{m}_y^{i+1}\bigr), \qquad i \in \mathbb{N} .\]

Dém On se localise en […] l'image dans \(X\) des On se localisant en un point maximal de [l'ens. des points \(x \in X_y - U_y\) […] (\(y = f(x)\)) qui est dans \(\mathrm{Ass}\, G_y\)] […] qui admette une gén. dans \(X_y - U_y\), on peut supposer que \(X \to Y\) est local, [\(G = \mathrm{Im}\bigl(F \to i_*(G_U)\bigr)\)] […] plat, […] peut supposer […] et que \(G\) est plat \(/Y\) […] […] \(Y_i\) […] fermé de \(X\). De plus, par descente plate, […] \(x\) de \(X_y\) […] […] […] […] de platitude, […] […] \(X\) est local et que \(x \in X_y\) […]. On peut supposer \(U = X - \{x\}\). [NB. \(\mathrm{Ass}\, G_Y = \mathrm{Ass}\, G_U\)] \(= \mathrm{Ass}\, G\) le bloc du bas est encadré, barré ligne à ligne et traversé au crayon d'une ligne ondulée ; les ajouts au-dessus sont en interligne

Remarque : […] \(\exists\) solution si […] trivial […] […] dans le complémentaire du plus grand ouvert au-dessus duquel \(G\) […] les propriétés […] […] on peut supposer \(X \to Y\) local, \(U = X - \{x\}\) (\(x\) point fermé de \(X\)) […] \(\forall x' \in \mathrm{Ass}\, G_{y'}\), pour tout \(y \in Y\), […] dans \(T_y\) deux notes au crayon dans la marge gauche, la première en oblique, la seconde en long et encadrée ; « trivial » est encerclé

4sa page 3

[Par descente plate,] on peut supposer \(X\) local complet [hensélien]. […] Mais si […] […] […] […] solutions \(G\) […] l'hypothèse […] […] Ass […] conservées par (a) (b) […] le haut de la page est un passage raturé, en partie encadré ; les mots lus ne sont donnés qu'à titre indicatif … il est évident que les hypothèses faites au départ, […] (puisque \(X^h = \mathrm{Spec}\, B^h\)) […] […] l'hypothèse que \(B = \mathcal{O}_{X,x}\) est à fibres formelles géom. normales (ce qui est en effet une condition stable par hensélisation). Par contre, […] […] que le morphisme \(X' = \mathrm{Spec}\, \widehat{B} \to X = \mathrm{Spec}\, B\) est à fibres formelles [(géom.)] intègres, donc si \(Z_\alpha\) sont les cycles associés à \(G\) sur \(X\), et \(X'\) dans cette […], les \(Z'_\alpha\) sont les cycles associés à \(G'\) sur \(X'\) (qui sont réunion […] [\(Z'_\alpha \cap U \neq \emptyset\) pour tout \(\alpha\) ; sont alors vérifiée] anneaux intègres !). Donc l'hyp. (a) […] […] \((X, G, U)\) en \((X', G', U')\). Cela nous ramène en remplaçant \(X\) par \(X'\), l'hyp. (b) restant vérifiée ([…] […] des solutions […] vérifiée). Utilisant la suppl. des […] […] \(Y_n\), et prenant […] la […] Pb relatif pour les […] […] des modules quotients limite, on trouve un Module quotient \(G \to H\) de \(G\), qui est plat sur \(Y\), et qui […] […] sur les […] tel que l'homom. \(G \to H\) soit […] […] pour tt \(Z_\alpha\), […] \(Z_\alpha \cap U_y \neq \emptyset\), […] pts de \(U_y\) ; comme pour \(G \to H\) est injectif sur \(U\), donc on conclut que \(G \to i_*(G_U)\) est injectif. Donc injectif puisque \(G\) est plat sur \(Y\), on a \(G = H\), i.e. \(G\) est plat sur \(Y\), et tel que \(x \notin \mathrm{Ass}\, G_y\), donc vu que \(G_y = H_y\) […] […] […]. « il est évident » et « Par contre » ouvrent des lignes serrées dont la liaison n'est pas sûre ; un triple trait vertical en marge gauche marque l'alinéa « … intègres, donc si \(Z_\alpha\) … »

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
x_1 \arrow[d] & x' \arrow[l] \arrow[dl] & \hat{x}_1 & \hat{x}' \in \mathrm{Ass}\, \widehat{U} \\
x & & & \hat{x} \\
X_n \arrow[r] & X \arrow[d] & \widehat{X} = X' \arrow[l] & \supset U' \\
Y_n \arrow[r, hook] & Y & & \\
y & y' \arrow[l, no head] & &
\end{tikzcd}

croquis de la marge gauche, entouré d'une accolade avec \(G_n\), \(U_n\) ; les flèches entre \(\hat{x}_1\), \(\hat{x}'\) et \(\hat{x}\) sont surchargées et ne sont pas reproduites ; un mot biffé suit « \(\mathrm{Ass}\, \widehat{U}\) »

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
F_n \arrow[r, "u_n"] \arrow[d, "\text{surj}"'] & i_{n*}(G_{U_n}) \\
G_n \arrow[ur] \arrow[r] & H_n
\end{tikzcd}

au crayon dans la marge gauche, entouré ; dessous : « \(H_n = \mathrm{Im}\, u_n = \mathrm{Im}\, v_n\) est un quotient de \(G_n\) » ; l'étiquette \(v_n\) n'est pas placée sur une flèche lisible

5sa page 4 ; la moitié supérieure (le Cor. 1.5) est traversée au crayon d'une grande croix, et une ligne au crayon la sépare du reste

Cor. 1.5. Supposons que \(f\) soit loc. de type fini, [\(F\), \(G\) cohérents] et que (a') les \((G_U)_y\) soient [\((S_1)\) et] équidimensionnels de dim. donnée \(d\). [[définissant encore \(G\) comme \(\mathrm{Im}\bigl(F \to i_*(G_U)\bigr)\)]] tandis que que \(U\) soit schém. dense pour tt \(y\), \(U_y\) soit dense dans \(X_y\). // Alors Supposons de plus que pour \(x \in X - U\) […] l'anneau local \(\mathcal{O}_{X,x}\) soit à fibres formelles géom. normales. Alors la cond (il suffit que ce soit le cas de \(\mathcal{O}_{Y,f(x)}\) !). Alors la condition (b) du th. est néc. et suffisante pour l'existence d'une solution du Pb. S-M \(G = X\) ?au crayon, encerclé et barré, dans la marge gauche ; au-dessous, un gribouillis au crayon

Critère valuatif :

Cor. 1.6. Notation et hyp. préliminaires de 1.4 [(y compris l'hyp. des fibres formelles)]. Supposons de plus que pour tt \(x \in X - U\), posant \(y = f(x)\), \(\mathcal{O}_{Y,y}\) soit […] réduit, et que pour tt changement de base \(Y' \to Y\), [trait] […] [(\(=\) spectre d'un anneau de val. discrète)] avec \(Y'\) fini sur \(\mathrm{Spec}\, \mathcal{O}_{Y,y}\), on ait une solution du Pb. Alors on a une solution du Pb. 1.5 ? […], mais sans hypothèse du type de 1.4 a) Fait double emploi avec 1.7, sauf qu'on a fait d'hyp. « de type fini » deux notes au crayon dans la marge gauche, la première sous un « 1.5 ? » encerclé ; au-dessus de la seconde, un « \(\wedge\) ? » isolé

Cor. 1.7. \(f \colon X \to Y\) […] [\(Y\) loc. noeth.], […] \(F\), \(G_U\) cohérents […]. On suppose :

a) Pour tt \(x \in X - U\), posant \(y = f(x)\), \(\mathcal{O}_{Y,y}\) est […] réduit, et à fibres formelles géom. normales […] normales [(cf. […] de type fini sur \(\mathrm{Spec}\, \mathbb{Z}\))].

b) Pour \(y\) comme dessus, et tt trait \(Y'\) fini sur \(\mathrm{Spec}(\mathcal{O}_{Y,y})\) [et loc.], il y a une solution du Pb après chgt de base \(Y' \to Y\). [Explicitez]

c) […] de 1.4 […] […] […] conditions […] de 1.5 la dernière ligne est barrée d'un zigzag au crayon NB Dans cette condition b) l'hypothèse de platitude devient triviale, seule la question des \(\mathrm{Ass}\, G'_{y'}\) […] est sérieuseau crayon, dans la marge gauche, en face de b)

6sa page 5 ; deux lignes seulement, en haut du feuillet

Alors le Pb posé admet une solution.

Nous allons maintenant utiliser le lemme de Hironaka.

Th. 1.8

7sa page 6

Th. 1.8. \(f \colon X \to Y\) loc. de prés. finie.

(1) Soient \(x \in X\), \(y = f(x)\). le chiffre devant « Soient » est cerclé et surchargé ; la lecture (1) s'appuie sur le « (2) » cerclé plus bas

a) \(Y\) réduit en \(y\)

b) \(f\) univ. ouvert en les gén. maximales de \(x\) dans \(X_y\)

c) Pour tte gén. […] \(y'\) de \(Y\), et toute [les] générisation \(x'\) de \(x\) appartenant à \(X_{y'}\), les \(\dim_{x'} X_{y'}\) sont égaux à […] \(\dim_x X_y\)

d) \(X_y\) réduit […] réduit en les gén. maximales de \(x\) dans \(X_y\)

e) \((X_y)_{\mathrm{red}}\) est géom. normal au voisinage de \(x\)

[d) et e) équivalent à : \(\exists\) voisinage ouvert \(U\) de \(x\) [dans \(X_y\)] tel que \(\overline{U}\) soit géom. réduit et \(\overline{U}_{\mathrm{red}}\) normal]. sous \(\overline{U}\), un signe « \(=\) » vertical et \(U \otimes_{k(y)} \overline{k(y)}\)

peut-être remplacer b) par c') \(f\) univ. ouvert dans un voisinage de \(x\), et c) u.l. les gén. maximales à l'encre, encadré, dans la marge gauche, avec une flèche vers b)

NB Si on suppose \(Y\) loc. noeth., dans l'énoncé il revient à dire que, si \(X\) est réduit, alors au voisinage de \(x\) \(f\) est normal. Si \(X\) et \(Y\) sont loc. noeth., on doit pouvoir supprimer l'hyp. que \(f\) est loc. […] de prés. finie (moyennant des hypothèses d'excellence éventuellement […] —)encadré en haut à droite, au crayon puis à l'encre ; les deux paragraphes sont séparés par un trait

Alors (1) Il existe un voisinage [ouvert] \(U\) de \(x\) tel que \(U_{\mathrm{red}} \to Y\) soit normal loc. de présentation [finie et] […] \(U \to Y\) […] univ. ouvert, à fibres géométriquement […] […] totalement […] […] normales, dont […] […] telles que \((X_y)_{\mathrm{red}}\) normales, […] […] aussi […] […] […], passage barré de traits horizontaux et de trois grands traits obliques ; lu en partie seulement

2) Si \(Y\) est réduit, la condition […] aussi […]. Soit \(Y_0 = Y_{\mathrm{red}}\), \(X_0 = X \times_Y Y_0\).

et si \(Y\) est réduit, alors (i) les conditions aussi gén. […]

Cor (2) Conditions équivalentes : (i) […] [(i bis)] \(f\) est univ. ouvert, [lisse] et équidimensionnel […] en tt \(x \in X\), […] ses fibres sont géom. réduites, […] et ses fibres réduites géom. normales.

(ii) \(\exists\) un sous- (ii) Il existe un ouvert \(V\) de \(X_0\), tel que pour tt \(y \in Y_0\), \(V_y\) soit dense dans \(X_y\), et \(V \to Y_0\) un morphisme \(X_0 \to Y_0\) […] à fibres loc. séparable. De plus pour tt \(y \in Y_0\), \((X_{0,y})_{\mathrm{red}}\) est géom. normal. en interligne à droite : « \(X_{\mathrm{red}} \to Y_{\mathrm{red}}\) » et, dessous, « \(X_0 \to Y_0\) » biffé, puis « est normal »

(iii) Il existe un sous […] [loc.] et de présentation finie

(iiii bis) Il existe un sous-schéma […] \(Z_0\) de \(X_0\), [et loc. de prés. finie] sur \(Y_0\), et ayant […] que […] \(X_0\) en les […] […] normal, et coïncidant avec \(X_0\) […] […] des fibres … [relations] … normal. De plus, il existe un ouvert [(schématiquement dense)] dans \(V\) de \(U\) dans \(S\), tel que \(V \to X\) soit univ. ouvert. toute la partie « Cor (2) » est enfermée dans un cadre de traits obliques ; « Cor », souligné, est dans la marge gauche, relié au « (2) » cerclé. Numérotation (i), (i bis), (ii), (iii), (iiii bis) telle qu'écrite

8feuillet dactylographié, qui n'est pas un brouillon de cette suite : la page IV-1131 (le numéro est complété à la main) d'un tapuscrit d'EGA IV, § 21 — la fin d'une démonstration (un \(\mathcal{O}_X\)-Module inversible \(L\) dont l'image réciproque dans \(X'_0\) est isomorphe à \(L_0\), donc ample, d'après (21.9.12), (9.6.4), (II, 5.3.1 et II, 5.5.3)), puis le n° 21.10 « Factorialité des anneaux locaux réguliers » : Théorème (21.10.1), un anneau local noethérien régulier est factoriel, démontré par récurrence sur la dimension \(n\) ; pour \(n \geqslant 2\), \(X = \mathrm{Spec}(A)\), \(U = X - \{a\}\), on est ramené par (21.6.14) à prouver \(\mathrm{Pic}(U) = 0\) ; un \(\mathcal{O}_U\)-Module inversible \(L\) se prolonge en un \(\mathcal{O}_X\)-Module cohérent \(F\), qui a une résolution gauche finie par des \(\mathcal{O}_X^{n_i}\), d'où par restriction une résolution (21.10.1.1) de \(L\) ; « le théorème résultera alors des considérations générales suivantes », et la page s'arrête sur « Sur un espace annelé \(X\), soit \(E\) un \(\mathcal{O}_X\)-Module localement libre ». Texte publié (EGA IV, 21.10) ; il n'est pas recomposé ici. Interventions à la main : dans la marge gauche, « Créditer Kaplansky de la démonstration ici », relié par un trait au début de la démonstration ; en interligne au-dessus de « Théorème (21.10.1) », « (Auslander-Buchsbaum) », relié par un crochet ; « factoriel » corrigé (le \(l\) final repassé) ; « (5.11.6) » biffé et remplacé par « I 9.4.5 » ; la proposition « Puisque \(\dim(A) \geqslant 2\) et que \(A\) est régulier, » biffée d'un trait ; le repère « (21.10.1.1) » écrit à la main devant la seconde résolution ; de petites retouches de lettres (« ramené », « résolution », « allons »). Un grand trait vertical au crayon traverse la page

9sa page 7 (le chiffre surcharge un 8)

Dém On est ramené par procédé standard [La conclusion (ii) signifie aussi qu'il existe] un sous-préschéma \(U_0\) […] de \(U\), de prés. finie sur \(Y_0\), tel que \(U_0 \to U\) soit surjectif, et tel que tel que \(U_0 \to Y\) soit géométriquement […] […] [soit normal] […] loc. de prés. finie. [Ceci implique donc] que \(U_0\) est réduit, donc \(U_0 = U_{\mathrm{red}}\)), et un ouvert \(V\) de \(U_0\), schématiquement dense rel/\(Y\), tel que \(V \to X\) soit une immersion ouverte. Sous cette forme, on voit qu'on est ramené au cas où \(Y\) est le spectre d'un anneau local essentiellement de type fini sur \(\mathbb{Z}\). À […] qu'il existe un […] la lettre qu'il note \(U\) est une capitale surchargée, qui tient du \(U\) et du \(V\)

Utilisant la technique [de constructibilité et] de passage à une limite, et le lemme de Hironaka, on voit que l'on est ramené aux hypothèses sur la fibre \(X_{\bar{x}}\) [avec \(d_0 =\) dim loc. d.] [(EGA IV 16.1)] […] […] et la […] [et équidim.] […] […] voisinage. Utilisant la condition (c), on trouve que \(f\) est univ. ouvert [équidim. en tout […] de \(f\) […] à fibres géom. sém. réduites], en un voisinage de \(x\). D'autre part, […] et à fibres géom. […] [telles] que \((X_y)_{\mathrm{red}}\) soit normal. […] On [peut supposer] \(X\) réduit : prouvons que \(X \to Y\) est normal. utiliser (b) (c) (d) (e)au crayon, les lettres cerclées Lemme à dégagersouligné deux fois, dans la marge gauche, avec un trait vertical

Soit \(V\) l'ensemble des pts \(\bar{x}\) de \(X\) tels que \(X_y\) [(\(y = f(x)\))] soit […] (a) et réduit (donc séparable) en \(x\) […] hyp. En vertu de (a) et [EGA IV 15.2.3], c'est aussi le plus grand ouvert sur lequel \(f\) induit un morphisme réduit séparable, et en vertu de l'hypothèse faite (d, e) \(V\) est dense dans \(X\) fibre par fibre. Si donc […] \(X\) […] […] \(X_{\mathrm{red}}\) […]

Si \(X\) est l'adhérence schématique [rel/\(Y\)] de \(V\). […] […] que \(X\) est réduit […] ([…] […]), […] on va prouver par […] […] … (par morceaux !) … c'est le cas de Hironaka, OK. le bas de la page est encadré et barré de traits obliques ; deux lignes y sont écrites tête-bêche (la page retournée) et ne sont pas lues ; « (par morceaux !) » et « c'est le cas de Hironaka, OK » restent hors du cadre On peut procéder par récurrence sur \(\dim Y\), et supposer […] vrai pour les plus petitsà l'encre, barré en croix, dans la marge gauche (1) à démontrerau crayon, encerclé Le critère valuatif nous ramène au cas où \(Y\) est le spectre d'un anneau de val. discrèteau crayon, en bas à gauche

10sans numéro de sa main ; une reprise de l'énoncé du Th. 1.8, mise au net

\begin{tikzcd}[row sep=small]
X \arrow[d, "f\ \text{de t.f.}"] \\
Y
\end{tikzcd}

\(x\) au-dessus de \(y\), \(Y\) noeth. \[\left\lbrace \begin{array}{l} \mathcal{O}_{Y,y} \text{ réduit} \\ \mathcal{O}_{X,x} \text{ réduit} \\ f \text{ universellement ouvert (EGA IV 14, 15)} \\ X_y \text{ réduit en les gén.\ maximales } x_i \text{ de } x \text{ dans } X_y \\ (X_y)_{\mathrm{red}} \text{ est géom.\ normal}/k(y) \end{array} \right.\] les trois premières lignes et les deux dernières sont réunies par deux accolades distinctes ; en interligne, sous « \(\mathcal{O}_{X,x}\) réduit » : « \(\exists\, d\) tel que, au voisinage de \(x\), tous les comp. irr. des fibres de \(f\) soient de dim. \(d\) »

les deux dernières conditions \(\Longleftrightarrow\) \(\overline{X_y}\) \(\bigl(\overset{\text{df}}{=} X_y \otimes_{k(y)} \overline{k(y)}\bigr)\) est, au voisinage de \(\bar{x}\), géom. réduit, et \((\overline{X_y})_{\mathrm{red}}\) est normal \[\Downarrow\] \(\exists\) voisinage ouvert \(U\) de \(X\) tel que \(U \to Y\) soit « normal » i.e. plat à fibres géom. normales.

Dém Lorsque on suppose \(\mathcal{O}_{Y,y}\) excellent [il suffit : à fibres formelles géom. normales]

a) Itou les hyp. [restent] vraies au voisinage [de \(x\)] […].

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X' \arrow[r, no head] \arrow[d] & X \arrow[d, no head] \\
Y' \arrow[u] \arrow[ur] \arrow[r, no head] & Y
\end{tikzcd}

croquis, sous « EGA IV 9 » ; points \(x_0\), \(x'_0\) sur \(X'\), \(x\), \(x'\) sur \(X\), \(y\), \(y'\) sur \(Y\), \(y_0\), \(y'_0\) sous \(Y'\) ; à côté un second croquis semblable, où \(X'\) et \(Y'\) sont reliés à \(X\), \(Y\) par des traits obliques, avec \(Y''\) et \(y''_0\), \(y_0\) ; les directions des traits sans flèche ne sont pas marquées

Vérifions l'une des […] : les pts de \(X'\) où \(X'\) est réduit […] […] avec […] chaque fibre. Remarquons que l'ens. [ouvert \(V\)] des pts où \(X/Y\) est plat « séparable » i.e. plat à fibres séparables est, […] dans un voisinage de \(x\), dense dans chaque fibre.

\(V\) est un ouvert : EGA IV 12

\(V\) contient les pts de \(X_y\) où \(X_y\) est réduit EGA IV 15.2.3 donc \(V \cap X_y\) est dense dans \(X_y\) et on conclut par équidimensionnalitéau crayon, en bas à gauche

11un long trait au crayon traverse la page en diagonale, de haut en bas ; le texte reste lisible dessous

NB […] Supposons \(S = \mathrm{Spec}\, k\), […] \(k\) corps alg. clos, et \(X = S\), […] […] \(S_0 =\) schémas [de t.f.] étales sur \(X\) \(=\) revêtements locaux sur \(X\), \(\mathfrak{S} =\) schémas de t.f. sur \(S\), \(\mathfrak{M} =\) imm. ouvertes. les trois égalités sont disposées l'une sous l'autre ; les lettres lues \(\mathfrak{S}\), \(\mathfrak{M}\) sont des capitales de forme gothique

La catégorie \(\mathcal{C}\) est celle des schémas […] finis sur \(k\) [& connexes], avec la top. de Zariski, un faisceau [dessus] revient à la donnée d'un […] foncteur \(\Lambda \mapsto F(\Lambda)\), \(\Lambda\) fini sur \(k\), transformant […] […] en produits. Les faisceaux qu. coh. [sur \(\mathrm{Spec}\, \Lambda\)] sont ceux […] […] […] de la forme \(\Lambda' \mapsto M \otimes_\Lambda \Lambda'\), avec \(M\) un \(\Lambda\)-module. […] En revanche, les faisceaux de prés. finie sont ceux […] […] […] \(M\) [de t.f.]. Mais […] le […] […] pour lesquels […] […] […] […] […] soit par exemple \[\mathcal{O}_\Lambda^n \xrightarrow{\ u\ } \mathcal{O}_\Lambda\] défini par […] \(u_1, \ldots, u_n \in \Lambda\), alors \(\mathrm{Ker}\, u\) est un « faisceau sur \(\mathrm{Spec}\) \(\Lambda\) » ? \[\Lambda' \mapsto \mathrm{Ker}\bigl(u_{\Lambda'} \colon \Lambda'^{\,n} \to \Lambda'\bigr)\] qui n'est pas en général déduit de \(\mathrm{Ker}\, u\) comme \(\Lambda' \mapsto (\mathrm{Ker}\, u) \otimes_\Lambda \Lambda'\), manque de platitude …

au bas de la page, des croquis et notes au crayon sans rapport visible avec ce qui précède et qui reprennent les pages 3–4 : \(T' \to T\) au-dessus de \(X' \to X\) (points \(x'\), \(x\)), \(T'_y\) et \(T_y\) ; « \(U \cap T_y\) dense dans \(T_y\) », « \(U \cap T'_y\) dense dans \(T'_y\) », « \(T' = \bigcup T'_i\), \(T = \bigcup T_i\) » ; et à l'encre, à droite, des signes \(\hat{I}\), \(\hat{\eta}\), \(\hat{X} \cup \overline{\{x\}}\), dont l'articulation n'est pas lisible

12au crayon ; suite de la démonstration de la page 10 (après le a) de celle-ci)

b) On suppose que les hyp. sont satisfaites en tous les pts de \(X\).

\(U\) l'ouvert où \(f\) est séparable, il est dense sur chaque fibre. [\(\overline{V}\) (adh. schématique)]

À prouver que \(X = U\) et plat sur \(Y\).

On avait remarqué, on il revient à prouver \(X_y\) est séparable sur \(k(y)\), or soit \(y'\) une gén. maximale de \(y\), et appliquons un \(Y' \to Y\), donc \(X'_{y'_0}\) est réduit, donc \(X'\) plat sur \(Y'\), donc \(\overline{(\ )}\) [(adh. sch.)] \(= X'_{y'_0}\) est aussi réduit. Donc Hironaka s'applique, \(X'_{y'_0}\) est normale, donc \(X_y\) aussi : cqfd

c) Pour prouver la platitude de \(X/Y\), on applique le critère valuatif de platitude d'une adhérence schématique. les indices \(y'_0\) sont peu sûrs, et la phrase « donc \(\overline{(\ )}\) (adh. sch.) \(= X'_{y'_0}\) » est écrite serrée sous la précédente ; « critère valuatif … schématique » est souligné. Le reste du feuillet est blanc

13un trait oblique au crayon traverse le haut de la page

Considérons p. ex. […] le faisceau d'anneaux standard \(\mathcal{O}\) sur \(\mathcal{C}\), et considérons un module \(F\) [quasi-cohérent] sur \(\mathcal{O}\). En […] \(F_{\mathcal{E}}\), […] Alors \(F\) induit sur chaque \(\mathcal{M}_{/T}\) (pour \(\overset{X}{\uparrow} T_0 \to T\)) un faisceau quasi-cohérent \(\overset{X}{\underset{T}{\uparrow}}\) avec isomorphismes en l'objet variable \((T_0 \to T)\) de \(\mathcal{C}\), et de façon cartésienne … De plus … à vérifierdans la marge gauche, avec un trait vertical ; les petits \(X\) surmontant les flèches sont peu sûrs

En particulier on voit que l'on obtient un « faisceau formel » sur le […] […] […] complété formel d'un \(X\) […] \(Z\) le long de […] \(Z\), […] \(\delta \colon X \to Z\), […] \(X\) [fini sur un […] […] […] \(\in \mathrm{Ob}\, \mathcal{C}\)] et on a les vérifications fin. […] […] un vérification essentielle obtiendra […], par un argument facile \[H^*(\mathcal{C}_{/\delta}, F) \simeq H^*(\widehat{Z}, F|\widehat{Z})\] où le deuxième […] est pris comme […] limite […] de la catégorie des systèmes projectifs adiques sur le complété formel \(\widehat{Z}\) de \(Z\) le long de \(X\) … précision à vérifierdans la marge gauche, en face de la formule, avec un trait vertical

14page de notes et de croquis au crayon, sans texte suivi ; elles accompagnent le Th. 1.4 (pages 3–4). Les éléments en sont donnés dans l'ordre de la page, sans chercher à les relier

\(F\), \(F_U \to G_U\), \(X \supset U\) ; \(F \to i_*(G_U)\) se factorisant par \(G\) ; \(X' \supset U'\), \(G'\), au-dessus de \(Y' \to Y\) ; points \(\tilde{x}_1\), \(\tilde{x}\), \(\tilde{x}'\).

\[A = \varprojlim \bigl(A_\alpha = A/\mathfrak{J}^{\alpha+1}\bigr)\] \[\left. \begin{array}{l} M \to N \\ M_\alpha \xrightarrow{\ \sim\ } N_\alpha \end{array} \right\rbrace \Longrightarrow \forall\, \mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}\, A,\ \mathfrak{J} \not\subset \mathfrak{p},\ M_{\mathfrak{p}} \xrightarrow{\ \sim\ } N_{\mathfrak{p}}\] \(f\) (modules de type fini, semble-t-il) est écrit en indice à côté de \(A\), de \(M_\alpha\) et de \(N_\alpha\) ; sous la conclusion, une parenthèse peu lisible avec \(\widehat{M}_{\mathfrak{p}}\)

\(A \to B\), \(\mathfrak{A} \subset A\), \(\mathfrak{A}B\) ; \((\mathfrak{A}B \cap A) \uncertain{=} \mathfrak{A}\) ; \(A/\mathfrak{A} \overset{?}{\hookrightarrow} B/\mathfrak{A}B\) ; \(A/\mathfrak{A}_\alpha \hookrightarrow B_\alpha\).

\(x_\alpha \in \mathrm{Ass}\, G_U\) [(\(\Longrightarrow x_\alpha \in \mathrm{Ass}\, G_y\))], \(T_\alpha = \overline{\{x_\alpha\}}\) ; \(x' \in (T_\alpha)_{y'}\) pt maximal \(\Longrightarrow x' \in \mathrm{Ass}\, G_{y'}\) (EGA IV 12.2) ; donc \(x' \in U_{y'}\). la note « EGA IV 12.2 » est encerclée

Contre-exemple (l'ouvert i-fini est \(\simeq\)) : \(X \to Y\) birationnel, \(U = Y\), \(G = \mathcal{O}_X\), \(T = X\), \(T_{y'}\) de dim. 0, \(G' = \mathcal{O}_{U}\), \(T_y\) de dim. 1. avec un croquis : une courbe \(X\) au-dessus d'une droite \(Y\), et une fibre qui se relève en une composante verticale

\(x_\alpha \in \mathrm{Ass}\, G_U\) au-dessus de \(y\), \(T_\alpha = \overline{\{x_\alpha\}}\) : \((T_\alpha)_{y'} \cap U\) est dense dans \((T_\alpha)_{y'}\).

15au crayon ; la moitié inférieure est barrée de quatre longs traits obliques

Dém. de 1.5.

1.4.2 Remarque 1 les conditions b), c) de 1.4 \(\Longleftrightarrow\) pour tout chgt de base \(S' \to S\), \(S'\) artinien, \(\exists\) solution.

1.4.3 Remarque 2 a) \(\Longleftarrow\) \(\exists\) solution après tt chgt de base \(S' \to S\), \(S'\) trait.

Vrai théorème [1.4] Corollaire \[\exists \text{ solution} \Longleftrightarrow \exists \text{ solution après tt chgt de base } S' \to S,\ S' \text{ artinien ou trait}\] Énoncé final« Vrai théorème », souligné, est écrit au-dessus de « Corollaire » et relié par un trait ; « Énoncé final », souligné, est dans la marge gauche, avec un double trait vertical inutile si les \(\mathcal{O}_{Y,y}\) réduitsencerclé, relié à « trait »

Pour prouver 1.5, il suffit donc de prouver […] […] […] \(S' \to S\), \(S'\) trait, \(\exists\) solution. Donc on peut supposer \(S\) est un trait.

\begin{tikzcd}[row sep=small]
X \supset U \arrow[d] \\
S
\end{tikzcd}

\(F = G\), \(G_U\). \(F = G\) est plat \(/S\). Alors \(\forall x \in \mathrm{Ass}\, G_U\), \(x' \in \text{Maximal de } (T = \overline{\{x\}})_y \Longrightarrow x' \in \mathrm{Ass}\, G_y\), donc …

\(x \in \mathrm{Ass}\, G_U\) au-dessus de \(y'\), \(y \in Y\), \(T = \overline{\{x\}}\), \(T_y \neq \emptyset\) : les comp. de \(T_y\) sont de dim \(\geqslant (\dim T_{y'}) = d\), donc ce sont des composantes de \(X_y\).

16page d'une autre main, qui n'est pas celle de Grothendieck et que rien sur le feuillet n'identifie ; elle n'est pas recomposée. C'est une mise au net en français de l'énoncé du Th. 1.4 : « Lemme 1.4' » — les notations et hypothèses étant celles de (1.1), \(X\) et \(Y\) localement noethériens et \(G = \mathrm{Im}\bigl(F \to i_*(G_U)\bigr)\) cohérent ; \(Z\) l'espace sous-jacent à \(X - U\) (une première formulation, « sous-schéma réduit de \(X\) ayant \(X - U\) comme espace », est biffée), \(y \in f(Z)\) ; (d) pour tout \(x \in Z_y = X_y \cap Z\), \(\mathcal{O}_{X,x}\) à fibres formelles géométriquement normales ; (a) pour tout \(x' \in \mathrm{Ass}(G_U)\), \(T = \overline{\{x'\}}\), \(T_y \cap U\) dense dans \(T_y\), et la même condition pour tout \(X'\) étale sur \(X\) ; (b) une famille de morphismes locaux \(Y_i \to Y' = \mathrm{Spec}\, \widehat{\mathcal{O}}_{Y,y}\) après chacun desquels le problème a une solution, l'intersection des noyaux de \(\widehat{\mathcal{O}}_{Y,y} \to \Gamma(Y_i, \mathcal{O}_{Y_i})\) étant nulle ; (c) ou bien \(f\) localement de présentation finie, ou bien les \(Y_i \to Y'\) finis. Conclusion : \(G\) est plat sur \(Y\) en tout point de \(X_y\) et \(U_y\) contient \(\mathrm{Ass}(G_y)\) ; en particulier, si les conditions précédentes sont vraies en tout point \(y\) de \(f(Z)\), le problème admet une solution cohérente. Aucune intervention de sa main n'est sûre : les lettres \(G\) de la conclusion (« Alors \(G\) est plat sur \(Y\) ») sont repassées en gras, d'une encre plus noire, et un mot est noirci sous le texte

17suite de la page 13

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X \arrow[r, "\delta"] & Z \\
T_0 \arrow[u, "\varphi"] \arrow[r] & T \arrow[u, "u"'] \\
T_0^{(i)} \arrow[u] \arrow[r] & T^{(i)} \arrow[u, "u_i"']
\end{tikzcd}

croquis de la marge gauche ; « \(u_i\) » est suivi de « \(\in \mathcal{M}\) » encerclé

… explicitons les \(H^q(\mathcal{C}_{/\delta_i}, F)\). Pour simplifier la notation, on laisse tomber l'indice \(i\). Notons […] Supposons […] […] que \(\delta \in \mathcal{N}\) [i.e. \(Z \in \mathrm{Ob}\, \mathfrak{S}\)]. donc D'après un énoncé […] […] \(\mathcal{C}_{/\delta}\) par maintenant, on […] \((\mathcal{M}_{/\delta}\), i.e. […] catégorie des diagrammes

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X \arrow[r] & Z \\
T_0 \arrow[u, no head] \arrow[r] & T \arrow[u]
\end{tikzcd}

qui sont des morphismes cartésiens [\(\mathcal{M}\)-] dans \(\mathcal{C}\), on […] une catégorie équivalente : \(\mathcal{M}_{/Z}\), avec la topologie induite de \(\mathcal{C}\). On trouve un trait vertical sépare le croquis de gauche du texte

donc \[H^q(\mathcal{C}_{/\delta_i}, F) \simeq H^q_{\mathcal{M},\mathcal{C}}(Z_n, F) \quad \ldots\] et finalement \[0 \to {\varprojlim_n}^{(1)} H^{q-1}_{(\mathcal{M},\mathcal{C})}(X^{(i)}_n, F) \to H^q(X^{(i)}, F) \to \varprojlim_n H^q_{(\mathcal{M},\mathcal{C})}(X^{(i)}_n, F) \to 0\] [sous l'hypothèse que les \(X^{(i)}_n \in \mathrm{Ob}\, \mathfrak{S}\)] « \(Z_n\) » surcharge un mot biffé ; dans la suite exacte, encadrée, l'exposant du premier terme se lit \(q\) plutôt que \(q-1\), et le terme de droite surcharge une première écriture ; la flèche finale vers \(0\) n'est qu'amorcée. Deux traits verticaux traversent le bas de la page

18quelques lignes en haut du feuillet, le reste est blanc

\[\begin{array}{ccc} Z_U & \hookrightarrow & Z\,? \\ \cap & & \cap \\ U & \subset & X \\ & \searrow & \downarrow \\ & & Y \end{array}\]

croquis de la marge gauche, dessiné comme un triangle au-dessus de \(Y\) avec « plat » écrit à côté ; les inclusions \(Z_U \subset U\) et \(Z \subset X\) sont des \(\cap\) verticaux

\(Z_U = Z \cap U\) et tel que \(Z_U\) soit universellement /\(Y\) sch. dense dans \(Z\).

NB si \(Z\) est [loc. de] prés. finie sur \(Y\), ou \(Y\), \(Z\) noeth., l'hyp. […] la condition univoque \[\Longleftrightarrow\ \forall y \in Y,\quad Z_y \cap U \supset \mathrm{Ass}\, Z_y \qquad \text{EGA IV 11.12\,?}\] sous \(Z_y \cap U\), un « \(\cap\) » vertical et \(Z_y\) ; « univoque » est une lecture peu sûre

19page de croquis et de formules, sans texte suivi ; elle reprend la réduction de la page 4 (descente fpqc, hensélisé \(X^h\), complété)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X \arrow[d, no head] & X' \arrow[l, no head] \arrow[d, no head] & X'' \arrow[d, no head] & \\
Y & Y' \arrow[l] & Y'' \arrow[l] & Y'''  \arrow[l]
\end{tikzcd}

au-dessus, \(U\), \(U'\), \(U''\) et \(F'\), \(F'_{U'} \to G'_{U'}\), \(F''_{U''} \to G''_{U''}\) ; « fpqc » sous \(Y' \to Y\) ; entre \(Y'\) et \(Y''\) une double flèche, entre \(Y''\) et \(Y'''\) une triple, simplifiées ici en flèches simples ; une ligne au crayon entoure la partie \(X'\), \(X''\), \(Y'\), \(Y''\)

Au-dessous, un second croquis : \(X' \to X\) fpqc, \(F'\), \(F\), au-dessus de \(Y\) ; puis \(Z'_\alpha\), \(Z'_i\) : \[\left\lbrace \begin{array}{l} Z'_i \cap U'_y \neq \emptyset \\ \text{i.e.\ } Z'_i \cap X'_y \neq \{x'\} \end{array} \right.\] et le carré

\[\begin{array}{llll} G_{U'} & U' \hookrightarrow X' = X^h & & X'_y \supset U'_y \\ & \qquad\ \downarrow & & \ \downarrow \\ G_U & U \subset X & & X_y \supset U_y \end{array}\]

À droite : \[\exists\, J = \{i_1, \ldots, i_n\} \subset I, \qquad \mathfrak{A}_n = \mathrm{Ker}\Bigl(\underbrace{\widehat{\mathcal{O}}_{Y,y}}_{A} \to \prod_{\alpha \in J} \mathcal{O}_{Y_\alpha, y_\alpha}\Bigr) \subset \widehat{\mathfrak{m}}_y^{\,n}\] OPS les \(Y_i\) artiniens ; \[A \to A/\mathfrak{A}_n \hookrightarrow \prod \mathcal{O}_{Y_\alpha, y_\alpha} .\] « pour \(n\) » est écrit au-dessus de \(\exists\) ; la puissance \(\widehat{\mathfrak{m}}_y^{\,n}\) est encerclée ; une flèche courbe va de la condition sur \(Z'_i\) au produit. Au bas de la page, six croquis de surfaces et de courbes dans un cube, deux d'entre eux marqués \(Z'\), \(\Phi'\) et \(\Phi\), \(Z\), et un \(Z_\alpha\) isolé ; ils ne sont pas reproduits

20un long trait oblique traverse la page de haut en bas

Prenons une résolution injective \(C^{\cdot}(F)\) de \(F\), alors \(C^{\cdot}(F)_{S_\infty}\) est une résolution injective de \(F_{S_\infty}\), et les \(C^{\cdot}(F)_{S_i} = C^{\cdot}(F)_{S_\infty} | S_i\) une résolution injective de \(F_{S_i} = F_{S_\infty} | S_i\). On a \[\Gamma\bigl(S_\infty, C^{\cdot}(F)_{S_\infty}\bigr) = \varprojlim \Gamma\bigl(S_i, C^{\cdot}(F)_{S_i}\bigr)\] le système projectif des 2^e membres étant strict […] et […] […]. \[H^n(S_\infty, F) \to \varprojlim H^n(S_i, F)\] et est bien sûr surjectif ; il est bijectif si le système des \(H^{n-1}(S_i, F)\) vérifie ML. Dans le cas général, il semble qu'il faille écrire \[H^*(S_\infty, F) \Longleftarrow E_2^{pq} = {\varprojlim_i}^{(p)} H^q(S_i, F)\] mais avec \({\varprojlim}^{(p)} = 0\) si \(p \neq 0, 1\), donc des suites exactes \[0 \to {\varprojlim_i}^{(1)} H^{n-1}(S_i, F) \to H^n(S_\infty, F) \to \varprojlim_i H^n(S_i, F) \to 0\] Dans le cas qui nous occupe, il vient : la page s'arrête sur ces mots ; la suite n'est pas dans ce lot. L'exposant du premier terme de la suite exacte est surchargé