Cote n° 126 · batch 2 · pages 21–34 · Transcription · Descente fidèlement plate. Divers : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Descentes » (126 à 133) est daté [avant 1970]
Édition de démonstration

TEI P5 source — open the XML · download batch-02.fr.xml

Revêtements étales et descente

les pages 21 à 23 sont d'une écriture très rapide, à l'encre bleue ; les formules et les énoncés passent, la plus grande partie de la prose de liaison non

21

Faisons une extension, de la […] […] successives \(Y_1 = X\), [d'où \(X_1^{*} = X \times_Y Y_1\), \(X_1 = X_{(1)} \amalg X^{(1)}\), puis \(Y_2 = X^{(1)}\)] […] […]

Lemme 2. Il existe un \(Y'_2\) fini sur \(Y\), avec \(Y'_2 \to Y\) surjectif [et radiciel universellement ouvert […] […]] tel que \(X' = X \times_Y Y'\) se décompose […] […] […] réunion \(X'_i\) connexes de degré fini séparable 1 sur \(Y\). énoncé encadré d'un trait vertical à gauche ; l'indice de \(Y'_2\) est écrit, puis omis dans \(X' = X \times_Y Y'\)

Soit \(I\) l'ensemble des composantes connexes de \(X'\), considérons \(Y' \times I\) comme […] rev. étale de \(Y'\). Il en résulte […] […] […] \(X'_0 = Y' \times I\) […] […] […] de descente relatives : \(Y' \to Y\), d'où un rev. étale \(X\) de \(Y\), […] \(X'^{*}_0\) par image inverse. Soit \(Y^{*}_{\ill{}}\) un rev. étale [disons […]] de \(Y\) qui déploie \(X_0\) complètement, puis l'[…] […] de la situation sur

schéma dans la marge gauche :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X_0^{*} \arrow[d] & X'^{*}_0 \arrow[l] \arrow[d] \\
Y & Y' \arrow[l] \\
Y^{*}_{\ill{}} \arrow[u] & Y'^{*}_{\ill{}} \arrow[l] \arrow[u]
\end{tikzcd}

les flèches verticales du haut descendent de \(X^{*}_0\), \(X'^{*}_0\) vers \(Y\), \(Y'\) ; celles du bas montent vers \(Y\), \(Y'\). Les indices sous \(Y^{*}\) et \(Y'^{*}\) sont surchargés ; la lettre \(Y\) du bas à gauche est repassée

22

\(Y^{*}_{\ill{}}\). Donc maintenant […] […] […] […] […] la […] de descente de \(X'^{*}\) donne un \(Y'^{*}\) complètement décomposé. Il en résulte aisément que les composantes connexes de \(X'^{*}\) sont les images inverses des composantes connexes de \(X^{*}\) (cf. lemme 3) compte tenu que […] \(Y'^{*} \to Y^{*}\) est radiciel surjectif.

Donc

Lemme 3. Il existe un rev. étale surjectif \(Y^{*} \to Y\) tel que \(X^{*} = X \times_Y Y^{*}\) ait des composantes connexes qui soient de degré 1 sur \(Y^{*}\). énoncé encadré d'un double trait vertical

Le morphisme canonique \[X^{*} \longrightarrow Y^{*} \times I = X^{*}_0\] [\(I\) […] […] […] composantes connexes de \(X^{*}\)] est compatible […] avec les données de descente sur \(Y^{*} \times I\), (et \(X^{*}\)), […]

23

donc définit un morphisme […] \[X \longrightarrow X_0\] […] […] surjectif radiciel fini. Pour montrer que […] morphisme est bien […], […] universel que […] […] […] dit, on voit que […] \(X^{*}\) […] […] \(Y^{*}\), un morphisme […] […] […] \(X'^{*}\) et \(Y^{*}\) […] […] […] […] \[X^{*} \longrightarrow X^{*}_0 \longrightarrow Y'^{*}\] [et si \(Y'^{*}\) provient d'un \(Y'\) morphisme […] […] […] […] […] […] […] […], \(X^{*}_0 \to Y'^{*}\) […] […]]. Pour vérifier […] […] […] […] […] […], […] […] […] \(X^{*}_0 = Y^{*}\), […] […] immédiat […] ([…] […]).

À […] formuler […] […] […] […] […] : […] […] univ.! ouvert \(X \to Y\) […] […] connexité géométrique des fibres (ouvert réduit fini […]), « […] […] […] » i.e. […] […] ouvert […]

Question Caractérisation des foncteurs représentables par des rev. étales ???

Descente générique

26

\(S\) schéma noethérien

\(T/S\) de type fini, […] plat

\(\mathcal{U}\) partie constructible dense de \(T \times_S T\), \(V\) partie constructible dense de \(T \times_S T \times_S T\), \(V \subset \bigcap_{i \neq j} p^{(3)-1}_{ij}(\mathcal{U})\)

\(F\) catégorie fibrée sur la catégorie des \(S\)-schémas de type fini, on suppose […] les morphismes fid. plats et […] […] […] […] […] \(F\)-descente […] ligne très surchargée : plusieurs mots biffés, un ajout interlinéaire « \(S\)-schémas de type fini » et un second passage biffé d'un double trait ; on ne donne que ce qui se lit

\(X \in F_S\) \[\varphi \colon (X \times_S T)|\mathcal{U} \xrightarrow{\ \sim\ } (T \times_S X)|\mathcal{U}\] on suppose \(p_{13}^{*}(\varphi) = p_{23}^{*}(\varphi)\, p_{12}^{*}(\varphi)\) au-dessus de \(V\).

Proposition. Sous ces conditions, il existe une partie constructible dense \(T'\) de \(T\), \(\mathcal{U}'\) […] de \(T \times_S T\) telle que \(\varphi | \mathcal{U}'\) soit et une donnée de descente \[\varphi' \colon X \times_S T' \xrightarrow{\ \sim\ } T' \times_S X\] telle que \(\varphi = \varphi'\) […] au-dessus de \(\mathcal{U} \cap (T' \times_S T') = \mathcal{U}'\). énoncé encadré d'un trait vertical à gauche

On peut supposer \(\mathcal{U}\), \(V\) ouverts […] ou […] génériques.

Il existe une partie ouverte dense \(\mathcal{U}_1\) de \(\mathcal{U}\) telle que \[\tau \in \mathcal{U}_1 \Rightarrow V \cap p^{(3)-1}_{ij}(\tau) \ \text{dense dans}\ p^{(3)-1}_{ij}(\tau)\] pour tout couple \((i,j)\) tel que \(i \neq j\) [cf. […] […] […] […] […] […]]. Remplaçant \(\mathcal{U}\) par \(\mathcal{U}_1\), on […] […] […] […] que \(\tau \in \mathcal{U} \Rightarrow V \cap p^{(3)-1}_{ij}(\tau)\) […] […] […] pour tout \((i,j)\) tel que \(i \neq j\). De même, […] […] partie constructible \(T'\) de \(T\) telle que \[t \in T' \Rightarrow p_i^{-1}(t) \cap \mathcal{U} \ \text{est dense dans}\ p_i^{-1}(t) \quad \text{pour } i = 1, 2 .\] Remplaçant \(T\) par \(T'\) (ce qui est loisible) on peut supposer que \[t \in T \Rightarrow \mathcal{U} \cap p_i^{-1}(t) \ \text{dense dans}\ \ill{} \quad \text{pour } i = 1, 2 .\] Enfin, on peut supposer […] \(\mathcal{U}\) symétrique

On désigne par \(\xi\) un schéma de type fini variable sur \(S\) [[…] […] […] […] : […] […] \(\xi\)]. On pose \[W = p^{(3)-1}_{12}(\mathcal{U}) \cap p^{(3)-1}_{23}(\mathcal{U})\] et on considère \[\pi \colon W \longrightarrow T \times T\] induit par \(p_{13}\).

27

On considère \(X_i = p_i^{*}(X)\) (\(i = 1, 2\)), et va définir un isomorphisme \[\psi \colon \pi^{*}(X_1) \xrightarrow{\ \sim\ } \pi^{*}(X_2)\] compatible avec la projection \(\pi \colon W \to T \times_S T\), i.e. […] […] […] […] \(W \times_{\pi} W\) […] […] isos.

Pour cela, on […] que \[\pi^{*}(X_1) \simeq p^{(3)*}_{12}(X \times_S T | \mathcal{U}), \qquad \pi^{*}(X_2) \simeq p^{(3)*}_{23}(T \times_S X | \mathcal{U})\] ces deux formules, encadrées, sont barrées de deux traits obliques

Pour cela, on considère les \(p^{(3)*}_i(X)\) (\(i = 1, 2, 3\)), […] on note que \(p^{(3)*}_1(X) = \pi^{*}(X_1)\), \(p^{(3)*}_3(X) \simeq \pi^{*}(X_2)\), et prenons […] […] le composé \[p^{(3)*}_1(X) \xrightarrow{\ \sim\ } p^{(3)*}_2(X) \xrightarrow{\ \sim\ } p^{(3)*}_3(X) .\] Pour prouver la compatibilité de \(\psi\) avec \(\pi\), on […] \(W\) on écrit \[W \times_{T \times_S T} W \subset T \times_S T \times_S T \times_S T ,\] sous le produit, il écrit \(t_1, t', t'', t_2\) pour les quatre facteurs et on considère le produit sous-schéma \(W'\) de \(T \times_S T \times_S T \times_S T \times_S T\) (points \(t_1, t', t'', t_2, t'''\)), […] formé des \((t_1, t', t'', t_2, t''')\) tels que \[(t''', t', t_1),\ (t''', t', t_2),\ (t''', t'', t_1),\ (t''', t'', t_2),\ (t''', t_1, t_2) \in V .\] au-dessous, une première liste biffée : « \((t''', t_1), (t''', t_2), (t''', t')\) […] […] \(\mathcal{U}(\xi)\) » ; dans la liste retenue un couple \((t''', t'')\) est aussi biffé, et \((t''', t_1, t_2)\) est ajouté en indice à la fin

On aura donc, si \(t_1, t', t'', t_2, t'''\) sont comme il est spécifié ci-dessus : […] suit une formule biffée, commençant par \(\varphi_{t_2 t'} \varphi_{t' t_2} = (\varphi_{t_2 \ldots}\), que la page 28 reprend

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & t' \arrow[dr, "\mathcal{U}"] & \\
t_1 \arrow[ur, "\mathcal{U}"] \arrow[r, "\mathcal{U}"] \arrow[dr, "\mathcal{U}"'] & t''' \arrow[u, "\mathcal{U}"'] \arrow[d, "\mathcal{U}"] \arrow[r, "\mathcal{U}"] & t_2 \\
 & t'' \arrow[ur, "\mathcal{U}"'] &
\end{tikzcd}

28

\[\varphi_{t_2 t'} \varphi_{t' t_1} = \varphi_{t_2 t'} (\varphi_{t' t'''} \varphi_{t''' t_1}) = (\varphi_{t_2 t'} \varphi_{t' t'''}) \varphi_{t''' t_1} = \varphi_{t_2 t'''} \varphi_{t''' t_1}\] On voit de même que \[\varphi_{t_2 t''} \varphi_{t'' t_1} = \varphi_{t_2 t'''} \varphi_{t''' t_1}\] d'où la compatibilité \[\varphi_{t_2 t'} \varphi_{t' t_1} = \varphi_{t_2 t''} \varphi_{t'' t_1} .\]

On voit, sauf erreur ([…] […]) que \(W' \to\) […] \(W \times_{T \times_S T} W \simeq T^4\) […] surjectif. « \(W \times_{T \times_S T} W \simeq T^4\) » est ajouté au-dessus de la ligne, à la place d'un mot biffé

Il s'ensuit, grâce […] […] […] […] un morphisme de \(F\)-descente, […] que \(\psi\) est bien compatible avec la projection \(\pi \colon W \to T \times_S T\). On sait d'autre part que \(W \to T \times_S T\) est surjectif, […] plat, il s'ensuit que c'est un morphisme de \(F\)-descente, donc \(\psi\) provient d'un isomorphisme \[\varphi' \colon X_1 \xrightarrow{\ \sim\ } X_2 .\]

Montrons que c'est une […] donnée de descente, donc que \[\varphi'_{t_3 t_2} \varphi'_{t_2 t_1} = \varphi'_{t_3 t_1} \quad (\text{sur } T \times_S T \times_S T) .\] Pour cela, on regarde la partie […] […] […] \(W'''\) \(W''\) de \(T^6\) formée des \(t_1, t_2, t_3, t', t'', t'''\) tels que \[(t_1, t'),\ (t', t_2),\ (t_2, t'''),\ (t''', t_3) \in \mathcal{U}, \quad \text{et} \quad (t_1, t', t'''),\ (t'', t''', t_3) \in V .\] On a \(W''' \to T \times_S T \times_S T\), […] […] […] […] la relation […] […] : […] […] […] […] […] […].

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & & t''' \arrow[ddrr, bend left=40, "\mathcal{U}"] & & \\
 & t' \arrow[ur] \arrow[dr] & & t'' \arrow[ul, no head] \arrow[dr] & \\
t_1 \arrow[uurr, bend left=40, "\mathcal{U}"] \arrow[ur] & & t_2 \arrow[ur] & & t_3
\end{tikzcd}

29

Par définition, le premier membre est […] \[(\varphi_{t_3 t''} \varphi_{t'' t_2})(\varphi_{t_2 t'} \varphi_{t' t_1})\] On a : \[\varphi_{t'' t_2} \varphi_{t_2 t'} = \varphi_{t'' t'''} \varphi_{t''' t'} \qquad [= \varphi'_{t'' t'}]\] donc le […] premier membre […] […] : \[(\varphi_{t_3 t''} \varphi_{t'' t'''})(\varphi_{t''' t'} \varphi_{t' t_1})\] La première parenthèse, puisque \((t''', t'', t_3) \in V\), […] \(\varphi_{t_3 t'''}\), et la deuxième est égale à \(\varphi_{t''' t_1}\) ; d'où le […] est \(\varphi'_{t_3 t_1}\) par définition. petit schéma dans la marge gauche : \(t'\) au-dessus de \(t_1\) et \(t_2\), relié à eux

Enfin, remarquons que […] […] […] […] […] au-dessus de \(\mathcal{U}\), \(\varphi\) et \(\varphi'\) coïncident : […] […] […] […] […] […] que \[V \xrightarrow{\ p_{13}\ } \mathcal{U}\] est surjectif, donc […] […] […] […] ramené à prouver l'assertion […] […] que […] […] […] \(V\), laquelle est triviale.

La démonstration […] […] […], […] facile.

Condition […] représentation. Supposons que pour toute partie constructible […] \(T'\) de \(T\), […] […] \(S'\) ([…]) de \(S\), \(T' \to S'\) soit un morphisme de \(F\)-descente stricte. Alors moyennant remplacement […] \(T'\) de \(T\), […] […], on peut trouver \(Y \in F_{S'}\), […] […] isom. \[X \simeq Y \times_{S'} T' ,\] compatible avec les données de descente. « \(\in F_{S'}\) » : le \(S\) indicé est surchargé ; un ajout interlinéaire à la fin de la page, sous la ligne, se lit « descente »

Descente pour un morphisme fidèlement plat non fini

31

Question de la possibilité de descente pour un morphisme fid. plat non fini. Un cas typique est le suivant : […] \(T\) plat étale gal. fini sur \(S\), de groupe \(G\), et […] soit \(T'\) l'ouvert […] \(T\), […] \(T - \Phi\), où \[\Phi = f^{-1}(s) - (t) \qquad (f(t) = s)\] […] \(s\) […] un pt fermé de \(S\). On a […] […] \(f^{-1}(s)\) […] \(t^{c}\)) Alors \(T' \times_S T' \to\) […]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & X \arrow[d] \\
s \in S & T \arrow[l]
\end{tikzcd}

On a \[T \times_S T = \Delta_T \times (G \times G)\] entre \(\Delta_T\) et \((G \times G)\), un signe de produit indicé \(G\), barré d'une croix ; le \(T\) en indice de \(\Delta\) est repassé formé […] […] […] […] […] […] \[\mathcal{U}_g = (g \times e)\, \Delta_T ,\] […] […] […] […] isomorphe à \(T\) par […] […] […] \(T \to \Delta_T \xrightarrow{g \times e}\) la fin de la phrase est remplacée par un ajout au-dessus de la ligne, en partie illisible montrant

\begin{tikzcd}
T \arrow[r, "\varphi_g"] \arrow[d, "\Delta"'] & \mathcal{U}_g \arrow[d, "\mathrm{ind.}"] \\
T \times_S T \arrow[r, "g \times e"'] & T \times_S T
\end{tikzcd}

et pour […] les […] correspondants aux projections de \(\varphi_g\) […] […] respectivement \(g\) et l'identité, […] […] \[\varphi_g^{-1}\bigl(\mathcal{U}_g \cap (T' \times_S T')\bigr) = g^{-1}(T') \cap T' .\] Il est […] […] \(T'\) si \(g = e\), et \(T - f^{-1}(s) = T''\) si \(g \neq e\). Ainsi, \(T' \times_S T'\) est réunion somme […] […] sa diagonale \(\simeq T\) ; et d'ouverts \(\mathcal{U}'_g\) (\(g \neq e\)) […] isomorphes : \(T'' = T - f^{-1}(s)\). Une donnée de descente sur un \(X / T'\) relativement […] : […] […] […] à la fin de la page le tracé se lit « \(X / T'\) » ; « \(T''\) » est souligné

32

un […] isomorph. d'isomorphismes […] isom. \[X \times_S T' \simeq T' \times_S X\] i.e. un syst. d'isomorphismes des deux images inverses de \(X\) sur les \(\mathcal{U}'_g\) ; sur la diagonale \(\mathcal{U}'_e\), ce doit être l'identité, et pour \(g \neq e\), ce doit être un isomorphisme \[X | T'' \simeq g^{*}(X | T'') .\] Il faut écrire la condition […] […] […] transitivité. […] […] \[T \times_S T \times_S T \simeq \Delta_3 T \times (G \times G \times G) .\] ici encore le signe de produit indicé \(G\) devant \((G \times G \times G)\) est barré d'une croix Soit \[V_{g, g'} = (g \times g' \times e) \Delta_3 T ,\] il s'identifie par \((g \times g' \times e) \circ \Delta\) avec \(T\), les […] […] […] […] […] […] \(g, g', e\) ; […] \[V'_{g, g'} = V_{g, g'} \cap (T' \times_S T' \times_S T')\] s'identifie à \[g^{-1}(T') \cap g'^{-1}(T') \cap T' ,\] […] […] \(T''\) sauf pour \(g = g' = e\), […] […] […] la diagonale \(\simeq T'\). \(T' \times_S T' \times_S T'\) est […] […] […] \(V'_{g,g'}\), […] […] […] isomorphes à \(T''\). On constate […] que la transitivité,

33

vérification […] pour deux morphismes […] précédemment sur \(T' \times_S T' \times_S T'\) soient identiques, étant […] acquis sur la diagonale \(V'_{e,e}\), […] il suffit à l'exprimer sur les autres composantes. Mais alors il ne porte que sur les \(T''\), et la superposition […] […] […] […] […] une donnée de descente […] […] […] sur \(X | T''\), […] […] une donnée de descente, i.e. les isom. \[g^{-1}(X) \simeq X\] proviennent d'opérations de \(G\) sur \(X | T''\), compatibles avec ses opérations sur \(X\) \(T''\). Ainsi, une donnée de descente sur \(X\) pour \(f \colon T' \to S\) est la même chose qu'une donnée de descente sur \(X | T''\), i.e. que […] la donnée d'opérations de \(G\) sur \(X | T''\), compatibles avec ses opérations sur \(T''\). Si p.ex. \(X\) est proj. sur \(T'\), cela […] […] […] que la donnée d'un isom. \[X | T'' \simeq X_0 \times_{S''} T''\] où \(S'' = S - (s)\), \(X_0\) étant un schéma proj. sur \(S''\).

34

La question d'effectivité de la descente est donc équivalente à la suivante :

On a \(X'_0\) sur \(S - s\), on étend \[X'_0 \times_{S - s} \bigl(T - f^{-1}(s)\bigr)\] en un point \(t\) de \(f^{-1}(s)\) de façon à obtenir \(X\) sur \[T' = \bigl(T - f^{-1}(s)\bigr) \cup \{t\} ,\] par exemple sur \(T\) ! Montrer que \(X\) est isomorphe à l'image réciproque d'un \(X_0\) sur \(S\) prolongeant \(X_0\). le dernier \(X_0\) est à lire, semble-t-il, comme le \(X'_0\) du début du paragraphe