Cote n° 126 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Descente fidèlement plate. Divers : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Descentes » (126 à 133) est daté [avant 1970]
Édition de démonstration

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Cohomologie de Čech et descente fidèlement plate

titre de l'éditeur, qui ne figure pas sur les feuillets

1

Théorème 1. \(f : X \to S\) un morphisme fid. plat quasi-compact [(]quasi-séparé, \(S\) affine[)], \(F\) faisceau quasi-cohérent sur \(X\). Alors \[\check{H}^i(X^{\cdot}/S, F) \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } i \neq 0 \\ H^0(S, F) & \text{si } i = 0 . \end{cases}\] couvrant quasi-séparé
quasi-[…] platdeux lignes encadrées à droite de « Alors », qui semblent proposer de remplacer les hypothèses « fid. plat quasi-compact » ; la parenthèse « quasi-séparé, \(S\) affine » est ajoutée en interligne au-dessus de l'énoncé et reliée à lui par un trait

On peut l'énoncer sous la forme suivante :

Corollaire 1. Hypothèses précédentes, sans hyp. affine sur \(X\) cependant. Les \(\underline{H}^i(X^{\cdot}/S, F)\) (faisceaux [qu. coh.] sur \(X\)) sont nuls si \(i \neq 0\), et \(F \to \underline{H}^0(X^{\cdot}/X, F)\) est un isomorphisme. « qu. coh. » en interligne ; le second argument est bien écrit \(X^{\cdot}/X\)

Or la formation des \(\underline{H}^i(X^{\cdot}/S, F)\) est compatible avec extension plate de la base [où les \(X^i/S\) sont quasi-compacts quasi-séparés], et il suffit de prouver que les assertions dites sont vraies après changement de base plat couvrant [les \(S_\lambda\) affines] \(S_\lambda \to S\), […] […] […] une famille qui soit telle que les \(X_\lambda/S_\lambda\) ont des sections. D'où le résultat, car pour \(S\) affine et \(X/S\) ayant une section, [c'est immédiat]. « les \(S_\lambda\) affines » et « c'est immédiat » sont en interligne

Corollaire 2. Soit \(X \to S\) couvrant […] ; \(H^0(S, F) \simeq H^0(X/S, F)\). Plus généralement, le foncteur […] \(S' \mapsto \Gamma(S', F \otimes_S S')\) sur \((\mathrm{Sch})^{\circ}_{/S}\) est un faisceau pour la topologie fidèlement plate […] quasi-compacte. [En effet, on est ramené à 2 vérifications, pour les deux types de familles couvrantes : Zariski, et […]]écrit en travers, le long de la marge gauche, et encadré d'un trait ; la phrase entre crochets est entourée. Dans l'angle, également en travers, « 2 compléter […] plus loin »

Corollaire 3. Mettons sur \((\mathrm{Sch})\) une topologie \(T\) intermédiaire entre celle de Zariski et la fpqc. Alors pour tout faisceau quasi-cohérent \(F\) sur \(X\), \(H^{*}(X^{T}_{\uncertain{\scriptstyle 1}}, F^{T}) = H^{*}(X, F)\).

Dém. On est ramené par Leray, pour \((\mathrm{Sch})_{T} \to (\mathrm{Sch})_{\mathrm{Zar}}\), à prouver que pour \(X\) \(X\) affine, on a

2

\[\mathcal{H}^i(X^{T}, F^{T}) = 0, \qquad \mathcal{H}^0(X^{T}, F^{T}) \simeq H^0(X, F).\] Pour La […] relation seconde résulte de la définition de \(F^{T}\). Pour la première, […] c'est […] par […] […], […] […] […] par suite spectrale […] de Čech : […] […] […] pour tt recouvrement […] […] \(\mathfrak{X} = (X_{\cdot} \to X)\), […] fid. plats[…], \(\check{H}^p(\mathfrak{X}, F) = 0\) pour tt \(p \neq 0\).

Or […] \(F\) […] […] […] […], […] […] […] \(\mathfrak{X}\) […] […] […] fid. plat quasi-compact […] […] […] affine. […] […] […] […] Th. 1.

Utilisons la suite spectrale de Leray, […] :

Corollaire 4. Soit \(S' \to S\) couvrant (pour la […] […]), \(F\) […] […] sur \(S\). Alors on a une suite spectrale \[H^{*}(S, F) \Longleftarrow \check{H}^p(S'/S, \mathcal{H}^q(F))\] [où \(\mathcal{H}^q(F)\) désigne le foncteur \(T \mapsto H^q(T, F \otimes_S T)\) sur \((\mathrm{Sch})^{\circ}_{/S}\)].

3

en tête de page, au-dessus d'un trait : « l'isomorphisme \(H^0(S, F) \simeq H^0(S'/S, F)\) déjà connu, et »

Notons [la suite exacte en basses dimensions : \[0 \to \check{H}^1(S'/S, F) \to H^1(S, F) \to \check{H}^0(S'/S, \mathcal{H}^1(F)) \to \check{H}^2(S'/S, F) \to H^2(S, F) .\]

Remarques 1) Bien entendu, on peut […] […] […] […] […] […] ([…]).

2) La démonstration du Th. 1 montre […] […] [ […] \(S\) affine, […] \[\check{H}^p(S'/S, \mathcal{H}^q(F)) = 0 \quad \text{pour tt } p, \text{ si } q \neq 0 .\] […] […] […] […] […] […], on […] […] […] ! \[\check{H}^0(S'/S, \mathcal{H}^q(F)) = \mathrm{Ker}\bigl(H^q(S', F) \rightrightarrows H^q(S' \times_S S', F)\bigr) = 0\] Je […] résultats […] […] […] deux traits horizontaux ferment la page

4

[…] […] […] \(X_0\). On suppose que le […] quotient \(X_0/R_0\) \(R_0\) est (M) effective, […] morphisme, […] […] […] […] […] […] […], et que [et que \(p_1^0 : R_0 \to X_0\)] \(R_0\) […] fid. plat quasi-compact, et quasi-séparé. l'ajout « et que \(p_1^0 : R_0 \to X_0\) » est entouré et relié par un trait ; au-dessus de la rature, un \(R\) isolé

Sous ces conditions, \(R\) est M-[…] effective, et si Et si \(X_0 \to Y_0\) est plat i.e. \(R_0 \to X_0\) […]

[On peut supposer \(\mathcal{J}_{X_0}\) de carré nul.]entouré

Démonstration (Soit \(Y_0 = X_0/R_0\) dans […]) \(X_0 \to Y_0\) est couvrant, […] quasi-compact et \(R_0 \rightrightarrows X_0 \times_{Y_0} X_0\).

[…] […] : \(\mathcal{J}_{X_0}\), \(\mathcal{J}_{R_0}\), donc \(\mathcal{J}_{X_0}\) […] [vient] […] […] \(R_0 \simeq X_0 \times_{Y_0} X_0\), [ […] […] […] […] \(\mathcal{J}_{X_0}\) […] propre […] \(\mathcal{J}_{X_0}\) ], […] […] […], […] […] […] […] effectivement, […] \(X_0 \to Y_0\) couvrant et \(R_0 \simeq X_0 \times_{Y_0} X_0\),

5

\(\mathcal{J}_{Y_0}\) faisceau cohérent sur \(Y_0\).

[…] coefficients de \(R\), on […], […] […] […] affine. Soit donc […] \(Y_0\), et \(A = \check{H}^0(X/\ill{}, \mathcal{O}_X)\) \[A = \mathrm{Ker}\bigl(H^0(X, \mathcal{O}_X) \rightrightarrows H^0(R, \mathcal{O}_R)\bigr)\] […] […] \(A \to A_0\), dans […] \[\mathrm{Ker}\bigl(H^0(X_0, \mathcal{J}_{X_0}) \rightrightarrows H^0(R_0, \mathcal{J}_{R_0})\bigr) = H^0(Y_0, \mathcal{J}_{Y_0}) = \mathcal{J}_{Y_0} .\] […] […] […] […] \[0 \to \mathcal{J}_{Y_0} \to A \to A_0 \to 0\] […] exacte, i.e. \(A \to A_0\) surjectif.

Pour le voir, prenons soit \(\varphi_0 \in A_0\), […] [son image] dans \(X_0\), \(f_0 \in H^0(X_0, \mathcal{O}_{X_0})\) \[f_0 \in \mathrm{Ker}\bigl(H^0(X_0, \mathcal{O}_{X_0}) \rightrightarrows H^0(R_0, \mathcal{O}_{R_0})\bigr) ;\] il suffit de voir que \(f_0\) se remonte en […] \(f \in H^0(X, \mathcal{O}_X)\). En effet, a priori il y a une obstruction à relever […] ; […] […] les deux images […] ; \(\xi \in H^1(X_0, \mathcal{J}_{X_0})\) ; […]

6

[…] […] […] […] des obstructions, par \(p_1^0\) et \(p_2^0\), […] […] […] […] les obstructions, […] \(=\) solution \(g_0 \in H^0(R_0, \mathcal{O}_{R_0})\) […] \((R, \mathcal{O}_R)\). D'où \[\xi \in \mathrm{Ker}\bigl(H^1(X_0, \mathcal{J}_{X_0}) \rightrightarrows H^1(R_0, \mathcal{J}_{R_0})\bigr) = \check{H}^0\bigl(X_0/Y_0, \mathcal{H}^1(\mathcal{J}_{Y_0})\bigr)\] qui est nul, […] la 2^ème […] […] […], \(X_0 \to Y_0\) étant couvrant […] quasi-compact et quasi-séparé. […] \(\xi = 0\), d'où l'existence […] […] \(f\).

[…] on trouve \(f \in \mathrm{Ker}\) \(p_1(f) = p_2(f)\), […] […] \(f\) […], on \(f\) provient d'un \(\varphi \in A\), qui […] [relève] […] \(\varphi_0\). « relève » en interligne au-dessus d'un mot biffé

\begin{tikzcd}[column sep=small]
A \arrow[r] \arrow[d] & H^0(X, \mathcal{O}_X) \arrow[r, bend left=8, "p_1"] \arrow[r, bend right=8] \arrow[d] & H^0(R, \mathcal{O}_R) \arrow[d] \\
A_0 \arrow[r] & H^0(X_0, \mathcal{O}_{X_0}) \arrow[r, bend left=8, "p_2"] \arrow[r, bend right=8] & H^0(R_0, \mathcal{O}_{R_0})
\end{tikzcd}

les doubles flèches \(\rightrightarrows\) du dessin sont rendues par deux arcs ; \(p_1\) est écrit au-dessus de la première, \(p_2\) entre les deux lignes. Sous le diagramme, \(\varphi_0\) sous \(A_0\) et \(f_0\) sous \(H^0(X_0, \mathcal{O}_{X_0})\) ; au-dessus, \(f\) sur \(H^0(X, \mathcal{O}_X)\)

À présent, on […] […] […] […] donc que \(y\ (= p_2(f) - p_1(f)) \in H^0(R_0, \mathcal{J}_{R_0})\) ; vérifions que \[y \in Z^1(X_0/Y_0, \mathcal{J}_{Y_0}) \quad \text{i.e. } dy = 0\] d'où […] cobord […] […] \(f\), et […] […] que \(p_1(f + \lambda) = p_2(f + \lambda)\), […] […] que \(p_2(\lambda) - p_1(\lambda) = \uncertain{-y}\), i.e. \(d(\lambda) = y\).

7

\begin{tikzcd}
Y & X \arrow[l] & R \arrow[l, bend left=8] \arrow[l, bend right=8] \\
Y_0 \arrow[u] & X_0 \arrow[l, hook'] \arrow[u] & R_0 \arrow[l, bend left=8] \arrow[l, bend right=8] \arrow[u]
\end{tikzcd}

la flèche verticale de gauche est repassée à l'encre foncée et son sens n'est pas sûr ; la verticale du milieu n'a pas de pointe visible

D'ailleurs, pour \(\mathcal{J}_{Y_0}\) \(Y\) […] est […] […], \(Y_0\) […] […] […] […] défini par un […] […] nilpotent isomorphe : \(\mathcal{J}_{Y_0}\). […] […] […] […] […] \[\mathcal{J}_{Y_0} X = \mathcal{J}_{X_0} \simeq \mathcal{J}_{Y_0} \otimes_{\mathcal{O}_{Y_0}} \mathcal{O}_{X_0}\] […] […] \(X\), i.e. \(X_0 \to Y_0\) […] […]

[…] \(X \to Y\) est […] […] \(Y\). […] […] […] que \(X_0/Y_0\) […], \(X/Y\) […] plat. […] \(R \to X\) […] plat sur \(Y\), et \(R \to X \times_Y X = P\) […] […] isomorphisme, […] \(R_0 \to P_0\) […] […] isom., donc \(R \to P\) […] […] isomorphisme, o.k.

8

Généralités sur la topologie fid. plate

Les \(\check{H}^p(S'/S, \mathcal{H}^q(F))\) pour \(F\) quasi-cohérent.

Applications aux relations d'équivalence …… feuillet brun, qui ne porte que ces trois lignes, en forme de plan ; il n'est pas certain qu'il se rapporte aux pages 1-7 qui le précèdent plutôt qu'à celles qui suivent

Prétopologies engendrées

titre de l'éditeur

9

Proposition. \(\mathcal{C}\) catégorie munie d'une prétopologie \(T\), [(avec produits fibrés)] \(\mathcal{C}'\) sous-catégorie […] pleine de \(\mathcal{C}\) […] […] système de […] qui soit stable par \(T\) […] […] isomorphismes et produits fibrés :

(a) pour tt \(X \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}\), existe famille couvrante \(U_\alpha \to X\) pour \(T\), […] les \(U_\alpha \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}'\) ], […]

(b) \(\mathcal{C}'\) stable par isomorphismes et produits fibrés, […] […] de […] pour la

\(T'\) une [prétopologie] prétopologie sur \(\mathcal{C}'\) ! […] […] […] […] […]

(c) stable par […] […] […] […], […] […] […] […] […] […] […] […] […] identités […] […] […] […] isomorphismes […] […] […] \(T'\). Soit \(\mathcal{C}\) la topologie engendrée par \(T\), \(T'\). Soit \(X_i \to X\) une famille de flèches […] […] […] […] couvrante pour \(T\), […] \(f\). […] tout le bloc (c), avec le début de démonstration, est biffé de plusieurs grandes croix et de traits ondulés ; la lecture en est très incertaine

On va que la situation \[\begin{array}{ccc} & & U_{ij\mu} \\ & & \downarrow \\ U_i & \longleftarrow & U_{ij} \\ \downarrow & & \\ U & & \end{array}\] où \(U, U_i, U_j, U_{ij\mu} \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}'\), \((U_i \to U)\) couvrante pour […] \(T'\), et \((U_{ij\mu} \to U_{ij})\) […] […], \((U_{ij}) \to U_i\) couvrante pour \(T\), on veut […] […] […] sous-famille de \(U_{ij\mu} \to U\) couvrante pour \(T'\). le \(U_i\) du diagramme surcharge une autre lettre

10

Soit \(\mathcal{T}\) la topologie engendrée par \(T\), \(T'\), […] […] […] \(X_i \to X\) une famille de morphismes de \(\mathcal{C}\). Pour qu'elle soit \(\mathcal{T}\)-couvrante, il faut et suffit qu'il existe une famille \(T\)-couvrante \(U_\alpha \to X\), [\(U_\alpha \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}'\),] et pour tt \(\alpha\) une famille \(T'\)-couvrante \(U_{\alpha\beta} \to U_\alpha\), et pour tt \(\beta\) un indice \(i\) et un \(X\)-morphisme \(U_{\alpha\beta} \to X_i\). [cor.] Si \(X = \struck{U} \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}'\), il faut et suffit aussi qu'il existe \(U_\alpha \to X\) couvrante pour \(T'\), et pour tt \(\alpha\) un \(i\) […] un \(X\)-morphisme \(U_\alpha \to X_i\).

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X_i \arrow[d] & U_{\alpha\beta} \arrow[l] \arrow[d] \\
X & U_\alpha \arrow[l]
\end{tikzcd}

N.B. la condition […] […] la proposition, […] […] (c)en marge gauche, en travers, séparé du texte par un trait

Dém. Si cette condition est remplie, alors \(U_{\alpha\beta} \to X\) est couvrante pour \(\mathcal{T}\) par transitivité, et par suite \(X_i \to X\) l'est par saturation. Il reste à prouver que les familles du type envisagé satisfont les conditions 1), 2), 3), 4). Pour 4) c'est trivial, pour 3) aussi [prenons une famille couvrante [si \(X' \rightrightarrows X\),] \(U_\alpha\) de \(X\) […] les \(U_\alpha \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}'\) — existe par hypothèse (a) \(\mathcal{C}'\) […] de \((\mathcal{C}, T)\), \((U_{\alpha\beta})_\beta\) réduit à : \(U_\alpha \xrightarrow{\mathrm{id}} U_\alpha\), et \(U_\alpha \to X'\) déduit de \(U_\alpha \to X\). Pour 1) […]),

11

Alors Pour tt \(\alpha\), il existe par construction \(i = i(\alpha)\) tel et un \(X\)-morphisme \(U_{\alpha\beta} \to\) \(V_{\alpha\lambda} \to X_{\uncertain{i}}\), ok.

Cor. 2 Soit \(F : \struck{\ill{}}\,\mathcal{C}^{\circ} \to (\mathrm{Ens})\), pour que \(F\) soit un faisceau [pour \(\mathcal{T}\)], il faut et suffit que \(F\) […] […] […] soit un faisceau pour \(T\), et […] induise sur \(\mathcal{C}'\) un faisceau pour \(T'\) !

En effet, […] […] […] […], […] […] […] […] […] […] […] \(F\) […] […] topologie, […] pour \(T\), \(T'\), […] \(\mathcal{T}\). OKen marge gauche, en travers, relié au texte par une accolade

Proposition 2. Considérons sur \((\mathrm{Sch}) = \mathcal{C}\) la prétopologie \(T\) de Zariski. Considérons la […] sous-catégorie pleine \(\mathcal{C}'\) de \(\mathcal{C}\) formée des schémas affines, et la prétopologie suivante : une famille de \(U_i \to U\) est couvrante, si elle est finie, [surjective et] […] plate [i.e. les \(U_i\) sont en nombre fini, leur somme recouvre \(U\), et les \(U_i \to U\) sont plats]. Soit \(\mathcal{T}\) la topologie [sur \(\mathcal{C}\)] engendrée par \(T\), \(T'\).

Ex. Cas \((\mathrm{Sch})\), \(T\) : Zariski-topologie, \(T'\) : \(f : U \to V\) […] […], \(U\), \(V\) affinesentouré, en marge gauche, en travers ; au-dessous, toujours en travers : « […] plate […] : plate de présentation finie, plate […] […], étale, », énumération de variantes possibles de \(T'\)

(i) Soit \(X_i \to X\) une famille de morphismes dans \(\mathcal{C}\). Pour qu'elle soit couvrante, il f. et s. que \(X\) puisse se recouvrir par des ouverts affines \(U_\alpha\) et que pour tt \(\alpha\) \(\exists\) une famille finie plate \(U_{\alpha\beta} \to U_\alpha\), les \(U_{\alpha\beta}\) affines, […] et pour tt \(\alpha, \beta\) un \(i = i(\alpha, \beta)\) et un \(X\)-morphisme \(U_{\alpha\beta} \to X_i\).

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X_i \arrow[d] & U_{\alpha\beta} \arrow[l] \arrow[d] \\
X & U_\alpha \arrow[l]
\end{tikzcd}

12

(iii) Un morphisme fid. plat quasi-compact \(f : X' \to \struck{S}\,X\) est couvrant pour \(\mathcal{T}\). De même un [ouvert, p.ex. un] morphisme fid. plat loc. de présentation finie, morphisme fid. plat loc. de prés. finie ; plus généralement, si on a une famille de morphismes \(X_i \to X\) ouverts, plats, dont les images recouvrent \(X\), cette famille recouvre \(X\) pour \(\mathcal{T}\). le paragraphe (iii) est rattaché par un trait de marge au (ii) qui suit

(ii) Soit \(F : (\mathrm{Sch})^{\circ} \to (\mathrm{Ens})\) un foncteur. Pour que \(F\) soit un faisceau pour \(\mathcal{T}\), il f. et s. qu'il satisfasse les conditions suivantes :

a) \(F\) est un faisceau pour la topologie de Zariski
\phantom{a) }i.e. « \(F\) de nature locale »

b) Pour tt \(S' \to S\) fid. plat, avec \(S\) et \(S'\) affines, on a exactitude dans \[F(S) \to F(S') \rightrightarrows F(S' \times_S S')\]

Dém. (i) résulte de Prop. 1.

(ii) Résulte trivialement, par 2 […], Cor. 1 corollaire 2, […] ; […] […] […] […] […] par \(F\) […] […] pour les morphismes fid. plats et quasi-compacts [idem données […] […] sont stables par les deux dernières lignes sont barrées d'un trait ondulé et encadrées ; la phrase s'arrête au bas du feuillet

13

suite de la démonstration de la page 10 (vérification des axiomes)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X_i \arrow[d] & U_{\alpha\beta} \arrow[l] \arrow[d] & \\
X & U_\alpha \arrow[l] & \\
X'_i \arrow[uu, bend left=20] \arrow[d] & U'_{\alpha\beta} \arrow[l] \arrow[d] & U'_{\alpha\beta\lambda} \arrow[l] \arrow[d] \\
X' \arrow[uu, bend left=30] & U'_\alpha \arrow[l] \arrow[uu, bend right=20] & U'_{\alpha\lambda} \arrow[l]
\end{tikzcd}

le dessin superpose les deux carrés, celui de \(X'\) décalé vers le bas à droite, avec des flèches obliques de \(X'_i\), \(X'\), \(U'_\alpha\) vers \(X_i\), \(X\), \(U_\alpha\) ; on l'a déplié. \(X'_i\) est sans doute \(X_i \times_X X'\)

[…] […] que les \(U'_\alpha\) recouvrent \(X'\) pour \(T\) ; […] pour tt \(\alpha\), [recouvrons pour \(T\)] \(U'_\alpha\) par des \(U'_{\alpha\lambda} \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}'\), possible par hyp. (a), d'où des \(U'_{\alpha\beta\lambda}\), pour \(\alpha\) et \(\lambda\) fixés, les \(U'_{\alpha\beta\lambda}\) recouvrent [puisque (b), en déduisant de \(U_{\alpha\beta} \to U_\alpha\) par changement de base,] \(U'_{\alpha\beta}\) pour \(T'\) ; [de plus pour \(\alpha\), \(\lambda\) variables,] les \(U'_{\alpha\lambda}\) recouvrent \(X'\) pour \(T\), par transitivité. OK.

Axiome 1 de transitivité, la construction […]. Soient : l'hyp. [sur] \(X_i \to X\) […] des \(U_\alpha\), \(U_{\alpha\beta}\), et pour tt \(\alpha, \beta\) — \(U_{\alpha\beta} \to X_i\), [\(i = i(\alpha, \beta)\),] […] […] […] […] […] […], la famille des \(X_{ij} \times_{X_i} U_{\alpha\beta}\) (qu'elle) satisfait aux conditions envisagées, donc \(\exists\) \(U_{\alpha\beta\gamma} \to U_{\alpha\beta}\) couvrant pour \(T\), les \(U_{\alpha\beta\gamma} \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}'\), et pour tt \(\gamma\) une famille \(U_{\alpha\beta\gamma\delta} \to U_{\alpha\beta\gamma}\) couvrante pour \(T'\), et un \(j = j(\gamma, \delta)\) et \(U_{\alpha\beta}\)-morphisme \(U_{\alpha\beta\gamma\delta} \to \struck{X}\,X_{ij} \times_{X_i} U_{\alpha\beta}\). Par (c), […] […] pour tt \(\alpha\), extraire de \(U_{\alpha\beta\gamma} \to U_\alpha\) une famille couvrante par \(T'\), soit \(V_{\alpha\lambda} \to U_\alpha\).

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X_{ij} \arrow[d] & X_{ij} \times_{X_i} U_{\alpha\beta} \arrow[l] \arrow[d] & U_{\alpha\beta\gamma\delta} \arrow[l] \arrow[d] \\
X_i \arrow[d] & U_{\alpha\beta} \arrow[l] \arrow[d] & U_{\alpha\beta\gamma} \arrow[l] \\
X & U_\alpha \arrow[l] &
\end{tikzcd}

\(U_\alpha\) est entouré sur le dessin. La condition (c) invoquée ici est celle qui est biffée à la page 9

14

[…] engendrée en fait dans \(\mathcal{C}\), et engendre \(\mathcal{T}\) […] la prétopologie de Zariski). […] […] ceci, il suffit de deux lignes barrées d'un trait ondulé, suite de la phrase interrompue au bas de la page 12

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
S' \arrow[d] & \\
S & S_\alpha \arrow[l] \arrow[lu, bend right=30, no head]
\end{tikzcd}

[…] qui : condition a), \(F\) […] transforme sommes […] en produits, ce qui permet d'appliquer la condition b) du corollaire 1, au produit de deux recouvrements […] […] […] deux morphismes.

[…] [(iii)] par des produits…… le reste du feuillet est blanc

Descente fidèlement plate

inscrit à l'encre, en haut à droite et souligné, sur le feuillet brun de la page 15, qui ne porte rien d'autre et ne reçoit pas de numéro de page ; le feuillet 16 est blanc

17

1 A) Application à la comparaison entre les variétés étales holomorphes

B) Application à la construction [la factorisation canonique] par

Proposition. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme [univ. ouvert] fini […] avec \(Y\) loc. noethérien. Pour \(y \in Y\), soit \(d(y)\) le rang de sa géométrique de \(f^{-1}(y)\) (= degré séparable de \(f^{-1}(y)\) sur \(k(y)\))]. Supposons \(d(y)\) constant. Alors \(f\) se factorise en \[X \xrightarrow{f_1} X^{\ast}_0 \xrightarrow{f_2} Y\] où \(f_1\) est [fini] surjectif radiciel, et \(f_2\) est un morphisme fini étale. [\(f_2\) Alors] […] Tout \(Y\)-morphisme \(X \to Z\), avec \(Z\) étale sur \(Y\), se factorise de façon unique en \(X \to X' \to Z\).

On peut supprimer [\(Y\) connexe dans] \(d(y)\) constant, sauf […]. [ Quitte à remplacer \(Y\) par une partie […] finie […] et fermée […], […] tt […] ] la fin de la page, entre crochets, est très rapide ; l'exposant de \(X_0\) dans la factorisation est lu \(\ast\), la lettre n'est pas sûre

18

la page entière est biffée de deux longues diagonales ; elle se lit néanmoins

Soit \(I = [1, \ldots, n]\). Considérons \[Y' = \mathrm{Hom}(I, X) = X^{I}\] On a donc un \(Y\)-morphisme canonique \[Y' \times I \to X \qquad \text{i.e. un } Y'\text{-morphisme \uncertain{canonique}}\] \[f : \struck{\ill{}}\,Y' \times I \to X'\] [correspondant aux \(n\) projections \(\mathrm{pr}_i : Y' = X^I \to X\)] \(X'\) désigne sans doute \(X \times_Y Y'\)

Pour tout \(y' \in Y'\), on en conclut une application \[I \times \mathrm{Spec}\,k(y') \to X' \times_{Y'} \mathrm{Spec}\,k(y')\]

Lemme. Soit [\(Y''\)] […] l'ensemble des pts de \(Y'\) où le morphisme précédent est bijectif [ou] : la fonction […] […] ferme, et il s'applique [\(Y'' \to Y\)] bijectivement surjectif […] […] […] […] [\(Y'' \to\) connexe.]

L'un des pts L'un des pts de \(I \times \mathrm{Spec}\,k(y) \to X'_y\) est géométriquement injectif, i.e. […] […] est radiciel, ou […] […] […] un monomorphisme [= immersion fermée], […] […] (décrit) que […] […] […]. \(\struck{Y'}\,Y' \times I\) est plat propre sur \(Y'\)entouré, en interligne au-dessus de la dernière ligne décrit explicitement est de 2 […]en marge gauche, en travers

19

Si \(X \xrightarrow{f} Y\) admet une section \(s\), […] alors \(s(Y)\) est à la fois […] fermé et ouvert. En effet, on voit de suite que c'est une réunion de composantes irréductibles de \(X\) [\(X \to Y\) étant fini] ; il faut montrer que si \(X''\) est la […] réunion des autres composantes irréductibles, alors \(X' \cap X'' = \emptyset\). Or […] […] l'image […] […] […] […] de \(Y\), […] [les composantes irréductibles] \(d''(y) = n - 1\), donc le passage de « il faut montrer » à « donc » est encadré, et barré de deux traits obliques ; \(X'\) désigne sans doute \(s(Y)\)

\(X\)
\(Y\)en marge gauche, isolés

[…] Pour un domaine […] […] supposer […] […] \(Y\) est irréductible [car si les \(Y_i\) sont les composantes de \(Y\), il suffit de montrer que \(s(Y_i)\) est ouvert […] dans \(f^{-1}(Y_i)\)]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X \arrow[d, bend left=20] & f^{-1}(Y_i) \arrow[d, bend left=20] \\
Y \arrow[u, bend left=20, "s"] & Y_i \arrow[u, bend left=20, "s_i"]
\end{tikzcd}

croquis de marge, redessiné : \(X = \bigcup_i f^{-1}(Y_i)\) au-dessus de \(Y = \bigcup_i Y_i\), avec \(s\) et \(s_i\) en montant

… et alors les composantes irréductibles de \(X\) sont disjointes [vérif], […] […] […] la conclusion.

Donc […] […] \(X = X_{(1)} \amalg X^{(1)}\), où \[d(X_{(1)}/Y) = 1, \qquad d(X^{(1)}/Y) = n - 1 .\]

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suite, semble-t-il, du lemme de la page 18

et que \(y' \in Y'' \Leftrightarrow\) il existe un voisinage \(U\) de \(y'\) dans \(Y'\) tel que \(f : U \times I \to X'|U\) soit une […] immersion fermée. Le complémentaire de \(Y''\) est formé des pts tels que \[I \times \mathrm{Spec}\,k(y') \to X' \times_{Y'} \mathrm{Spec}\,k(y')\] soit géométriquement non injectif, la phrase s'arrête là ; le reste du feuillet est blanc