Cote n° 126 · batch 2 · pages 21–34 · Transcription · Descente fidèlement plate. Divers : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Descentes » (126 à 133) est daté [avant 1970]
Édition de démonstration

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Revêtements étales et descente

les pages 21 à 23 sont d'une écriture très rapide, à l'encre bleue ; les formules et les énoncés passent, la plus grande partie de la prose de liaison non

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Faisons une extension, de la […] […] successives \(Y_1 = X\), [d'où \(X_1^{*} = X \times_Y Y_1\), \(X_1 = X_{(1)} \amalg X^{(1)}\), puis \(Y_2 = X^{(1)}\)] […] […]

Lemme 2. Il existe un \(Y'_2\) fini sur \(Y\), avec \(Y'_2 \to Y\) surjectif [et radiciel universellement ouvert […] […]] tel que \(X' = X \times_Y Y'\) se décompose […] […] […] réunion \(X'_i\) connexes de degré […] séparable 1 sur \(Y\). énoncé encadré d'un trait vertical à gauche ; l'indice de \(Y'_2\) est écrit, puis omis dans \(X' = X \times_Y Y'\)

Soit \(I\) l'ensemble des composantes connexes de \(X'\), considérons \(Y' \times I\) comme rev. étale de \(Y'\). Il en résulte que \(X'_0 = Y' \times I \to \ill{}\) […] a une donnée de descente relativement : \(Y' \to Y\), d'où un rev. étale \(X\) de \(Y\), donnant \(X'^{*}_0\) par image inverse. Soit \(Y^{*}_{\ill{}}\) un rev. étale [donc fini] de \(Y\) qui déploie \(X_0\) complètement, puis l'[…] […] de la situation sur

schéma dans la marge gauche :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X_0^{*} \arrow[d] & X'^{*}_0 \arrow[l] \arrow[d] \\
Y & Y' \arrow[l] \\
Y^{*}_{\ill{}} \arrow[u] & Y'^{*}_{\ill{}} \arrow[l] \arrow[u]
\end{tikzcd}

les flèches verticales du haut descendent de \(X^{*}_0\), \(X'^{*}_0\) vers \(Y\), \(Y'\) ; celles du bas montent vers \(Y\), \(Y'\). Les indices sous \(Y^{*}\) et \(Y'^{*}\) sont surchargés ; la lettre \(Y\) du bas à gauche est repassée

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\(Y^{*}_{\ill{}}\). Donc maintenant […] […] […] […] […] 2, la donnée de \(X'^{*}\) donne un \(Y'^{*}\) complètement déployé. Il en résulte aisément que les composantes connexes de \(X'^{*}\) sont les images inverses des composantes connexes de \(X^{*}\) (cf. le lemme 3] compte tenu que \(X\) \(Y'^{*} \to Y^{*}\) est […] […].

Donc

Lemme 3. Il existe un rev. étale surjectif \(Y^{*} \to Y\) tel que \(X^{*} = X \times_Y Y^{*}\) ait des composantes connexes qui soient de degré 1 sur \(Y^{*}\). énoncé encadré d'un double trait vertical

Le morphisme canonique \[X^{*} \longrightarrow Y^{*} \times I = X^{*}_0\] [\(I\) ens. des composantes connexes de \(X^{*}\)] est compatible ⌜[…] […]⌝ […] avec les données de descente sur \(Y^{*} \times I\), (et \(X^{*}\)), […]

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donc définit un morphisme canonique \[X \longrightarrow X_0\] qui est surjectif radiciel fini. Pour montrer que ce morphisme est bien solution du […] universel que nous avons dit, on voit que […] […] sur \(Y^{*}\), un morphisme de \(X^{*}\) dans un revêtement étale \(X'^{*}\) de \(Y^{*}\) factorise de façon unique en \[X^{*} \longrightarrow X^{*}_0 \longrightarrow Y'^{*}\] [et si \(Y'^{*}\) provient d'un \(Y'\), alors le morphisme […] […] est compatible […] […] […] données […], \(X^{*}_0 \to Y'^{*}\) l'est]. Pour vérifier […] […] […] […] […] construit […], […] […] \(X^{*}_0 = Y^{*}\), ce qui est immédiat […] (cf. lemme).

À […] formuler […] […] […] […] […] : un morphisme […] univ.! ouvert \(X \to Y\) […] […] […] composantes connexes ⌜[…]⌝ des fibres, « à […] bien » i.e. […] […] ([…] ⌜[…]⌝) […]

Question Caractérisation des foncteurs représentables par des rev. étales ???

Descente générique

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\(S\) schéma noethérien

\(T/S\) de type fini, […] plat

\(\mathcal{U}\) partie constructible dense de \(T \times_S T\), \(V\) partie constructible dense de \(T \times_S T \times_S T\), \(V \subset \bigcap_{i \neq j} p^{(3)-1}_{ij}(\mathcal{U})\)

\(F\) catégorie fibrée sur la catégorie des \(S\)-schémas de type fini, on suppose \(F_S\) les […] ⌜[…]⌝ morphismes fid. plats et […] […] […] […] […] \(F\)-descente […] ligne très surchargée : plusieurs mots biffés, un ajout interlinéaire « \(S\)-schémas de type fini » et un second passage biffé d'un double trait ; on ne donne que ce qui se lit

\(X \in F_S\) \[\varphi \colon (X \times_S T)|\mathcal{U} \xrightarrow{\ \sim\ } (T \times_S X)|\mathcal{U}\] on suppose \(p_{13}^{*}(\varphi) = p_{23}^{*}(\varphi)\, p_{12}^{*}(\varphi)\) au-dessus de \(V\).

Proposition. Sous ces conditions, il existe une partie constructible dense \(T'\) de \(T\), \(\mathcal{U}' \subset \mathcal{U}\) de \(T \times_S T\) telle que \(\varphi | \mathcal{U}'\) soit et une donnée de descente \[\varphi' \colon X \times_S T' \xrightarrow{\ \sim\ } T' \times_S X\] telle que \(\varphi = \varphi'\) au au-dessus de \(\mathcal{U} \cap (T' \times_S T') = \mathcal{U}'\). énoncé encadré d'un trait vertical à gauche

On peut supposer \(\mathcal{U}\), \(V\) ⌜ouverts⌝ […] ou les germes génériques.

Il existe une partie ⌜ouverte⌝ dense \(\mathcal{U}_1\) de \(\mathcal{U}\) telle que \[\tau \in \mathcal{U}_1 \Rightarrow V \cap p^{(3)-1}_{ij}(\tau) \ \text{dense dans}\ p^{(3)-1}_{ij}(\tau)\] pour tout couple \((i,j)\) tel que \(i \neq j\) [cf. […] […] […] […] plus bas]. Remplaçant \(\mathcal{U}\) par \(\mathcal{U}_1\), on peut donc supposer que \(\tau \in \mathcal{U} \Rightarrow V \cap p^{(3)-1}_{ij}(\tau)\) dense dans \(p^{(3)-1}_{ij}(\tau)\) pour \((i,j)\) tel que \(i \neq j\). De même, on peut trouver une partie constructible \(T'\) de \(T\) telle que \[t \in T' \Rightarrow p_i^{-1}(t) \cap \mathcal{U} \ \text{est dense dans}\ p_i^{-1}(t) \quad \text{pour } i = 1, 2 .\] Remplaçant \(T\) par \(T'\) (ce qui est loisible) on peut supposer que \[t \in T \Rightarrow \mathcal{U} \cap p_i^{-1}(t) \ \text{dense dans}\ V \quad \text{pour } i = 1, 2 .\] il écrit bien « dense dans \(V\) » Enfin, pour la commodité […] Enfin, on supposera \(\mathcal{U}\) symétrique

On désigne par \(\xi\) un schéma de type fini variable sur \(S\) [pour parler des pts : à valeurs dans \(\xi\)]. On pose \[W = p^{(3)-1}_{12}(\mathcal{U}) \cap p^{(3)-1}_{23}(\mathcal{U})\] et on considère \[\pi \colon W \longrightarrow T \times T\] induit par \(p_{13}\).

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On considère \(X_i = p_i^{*}(X)\) (\(i = 1, 2\)), et va définir un isomorphisme \[\psi \colon \pi^{*}(X_1) \xrightarrow{\ \sim\ } \pi^{*}(X_2)\] compatible avec la projection \(\pi \colon W \to T \times_S T\), i.e. les […] images inverses sur \(W \times_{\pi} W\) soient les mêmes.

Pour cela, on […] que \[\pi^{*}(X_1) \simeq p^{(3)*}_{12}(X \times_S T | \mathcal{U}), \qquad \pi^{*}(X_2) \simeq p^{(3)*}_{23}(T \times_S X | \mathcal{U})\] ces deux formules, encadrées, sont barrées de deux traits obliques

Pour cela, on considère les \(p^{(3)*}_i(X)\) (\(i = 1, 2, 3\)), […] on note que \(p^{(3)*}_1(X) = \pi^{*}(X_1)\), \(p^{(3)*}_3(X) \simeq \pi^{*}(X_2)\), et prenons pour […] le composé \[p^{(3)*}_1(X) \xrightarrow{\ \sim\ } p^{(3)*}_2(X) \xrightarrow{\ \sim\ } q_3^{*}(X) .\] le dernier terme est écrit \(q_3^{*}(X)\) ; les \(p\) des termes précédents sont surchargés, peut-être en \(q\) les \(q_i\) induits sur \(W\) par les \(p_i^{(3)}\) Pour prouver la compatibilité de \(\psi\) avec \(\pi\), on […] \(W\) on écrit \[W \times_{T \times_S T} W \subset T \times_S T \times_S T \times_S T ,\] sous le produit, il écrit \(t_1, t', t'', t_2\) pour les quatre facteurs et on considère le produit ⌜sous-schéma \(W'\)⌝ de \(T \times_S T \times_S T \times_S T \times_S T\) (points \(t_1, t', t'', t_2, t'''\)), […] formé des \((t_1, t', t'', t_2, t''')\) tels que \[(t''', t', t_1),\ (t''', t', t_2),\ (t''', t'', t_1),\ (t''', t'', t_2),\ (t''', t_1, t_2) \in V .\] au-dessous, une première liste biffée : « \((t''', t_1), (t''', t_2), (t''', t')\) […] […] \(\mathcal{U}(\xi)\) » ; dans la liste retenue un couple \((t''', t'')\) est aussi biffé, et \((t''', t_1, t_2)\) est ajouté en indice à la fin

On aura donc, si \(t_1, t', t'', t_2, t'''\) sont comme il est spécifié ci-dessus : […] suit une formule biffée, commençant par \(\varphi_{t_2 t'} \varphi_{t' t_2} = (\varphi_{t_2 \ldots}\), que la page 28 reprend

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & t' \arrow[dr, "\mathcal{U}"] & \\
t_1 \arrow[ur, "\mathcal{U}"] \arrow[r, "\mathcal{U}"] \arrow[dr, "\mathcal{U}"'] & t''' \arrow[u, "\mathcal{U}"'] \arrow[d, "\mathcal{U}"] \arrow[r, "\mathcal{U}"] & t_2 \\
 & t'' \arrow[ur, "\mathcal{U}"'] &
\end{tikzcd}

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\[\varphi_{t_2 t'} \varphi_{t' t_1} = \varphi_{t_2 t'} (\varphi_{t' t'''} \varphi_{t''' t_1}) = (\varphi_{t_2 t'} \varphi_{t' t'''}) \varphi_{t''' t_1} = \varphi_{t_2 t'''} \varphi_{t''' t_1}\] On voit de même que \[\varphi_{t_2 t''} \varphi_{t'' t_1} = \varphi_{t_2 t'''} \varphi_{t''' t_1}\] d'où la compatibilité \[\varphi_{t_2 t'} \varphi_{t' t_1} = \varphi_{t_2 t''} \varphi_{t'' t_1} .\]

On voit, sauf erreur ([…] […]) que \(W' \to\) […] \(W \times_{T \times_S T} W \simeq T^4\) ⌜est⌝ surjectif. « \(W \times_{T \times_S T} W \simeq T^4\) » est ajouté au-dessus de la ligne, à la place d'un mot biffé

Il s'ensuit, comme il est plat, que c'est un morphisme de \(F\)-descente, donc que \(\psi\) est bien compatible avec la projection \(\pi \colon W \to T \times_S T\). On voit de même, […], […] \(W \to T \times_S T\) est surjectif, donc, comme il est plat, il s'ensuit que c'est un morphisme de \(F\)-descente, donc \(\psi\) provient d'un isom. \[\varphi' \colon X_1 \xrightarrow{\ \sim\ } X_2 .\]

Montrons que c'est une […] ⌜donnée⌝ de descente, donc que \[\varphi'_{t_3 t_2} \varphi'_{t_2 t_1} = \varphi'_{t_3 t_1} \quad (\text{sur } T \times_S T \times_S T) .\] Pour cela, on regarde la partie […] […] […] \(W'''\) \(W''\) de \(T^6\) formée des \(t_1, t_2, t_3, t', t'', t'''\) tels que \[(t_1, t'),\ (t', t_2),\ (t_2, t'''),\ (t''', t_3) \in \mathcal{U}, \quad \text{et} \quad (t_1, t', t'''),\ (t'', t''', t_3) \in V .\] On a \(W''' \to T \times_S T \times_S T\), on va prouver la relation […] […] : […] […] […] […] […] […].

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & & t''' \arrow[ddrr, bend left=40, "\mathcal{U}"] & & \\
 & t' \arrow[ur] \arrow[dr] & & t'' \arrow[ul, no head] \arrow[dr] & \\
t_1 \arrow[uurr, bend left=40, "\mathcal{U}"] \arrow[ur] & & t_2 \arrow[ur] & & t_3
\end{tikzcd}

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Par définition, le premier membre est […] \[(\varphi_{t_3 t''} \varphi_{t'' t_2})(\varphi_{t_2 t'} \varphi_{t' t_1})\] On a : \[\varphi_{t'' t_2} \varphi_{t_2 t'} = \varphi_{t'' t'''} \varphi_{t''' t'} \qquad [= \varphi'_{t'' t'}]\] donc le […] premier membre […] […] : \[(\varphi_{t_3 t''} \varphi_{t'' t'''})(\varphi_{t''' t'} \varphi_{t' t_1})\] La première parenthèse, puisque \((t''', t'', t_3) \in V\), est égale à \(\varphi_{t_3 t'''}\), et la deuxième est égale à \(\varphi_{t''' t_1}\) ; donc le composé est \(\varphi'_{t_3 t_1}\) par définition. petit schéma dans la marge gauche : \(t'\) au-dessus de \(t_1\) et \(t_2\), relié à eux

Enfin, remarquons que au […] dessus de \(\mathcal{U}\), \(\varphi\) et \(\varphi'\) ⌜coïncident […] […] […] que⌝ évidemment : on est ramené […] […] que \[V \xrightarrow{\ p_{13}\ } \mathcal{U}\] est surjectif, […] donc on est ramené à prouver l'assertion […] que […] […] remontant […] \(V\), laquelle est triviale.

La démonstration des lemmes, est facile.

Condition de représentation. Supposons que pour toute partie constructible dense \(T'\) de \(T\), d'image \(S'\) (constructible) de \(S\), \(T' \to S'\) soit un morphisme de \(F\)-descente strict. Alors ⌜[…] un ouvert dense \(T'\) de \(T\), […]⌝ on peut trouver \(Y \in F_{S'}\), tel que un isom. \[X \simeq Y \times_{S'} T' ,\] compatible avec les données de ⌜descente⌝. « \(\in F_{S'}\) » : le \(S\) indicé est surchargé

Descente pour un morphisme fidèlement plat non fini

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Question de la possibilité de descente pour un morphisme fid. plat non fini. Un cas typique est le suivant : soit […] \(T\) plat ⌜étale gal.⌝ fini sur \(S\), de groupe \(G\), et […] soit \(T'\) l'ouvert […] \(T\), […] \(T - \Phi\), où \[\Phi = f^{-1}(s) - (t) \qquad (f(t) = s)\] \(s\) étant un pt fermé de \(S\). On a […] […] \(f^{-1}(s)\) […] \(t^{c}\)) Alors \(T' \times_S T' \to\) […]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & X \arrow[d] \\
s \in S & T \arrow[l]
\end{tikzcd}

On a \[T \times_S T = \Delta_T \times (G \times G)\] entre \(\Delta_T\) et \((G \times G)\), un signe de produit indicé \(G\), barré d'une croix ; le \(T\) en indice de \(\Delta\) est repassé formé […] […] […] […] […] […] \[\mathcal{U}_g = (g \times e)\, \Delta_T ,\] […] […] […] […] isomorphe à \(T\) par […] […] […] \(T \to \Delta_T \xrightarrow{g \times e}\) la fin de la phrase est remplacée par un ajout au-dessus de la ligne, en partie illisible montrant

\begin{tikzcd}
T \arrow[r, "\varphi_g"] \arrow[d, "\Delta"'] & \mathcal{U}_g \arrow[d, "\mathrm{ind.}"] \\
T \times_S T \arrow[r, "g \times e"'] & T \times_S T
\end{tikzcd}

et pour […] les composés de \(\varphi_g\) avec les deux projections sont resp. \(g\) et l'identité, […] \[\varphi_g^{-1}\bigl(\mathcal{U}_g \cap (T' \times_S T')\bigr) = g^{-1}(T') \cap T' .\] Il est donc égal à \(T'\) si \(g = e\), à \(T - f^{-1}(s) = T''\) si \(g \neq e\). Ainsi, \(T' \times_S T'\) est réunion ⌜somme⌝ disjointe de sa diagonale \(\simeq T\) ; et d'ouverts \(\mathcal{U}'_g\) (\(g \neq e\)) disjoints, isomorphes à \(T'' = T - f^{-1}(s)\). Une donnée de descente sur un \(X / T'\), relativement, revient à dire : se donner

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un […] syst. d'isomorph[ismes] un isom. \[X \times_S T' \simeq T' \times_S X\] i.e. un syst. d'isomorphismes des deux images inverses de \(X\) sur les \(\mathcal{U}'_g\) ; sur la diagonale \(\mathcal{U}'_e\), ce doit être l'identité, et pour \(g \neq e\), ce doit être un isomorphisme \[X | T'' \simeq g^{*}(X | T'') .\] Il faut écrire la condition de transitivité. Pour une […] de […], ce qui fait intervenir \[T' \times_S T' \times_S T' \subset T \times_S T \times_S T \simeq \Delta_3 T \times (G \times G \times G) .\] ici encore le signe de produit indicé \(G\) devant \((G \times G \times G)\) est barré d'une croix Soit \[V_{g, g'} = (g \times g' \times e) \Delta_3 T ,\] il s'identifie par \((g \times g' \times e) \circ \Delta\) avec \(T\), les projections […] […] induisant \(g, g', e\) ; donc \[V'_{g, g'} = V_{g, g'} \cap (T' \times_S T' \times_S T')\] s'identifie à \[g^{-1}(T') \cap g'^{-1}(T') \cap T' ,\] donc à \(T''\) sauf pour \(g = g' = e\), où on trouve la diagonale \(\simeq T'\). \(T' \times_S T' \times_S T'\) est donc la somme des \(V'_{g,g'}\), […] […] […] isom. à \(T''\). On constate […] que la transitivité,

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vérification […] que deux morphismes, […] […] précédemment sur \(T' \times_S T' \times_S T'\) soient identiques, étant déjà acquis sur la diagonale \(V'_{e,e}\), donc il suffit à l'exprimer sur les autres composantes. Mais alors il ne porte que sur les \(T''\), et la superposition […] […] […] […] […] une donnée de descente […] […] […] sur \(X | T''\), […] […] une donnée de descente, i.e. si les isom. \[g^{-1}(X) \simeq X\] proviennent d'opérations de \(G\) sur \(X | T''\), compatibles avec ses opérations sur \(X\) \(T''\). Ainsi, une donnée de descente sur \(X\) pour \(f \colon T' \to S\) est la même chose qu'une donnée de descente sur \(X | T''\), i.e. que […] la donnée d'opérations de \(G\) sur \(X | T''\), compatibles avec ses opérations sur \(T''\). Si p.ex. \(X\) est proj. sur \(T'\), c'est la même chose que la donnée d'un isom. \[X | T'' \simeq X_0 \times_{S''} T''\] où \(S'' = S - (s)\), \(X_0\) étant un schéma proj. sur \(S''\).

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La question d'effectivité de la descente est donc équivalente à la suivante :

On a \(X'_0\) sur \(S - s\), on étend \[X'_0 \times_{S - s} \bigl(T - f^{-1}(s)\bigr)\] en un point \(t\) de \(f^{-1}(s)\) de façon à obtenir \(X\) sur \[T' = \bigl(T - f^{-1}(s)\bigr) \cup \{t\} ,\] par ex. sur \(T\) ! Montrer que \(X\) est isom. à l'image réciproque d'un \(X_0\) sur \(S\) prolongeant \(X\). il écrit « prolongeant \(X\) » ; on attendrait le \(X'_0\) du début du paragraphe