Fonds Grothendieck, cote n° 126, pages 21–34

Revêtements étales et descente

les pages 21 à 23 sont d'une écriture très rapide, à l'encre bleue ; les formules et les énoncés passent, la plus grande partie de la prose de liaison non

Faisons une extension, de la successives Y_1 = X, [d'où X_1^{*} = X \times_Y Y_1, X_1 = X_{(1)} \amalg X^{(1)}, puis Y_2 = X^{(1)}]

Lemme 2. Il existe un Y'_2 fini sur Y, avec Y'_2 \to Y surjectif [et ~~radiciel~~ universellement ouvert ] tel que X' = X \times_Y Y' se décompose réunion X'_i connexes de degré ~~fini~~ séparable 1 sur Y. énoncé encadré d'un trait vertical à gauche ; l'indice de Y'_2 est écrit, puis omis dans X' = X \times_Y Y'

Soit I l'ensemble des composantes connexes de X', considérons Y' \times I comme rev. étale de Y'. Il en résulte X'_0 = Y' \times I de descente relatives : Y' \to Y, d'où un rev. étale X de Y, X'^{*}_0 par image inverse. Soit Y^{*}_{\ill{}} un rev. étale [disons ] de Y qui déploie X_0 complètement, puis l' de la situation sur

schéma dans la marge gauche :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] X_0^{*} \arrow[d] & X'^{*}_0 \arrow[l] \arrow[d] \\ Y & Y' \arrow[l] \\ Y^{*}_{\ill{}} \arrow[u] & Y'^{*}_{\ill{}} \arrow[l] \arrow[u] \end{tikzcd}

les flèches verticales du haut descendent de X^{*}_0, X'^{*}_0 vers Y, Y' ; celles du bas montent vers Y, Y'. Les indices sous Y^{*} et Y'^{*} sont surchargés ; la lettre Y du bas à gauche est repassée

Y^{*}_{\ill{}}. Donc maintenant la de descente de X'^{*} donne un Y'^{*} complètement décomposé. Il en résulte aisément que les composantes connexes de X'^{*} sont les images inverses des composantes connexes de X^{*} (cf. lemme 3) compte tenu que Y'^{*} \to Y^{*} est radiciel surjectif.

Donc

Lemme 3. Il existe un rev. étale surjectif Y^{*} \to Y tel que X^{*} = X \times_Y Y^{*} ait des composantes connexes qui soient de degré 1 sur Y^{*}. énoncé encadré d'un double trait vertical

Le morphisme canonique X^{*} \longrightarrow Y^{*} \times I = X^{*}_0 [I composantes connexes de X^{*}] est compatible avec les données de descente sur Y^{*} \times I, (et X^{*}),

donc définit un morphisme X \longrightarrow X_0 surjectif radiciel fini. Pour montrer que morphisme est bien , universel que dit, on voit que X^{*} Y^{*}, un morphisme X'^{*} et Y^{*} X^{*} \longrightarrow X^{*}_0 \longrightarrow Y'^{*} [et si Y'^{*} provient d'un Y' morphisme , X^{*}_0 \to Y'^{*} ]. Pour vérifier , X^{*}_0 = Y^{*}, immédiat ( ).

À formuler : univ.! ouvert X \to Y connexité géométrique des fibres (ouvert réduit fini ), « » i.e. ouvert

Question Caractérisation des foncteurs représentables par des rev. étales ???

Descente générique

S schéma noethérien

T/S de type fini, plat

\mathcal{U} partie constructible dense de T \times_S T, V partie constructible dense de T \times_S T \times_S T, V \subset \bigcap_{i \neq j} p^{(3)-1}_{ij}(\mathcal{U})

F catégorie fibrée sur la catégorie des S-schémas de type fini, on suppose les morphismes ~~fid. plats et~~ ~~F-descente~~ ligne très surchargée : plusieurs mots biffés, un ajout interlinéaire « S-schémas de type fini » et un second passage biffé d'un double trait ; on ne donne que ce qui se lit

X \in F_S \varphi \colon (X \times_S T)|\mathcal{U} \xrightarrow{\ \sim\ } (T \times_S X)|\mathcal{U} on suppose p_{13}^{*}(\varphi) = p_{23}^{*}(\varphi)\, p_{12}^{*}(\varphi) au-dessus de V.

Proposition. Sous ces conditions, il existe une partie constructible dense T' de T, ~~\mathcal{U}' de T \times_S T telle que \varphi | \mathcal{U}' soit~~ et une donnée de descente \varphi' \colon X \times_S T' \xrightarrow{\ \sim\ } T' \times_S X telle que \varphi = \varphi' au-dessus de \mathcal{U} \cap (T' \times_S T') = \mathcal{U}'. énoncé encadré d'un trait vertical à gauche

On peut supposer \mathcal{U}, V ouverts ou génériques.

Il existe une partie ouverte dense \mathcal{U}_1 de \mathcal{U} telle que \tau \in \mathcal{U}_1 \Rightarrow V \cap p^{(3)-1}_{ij}(\tau) \ \text{dense dans}\ p^{(3)-1}_{ij}(\tau) pour tout couple (i,j) tel que i \neq j [cf. ]. Remplaçant \mathcal{U} par \mathcal{U}_1, on que \tau \in \mathcal{U} \Rightarrow V \cap p^{(3)-1}_{ij}(\tau) pour tout (i,j) tel que i \neq j. De même, partie constructible T' de T telle que t \in T' \Rightarrow p_i^{-1}(t) \cap \mathcal{U} \ \text{est dense dans}\ p_i^{-1}(t) \quad \text{pour } i = 1, 2 . Remplaçant T par T' (ce qui est loisible) on peut supposer que t \in T \Rightarrow \mathcal{U} \cap p_i^{-1}(t) \ \text{dense dans}\ \ill{} \quad \text{pour } i = 1, 2 . ~~Enfin, on peut supposer \mathcal{U} symétrique~~

On désigne par \xi un schéma de type fini variable sur S [ : \xi]. On pose W = p^{(3)-1}_{12}(\mathcal{U}) \cap p^{(3)-1}_{23}(\mathcal{U}) et on considère \pi \colon W \longrightarrow T \times T induit par p_{13}.

On considère X_i = p_i^{*}(X) (i = 1, 2), et va définir un isomorphisme \psi \colon \pi^{*}(X_1) \xrightarrow{\ \sim\ } \pi^{*}(X_2) compatible avec la projection \pi \colon W \to T \times_S T, i.e. W \times_{\pi} W isos.

~~Pour cela, on que~~ \pi^{*}(X_1) \simeq p^{(3)*}_{12}(X \times_S T | \mathcal{U}), \qquad \pi^{*}(X_2) \simeq p^{(3)*}_{23}(T \times_S X | \mathcal{U}) ces deux formules, encadrées, sont barrées de deux traits obliques

Pour cela, on considère les p^{(3)*}_i(X) (i = 1, 2, 3), on note que p^{(3)*}_1(X) = \pi^{*}(X_1), p^{(3)*}_3(X) \simeq \pi^{*}(X_2), et prenons le composé p^{(3)*}_1(X) \xrightarrow{\ \sim\ } p^{(3)*}_2(X) \xrightarrow{\ \sim\ } p^{(3)*}_3(X) . Pour prouver la compatibilité de \psi avec \pi, ~~on W~~ on écrit W \times_{T \times_S T} W \subset T \times_S T \times_S T \times_S T , sous le produit, il écrit t_1, t', t'', t_2 pour les quatre facteurs et on considère le ~~produit~~ sous-schéma W' de T \times_S T \times_S T \times_S T \times_S T (points t_1, t', t'', t_2, t'''), formé des (t_1, t', t'', t_2, t''') tels que (t''', t', t_1),\ (t''', t', t_2),\ (t''', t'', t_1),\ (t''', t'', t_2),\ (t''', t_1, t_2) \in V . au-dessous, une première liste biffée : « (t''', t_1), (t''', t_2), (t''', t') \mathcal{U}(\xi) » ; dans la liste retenue un couple (t''', t'') est aussi biffé, et (t''', t_1, t_2) est ajouté en indice à la fin

On aura donc, si t_1, t', t'', t_2, t''' sont comme il est spécifié ci-dessus : suit une formule biffée, commençant par \varphi_{t_2 t'} \varphi_{t' t_2} = (\varphi_{t_2 \ldots}, que la page 28 reprend

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & t' \arrow[dr, "\mathcal{U}"] & \\ t_1 \arrow[ur, "\mathcal{U}"] \arrow[r, "\mathcal{U}"] \arrow[dr, "\mathcal{U}"'] & t''' \arrow[u, "\mathcal{U}"'] \arrow[d, "\mathcal{U}"] \arrow[r, "\mathcal{U}"] & t_2 \\ & t'' \arrow[ur, "\mathcal{U}"'] & \end{tikzcd} schéma dans la marge gauche, en bas de la page ; la flèche de t''' vers t' est très repassée. Dans la marge gauche, en diagonale et souligné : « Question rédaction » ; plus haut, des mots illisibles et « p_i^{(3)} »

\varphi_{t_2 t'} \varphi_{t' t_1} = \varphi_{t_2 t'} (\varphi_{t' t'''} \varphi_{t''' t_1}) = (\varphi_{t_2 t'} \varphi_{t' t'''}) \varphi_{t''' t_1} = \varphi_{t_2 t'''} \varphi_{t''' t_1} On voit de même que \varphi_{t_2 t''} \varphi_{t'' t_1} = \varphi_{t_2 t'''} \varphi_{t''' t_1} d'où la compatibilité \varphi_{t_2 t'} \varphi_{t' t_1} = \varphi_{t_2 t''} \varphi_{t'' t_1} .

On voit, sauf erreur ( ) que W' \to W \times_{T \times_S T} W \simeq T^4 surjectif. « W \times_{T \times_S T} W \simeq T^4 » est ajouté au-dessus de la ligne, à la place d'un mot biffé

Il s'ensuit, grâce un morphisme de F-descente, que \psi est bien compatible avec la projection \pi \colon W \to T \times_S T. On sait d'autre part que W \to T \times_S T est surjectif, plat, il s'ensuit que c'est un morphisme de F-descente, donc \psi provient d'un isomorphisme \varphi' \colon X_1 \xrightarrow{\ \sim\ } X_2 .

Montrons que c'est une donnée de descente, donc que \varphi'_{t_3 t_2} \varphi'_{t_2 t_1} = \varphi'_{t_3 t_1} \quad (\text{sur } T \times_S T \times_S T) . Pour cela, on regarde la ~~partie~~ W''' ~~W''~~ de T^6 formée des t_1, t_2, t_3, t', t'', t''' tels que (t_1, t'),\ (t', t_2),\ (t_2, t'''),\ (t''', t_3) \in \mathcal{U}, \quad \text{et} \quad (t_1, t', t'''),\ (t'', t''', t_3) \in V . On a W''' \to T \times_S T \times_S T, la relation : .

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & & t''' \arrow[ddrr, bend left=40, "\mathcal{U}"] & & \\ & t' \arrow[ur] \arrow[dr] & & t'' \arrow[ul, no head] \arrow[dr] & \\ t_1 \arrow[uurr, bend left=40, "\mathcal{U}"] \arrow[ur] & & t_2 \arrow[ur] & & t_3 \end{tikzcd} schéma dans la marge gauche ; le trait de t'' vers t''' est sans pointe

Par définition, le premier membre est (\varphi_{t_3 t''} \varphi_{t'' t_2})(\varphi_{t_2 t'} \varphi_{t' t_1}) On a : \varphi_{t'' t_2} \varphi_{t_2 t'} = \varphi_{t'' t'''} \varphi_{t''' t'} \qquad [= \varphi'_{t'' t'}] donc le premier membre : (\varphi_{t_3 t''} \varphi_{t'' t'''})(\varphi_{t''' t'} \varphi_{t' t_1}) La première parenthèse, puisque (t''', t'', t_3) \in V, \varphi_{t_3 t'''}, et la deuxième est égale à \varphi_{t''' t_1} ; d'où le est \varphi'_{t_3 t_1} par définition. petit schéma dans la marge gauche : t' au-dessus de t_1 et t_2, relié à eux

Enfin, remarquons que au-dessus de \mathcal{U}, \varphi et \varphi' coïncident : que V \xrightarrow{\ p_{13}\ } \mathcal{U} est surjectif, ~~donc~~ ramené à prouver l'assertion que V, laquelle est triviale.

La démonstration , facile.

Condition représentation. Supposons que pour toute partie constructible T' de T, S' () de S, T' \to S' soit un morphisme de F-descente stricte. Alors moyennant remplacement T' de T, , on peut trouver Y \in F_{S'}, isom. X \simeq Y \times_{S'} T' , compatible avec les données de descente. « \in F_{S'} » : le S indicé est surchargé ; un ajout interlinéaire à la fin de la page, sous la ligne, se lit « descente »

Descente pour un morphisme fidèlement plat non fini

Question de la possibilité de descente pour un morphisme fid. plat non fini. Un cas typique est le suivant : T ~~plat~~ étale gal. fini sur S, de groupe G, et soit T' l'ouvert T, T - \Phi, où \Phi = f^{-1}(s) - (t) \qquad (f(t) = s) s un pt fermé de S. ~~On a f^{-1}(s) t^{c})~~ Alors T' \times_S T' \to

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & X \arrow[d] \\ s \in S & T \arrow[l] \end{tikzcd} schéma dans la marge gauche ; à gauche de X, un symbole surchargé et une double flèche verticale, biffés

On a T \times_S T = \Delta_T \times (G \times G) entre \Delta_T et (G \times G), un signe de produit indicé G, barré d'une croix ; le T en indice de \Delta est repassé formé \mathcal{U}_g = (g \times e)\, \Delta_T , isomorphe à T par ~~T \to \Delta_T \xrightarrow{g \times e}~~ la fin de la phrase est remplacée par un ajout au-dessus de la ligne, en partie illisible montrant

\begin{tikzcd} T \arrow[r, "\varphi_g"] \arrow[d, "\Delta"'] & \mathcal{U}_g \arrow[d, "\mathrm{ind.}"] \\ T \times_S T \arrow[r, "g \times e"'] & T \times_S T \end{tikzcd}

et pour les correspondants aux projections de \varphi_g respectivement g et l'identité, \varphi_g^{-1}\bigl(\mathcal{U}_g \cap (T' \times_S T')\bigr) = g^{-1}(T') \cap T' . Il est T' si g = e, et T - f^{-1}(s) = T'' si g \neq e. Ainsi, T' \times_S T' est ~~réunion~~ somme sa diagonale \simeq T ; et d'ouverts \mathcal{U}'_g (g \neq e) isomorphes : T'' = T - f^{-1}(s). Une donnée de descente sur un X / T' relativement : à la fin de la page le tracé se lit « X / T' » ; « T'' » est souligné

~~un isomorph. d'isomorphismes~~ isom. X \times_S T' \simeq T' \times_S X i.e. un syst. d'isomorphismes des deux images inverses de X sur les \mathcal{U}'_g ; sur la diagonale \mathcal{U}'_e, ce doit être l'identité, et pour g \neq e, ce doit être un isomorphisme X | T'' \simeq g^{*}(X | T'') . Il faut écrire la condition transitivité. T \times_S T \times_S T \simeq \Delta_3 T \times (G \times G \times G) . ici encore le signe de produit indicé G devant (G \times G \times G) est barré d'une croix Soit V_{g, g'} = (g \times g' \times e) \Delta_3 T , il s'identifie par (g \times g' \times e) \circ \Delta avec T, les g, g', e ; V'_{g, g'} = V_{g, g'} \cap (T' \times_S T' \times_S T') s'identifie à g^{-1}(T') \cap g'^{-1}(T') \cap T' , T'' sauf pour g = g' = e, la diagonale \simeq T'. T' \times_S T' \times_S T' est V'_{g,g'}, isomorphes à T''. On constate que la transitivité,

vérification pour deux morphismes précédemment sur T' \times_S T' \times_S T' soient identiques, étant acquis sur la diagonale V'_{e,e}, il suffit à l'exprimer sur les autres composantes. Mais alors il ne porte que sur les T'', et ~~la superposition~~ une donnée de descente sur X | T'', une donnée de descente, i.e. les isom. g^{-1}(X) \simeq X proviennent d'opérations de G sur X | T'', compatibles avec ses opérations ~~sur~~ X T''. Ainsi, une donnée de descente sur X pour f \colon T' \to S est la même chose qu'une donnée de descente sur X | T'', i.e. que la donnée d'opérations de G sur X | T'', compatibles avec ses opérations sur T''. Si p.ex. X est proj. sur T', cela que la donnée d'un isom. X | T'' \simeq X_0 \times_{S''} T'' où S'' = S - (s), X_0 étant un schéma proj. sur S''.

La question d'effectivité de la descente est donc équivalente à la suivante :

On a X'_0 sur S - s, on étend X'_0 \times_{S - s} \bigl(T - f^{-1}(s)\bigr) en un point t de f^{-1}(s) de façon à obtenir X sur T' = \bigl(T - f^{-1}(s)\bigr) \cup \{t\} , par exemple sur T ! Montrer que X est isomorphe à l'image réciproque d'un X_0 sur S prolongeant X_0. le dernier X_0 est à lire, semble-t-il, comme le X'_0 du début du paragraphe