Cote n° 126 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Descente fidèlement plate. Divers : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Descentes » (126 à 133) est daté [avant 1970]
Édition de démonstration

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Cohomologie de Čech et descente fidèlement plate

titre de l'éditeur, qui ne figure pas sur les feuillets

1

Théorème 1. \(f : X \to S\) un morphisme fid. plat quasi-compact ⌜(⌝quasi-séparé, \(S\) affine[)], \(F\) faisceau quasi-cohérent sur \(X\). Alors \[\check{H}^i(X^{\cdot}/S, F) \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } i \neq 0 \\ H^0(S, F) & \text{si } i = 0 . \end{cases}\] couvrant quasi-séparé / quasi-[…] platdeux lignes encadrées à droite de « Alors », qui semblent proposer de remplacer les hypothèses « fid. plat quasi-compact » ; la parenthèse « quasi-séparé, \(S\) affine » est ajoutée en interligne au-dessus de l'énoncé et reliée à lui par un trait

On peut l'énoncer sous la forme suivante :

Corollaire 1. Hypothèses précédentes, sans hyp. affine sur \(X\) cependant. Les \(\underline{H}^i(X^{\cdot}/S, F)\) (faisceaux ⌜qu. coh.⌝ sur \(X\)) sont nuls si \(i \neq 0\), et \(F \to \underline{H}^0(X^{\cdot}/X, F)\) est un isomorphisme. « qu. coh. » en interligne ; le second argument est bien écrit \(X^{\cdot}/X\)

Or la formation des \(\underline{H}^i(X^{\cdot}/S, F)\) est compatible avec extension plate de la base [où les \(X^i/S\) sont quasi-compacts quasi-séparés], et il suffit de prouver que les assertions dites sont vraies après changement de base plat couvrant ⌜les \(S_\lambda\) affines⌝ \(S_\lambda \to S\), […] […] […] une famille qui soit telle que les \(X_\lambda/S_\lambda\) ont des sections. D'où le résultat, car pour \(S\) affine et \(X/S\) ayant une section, ⌜c'est immédiat⌝. « les \(S_\lambda\) affines » et « c'est immédiat » sont en interligne

Corollaire 2. Soit \(X \to S\) couvrant […] ; \(H^0(S, F) \simeq H^0(X/S, F)\). Plus généralement, le foncteur […] \(S' \mapsto \Gamma(S', F \otimes_S S')\) sur \((\mathrm{Sch})^{\circ}_{/S}\) est un faisceau pour la topologie fidèlement plate […] quasi-compacte. [En effet, on est ramené à 2 vérifications, pour les deux types de familles couvrantes : Zariski, et […]]écrit en travers, le long de la marge gauche, et encadré d'un trait ; la phrase entre crochets est entourée. Dans l'angle, également en travers, « 2 compléter et remarques plus bas »

Corollaire 3. Mettons sur \((\mathrm{Sch})\) une topologie \(T\) intermédiaire entre celle de Zariski et la fpqc. Alors pour tout faisceau quasi-cohérent \(F\) sur \(X\), \(H^{*}(X^{T}_{\uncertain{\scriptstyle 1}}, F^{T}) = H^{*}(X, F)\).

Dém. On est ramené par Leray, pour \((\mathrm{Sch})_{T} \to (\mathrm{Sch})_{\mathrm{Zar}}\), à prouver que pour \(X\) \(X\) affine, on a

2

\[\mathcal{H}^i(X^{T}, F^{T}) = 0, \qquad \mathcal{H}^0(X^{T}, F^{T}) \simeq H^0(X, F).\] Pour La […] relation triviale par définition de \(F^{T}\). Pour la première, […] […] prouvons par […] […], […] […] […] par suite spectrale de Cartan : prouvons que pour tt recouvrement […] […] couvrant \(\mathfrak{X} = (X_{\cdot} \to X)\), fid. plats, \(\check{H}^p(\mathfrak{X}, F) = 0\) pour tt \(p \neq 0\). « de Cartan » remplace la lecture « de Čech » du premier passage ; le mot est court et commence par un C majuscule suivi de « a »

Or […] \(F\) […] […] […] […], on peut supposer \(\mathfrak{X}\) […] réduit à un morphisme fid. plat quasi-compact de schémas affines. Cela est alors […] le Th. 1.

Utilisons la suite spectrale de Leray, […] :

Corollaire 4. Soit \(S' \to S\) couvrant (pour la top. fpqc), \(F\) quasi-cohérent sur \(S\). Alors on a une suite spectrale \[H^{*}(S, F) \Longleftarrow \check{H}^p(S'/S, \mathcal{H}^q(F))\] [où \(\mathcal{H}^q(F)\) désigne le foncteur \(T \mapsto H^q(T, F \otimes_S T)\) sur \((\mathrm{Sch})^{\circ}_{/S}\)].

3

en tête de page, au-dessus d'un trait : « l'isomorphisme \(H^0(S, F) \simeq H^0(S'/S, F)\) déjà connu, et »

Notons [la suite exacte en basses dimensions : \[0 \to \check{H}^1(S'/S, F) \to H^1(S, F) \to \check{H}^0(S'/S, \mathcal{H}^1(F)) \to \check{H}^2(S'/S, F) \to H^2(S, F) .\]

Remarques 1) Bien entendu, on peut énoncer Cor. 4 […] pour une famille couvrante (fpqc.).

2) La démonstration du Th. 1 montre aussi : [ pour \(S\) affine, on a \[\check{H}^p(S'/S, \mathcal{H}^q(F)) = 0 \quad \text{pour tt } p, \text{ si } q \neq 0 .\] […] résulte […] la suite spectrale […] […] En particulier, on […] […] […] ! \[\check{H}^0(S'/S, \mathcal{H}^q(F)) = \mathrm{Ker}\bigl(H^q(S', F) \rightrightarrows H^q(S' \times_S S', F)\bigr) = 0\] Je […] résultats […] […] […] deux traits horizontaux ferment la page

4

[…] d'équivalence sur \(X_0\). On suppose que le quotient \(X_0/R_0\) \(R_0\) est (M) effective, le morphisme couvrant pour la top. fpqc, et que ⌜et que \(p_1^0 : R_0 \to X_0\)⌝ \(R_0\) […] \(X_0\) fid. plats quasi-compact, et quasi-séparé. l'ajout « et que \(p_1^0 : R_0 \to X_0\) » est entouré et relié par un trait ; au-dessus de la rature, un \(R\) isolé

Sous ces conditions, \(R\) est M-[…] effective, et si Et si \(X_0 \to Y_0\) est plat i.e. \(R_0 \to X_0\) […]

[On peut supposer \(\mathcal{J}_{X_0}\) de carré nul.]entouré

Démonstration (Soit \(Y_0 = X_0/R_0\) dans […]) \(X_0 \to Y_0\) est couvrant, […] quasi-compact ⌜et⌝ quasi-séparé, et \(R_0 \xrightarrow{\sim} X_0 \times_{Y_0} X_0\).

[…] […] : \(\mathcal{J}_{X_0}\), \(\mathcal{J}_{R_0}\), donc \(\mathcal{J}_{X_0}\) […] ⌜vient⌝ […] […] \(R_0 \simeq X_0 \times_{Y_0} X_0\), [ […] […] […] […] \(\mathcal{J}_{X_0}\) pour \(p_1^0, p_2^0\) […] \(\mathcal{J}_{X_0}\) ], […] […] […], […] […] […] […] est effective, puisque : \(X_0 \to Y_0\) couvrant et \(R_0 \simeq X_0 \times_{Y_0} X_0\),

5

on trouve un \(\mathcal{J}_{Y_0}\) quasi-coh. sur \(Y_0\).

Pour prouver la M-effectivité de \(R\), on peut supposer \(Y_0\) descente affine. Soit donc \(A_0\) l'anneau de \(Y_0\), et \(A = \check{H}^0(X/\ill{}, \mathcal{O}_X)\) \[A = \mathrm{Ker}\bigl(H^0(X, \mathcal{O}_X) \rightrightarrows H^0(R, \mathcal{O}_R)\bigr)\] On a un homomorphisme \(A \to A_0\), dont le noyau est \[\mathrm{Ker}\bigl(H^0(X_0, \mathcal{J}_{X_0}) \rightrightarrows H^0(R_0, \mathcal{J}_{R_0})\bigr) = H^0(Y_0, \mathcal{J}_{Y_0}) = \mathcal{J}_{Y_0} .\] […] […] […] […] \[0 \to \mathcal{J}_{Y_0} \to A \to A_0 \to 0\] est exacte, i.e. \(A \to A_0\) surjectif.

Pour le voir, prenons soit \(\varphi_0 \in A_0\), soit \(f_0\) son ⌜image⌝ dans \(X_0\), \(f_0 \in H^0(X_0, \mathcal{O}_{X_0})\) \[f_0 \in \mathrm{Ker}\bigl(H^0(X_0, \mathcal{O}_{X_0}) \rightrightarrows H^0(R_0, \mathcal{O}_{R_0})\bigr) ;\] il suffit de voir que \(f_0\) se remonte en un \(f \in H^0(X, \mathcal{O}_X)\). En effet, a priori il y a une obstruction à relever […] ; […] […] les deux images […] ; \(\xi \in H^1(X_0, \mathcal{J}_{X_0})\) ; […]

6

inverses […] […] […] […], par \(p_1^0\) et \(p_2^0\), sont identiques, par […] […] les obstructions, à relever une même solution \(g_0 \in H^0(R_0, \mathcal{O}_{R_0})\) en un \(g \in H^0(R, \mathcal{O}_R)\). D'où \[\xi \in \mathrm{Ker}\bigl(H^1(X_0, \mathcal{J}_{X_0}) \rightrightarrows H^1(R_0, \mathcal{J}_{R_0})\bigr) = \check{H}^0\bigl(X_0/Y_0, \mathcal{H}^1(\mathcal{J}_{Y_0})\bigr)\] que la 2^ème […] […] est nul, \(X_0 \to Y_0\) étant couvrant quasi-compact et quasi-séparé. Par suite \(\xi = 0\), d'où l'existence d'un \(f\).

Si on avait \(f \in \mathrm{Ker}\) \(p_1(f) = p_2(f)\), on aurait gagné, car \(f\) proviendrait d'un \(\varphi \in A\), qui […] ⌜relèverait⌝ bien \(\varphi_0\). « relèverait » en interligne au-dessus d'un mot biffé

\begin{tikzcd}[column sep=small]
A \arrow[r] \arrow[d] & H^0(X, \mathcal{O}_X) \arrow[r, bend left=8, "p_1"] \arrow[r, bend right=8] \arrow[d] & H^0(R, \mathcal{O}_R) \arrow[d] \\
A_0 \arrow[r] & H^0(X_0, \mathcal{O}_{X_0}) \arrow[r, bend left=8, "p_2"] \arrow[r, bend right=8] & H^0(R_0, \mathcal{O}_{R_0})
\end{tikzcd}

les doubles flèches \(\rightrightarrows\) du dessin sont rendues par deux arcs ; \(p_1\) est écrit au-dessus de la première, \(p_2\) entre les deux lignes. Sous le diagramme, \(\varphi_0\) sous \(A_0\) et \(f_0\) sous \(H^0(X_0, \mathcal{O}_{X_0})\) ; au-dessus, \(f\) sur \(H^0(X, \mathcal{O}_X)\)

À présent, on peut seulement dire que \(y\ (= p_1(f) - p_2(f)) \in H^0(R_0, \mathcal{J}_{R_0})\) ; d'ailleurs on vérifie que \[y \in Z^1(X_0/Y_0, \mathcal{J}_{Y_0}) \quad \text{i.e. } dy = 0 .\] D'ailleurs, on dispose d'une arbitraire […] \(\lambda \in H^0(X_0, \mathcal{J}_{X_0})\) pour \(f\), et […] […] que […] […] dire que \(p_1(f + \lambda) = p_2(f + \lambda)\) signifie que \(p_2(\lambda) - p_1(\lambda) =\) « \(y\) », i.e. \(d(\lambda) = y\). le premier passage lisait \(y = p_2(f) - p_1(f)\) et « \(-y\) » ; la feuille porte \(p_1(f) - p_2(f)\) et un \(y\) entre guillemets, ce qui rend le calcul cohérent. Le \(Z\) de \(Z^1\) surcharge une autre lettre

7

Or, on sait que (\(X_0 \to Y_0\) étant couvrant qu.-cpct qu.-sép.) \[\check{H}^1(X_0/Y_0, \mathcal{J}_{Y_0}) = 0\] donc on peut résoudre l'équation \(d(\lambda) = y\), ce qui prouve la surjectivité annoncée. ces lignes, en tête de page, manquaient au premier passage

Soit Soit \(Y = \mathrm{Spec}\,A\), alors \(A\) on obtient un diagramme commutatif

\begin{tikzcd}
Y & X \arrow[l] & R \arrow[l, bend left=8] \arrow[l, bend right=8] \\
Y_0 \arrow[u] & X_0 \arrow[l, hook'] \arrow[u] & R_0 \arrow[l, bend left=8] \arrow[l, bend right=8] \arrow[u]
\end{tikzcd}

la flèche verticale de gauche est repassée à l'encre foncée et son sens n'est pas sûr ; la verticale du milieu n'a pas de pointe visible

D'ailleurs, pour \(\mathcal{J}_{Y_0}\) \(Y\) […] […] […] précisément, \(Y_0\) est […] […] […] […] défini par un idéal nilpotent isomorphe : \(\mathcal{J}_{Y_0}\). On voit […] […] […] \[\mathcal{J}_{Y_0} X = \mathcal{J}_{X_0} \simeq \mathcal{J}_{Y_0} \otimes_{\mathcal{O}_{Y_0}} \mathcal{O}_{X_0}\] comme Idéal sur \(X\), i.e. \(X_0 \to Y_0\) […] […]

[…] […] […] \(X \to Y\) […] […] […] […] \(Y_0 \to Y\). Comme […] plus \(X_0/Y_0\) est plat, \(X/Y\) est plat. Comme \(R \to X\) est plat, \(R\) est plat sur \(Y\), et \(R \to X \times_Y X = P\) est un morphisme de \(Y\)-préschémas plats, tels que \(R_0 \to P_0\) est un isom., donc \(R \to P\) est un isomorphisme, o.k.

8

Généralités sur la topologie fid. plate

Les \(\check{H}^p(S'/S, \mathcal{H}^q(F))\) pour \(F\) quasi-cohérent.

Applications aux relations d'équivalence …… feuillet brun, qui ne porte que ces trois lignes, en forme de plan ; il n'est pas certain qu'il se rapporte aux pages 1-7 qui le précèdent plutôt qu'à celles qui suivent

Prétopologies engendrées

titre de l'éditeur

9

Proposition. \(\mathcal{C}\) catégorie munie d'une prétopologie \(T\), ⌜(avec produits fibrés)⌝ \(\mathcal{C}'\) sous-catégorie […] pleine de \(\mathcal{C}\) […] […] système de […] qui […] pour \(T\) […] […] isomorphismes et produits fibrés :

(a) pour tt \(X \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}\), existe famille couvrante \(U_\alpha \to X\) pour \(T\), avec les \(U_\alpha \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}'\) ], […]

(b) \(\mathcal{C}'\) stable par isomorphismes et produits fibrés, […] […] de […] pour la

\(T'\) une ⌜prétopologie⌝ prétopologie sur \(\mathcal{C}'\) ! […] […] […] […] […]

(c) stable par composition, par changement de base, […] les identités, isomorphismes entre objets de \(\mathcal{C}'\). Soit \(\mathcal{C}\) la topologie engendrée par \(T\), \(T'\). Soit \(X_i \to X\) une famille de flèches […] […] […] […] couvrante pour \(T\), il f. et s. […] tout le bloc (c), avec le début de démonstration, est biffé de plusieurs grandes croix et de traits ondulés ; la lecture en est très incertaine

On va que la situation \[\begin{array}{ccc} & & U_{ij\mu} \\ & & \downarrow \\ U_i & \longleftarrow & U_{ij} \\ \downarrow & & \\ U & & \end{array}\] où \(U, U_i, U_j, U_{ij\mu} \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}'\), \((U_i \to U)\) couvrante pour \(T'\), et \((U_{ij\mu} \to U_{ij})\) couvrante pour […] \(T'\), et \((U_{ij}) \to U_i\) couvrante pour \(T\), on peut trouver une sous-famille de \(U_{ij\mu} \to U\) couvrante pour \(T'\). le \(U_i\) du diagramme surcharge une autre lettre

10

Soit \(\mathcal{T}\) la topologie engendrée par \(T\), \(T'\) ; […] soit \(X_i \to X\) une famille de morphismes de \(\mathcal{C}\). Pour qu'elle soit \(\mathcal{T}\)-couvrante, il faut et suffit qu'il existe une famille \(T\)-couvrante \(U_\alpha \to X\), ⌜\(U_\alpha \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}'\),⌝ et pour tt \(\alpha\) une famille \(T'\)-couvrante \(U_{\alpha\beta} \to U_\alpha\), et pour tt \(\beta\) un indice \(i\) et un \(X\)-morphisme \(U_{\alpha\beta} \to X_i\). ⌜cor.⌝ Si \(X = \struck{U} \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}'\), il faut et suffit aussi qu'il existe \(U_\alpha \to X\) couvrante pour \(T'\), et pour tt \(\alpha\) un \(i\) […] un \(X\)-morphisme \(U_\alpha \to X_i\).

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X_i \arrow[d] & U_{\alpha\beta} \arrow[l] \arrow[d] \\
X & U_\alpha \arrow[l]
\end{tikzcd}

N.B. la condition nécessaire de la proposition, […] utilise […] (c)en marge gauche, en travers, séparé du texte par un trait

Dém. Si cette condition est remplie, alors \(U_{\alpha\beta} \to X\) est couvrante pour \(\mathcal{T}\) par transitivité, et par suite \(X_i \to X\) l'est par saturation. Il reste à prouver que les familles du type envisagé satisfont les conditions 1), 2), 3), 4). Pour 4) c'est trivial, pour 3) aussi [prenons une famille couvrante ⌜si \(X' \xrightarrow{\sim} X\),⌝ \(U_\alpha\) de \(X\) […] les \(U_\alpha \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}'\) — existe par hypothèse (a) \(\mathcal{C}'\) générateur de \((\mathcal{C}, T)\), \((U_{\alpha\beta})_\beta\) réduit à : \(U_\alpha \xrightarrow{\mathrm{id}} U_\alpha\), et \(U_\alpha \to X'\) déduit de \(U_\alpha \to X\). Pour 1),

11

Alors Pour tt \(\alpha\), il existe par construction \(i = i(\alpha)\) tel et un \(X\)-morphisme \(U_{\alpha\beta} \to\) \(V_{\alpha\lambda} \to X_{\uncertain{i}}\), ok.

Cor. 2 Soit \(F : \struck{\ill{}}\,\mathcal{C}^{\circ} \to (\mathrm{Ens})\), pour que \(F\) soit un faisceau ⌜pour \(\mathcal{T}\)⌝, il faut et suffit que \(F\) […] […] […] soit un faisceau pour \(T\), et […] induise sur \(\mathcal{C}'\) un faisceau pour \(T'\) !

En effet, […] […] […] […], […] […] […] […] […] […] […] \(F\) […] […] topologie, […] pour \(T\), \(T'\), qui engendrent \(\mathcal{T}\). OKen marge gauche, en travers, relié au texte par une accolade

Proposition 2. Considérons sur \((\mathrm{Sch}) = \mathcal{C}\) la prétopologie \(T\) de Zariski. Considérons la […] sous-catégorie pleine \(\mathcal{C}'\) de \(\mathcal{C}\) formée des schémas affines, et la prétopologie suivante : une famille de \(U_i \to U\) est couvrante, si elle est finie, ⌜surjective et⌝ […] plate [i.e. les \(U_i\) sont en nombre fini, leur somme recouvre \(U\), et les \(U_i \to U\) sont plats]. Soit \(\mathcal{T}\) la topologie ⌜sur \(\mathcal{C}\)⌝ engendrée par \(T\), \(T'\).

Ex. Cas \((\mathrm{Sch})\), \(T\) : Zariski-topologie, \(T'\) : \(f : U \to V\) […] […], \(U\), \(V\) affinesentouré, en marge gauche, en travers ; au-dessous, toujours en travers : « […] plate […] : plate de présentation finie, plate […] […], étale, », énumération de variantes possibles de \(T'\)

(i) Soit \(X_i \to X\) une famille de morphismes dans \(\mathcal{C}\). Pour qu'elle soit couvrante, il f. et s. que \(X\) puisse se recouvrir par des ouverts affines \(U_\alpha\) et que pour tt \(\alpha\) \(\exists\) une famille finie plate \(U_{\alpha\beta} \to U_\alpha\), les \(U_{\alpha\beta}\) affines, […] et pour tt \(\alpha, \beta\) un \(i = i(\alpha, \beta)\) et un \(X\)-morphisme \(U_{\alpha\beta} \to X_i\).

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X_i \arrow[d] & U_{\alpha\beta} \arrow[l] \arrow[d] \\
X & U_\alpha \arrow[l]
\end{tikzcd}

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(iii) Un morphisme fid. plat quasi-compact \(f : X' \to \struck{S}\,X\) est couvrant pour \(\mathcal{T}\). De même un ⌜ouvert, p.ex. un⌝ morphisme fid. plat loc. de présentation finie, morphisme fid. plat loc. de prés. finie ; plus généralement, si on a une famille de morphismes \(X_i \to X\) ouverts, plats, dont les images recouvrent \(X\), cette famille recouvre \(X\) pour \(\mathcal{T}\). le paragraphe (iii) est rattaché par un trait de marge au (ii) qui suit

(ii) Soit \(F : (\mathrm{Sch})^{\circ} \to (\mathrm{Ens})\) un foncteur. Pour que \(F\) soit un faisceau pour \(\mathcal{T}\), il f. et s. qu'il satisfasse les conditions suivantes :

a) \(F\) est un faisceau pour la topologie de Zariski, i.e. « \(F\) de nature locale »

b) Pour tt \(S' \to S\) fid. plat, avec \(S\) et \(S'\) affines, on a exactitude dans \[F(S) \to F(S') \rightrightarrows F(S' \times_S S')\]

Dém. (i) résulte de Prop. 1.

(ii) Nécessité triviale, par 2 utilisations, Cor. 1 corollaire 2, […] ; […] […] […] […] […] par \(F\) […] […] pour les morphismes fid. plats et quasi-compacts [idem données […] […] sont stables par les deux dernières lignes sont barrées d'un trait ondulé et encadrées ; la phrase s'arrête au bas du feuillet

13

suite de la démonstration de la page 10 (vérification des axiomes)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X_i \arrow[d] & U_{\alpha\beta} \arrow[l] \arrow[d] & \\
X & U_\alpha \arrow[l] & \\
X'_i \arrow[uu, bend left=20] \arrow[d] & U'_{\alpha\beta} \arrow[l] \arrow[d] & U'_{\alpha\beta\lambda} \arrow[l] \arrow[d] \\
X' \arrow[uu, bend left=30] & U'_\alpha \arrow[l] \arrow[uu, bend right=20] & U'_{\alpha\lambda} \arrow[l]
\end{tikzcd}

le dessin superpose les deux carrés, celui de \(X'\) décalé vers le bas à droite, avec des flèches obliques de \(X'_i\), \(X'\), \(U'_\alpha\) vers \(X_i\), \(X\), \(U_\alpha\) ; on l'a déplié. \(X'_i\) est sans doute \(X_i \times_X X'\)

[…] […] que les \(U'_\alpha\) recouvrent \(X'\) pour \(T\) ; […] pour tt \(\alpha\), ⌜recouvrons pour \(T\)⌝ \(U'_\alpha\) par des \(U'_{\alpha\lambda} \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}'\), possible par hyp. (a), d'où des \(U'_{\alpha\beta\lambda}\), pour \(\alpha\) et \(\lambda\) fixés, les \(U'_{\alpha\beta\lambda}\) recouvrent ⌜puisque (b), en déduisant de \(U_{\alpha\beta} \to U_\alpha\) par changement de base,⌝ \(U'_{\alpha\beta}\) pour \(T'\) ; ⌜puis pour \(\alpha\), \(\lambda\) variables,⌝ les \(U'_{\alpha\lambda}\) recouvrent \(X'\) pour \(T\), par transitivité. OK.

Axiome 1 de transitivité, la construction […]. Soient : l'hyp. ⌜sur⌝ \(X_i \to X\) couvrant fournit des \(U_\alpha\), \(U_{\alpha\beta}\), et pour tt \(\alpha, \beta\) un \(U_{\alpha\beta} \to X_i\), ⌜\(i = i(\alpha, \beta)\),⌝ […] […] […] […] […] […], la famille des \(X_{ij} \times_{X_i} U_{\alpha\beta}\) (qu'elle) satisfait aux conditions envisagées, donc \(\exists\) \(U_{\alpha\beta\gamma} \to U_{\alpha\beta}\) couvrant pour \(T\), les \(U_{\alpha\beta\gamma} \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}'\), et pour tt \(\gamma\) une famille \(U_{\alpha\beta\gamma\delta} \to U_{\alpha\beta\gamma}\) couvrante pour \(T'\), et un \(j = j(\gamma, \delta)\) et \(U_{\alpha\beta}\)-morphisme \(U_{\alpha\beta\gamma\delta} \to \struck{X}\,X_{ij} \times_{X_i} U_{\alpha\beta}\). Par (c), on peut pour tt \(\alpha\), extraire de \(U_{\alpha\beta\gamma\delta} \to U_\alpha\) une famille couvrante par \(T'\), soit \(V_{\alpha\lambda} \to U_\alpha\).

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X_{ij} \arrow[d] & X_{ij} \times_{X_i} U_{\alpha\beta} \arrow[l] \arrow[d] & U_{\alpha\beta\gamma\delta} \arrow[l] \arrow[d] \\
X_i \arrow[d] & U_{\alpha\beta} \arrow[l] \arrow[d] & U_{\alpha\beta\gamma} \arrow[l] \\
X & U_\alpha \arrow[l] &
\end{tikzcd}

\(U_\alpha\) est entouré sur le dessin. La condition (c) invoquée ici est celle qui est biffée à la page 9

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[…] engendrée en fait dans \(\mathcal{C}\), et engendre \(\mathcal{T}\) […] la prétopologie de Zariski). Pour prouver ceci, il suffit de deux lignes barrées d'un trait ondulé, suite de la phrase interrompue au bas de la page 12

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
S' \arrow[d] & \\
S & S_\alpha \arrow[l] \arrow[lu, bend right=30, no head]
\end{tikzcd}

[…] que : condition a), \(F\) […] transforme sommes disjointes en produits, ce qui permet d'appliquer la condition b) du corollaire 1, au produit de deux recouvrements […] […] […] deux morphismes.

[…] ⌜(iii)⌝ par des produits…… le reste du feuillet est blanc

Descente fidèlement plate

inscrit à l'encre, en haut à droite et souligné, sur le feuillet brun de la page 15, qui ne porte rien d'autre et ne reçoit pas de numéro de page ; le feuillet 16 est blanc

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1 A) Application à la comparaison entre les variétés étales holomorphes

B) Application à la construction ⌜la factorisation canonique⌝ par

Proposition. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme ⌜univ. ouvert⌝ fini […] avec \(Y\) loc. noethérien. Pour \(y \in Y\), soit \(d(y)\) le nb de pts géométriques de \(f^{-1}(y)\) (= degré séparable de \(f^{-1}(y)\) sur \(k(y)\))]. Supposons \(d(y)\) constant. Alors \(f\) se factorise en \[X \xrightarrow{f_1} X^{\ast}_0 \xrightarrow{f_2} Y\] où \(f_1\) est ⌜fini⌝ surjectif radiciel, et \(f_2\) est un morphisme fini étale. ⌜\(f_2\) Alors⌝ […] Tout \(Y\)-morphisme \(X \to Z\), avec \(Z\) étale sur \(Y\), se factorise de façon unique en \(X \to X' \to Z\).

On peut supprimer ⌜\(Y\) connexe dans⌝ \(d(y)\) constant, sauf […]. [ Quitte à remplacer \(Y\) par une partie […] finie […] et fermée […], […] tt […] ] la fin de la page, entre crochets, est très rapide ; l'exposant de \(X_0\) dans la factorisation est lu \(\ast\) ; aux 700 dpi il ressemble aussi à un petit \(T\)

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la page entière est biffée de deux longues diagonales ; elle se lit néanmoins

Soit \(I = [1, \ldots, n]\). Considérons \[Y' = \mathrm{Hom}(I, X) = X^{I}\] On a donc un \(Y\)-morphisme canonique \[Y' \times I \to X \qquad \text{i.e. un } Y'\text{-morphisme \uncertain{canonique}}\] \[f : \struck{\ill{}}\,Y' \times I \to X'\] [correspondant aux \(n\) projections \(\mathrm{pr}_i : Y' = X^I \to X\)] \(X'\) désigne sans doute \(X \times_Y Y'\)

Pour tout \(y' \in Y'\), on en conclut un morphisme \[I \times \mathrm{Spec}\,k(y') \to X' \times_{Y'} \mathrm{Spec}\,k(y')\]

Lemme. L'ensemble ⌜\(Y''\)⌝ \(Y'\) des pts de \(Y'\) où le morphisme précédent est bijectif est : à la fois ouvert et fermé, et il s'applique ⌜\(Y'' \to Y\)⌝ bijectivement surjectif […] […] […] ⌜\(Y'' \to Y\) couvrant.⌝

L'un des pts L'un des pts est […] que \(I \times \mathrm{Spec}\,k(y') \to X'_{y'}\) est géométriquement injectif, i.e. qu'il soit radiciel, […] équivaut à ce qu'il soit un monomorphisme [= immersion fermée] car […] (décrit) que […] […] […]. \(\struck{Y'}\,Y' \times I\) étant plat propre sur \(Y'\)entouré, en interligne au-dessus de la dernière ligne décrit des conditions est de 2 lemmesen marge gauche, en travers

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Lemmeen haut à gauche, souligné, au-dessus de l'énoncé

Si \(X \xrightarrow{f} Y\) admet une section \(s\), […] alors \(s(Y)\) est à la fois […] fermé et ouvert. En effet, on voit de suite que c'est une réunion de composantes irréductibles de \(X\) [\(X \to Y\) étant fini] ; il faut montrer que si \(X''\) est la […] réunion des autres composantes irréductibles, alors \(X' \cap X'' = \emptyset\). Or […] […] l'image […] […] […] […] de \(Y\), […] ⌜les composantes irréductibles⌝ \(d''(y) = n - 1\), donc le passage de « il faut montrer » à « donc » est encadré, et barré de deux traits obliques ; \(X'\) désigne sans doute \(s(Y)\)

\(X\) / \(Y\)en marge gauche, isolés

On peut évidemment supposer \(Y\) irréductible [car si les \(Y_i\) sont les composantes irréductibles de \(Y\), il suffit de montrer que \(s(Y_i)\) est ouvert […] dans \(f^{-1}(Y_i)\)]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X \arrow[d, bend left=20] & f^{-1}(Y_i) \arrow[d, bend left=20] \\
Y \arrow[u, bend left=20, "s"] & Y_i \arrow[u, bend left=20, "s_i"]
\end{tikzcd}

croquis de marge, redessiné : \(X = \bigcup_i f^{-1}(Y_i)\) au-dessus de \(Y = \bigcup_i Y_i\), avec \(s\) et \(s_i\) en montant

… et alors les composantes irréductibles de \(X\) sont disjointes [vérif], […] […] […] la conclusion.

Donc […] […] \(X = X_{(1)} \amalg X^{(1)}\), où \[d(X_{(1)}/Y) = 1, \qquad d(X^{(1)}/Y) = n - 1 .\]

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suite, semble-t-il, du lemme de la page 18

et que \(y' \in Y'' \Leftrightarrow\) il existe un voisinage \(U\) de \(y'\) dans \(Y'\) tel que \(f : U \times I \to X'|U\) soit une […] immersion fermée. Le complémentaire de \(Y''\) est formé des pts tels que \[I \times \mathrm{Spec}\,k(y') \to X' \times_{Y'} \mathrm{Spec}\,k(y')\] soit géométriquement non injectif, la phrase s'arrête là ; le reste du feuillet est blanc