Fonds Grothendieck, cote n° 127, pages 1–20 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-26)Opus 5.5 (claude-opus-5-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-09-26
Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription
est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une
machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La
source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.
https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)127
Descente non plate : notes manuscrites (s.d.)
Pages 1 à 20 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 1 de vingt pages.
Les pages absentes de la transcription ne portent pas de
mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.s.d. — le groupe « Descentes » (126 à 133) est daté [avant 1970]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/127.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement
par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \add devient
supplied ; \struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
\note devient note[@type='editorial']
(du transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
Les mathématiques sont transportées en TeX dans
formula[@notation='TeX'], les diagrammes
commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'],
sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une
formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de
la formule, sous les mêmes macros.
Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une
faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurPremière passe de transcription.Export TEI depuis la source LaTeX.
Application de la descente non plate : platitude d'une adhérence schématique, et lemme de Hironaka
inscrit à l'encre, souligné, en haut à droite du feuillet de garde
(page 1), qui ne porte rien d'autre ; le mot lu « lemme » est repassé
ou surchargé. Le feuillet ne reçoit pas de numéro de page
Platitude d'une adhérence schématique
sa page 1 ; le titre est souligné\overline{U \cap T}|X|au crayon, en haut à
droite ; la disposition (un trait, |X| dessous) n'est pas claire
1.1.U \subset X, \mathbf{F}, f \colon X \to Y.
Données f \colon X \to Y, U ouvert (rétrocompact)
de X, F quasi-cohérent sur X, G_U quotient de F|U,
quasi-cohérent et plat sur Y.
« X \to Y » et « rétrocompact » (au crayon, encerclé) sont
ajoutés en interligne
Pb Trouver un quotient quasi-coh.G de F, qui prolonge
G_U, qui soit plat sur Y, et tel que
G \to G_U(rel. à i) soit univ. injectif rel/S[G \to i_*(G_U)].
« quasi-coh. » est en interligne ; « [G \to i_*(G_U) » est écrit
au-dessus de « univ. injectif », et « rel. à i », au crayon et
encerclé, est relié par un trait à G \to G_U
[Il faux et suffit pour ceci, si f est
loc. de présentation finie, et si Z = S_U G, queG est de
prés. finie sur S, que pour tt y \in Y, U_y contienne
\mathrm{Ass}\, G_y].
les deux mots au-dessus de « suffit », au crayon, sont peu sûrs
peut supposerX plat sur S sur S si à l'origine il était de type fini)
et Fplat sur X (et de type fini s'il l'était
initialement), quitte à note écrite en long dans la marge gauche, barrée de traits
obliques ; le début est illisible
Si le Pb a une solution, elle est unique,
G \simeq \mathrm{Im}\bigl(F \to i_*(G_U)\bigr) .sous la flèche, un ajout : \to i_*(F_U), avec une flèche
remontant vers i_*(G_U)
La question est donc de savoir si le G défini précédemment est
plat rel/Y et G \to G_U est univ. injectif
rel/Y. (Remarque Question locale sur X et Y,
pour la topologie !)L'unicité s'explique.
la remarque est ajoutée en interligne, encadrée d'un trait
Lemme 1.2. Question locale sur Y pour fpqc. De même la
question analogue, où on veut que G soit loc. de présentation finie sur
X. // Plus gén., descente possible sur X par morphismes fid. plat
qu. cpct X' \to X.
SGA 1 VIIIencerclé, dans la marge gauche, en face du
lemme 1.2
La descente non plate ((des quotients plats d'un faisceau
déjà donné)) permet aussi de prouver :
la double parenthèse est ajoutée au crayon en interligne
Lemme 1.3. Supposons Y artinien
= \mathrm{Spec}\, A, et qu'il existe un épimorphisme de schémas
Y' \to Y, tel que après ce changement de base, le Pb ait une
solution. Suppo…
A = \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y)Il faut supposer ici Y' \to Y fini et f \colon X \to
Y loc. de prés., ou alors de prés. finie« A = \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y) » est encerclé et relié à
« artinien » ; la seconde note, au crayon, est écrite en oblique dans
le coin inférieur gauche et chevauche le mot « Lemme »
sa page 2
Y' \to Y fini, ouX loc. de prés. finie, et la solution
G' de présentation finie. Alors le Pb a une solution,
Y, et dans le 2ème cas, la solution G
est aussi de présentation finie.
ThéorèmeLemme1.4.Néc. Suff.
Supposons que X, Y soient loc. noeth.,
(loc. intègres) les anneaux locaux de X
à fibres formelles géom. (F, G
cohérents).
« Théorème 1.4 » est encadré, « Lemme » biffé dessous ; « Néc.
Suff. » est ajouté au crayon et relié à l'énoncé ; « X, » est en
interligne au-dessus d'un mot bifféen tout pt de X - Uencadré au crayon, dans la marge
gauche
Supposons que (a) pour tout couple de points y \neq y' de Y, avec
y \in \overline{\{y'\}}, et tt générisationx \in X_y - U_yx \in U_y tel q(x' \in \mathrm{Ass}(G_U)_{y'} de x),
il existe une spécialisation x_1 de x'qui qui est dans
U_y, et qui généralise x, — et que la condition soit
vérifiée pour tt x'X.
a), b), c) sont cerclés ; les ajouts sont en interligne, serrés et
en partie superposés
croquis de la marge gauche : x' se spécialise en x_1 et en x,
x_1 en x, et y' en y ; à côté, au crayon :
T = \overline{\{x'\}}, (T_y \cap U) \cup (T_y \cap Z) \subset
\uncertain{T_y}
(b) Supposons de plus que pour tt y \in Y, il existe une famille de
morphismes locaux
Y_i \to Y' = \mathrm{Spec}(\widehat{\mathcal{O}}_{Y,y}),les Y_i noeth. locaux, tels que après changement de base le
Pb ait une solution \bigcap_i \mathrm{Ker}(\widehat{\mathcal{O}}_{Y,y} \to
\mathcal{O}_{Y_i,y_i}) = 0. (c) Supposons de plus,
f loc. de t. finie, (les)Y_i \to Y' finis. Alors le Pb a une solution, qui est un Module
cohérent (plat sur Y).
la fin de (b) et le début de (c) sont très surchargés ; « cohérente »
est ajouté puis biffé au-dessus de la ligne
NB Si X loc. de type fini /S, les cond. a) et
b) sontnécessaires pour l'existence d'une solution,
en vertu de IV 12.1.1.5. Dans le cas oùXest les anneaux locaux la condition gén. pour de Y.
la NB est écrite serrée, en interligne à droite ; « IV 12.1.1.5 »
est netUtiliser pour b), et pour c) utiliser que les
conditions sont 1.3.
On peut prendre pour Y_i les
\mathrm{Spec}\bigl(\widehat{\mathcal{O}}_{Y,y} / \mathfrak{m}_y^{i+1}\bigr),
\qquad i \in \mathbb{N} .
DémOn se localise en l'image dans X des
On se localisant en un point maximal de l'ens. des points
x \in X_y - U_y (y = f(x)) qui est dans
\mathrm{Ass}\, G_y qui admette une gén. dans
X_y - U_y, on peut supposer que X \to Y est local,
G = \mathrm{Im}\bigl(F \to i_*(G_U)\bigr) plat, peut supposer et que G est plat
/YY_i fermé de X. De plus, par descente plate,
x de X_y de platitude, X est local et que x \in X_y.
On peut supposer U = X - \{x\}.
[NB. \mathrm{Ass}\, G_Y = \mathrm{Ass}\, G_U] = \mathrm{Ass}\, Gle bloc du bas est encadré, barré ligne à ligne et traversé au
crayon d'une ligne ondulée ; les ajouts au-dessus sont en interligne
Remarque : \exists solution si trivial dans le complémentaire du plus grand ouvert
au-dessus duquel G les propriétés on peut supposer
X \to Y local, U = X - \{x\} (x point fermé de X)\forall x' \in \mathrm{Ass}\, G_{y'}, pour tout
y \in Y, dans T_ydeux notes au crayon dans la marge gauche, la première en oblique,
la seconde en long et encadrée ; « trivial » est encerclé
sa page 3
Par descente plate, on peut supposer X local
complethensélien. Mais si solutions G l'hypothèse Ass conservéespar (a) (b) le haut de la page est un passage raturé, en partie encadré ; les
mots lus ne sont donnés qu'à titre indicatif
… il est évident que les hypothèses faites au départ,
(puisqueX^h = \mathrm{Spec}\, B^h)
l'hypothèse que B = \mathcal{O}_{X,x} est à fibres formelles
géom. normales (ce qui est en effet une condition stable par
hensélisation). Par contre, que le morphisme
X' = \mathrm{Spec}\, \widehat{B} \to X = \mathrm{Spec}\, B est à
fibres formelles(géom.) intègres, donc si Z_\alpha
sont les cycles associés à G sur X, et X' dans cette
, les Z'_\alpha sont les cycles associés à G' sur X' (qui
sont réunion Z'_\alpha \cap U \neq \emptyset pour tout
\alpha ; sont alors vérifiée anneaux intègres !). Donc
l'hyp. (a) (X, G, U) en (X', G', U'). Cela nous
ramène en remplaçant X par X', l'hyp. (b) restantvérifiée (des solutions
vérifiée). Utilisant la suppl. des Y_n, et
prenant la Pb relatif pour les des
modules quotients limite, on trouve un Module
quotient G \to H de G, qui est plat sur Y, et qui sur les tel que l'homom. G \to H soit
pour tt Z_\alpha, Z_\alpha \cap U_y \neq \emptyset,
pts de U_y ; comme pour G \to H est injectif sur U, donc on conclut
que G \to i_*(G_U) est injectif. Donc injectif puisque G est
plat sur Y, on a G = H, i.e. G est plat sur Y, et tel
que x \notin \mathrm{Ass}\, G_y, donc vu que G_y = H_y.
« il est évident » et « Par contre » ouvrent des lignes serrées dont
la liaison n'est pas sûre ; un triple trait vertical en marge gauche
marque l'alinéa « … intègres, donc si Z_\alpha … »
croquis de la marge gauche, entouré d'une accolade avec G_n,
U_n ; les flèches entre \hat{x}_1, \hat{x}' et \hat{x} sont
surchargées et ne sont pas reproduites ; un mot biffé suit
« \mathrm{Ass}\, \widehat{U} »
au crayon dans la marge gauche, entouré ; dessous :
« H_n = \mathrm{Im}\, u_n = \mathrm{Im}\, v_n est un quotient de
G_n » ; l'étiquette v_n n'est pas placée sur une flèche lisible
sa page 4 ; la moitié supérieure (le Cor. 1.5) est traversée au
crayon d'une grande croix, et une ligne au crayon la sépare du reste
Cor. 1.5. Supposons que f soit loc. de type fini,
F, G cohérents et que (a') les (G_U)_y soient (S_1)
et équidimensionnels de dim. donnée d. [définissant encore G
comme \mathrm{Im}\bigl(F \to i_*(G_U)\bigr)] tandis que
que U soit schém. dense pour tt y, U_y soit dense dans
X_y. // Alors Supposons de plus que pour x \in X - U l'anneau local \mathcal{O}_{X,x} soit à fibres
formelles géom. normales. Alors la cond (il suffit que ce
soit le cas de \mathcal{O}_{Y,f(x)} !). Alors la condition (b) du
th. est néc. et suffisante pour l'existence d'une solution du
Pb.
S-MG = X ?au crayon, encerclé et barré,
dans la marge gauche ; au-dessous, un gribouillis au crayon
Critère valuatif :
Cor. 1.6. Notation et hyp. préliminaires de 1.4 (y compris
l'hyp. des fibres formelles). Supposons de plus que pour tt
x \in X - U, posant y = f(x), \mathcal{O}_{Y,y} soit
réduit, et que pour tt changement de base Y' \to Y,
trait(= spectre d'un anneau de val.
discrète) avec Y' fini sur \mathrm{Spec}\, \mathcal{O}_{Y,y}, on
ait une solution du Pb. Alors on a une solution du Pb.
1.5 ? , mais sans hypothèse du type de
1.4 a)Fait double emploi avec 1.7, sauf qu'on a fait
d'hyp. « de type fini »deux notes au crayon dans la marge gauche, la première sous un
« 1.5 ? » encerclé ; au-dessus de la seconde, un « \wedge ? » isolé
Cor. 1.7.f \colon X \to YY loc. noeth., F, G_U cohérents
. On suppose :
a) Pour tt x \in X - U, posant y = f(x), \mathcal{O}_{Y,y} est
réduit, et à fibres formelles géom. normales normales (cf. de type fini sur
\mathrm{Spec}\, \mathbb{Z}).
b) Pour y comme dessus, et tt traitY' fini sur
\mathrm{Spec}(\mathcal{O}_{Y,y})et loc., il y a une
solution du Pb après chgt de base Y' \to Y. Explicitez
c) de 1.4 conditions de 1.5la dernière ligne est barrée d'un zigzag au crayonNB Dans cette condition b) l'hypothèse de platitude devient
triviale, seule la question des \mathrm{Ass}\, G'_{y'} est
sérieuseau crayon, dans la marge gauche, en face de b)
sa page 5 ; deux lignes seulement, en haut du feuillet
Alors le Pb posé admet une solution.
Nous allons maintenant utiliser le lemme de Hironaka.
Th. 1.8
sa page 6
Th. 1.8.f \colon X \to Y loc. de prés. finie.
(1) Soient x \in X, y = f(x).
le chiffre devant « Soient » est cerclé et surchargé ; la lecture
(1) s'appuie sur le « (2) » cerclé plus bas
a) Y réduit en y
b) f univ. ouvert en les gén. maximales de x dans X_y
c) Pour tte gén. y' de Y, et toute les
générisation x' de x appartenant à X_{y'}, les
\dim_{x'} X_{y'} sont égaux à \dim_x X_y
d) X_yréduit réduit en les gén. maximales de x
dans X_y
e) (X_y)_{\mathrm{red}} est géom. normal au voisinage de x
[d) et e) équivalent à : \exists voisinage ouvert U de xdans
X_y tel que \overline{U} soit géom. réduit et
\overline{U}_{\mathrm{red}} normal].
sous \overline{U}, un signe « = » vertical et
U \otimes_{k(y)} \overline{k(y)}
peut-être remplacer b) par c') f univ. ouvert dans un
voisinage de x, et c) u.l. les gén. maximalesà l'encre, encadré, dans la marge gauche, avec une flèche vers b)
NB Si on suppose Y loc. noeth., dans l'énoncé
il revient à dire que, si X est réduit, alors au
voisinage de xf est normal. Si X et Y sont loc. noeth., on
doit pouvoir supprimer l'hyp. que f est loc. de prés.
finie (moyennant des hypothèses d'excellence éventuellement
—)encadré en haut à droite, au crayon puis à l'encre ; les deux
paragraphes sont séparés par un trait
Alors (1) Il existe un voisinage ouvertU de x tel que
U_{\mathrm{red}} \to Y soit normal loc. de
présentationfinie etU \to Y univ. ouvert, à fibres géométriquement
totalement normales, dont
telles que (X_y)_{\mathrm{red}} normales,
aussi ,
passage barré de traits horizontaux et de trois grands traits
obliques ; lu en partie seulement
2) Si Y est réduit, la condition aussi . Soit
Y_0 = Y_{\mathrm{red}}, X_0 = X \times_Y Y_0.
et si Y est réduit, alors (i) les conditions aussi
gén.
Cor (2) Conditions équivalentes : (i) (i bis)f est univ. ouvert, lisse et
équidimensionnel en tt x \in X, ses
fibres sont géom. réduites, et ses fibres
réduites géom. normales.
(ii) \exists un sous-
(ii) Il existe un ouvert V de X_0, tel que pour tt y \in Y_0,
V_y soit dense dans X_y, et V \to Y_0 un morphisme
X_0 \to Y_0 à fibres loc. séparable. De plus pour tt
y \in Y_0, (X_{0,y})_{\mathrm{red}} est géom. normal.
en interligne à droite : « X_{\mathrm{red}} \to Y_{\mathrm{red}} »
et, dessous, « X_0 \to Y_0 » biffé, puis « est normal »
(iii) Il existe un sousloc. et de présentation
finie
(iiii bis) Il existe un sous-schéma Z_0 de X_0,
et loc. de prés. finie sur Y_0, et ayant que
X_0 en les normal, et coïncidant avec
X_0 des fibres … relations … normal. De
plus, il existe un ouvert (schématiquement dense) dans V de Udans S, tel que V \to X soit univ. ouvert.
toute la partie « Cor (2) » est enfermée dans un cadre de traits
obliques ; « Cor », souligné, est dans la marge gauche, relié au « (2) »
cerclé. Numérotation (i), (i bis), (ii), (iii), (iiii bis) telle qu'écrite
feuillet dactylographié, qui n'est pas un brouillon de cette
suite : la page IV-1131 (le numéro est complété à la main)
d'un tapuscrit d'EGA IV, § 21 — la fin d'une démonstration
(un \mathcal{O}_X-Module inversible L dont l'image réciproque dans
X'_0 est isomorphe à L_0, donc ample, d'après (21.9.12), (9.6.4),
(II, 5.3.1 et II, 5.5.3)), puis le n° 21.10 « Factorialité des anneaux
locaux réguliers » : Théorème (21.10.1), un anneau local noethérien
régulier est factoriel, démontré par récurrence sur la dimension n ;
pour n \geqslant 2, X = \mathrm{Spec}(A), U = X - \{a\}, on est
ramené par (21.6.14) à prouver \mathrm{Pic}(U) = 0 ; un
\mathcal{O}_U-Module inversible L se prolonge en un
\mathcal{O}_X-Module cohérent F, qui a une résolution gauche finie
par des \mathcal{O}_X^{n_i}, d'où par restriction une résolution
(21.10.1.1) de L ; « le théorème résultera alors des considérations
générales suivantes », et la page s'arrête sur « Sur un espace annelé
X, soit E un \mathcal{O}_X-Module localement libre ». Texte
publié (EGA IV, 21.10) ; il n'est pas recomposé ici. Interventions à la
main : dans la marge gauche, « Créditer Kaplansky de la démonstration
ici », relié par un trait au début de la démonstration ; en interligne
au-dessus de « Théorème (21.10.1) », « (Auslander-Buchsbaum) », relié
par un crochet ; « factoriel » corrigé (le l final repassé) ;
« (5.11.6) » biffé et remplacé par « I 9.4.5 » ; la proposition
« Puisque \dim(A) \geqslant 2 et que A est régulier, » biffée
d'un trait ; le repère « (21.10.1.1) » écrit à la main devant la
seconde résolution ; de petites retouches de lettres (« ramené »,
« résolution », « allons »). Un grand trait vertical au crayon traverse
la page
sa page 7 (le chiffre surcharge un 8)
DémOn est ramené par procédé standardLa conclusion (ii) signifie aussi qu'il existe un
sous-préschéma U_0 de U, de prés. finie sur Y_0,
tel que U_0 \to U soit surjectif, et tel que tel que
U_0 \to Ysoit géométriquement soit
normal loc. de prés. finie. Ceci implique donc
que U_0 est réduit, donc U_0 = U_{\mathrm{red}}), et un ouvert V
de U_0, schématiquement dense rel/Y, tel que V \to X soit une
immersion ouverte. Sous cette forme, on voit qu'on est ramené au cas où
Y est le spectre d'un anneau local essentiellement de type fini sur
\mathbb{Z}. À qu'il existe un la lettre qu'il note U est une capitale surchargée, qui tient du
U et du V
Utilisant la technique de constructibilité et de passage à une
limite, et le lemme de Hironaka, on voit que l'on est ramené aux
hypothèses sur la fibre X_{\bar{x}}avec d_0 = dim loc. d.(EGA IV 16.1) et la et équidim. voisinage. Utilisant la condition
(c), on trouve que f est univ. ouvert équidim. en
tout de f à fibres géom. sém. réduites,
en un voisinage de x. D'autre part, et à
fibres géom. telles que (X_y)_{\mathrm{red}}
soit normal. On peut supposerX réduit :
prouvons que X \to Y est normal.
utiliser (b) (c) (d) (e)au crayon, les lettres
cercléesLemme à dégagersouligné deux fois, dans la marge gauche,
avec un trait vertical
Soit V l'ensemble des pts \bar{x} de X tels que X_y(y = f(x)) soit (a) et réduit (donc séparable) en x hyp. En vertu de (a) et EGA IV 15.2.3, c'est aussi le plus
grand ouvert sur lequel f induit un morphisme réduit
séparable, et en vertu de l'hypothèse faite (d, e) V est dense dans
X fibre par fibre.
Si donc XX_{\mathrm{red}}
Si X est l'adhérence schématique rel/Y de V.
que X est réduit (), on
va prouver par
… (par morceaux !) … c'est le cas de Hironaka, OK.
le bas de la page est encadré et barré de traits obliques ; deux
lignes y sont écrites tête-bêche (la page retournée) et ne sont pas
lues ; « (par morceaux !) » et « c'est le cas de Hironaka, OK »
restent hors du cadreOn peut procéder par récurrence sur \dim Y, et supposer
vrai pour les plus petitsà l'encre, barré en
croix, dans la marge gauche(1)à démontrerau crayon, encercléLe critère valuatif nous ramène au cas où Y est le spectre
d'un anneau de val. discrèteau crayon, en bas à gauche
sans numéro de sa main ; une reprise de l'énoncé du Th. 1.8, mise
au net
\begin{tikzcd}[row sep=small]
X \arrow[d, "f\ \text{de t.f.}"] \\
Y
\end{tikzcd}
x au-dessus de y, Ynoeth.\left\lbrace
\begin{array}{l}
\mathcal{O}_{Y,y} \text{ réduit} \\
\mathcal{O}_{X,x} \text{ réduit} \\
f \text{ universellement ouvert (EGA IV 14, 15)} \\
X_y \text{ réduit en les gén.\ maximales } x_i \text{ de } x \text{ dans } X_y \\
(X_y)_{\mathrm{red}} \text{ est géom.\ normal}/k(y)
\end{array}
\right.les trois premières lignes et les deux dernières sont réunies par
deux accolades distinctes ; en interligne, sous « \mathcal{O}_{X,x}
réduit » : « \exists\, d tel que, au voisinage de x, tous les comp.
irr. des fibres de f soient de dim. d »
les deux dernières conditions \Longleftrightarrow\overline{X_y}\bigl(\overset{\text{df}}{=} X_y \otimes_{k(y)}
\overline{k(y)}\bigr) est, au voisinage de \bar{x}, géom. réduit,
et (\overline{X_y})_{\mathrm{red}} est normal
\Downarrow\exists voisinage ouvert U de X tel que U \to Y soit
« normal » i.e. plat à fibres géom. normales.
Dém Lorsque on suppose \mathcal{O}_{Y,y}excellent
[il suffit : à fibres formelles géom. normales]
a) Itou les hyp. restent vraies au voisinage de x.
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X' \arrow[r, no head] \arrow[d] & X \arrow[d, no head] \\
Y' \arrow[u] \arrow[ur] \arrow[r, no head] & Y
\end{tikzcd}
croquis, sous « EGA IV 9 » ; points x_0, x'_0 sur X', x,
x' sur X, y, y' sur Y, y_0, y'_0 sous Y' ; à côté un
second croquis semblable, où X' et Y' sont reliés à X, Y par
des traits obliques, avec Y''ety''_0, y_0 ; les
directions des traits sans flèche ne sont pas marquées
Vérifions l'une des : les pts de X' où X' est
réduit avec chaque fibre.
Remarquons que l'ens. ouvert V des pts où X/Y est
plat « séparable » i.e. plat à fibres séparables est,
dans un voisinage de x, dense dans chaque fibre.
V est un ouvert : EGA IV 12
V contient les pts de X_y où X_y est réduit EGA IV 15.2.3
donc V \cap X_y est dense dans X_y et on conclut par
équidimensionnalitéau crayon, en bas à gauche
un long trait au crayon traverse la page en diagonale, de haut en
bas ; le texte reste lisible dessous
NB Supposons S = \mathrm{Spec}\, k,
k corps alg. clos, et X = S,
S_0 = schémas de t.f. étales sur X=revêtementslocaux sur X,
\mathfrak{S} = schémas de t.f. sur S,
\mathfrak{M} = imm. ouvertes.
les trois égalités sont disposées l'une sous l'autre ; les
lettres lues \mathfrak{S}, \mathfrak{M} sont des capitales de forme
gothique
La catégorie \mathcal{C} est celle des schémas finis
sur k& connexes, avec la top. de Zariski, un
faisceau dessus revient à la donnée d'un foncteur
\Lambda \mapsto F(\Lambda), \Lambda fini sur k, transformant
en produits. Les faisceaux qu. coh. sur
\mathrm{Spec}\, \Lambda sont ceux de la
forme \Lambda' \mapsto M \otimes_\Lambda \Lambda', avec M un
\Lambda-module. En revanche, les faisceaux
de prés. finie sont ceux Mde
t.f.. Mais le pour lesquels soit par exemple
\mathcal{O}_\Lambda^n \xrightarrow{\ u\ } \mathcal{O}_\Lambda
défini par u_1, \ldots, u_n \in \Lambda, alors
\mathrm{Ker}\, u est un « faisceau sur \mathrm{Spec}\Lambda » ?
\Lambda' \mapsto \mathrm{Ker}\bigl(u_{\Lambda'} \colon
\Lambda'^{\,n} \to \Lambda'\bigr)
qui n'est pas en général déduit de \mathrm{Ker}\, u comme
\Lambda' \mapsto (\mathrm{Ker}\, u) \otimes_\Lambda \Lambda',
manque de platitude …
au bas de la page, des croquis et notes au crayon sans rapport
visible avec ce qui précède et qui reprennent les pages 3–4 :
T' \to T au-dessus de X' \to X (points x', x), T'_y et
T_y ; « U \cap T_y dense dans T_y », « U \cap T'_y dense dans
T'_y », « T' = \bigcup T'_i, T = \bigcup T_i » ; et à l'encre, à
droite, des signes \hat{I}, \hat{\eta},
\hat{X} \cup \overline{\{x\}}, dont l'articulation n'est pas lisible
au crayon ; suite de la démonstration de la page 10 (après le a)
de celle-ci)
b) On suppose que les hyp. sont satisfaites en tous les pts de
X.
U l'ouvert où f est séparable, il est dense sur chaque fibre.
\overline{V} (adh. schématique)
À prouver que X = U et plat sur Y.
On avait remarqué, on il revient à prouver
X_y est séparable sur k(y), or soit y' une gén. maximale de y,
et appliquons un Y' \to Y, donc X'_{y'_0} est réduit,
donc X'plat sur Y', donc
\overline{(\ )}(adh. sch.)= X'_{y'_0} est aussi
réduit. Donc Hironaka s'applique, X'_{y'_0} est normale, donc X_y
aussi : cqfd
c) Pour prouver la platitude de X/Y, on applique le critère
valuatif de platitude d'une adhérence schématique.
les indices y'_0 sont peu sûrs, et la phrase « donc
\overline{(\ )} (adh. sch.) = X'_{y'_0} » est écrite
serrée sous la précédente ; « critère valuatif … schématique » est
souligné. Le reste du feuillet est blanc
un trait oblique au crayon traverse le haut de la page
Considérons p. ex. le faisceau d'anneaux
standard\mathcal{O} sur \mathcal{C}, et considérons un
module Fquasi-cohérent sur \mathcal{O}.
En F_{\mathcal{E}}, Alors F induit
sur chaque \mathcal{M}_{/T} (pour \overset{X}{\uparrow} T_0 \to T)
un faisceau quasi-cohérent\overset{X}{\underset{T}{\uparrow}}
avec isomorphismes en l'objet variable(T_0 \to T) de \mathcal{C}, et de façon cartésienne …
De plus …
à vérifierdans la marge gauche, avec un trait
vertical ; les petits X surmontant les flèches sont peu sûrs
En particulier on voit que l'on obtient un « faisceau formel » sur le
complété formel d'un XZ le
long de Z, \delta \colon X \to Z, X
[fini sur un \in \mathrm{Ob}\,
\mathcal{C}] et on a les vérificationsfin. un vérificationessentielleobtiendra, par un
argument facile
H^*(\mathcal{C}_{/\delta}, F) \simeq H^*(\widehat{Z}, F|\widehat{Z})
où le deuxième est pris comme limite de la catégorie des systèmes projectifs adiques sur le
complété formel \widehat{Z} de Z le long de X …
précision à vérifierdans la
marge gauche, en face de la formule, avec un trait vertical
page de notes et de croquis au crayon, sans texte suivi ; elles
accompagnent le Th. 1.4 (pages 3–4). Les éléments en sont donnés dans
l'ordre de la page, sans chercher à les relier
F, F_U \to G_U, X \supset U ;
F \to i_*(G_U) se factorisant par G ;
X' \supset U', G', au-dessus de Y' \to Y ;
points \tilde{x}_1, \tilde{x}, \tilde{x}'.
A = \varprojlim \bigl(A_\alpha = A/\mathfrak{J}^{\alpha+1}\bigr)\left.
\begin{array}{l}
M \to N \\
M_\alpha \xrightarrow{\ \sim\ } N_\alpha
\end{array}
\right\rbrace
\Longrightarrow
\forall\, \mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}\, A,\
\mathfrak{J} \not\subset \mathfrak{p},\
M_{\mathfrak{p}} \xrightarrow{\ \sim\ } N_{\mathfrak{p}}f (modules de type fini, semble-t-il) est écrit en indice à
côté de A, de M_\alpha et de N_\alpha ; sous la conclusion, une
parenthèse peu lisible avec \widehat{M}_{\mathfrak{p}}
A \to B, \mathfrak{A} \subset A, \mathfrak{A}B ;
(\mathfrak{A}B \cap A) \uncertain{=} \mathfrak{A} ;
A/\mathfrak{A} \overset{?}{\hookrightarrow} B/\mathfrak{A}B ;
A/\mathfrak{A}_\alpha \hookrightarrow B_\alpha.
x_\alpha \in \mathrm{Ass}\, G_U(\Longrightarrow x_\alpha \in
\mathrm{Ass}\, G_y), T_\alpha = \overline{\{x_\alpha\}} ;
x' \in (T_\alpha)_{y'} pt maximal
\Longrightarrow x' \in \mathrm{Ass}\, G_{y'} (EGA IV 12.2) ; doncx' \in U_{y'}.
la note « EGA IV 12.2 » est encerclée
Contre-exemple (l'ouvert i-fini est \simeq) :
X \to Y birationnel, U = Y, G = \mathcal{O}_X, T = X,
T_{y'} de dim. 0, G' = \mathcal{O}_{U}, T_y de dim. 1.
avec un croquis : une courbe X au-dessus d'une droite Y, et
une fibre qui se relève en une composante verticale
x_\alpha \in \mathrm{Ass}\, G_U au-dessus de y,
T_\alpha = \overline{\{x_\alpha\}} : (T_\alpha)_{y'} \cap U est dense
dans (T_\alpha)_{y'}.
au crayon ; la moitié inférieure est barrée de quatre longs traits
obliques
Dém. de 1.5.
1.4.2 Remarque 1 les conditions b), c) de 1.4
\Longleftrightarrow pour tout chgt de base S' \to S,
S'artinien, \exists solution.
1.4.3 Remarque 2 a) \Longleftarrow\exists solution après
tt chgt de base S' \to S, S' trait.
Vrai théorème1.4Corollaire\exists \text{ solution} \Longleftrightarrow \exists \text{ solution
après tt chgt de base } S' \to S,\ S' \text{ artinien ou trait}Énoncé final« Vrai théorème », souligné, est
écrit au-dessus de « Corollaire » et relié par un trait ; « Énoncé
final », souligné, est dans la marge gauche, avec un double trait
verticalinutile si les \mathcal{O}_{Y,y} réduitsencerclé,
relié à « trait »
Pour prouver 1.5, il suffit donc de prouver S' \to S, S' trait, \exists solution. Donc on peut
supposerS est un trait.
\begin{tikzcd}[row sep=small]
X \supset U \arrow[d] \\
S
\end{tikzcd}
F = G, G_U. F = G est plat /S. Alors
\forall x \in \mathrm{Ass}\, G_U,
x' \in \text{Maximal de } (T = \overline{\{x\}})_y \Longrightarrow
x' \in \mathrm{Ass}\, G_y, donc …
x \in \mathrm{Ass}\, G_U au-dessus de y', y \in Y,
T = \overline{\{x\}}, T_y \neq \emptyset : les comp. de T_y sont
de dim \geqslant (\dim T_{y'}) = d, donc ce sont des composantes de
X_y.
page d'une autre main, qui n'est pas celle de Grothendieck et que
rien sur le feuillet n'identifie ; elle n'est pas recomposée. C'est une
mise au net en français de l'énoncé du Th. 1.4 : « Lemme 1.4' » — les
notations et hypothèses étant celles de (1.1), X et Y localement
noethériens et G = \mathrm{Im}\bigl(F \to i_*(G_U)\bigr) cohérent ; Z
l'espace sous-jacent à X - U (une première formulation, « sous-schéma
réduit de X ayant X - U comme espace », est biffée), y \in f(Z) ;
(d) pour tout x \in Z_y = X_y \cap Z, \mathcal{O}_{X,x} à fibres
formelles géométriquement normales ; (a) pour tout
x' \in \mathrm{Ass}(G_U), T = \overline{\{x'\}}, T_y \cap U dense
dans T_y, et la même condition pour tout X' étale sur X ; (b) une
famille de morphismes locaux
Y_i \to Y' = \mathrm{Spec}\, \widehat{\mathcal{O}}_{Y,y} après chacun
desquels le problème a une solution, l'intersection des noyaux de
\widehat{\mathcal{O}}_{Y,y} \to \Gamma(Y_i, \mathcal{O}_{Y_i}) étant
nulle ; (c) ou bien f localement de présentation finie, ou bien les
Y_i \to Y' finis. Conclusion : G est plat sur Y en tout point de
X_y et U_y contient \mathrm{Ass}(G_y) ; en particulier, si les
conditions précédentes sont vraies en tout point y de f(Z), le
problème admet une solution cohérente. Aucune intervention de sa main
n'est sûre : les lettres G de la conclusion (« Alors G est plat sur
Y ») sont repassées en gras, d'une encre plus noire, et un mot est
noirci sous le texte
suite de la page 13
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X \arrow[r, "\delta"] & Z \\
T_0 \arrow[u, "\varphi"] \arrow[r] & T \arrow[u, "u"'] \\
T_0^{(i)} \arrow[u] \arrow[r] & T^{(i)} \arrow[u, "u_i"']
\end{tikzcd}
croquis de la marge gauche ; « u_i » est suivi de
« \in \mathcal{M} » encerclé
… explicitons les H^q(\mathcal{C}_{/\delta_i}, F). Pour
simplifier la notation, on laisse tomber l'indice i.
Notons Supposons que
\delta \in \mathcal{N} [i.e. Z \in \mathrm{Ob}\, \mathfrak{S}].
donc D'après un énoncé \mathcal{C}_{/\delta} par
maintenant, on (\mathcal{M}_{/\delta}, i.e.
catégorie des diagrammes
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X \arrow[r] & Z \\
T_0 \arrow[u, no head] \arrow[r] & T \arrow[u]
\end{tikzcd}
qui sont des morphismescartésiens\mathcal{M}- dans \mathcal{C}, on une catégorie
équivalente : \mathcal{M}_{/Z}, avec la topologie induite de
\mathcal{C}. On trouveun trait vertical sépare le croquis de gauche du texte
donc
H^q(\mathcal{C}_{/\delta_i}, F) \simeq
H^q_{\mathcal{M},\mathcal{C}}(Z_n, F) \quad \ldots
et finalement0 \to {\varprojlim_n}^{(1)} H^{q-1}_{(\mathcal{M},\mathcal{C})}(X^{(i)}_n, F)
\to H^q(X^{(i)}, F) \to \varprojlim_n H^q_{(\mathcal{M},\mathcal{C})}(X^{(i)}_n, F)
\to 0
[sous l'hypothèse que les X^{(i)}_n \in \mathrm{Ob}\, \mathfrak{S}]
« Z_n » surcharge un mot biffé ; dans la suite exacte, encadrée,
l'exposant du premier terme se lit q plutôt que q-1, et le terme de
droite surcharge une première écriture ; la flèche finale vers 0 n'est
qu'amorcée. Deux traits verticaux traversent le bas de la page
quelques lignes en haut du feuillet, le reste est blanc
\begin{array}{ccc}
Z_U & \hookrightarrow & Z\,? \\
\cap & & \cap \\
U & \subset & X \\
& \searrow & \downarrow \\
& & Y
\end{array}
croquis de la marge gauche, dessiné comme un triangle au-dessus de
Y avec « plat » écrit à côté ; les inclusions Z_U \subset U et
Z \subset X sont des \cap verticaux
Z_U = Z \cap U et tel que Z_U soit universellement /Y sch.
dense dans Z.
NB si Z est loc. de prés. finie sur Y, ou Y, Z
noeth., l'hyp. la condition univoque
\Longleftrightarrow\ \forall y \in Y,\quad Z_y \cap U \supset
\mathrm{Ass}\, Z_y \qquad \text{EGA IV 11.12\,?}sous Z_y \cap U, un « \cap » vertical et Z_y ; « univoque »
est une lecture peu sûre
page de croquis et de formules, sans texte suivi ; elle reprend la
réduction de la page 4 (descente fpqc, hensélisé X^h, complété)
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X \arrow[d, no head] & X' \arrow[l, no head] \arrow[d, no head] & X'' \arrow[d, no head] & \\
Y & Y' \arrow[l] & Y'' \arrow[l] & Y''' \arrow[l]
\end{tikzcd}
au-dessus, U, U', U'' et F', F'_{U'} \to G'_{U'},
F''_{U''} \to G''_{U''} ; « fpqc » sous Y' \to Y ; entre Y' et
Y'' une double flèche, entre Y'' et Y''' une triple, simplifiées
ici en flèches simples ; une ligne au crayon entoure la partie X',
X'', Y', Y''
Au-dessous, un second croquis : X' \to X fpqc, F', F, au-dessus
de Y ; puis Z'_\alpha, Z'_i :
\left\lbrace
\begin{array}{l}
Z'_i \cap U'_y \neq \emptyset \\
\text{i.e.\ } Z'_i \cap X'_y \neq \{x'\}
\end{array}
\right.
et le carré
À droite :
\exists\, J = \{i_1, \ldots, i_n\} \subset I, \qquad
\mathfrak{A}_n = \mathrm{Ker}\Bigl(\underbrace{\widehat{\mathcal{O}}_{Y,y}}_{A}
\to \prod_{\alpha \in J} \mathcal{O}_{Y_\alpha, y_\alpha}\Bigr)
\subset \widehat{\mathfrak{m}}_y^{\,n}
OPS les Y_i artiniens ;
A \to A/\mathfrak{A}_n \hookrightarrow \prod \mathcal{O}_{Y_\alpha, y_\alpha} .« pour n » est écrit au-dessus de \exists ; la puissance
\widehat{\mathfrak{m}}_y^{\,n} est encerclée ; une flèche courbe va de
la condition sur Z'_i au produit. Au bas de la page, six croquis de
surfaces et de courbes dans un cube, deux d'entre eux marqués Z',
\Phi' et \Phi, Z, et un Z_\alpha isolé ; ils ne sont pas
reproduits
un long trait oblique traverse la page de haut en bas
Prenons une résolution injective C^{\cdot}(F) de F, alors
C^{\cdot}(F)_{S_\infty} est une résolution injective de F_{S_\infty},
et les C^{\cdot}(F)_{S_i} = C^{\cdot}(F)_{S_\infty} | S_i une
résolution injective de F_{S_i} = F_{S_\infty} | S_i. On a
\Gamma\bigl(S_\infty, C^{\cdot}(F)_{S_\infty}\bigr) =
\varprojlim \Gamma\bigl(S_i, C^{\cdot}(F)_{S_i}\bigr)
le système projectif des 2e membres étant
strict et .
H^n(S_\infty, F) \to \varprojlim H^n(S_i, F)
et est bien sûr surjectif ; il est bijectif si le système des
H^{n-1}(S_i, F) vérifie ML. Dans le cas général, il semble qu'il faille
écrire
H^*(S_\infty, F) \Longleftarrow E_2^{pq} = {\varprojlim_i}^{(p)} H^q(S_i, F)
mais avec {\varprojlim}^{(p)} = 0 si p \neq 0, 1, donc des suites
exactes
0 \to {\varprojlim_i}^{(1)} H^{n-1}(S_i, F) \to H^n(S_\infty, F)
\to \varprojlim_i H^n(S_i, F) \to 0
Dans le cas qui nous occupe, il vient :
la page s'arrête sur ces mots ; la suite n'est pas dans ce lot.
L'exposant du premier terme de la suite exacte est surchargé