Fonds Grothendieck, cote n° 126, pages 1–20

Cohomologie de Čech et descente fidèlement plate

titre de l'éditeur, qui ne figure pas sur les feuillets

Théorème 1. f : X \to S un morphisme fid. plat quasi-compact (quasi-séparé, S affine), F faisceau quasi-cohérent sur X. Alors \check{H}^i(X^{\cdot}/S, F) \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } i \neq 0 \\ H^0(S, F) & \text{si } i = 0 . \end{cases} couvrant quasi-séparé quasi- platdeux lignes encadrées à droite de « Alors », qui semblent proposer de remplacer les hypothèses « fid. plat quasi-compact » ; la parenthèse « quasi-séparé, S affine » est ajoutée en interligne au-dessus de l'énoncé et reliée à lui par un trait

On peut l'énoncer sous la forme suivante :

Corollaire 1. Hypothèses précédentes, sans hyp. affine sur X cependant. Les \underline{H}^i(X^{\cdot}/S, F) (faisceaux qu. coh. sur X) sont nuls si i \neq 0, et F \to \underline{H}^0(X^{\cdot}/X, F) est un isomorphisme. « qu. coh. » en interligne ; le second argument est bien écrit X^{\cdot}/X

Or la formation des \underline{H}^i(X^{\cdot}/S, F) est compatible avec extension plate de la base [où les X^i/S sont quasi-compacts quasi-séparés], et il suffit de prouver que les assertions dites sont vraies après changement de base plat couvrant les S_\lambda affines S_\lambda \to S, une famille qui soit telle que les X_\lambda/S_\lambda ont des sections. D'où le résultat, car pour S affine et X/S ayant une section, c'est immédiat. « les S_\lambda affines » et « c'est immédiat » sont en interligne

Corollaire 2. Soit X \to S couvrant ; H^0(S, F) \simeq H^0(X/S, F). Plus généralement, le foncteur S' \mapsto \Gamma(S', F \otimes_S S') sur (\mathrm{Sch})^{\circ}_{/S} est un faisceau pour la topologie fidèlement plate quasi-compacte. [En effet, on est ramené à 2 vérifications, pour les deux types de familles couvrantes : Zariski, et ]écrit en travers, le long de la marge gauche, et encadré d'un trait ; la phrase entre crochets est entourée. Dans l'angle, également en travers, « 2 compléter plus loin »

Corollaire 3. Mettons sur (\mathrm{Sch}) une topologie T intermédiaire entre celle de Zariski et la fpqc. Alors pour tout faisceau quasi-cohérent F sur X, H^{*}(X^{T}_{\uncertain{\scriptstyle 1}}, F^{T}) = H^{*}(X, F).

Dém. On est ramené par Leray, pour (\mathrm{Sch})_{T} \to (\mathrm{Sch})_{\mathrm{Zar}}, à prouver que pour X X affine, on a

\mathcal{H}^i(X^{T}, F^{T}) = 0, \qquad \mathcal{H}^0(X^{T}, F^{T}) \simeq H^0(X, F). ~~Pour~~ La relation seconde résulte de la définition de F^{T}. Pour la première, c'est par , par suite spectrale de Čech : pour tt ~~recouvrement~~ \mathfrak{X} = (X_{\cdot} \to X), fid. plats, \check{H}^p(\mathfrak{X}, F) = 0 pour tt p \neq 0.

Or F , \mathfrak{X} fid. plat ~~quasi-compact~~ affine. Th. 1.

Utilisons la suite spectrale de Leray, :

Corollaire 4. Soit S' \to S couvrant (pour la ), F sur S. Alors on a une suite spectrale H^{*}(S, F) \Longleftarrow \check{H}^p(S'/S, \mathcal{H}^q(F)) [où \mathcal{H}^q(F) désigne le foncteur T \mapsto H^q(T, F \otimes_S T) sur (\mathrm{Sch})^{\circ}_{/S}].

en tête de page, au-dessus d'un trait : « l'isomorphisme H^0(S, F) \simeq H^0(S'/S, F) déjà connu, et »

Notons [la suite exacte en basses dimensions : 0 \to \check{H}^1(S'/S, F) \to H^1(S, F) \to \check{H}^0(S'/S, \mathcal{H}^1(F)) \to \check{H}^2(S'/S, F) \to H^2(S, F) .

Remarques 1) Bien entendu, on peut ().

2) La démonstration du Th. 1 montre [ S affine, \check{H}^p(S'/S, \mathcal{H}^q(F)) = 0 \quad \text{pour tt } p, \text{ si } q \neq 0 . , on ! \check{H}^0(S'/S, \mathcal{H}^q(F)) = \mathrm{Ker}\bigl(H^q(S', F) \rightrightarrows H^q(S' \times_S S', F)\bigr) = 0 ~~Je résultats~~ deux traits horizontaux ferment la page

X_0. On suppose que le ~~quotient X_0/R_0~~ R_0 est (M) effective, morphisme, , et que et que p_1^0 : R_0 \to X_0 ~~R_0~~ fid. plat quasi-compact, et quasi-séparé. l'ajout « et que p_1^0 : R_0 \to X_0 » est entouré et relié par un trait ; au-dessus de la rature, un R isolé

Sous ces conditions, R est M- effective, et si Et si X_0 \to Y_0 est plat i.e. R_0 \to X_0

[On peut supposer \mathcal{J}_{X_0} de carré nul.]entouré

Démonstration (Soit Y_0 = X_0/R_0 dans ) X_0 \to Y_0 est couvrant, quasi-compact et R_0 \rightrightarrows X_0 \times_{Y_0} X_0.

: \mathcal{J}_{X_0}, \mathcal{J}_{R_0}, donc \mathcal{J}_{X_0} vient R_0 \simeq X_0 \times_{Y_0} X_0, [ \mathcal{J}_{X_0} propre \mathcal{J}_{X_0} ], , effectivement, X_0 \to Y_0 couvrant et R_0 \simeq X_0 \times_{Y_0} X_0,

\mathcal{J}_{Y_0} faisceau cohérent sur Y_0.

coefficients de R, on , affine. Soit donc Y_0, et ~~A = \check{H}^0(X/\ill{}, \mathcal{O}_X)~~ A = \mathrm{Ker}\bigl(H^0(X, \mathcal{O}_X) \rightrightarrows H^0(R, \mathcal{O}_R)\bigr) A \to A_0, dans \mathrm{Ker}\bigl(H^0(X_0, \mathcal{J}_{X_0}) \rightrightarrows H^0(R_0, \mathcal{J}_{R_0})\bigr) = H^0(Y_0, \mathcal{J}_{Y_0}) = \mathcal{J}_{Y_0} . 0 \to \mathcal{J}_{Y_0} \to A \to A_0 \to 0 exacte, i.e. A \to A_0 surjectif.

Pour le voir, ~~prenons~~ soit \varphi_0 \in A_0, son image dans X_0, ~~f_0 \in H^0(X_0, \mathcal{O}_{X_0})~~ f_0 \in \mathrm{Ker}\bigl(H^0(X_0, \mathcal{O}_{X_0}) \rightrightarrows H^0(R_0, \mathcal{O}_{R_0})\bigr) ; il suffit de voir que f_0 se remonte en f \in H^0(X, \mathcal{O}_X). En effet, a priori il y a une obstruction à relever ; les deux images ; \xi \in H^1(X_0, \mathcal{J}_{X_0}) ;

des obstructions, par p_1^0 et p_2^0, les obstructions, = solution g_0 \in H^0(R_0, \mathcal{O}_{R_0}) (R, \mathcal{O}_R). D'où \xi \in \mathrm{Ker}\bigl(H^1(X_0, \mathcal{J}_{X_0}) \rightrightarrows H^1(R_0, \mathcal{J}_{R_0})\bigr) = \check{H}^0\bigl(X_0/Y_0, \mathcal{H}^1(\mathcal{J}_{Y_0})\bigr) qui est nul, la 2ème , X_0 \to Y_0 étant couvrant quasi-compact et quasi-séparé. \xi = 0, d'où l'existence f.

on trouve ~~f \in \mathrm{Ker}~~ p_1(f) = p_2(f), f , on f provient d'un \varphi \in A, qui relève \varphi_0. « relève » en interligne au-dessus d'un mot biffé

\begin{tikzcd}[column sep=small] A \arrow[r] \arrow[d] & H^0(X, \mathcal{O}_X) \arrow[r, bend left=8, "p_1"] \arrow[r, bend right=8] \arrow[d] & H^0(R, \mathcal{O}_R) \arrow[d] \\ A_0 \arrow[r] & H^0(X_0, \mathcal{O}_{X_0}) \arrow[r, bend left=8, "p_2"] \arrow[r, bend right=8] & H^0(R_0, \mathcal{O}_{R_0}) \end{tikzcd}

les doubles flèches \rightrightarrows du dessin sont rendues par deux arcs ; p_1 est écrit au-dessus de la première, p_2 entre les deux lignes. Sous le diagramme, \varphi_0 sous A_0 et f_0 sous H^0(X_0, \mathcal{O}_{X_0}) ; au-dessus, f sur H^0(X, \mathcal{O}_X)

À présent, on donc que y\ (= p_2(f) - p_1(f)) \in H^0(R_0, \mathcal{J}_{R_0}) ; vérifions que y \in Z^1(X_0/Y_0, \mathcal{J}_{Y_0}) \quad \text{i.e. } dy = 0 d'où cobord f, et que p_1(f + \lambda) = p_2(f + \lambda), que p_2(\lambda) - p_1(\lambda) = \uncertain{-y}, i.e. d(\lambda) = y.

\begin{tikzcd} Y & X \arrow[l] & R \arrow[l, bend left=8] \arrow[l, bend right=8] \\ Y_0 \arrow[u] & X_0 \arrow[l, hook'] \arrow[u] & R_0 \arrow[l, bend left=8] \arrow[l, bend right=8] \arrow[u] \end{tikzcd}

la flèche verticale de gauche est repassée à l'encre foncée et son sens n'est pas sûr ; la verticale du milieu n'a pas de pointe visible

D'ailleurs, ~~pour \mathcal{J}_{Y_0}~~ Y est , Y_0 défini par un nilpotent isomorphe : \mathcal{J}_{Y_0}. \mathcal{J}_{Y_0} X = \mathcal{J}_{X_0} \simeq \mathcal{J}_{Y_0} \otimes_{\mathcal{O}_{Y_0}} \mathcal{O}_{X_0} X, i.e. X_0 \to Y_0

X \to Y est Y. que X_0/Y_0 , X/Y plat. R \to X plat sur Y, et R \to X \times_Y X = P isomorphisme, R_0 \to P_0 isom., donc R \to P isomorphisme, o.k.

Généralités sur la topologie fid. plate

Les \check{H}^p(S'/S, \mathcal{H}^q(F)) pour F quasi-cohérent.

Applications aux relations d'équivalence …… feuillet brun, qui ne porte que ces trois lignes, en forme de plan ; il n'est pas certain qu'il se rapporte aux pages 1-7 qui le précèdent plutôt qu'à celles qui suivent

Prétopologies engendrées

titre de l'éditeur

Proposition. \mathcal{C} catégorie munie d'une prétopologie T, (avec produits fibrés) \mathcal{C}' sous-catégorie pleine de \mathcal{C} ~~système de~~ qui soit stable par T ~~isomorphismes et produits fibrés~~ :

(a) pour tt X \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}, existe famille couvrante U_\alpha \to X pour T, les U_\alpha \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}' ],

(b) \mathcal{C}' stable par isomorphismes et produits fibrés, ~~de pour la~~

T' une prétopologie ~~prétopologie~~ sur \mathcal{C}' !

~~(c) stable par , identités isomorphismes T'. Soit \mathcal{C} la topologie engendrée par T, T'. Soit X_i \to X une famille de flèches couvrante pour T, f.~~ tout le bloc (c), avec le début de démonstration, est biffé de plusieurs grandes croix et de traits ondulés ; la lecture en est très incertaine

On va que la situation \begin{array}{ccc} & & U_{ij\mu} \\ & & \downarrow \\ U_i & \longleftarrow & U_{ij} \\ \downarrow & & \\ U & & \end{array} où U, U_i, U_j, U_{ij\mu} \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}', (U_i \to U) couvrante pour T', et (U_{ij\mu} \to U_{ij}) , (U_{ij}) \to U_i couvrante pour T, on veut sous-famille de U_{ij\mu} \to U couvrante pour T'. le U_i du diagramme surcharge une autre lettre

Soit \mathcal{T} la topologie engendrée par T, T', X_i \to X une famille de morphismes de \mathcal{C}. Pour qu'elle soit \mathcal{T}-couvrante, il faut et suffit qu'il existe une famille T-couvrante U_\alpha \to X, U_\alpha \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}', et pour tt \alpha une famille T'-couvrante U_{\alpha\beta} \to U_\alpha, et pour tt \beta un indice i et un X-morphisme U_{\alpha\beta} \to X_i. cor. Si X = \struck{U} \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}', il faut et suffit aussi qu'il existe U_\alpha \to X couvrante pour T', et pour tt \alpha un i un X-morphisme U_\alpha \to X_i.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] X_i \arrow[d] & U_{\alpha\beta} \arrow[l] \arrow[d] \\ X & U_\alpha \arrow[l] \end{tikzcd}

N.B. la condition la proposition, (c)en marge gauche, en travers, séparé du texte par un trait

Dém. Si cette condition est remplie, alors U_{\alpha\beta} \to X est couvrante pour \mathcal{T} par transitivité, et par suite X_i \to X l'est par saturation. Il reste à prouver que les familles du type envisagé satisfont les conditions 1), 2), 3), 4). Pour 4) c'est trivial, pour 3) aussi [prenons une famille couvrante si X' \rightrightarrows X, ~~U_\alpha~~ de X les U_\alpha \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}' — existe par hypothèse (a) ~~\mathcal{C}' de (\mathcal{C}, T)~~, (U_{\alpha\beta})_\beta réduit à : U_\alpha \xrightarrow{\mathrm{id}} U_\alpha, et U_\alpha \to X' déduit de U_\alpha \to X. Pour 1) ),

~~Alors~~ Pour tt \alpha, il existe par construction i = i(\alpha) ~~tel~~ et un X-morphisme ~~U_{\alpha\beta} \to~~ V_{\alpha\lambda} \to X_{\uncertain{i}}, ok.

Cor. 2 Soit F : \struck{\ill{}}\,\mathcal{C}^{\circ} \to (\mathrm{Ens}), pour que F soit un faisceau pour \mathcal{T}, il faut et suffit que F soit un faisceau pour T, et induise sur \mathcal{C}' un faisceau pour T' !

En effet, , F topologie, pour T, T', \mathcal{T}. OKen marge gauche, en travers, relié au texte par une accolade

Proposition 2. Considérons sur (\mathrm{Sch}) = \mathcal{C} la prétopologie T de Zariski. Considérons la sous-catégorie pleine \mathcal{C}' de \mathcal{C} formée des schémas affines, et la prétopologie suivante : une famille de U_i \to U est couvrante, si elle est finie, surjective et plate [i.e. les U_i sont en nombre fini, leur somme recouvre U, et les U_i \to U sont plats]. Soit \mathcal{T} la topologie sur \mathcal{C} engendrée par T, T'.

Ex. Cas (\mathrm{Sch}), T : Zariski-topologie, T' : f : U \to V , U, V affinesentouré, en marge gauche, en travers ; au-dessous, toujours en travers : « plate : plate de présentation finie, plate , étale, », énumération de variantes possibles de T'

(i) Soit X_i \to X une famille de morphismes dans \mathcal{C}. Pour qu'elle soit couvrante, il f. et s. que X puisse se recouvrir par des ouverts affines U_\alpha et que pour tt \alpha \exists une famille finie plate U_{\alpha\beta} \to U_\alpha, les U_{\alpha\beta} affines, et pour tt \alpha, \beta un i = i(\alpha, \beta) et un X-morphisme U_{\alpha\beta} \to X_i.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] X_i \arrow[d] & U_{\alpha\beta} \arrow[l] \arrow[d] \\ X & U_\alpha \arrow[l] \end{tikzcd}

(iii) Un morphisme fid. plat quasi-compact f : X' \to \struck{S}\,X est couvrant pour \mathcal{T}. De même un ouvert, p.ex. un morphisme fid. plat ~~loc. de présentation finie~~, morphisme fid. plat loc. de prés. finie ; plus généralement, si on a une famille de morphismes X_i \to X ouverts, plats, dont les images recouvrent X, cette famille recouvre X pour \mathcal{T}. le paragraphe (iii) est rattaché par un trait de marge au (ii) qui suit

(ii) Soit F : (\mathrm{Sch})^{\circ} \to (\mathrm{Ens}) un foncteur. Pour que F soit un faisceau pour \mathcal{T}, il f. et s. qu'il satisfasse les conditions suivantes :

a) F est un faisceau pour la topologie de Zariski \phantom{a) }i.e. « F de nature locale »

b) Pour tt S' \to S fid. plat, avec S et S' affines, on a exactitude dans F(S) \to F(S') \rightrightarrows F(S' \times_S S')

Dém. (i) résulte de Prop. 1.

(ii) Résulte trivialement, par 2 , Cor. 1 corollaire 2, ; ~~par F~~ ~~pour les morphismes fid. plats et quasi-compacts~~ [idem données sont stables par les deux dernières lignes sont barrées d'un trait ondulé et encadrées ; la phrase s'arrête au bas du feuillet

suite de la démonstration de la page 10 (vérification des axiomes)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] X_i \arrow[d] & U_{\alpha\beta} \arrow[l] \arrow[d] & \\ X & U_\alpha \arrow[l] & \\ X'_i \arrow[uu, bend left=20] \arrow[d] & U'_{\alpha\beta} \arrow[l] \arrow[d] & U'_{\alpha\beta\lambda} \arrow[l] \arrow[d] \\ X' \arrow[uu, bend left=30] & U'_\alpha \arrow[l] \arrow[uu, bend right=20] & U'_{\alpha\lambda} \arrow[l] \end{tikzcd}

le dessin superpose les deux carrés, celui de X' décalé vers le bas à droite, avec des flèches obliques de X'_i, X', U'_\alpha vers X_i, X, U_\alpha ; on l'a déplié. X'_i est sans doute X_i \times_X X'

que les U'_\alpha recouvrent X' pour T ; pour tt \alpha, recouvrons pour T U'_\alpha par des U'_{\alpha\lambda} \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}', possible par hyp. (a), d'où des U'_{\alpha\beta\lambda}, pour \alpha et \lambda fixés, les U'_{\alpha\beta\lambda} recouvrent puisque (b), en déduisant de U_{\alpha\beta} \to U_\alpha par changement de base, U'_{\alpha\beta} pour T' ; de plus pour \alpha, \lambda variables, les U'_{\alpha\lambda} recouvrent X' pour T, par transitivité. OK.

Axiome 1 de transitivité, la construction . Soient : l'hyp. sur X_i \to X des U_\alpha, U_{\alpha\beta}, et pour tt \alpha, \beta — U_{\alpha\beta} \to X_i, i = i(\alpha, \beta), , la famille des X_{ij} \times_{X_i} U_{\alpha\beta} (qu'elle) satisfait aux conditions envisagées, donc \exists U_{\alpha\beta\gamma} \to U_{\alpha\beta} couvrant pour T, les U_{\alpha\beta\gamma} \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}', et ~~pour~~ tt \gamma une famille U_{\alpha\beta\gamma\delta} \to U_{\alpha\beta\gamma} couvrante pour T', et un j = j(\gamma, \delta) et U_{\alpha\beta}-morphisme U_{\alpha\beta\gamma\delta} \to \struck{X}\,X_{ij} \times_{X_i} U_{\alpha\beta}. Par (c), pour tt \alpha, extraire de U_{\alpha\beta\gamma} \to U_\alpha une famille couvrante par T', soit V_{\alpha\lambda} \to U_\alpha.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] X_{ij} \arrow[d] & X_{ij} \times_{X_i} U_{\alpha\beta} \arrow[l] \arrow[d] & U_{\alpha\beta\gamma\delta} \arrow[l] \arrow[d] \\ X_i \arrow[d] & U_{\alpha\beta} \arrow[l] \arrow[d] & U_{\alpha\beta\gamma} \arrow[l] \\ X & U_\alpha \arrow[l] & \end{tikzcd}

U_\alpha est entouré sur le dessin. La condition (c) invoquée ici est celle qui est biffée à la page 9

~~engendrée en fait dans \mathcal{C}, et engendre \mathcal{T} la prétopologie de Zariski). ceci, il suffit de~~ deux lignes barrées d'un trait ondulé, suite de la phrase interrompue au bas de la page 12

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] S' \arrow[d] & \\ S & S_\alpha \arrow[l] \arrow[lu, bend right=30, no head] \end{tikzcd}

qui : condition a), F transforme sommes en produits, ce qui permet d'appliquer la condition b) du corollaire 1, au produit de deux recouvrements deux morphismes.

(iii) par des produits…… le reste du feuillet est blanc

Descente fidèlement plate

inscrit à l'encre, en haut à droite et souligné, sur le feuillet brun de la page 15, qui ne porte rien d'autre et ne reçoit pas de numéro de page ; le feuillet 16 est blanc

1 A) Application à la comparaison entre les variétés étales holomorphes

B) Application à ~~la construction~~ la factorisation canonique par

Proposition. Soit f : X \to Y un morphisme univ. ouvert fini avec Y loc. noethérien. ~~Pour~~ y \in Y, soit d(y) le rang de sa géométrique de f^{-1}(y) (= degré séparable de f^{-1}(y) sur k(y))]. Supposons d(y) constant. Alors f se factorise en X \xrightarrow{f_1} X^{\ast}_0 \xrightarrow{f_2} Y où f_1 est fini surjectif radiciel, et f_2 est un morphisme fini étale. f_2 Alors Tout Y-morphisme X \to Z, avec Z étale sur Y, se factorise de façon unique en X \to X' \to Z.

On peut supprimer Y connexe dans d(y) constant, sauf . [ Quitte à remplacer Y par une partie finie et fermée , tt ] la fin de la page, entre crochets, est très rapide ; l'exposant de X_0 dans la factorisation est lu \ast, la lettre n'est pas sûre

la page entière est biffée de deux longues diagonales ; elle se lit néanmoins

Soit I = [1, \ldots, n]. Considérons Y' = \mathrm{Hom}(I, X) = X^{I} On a donc un Y-morphisme canonique Y' \times I \to X \qquad \text{i.e. un } Y'\text{-morphisme \uncertain{canonique}} f : \struck{\ill{}}\,Y' \times I \to X' [correspondant aux n projections \mathrm{pr}_i : Y' = X^I \to X] X' désigne sans doute X \times_Y Y'

Pour tout y' \in Y', on en conclut une application I \times \mathrm{Spec}\,k(y') \to X' \times_{Y'} \mathrm{Spec}\,k(y')

Lemme. Soit Y'' l'ensemble des pts de Y' où le morphisme précédent est bijectif ou : la fonction ferme, et ~~il s'applique~~ Y'' \to Y ~~bijectivement~~ surjectif Y'' \to connexe.

~~L'un des pts~~ L'un des pts de I \times \mathrm{Spec}\,k(y) \to X'_y est géométriquement injectif, i.e. est radiciel, ou un monomorphisme [= immersion fermée], (décrit) que . \struck{Y'}\,Y' \times I est plat ~~propre~~ sur Y'entouré, en interligne au-dessus de la dernière ligne décrit explicitement ~~est~~ de 2 en marge gauche, en travers

Si X \xrightarrow{f} Y admet une section s, alors s(Y) est à la fois fermé et ouvert. En effet, ~~on voit de suite que c'est une~~ réunion de composantes irréductibles de X [X \to Y étant fini] ; il faut montrer que si X'' est la réunion des autres composantes irréductibles, alors X' \cap X'' = \emptyset. Or ~~l'image~~ de Y, les composantes irréductibles ~~d''(y) = n - 1, donc~~ le passage de « il faut montrer » à « donc » est encadré, et barré de deux traits obliques ; X' désigne sans doute s(Y)

X Yen marge gauche, isolés

Pour un domaine supposer Y est irréductible [car si les Y_i sont les composantes de Y, il suffit de montrer que s(Y_i) est ouvert dans f^{-1}(Y_i)]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] X \arrow[d, bend left=20] & f^{-1}(Y_i) \arrow[d, bend left=20] \\ Y \arrow[u, bend left=20, "s"] & Y_i \arrow[u, bend left=20, "s_i"] \end{tikzcd}

croquis de marge, redessiné : X = \bigcup_i f^{-1}(Y_i) au-dessus de Y = \bigcup_i Y_i, avec s et s_i en montant

… et alors les composantes irréductibles de X sont disjointes [vérif], la conclusion.

Donc X = X_{(1)} \amalg X^{(1)}, où d(X_{(1)}/Y) = 1, \qquad d(X^{(1)}/Y) = n - 1 .

suite, semble-t-il, du lemme de la page 18

et que y' \in Y'' \Leftrightarrow il existe un voisinage U de y' dans Y' tel que f : U \times I \to X'|U soit une immersion fermée. Le complémentaire de Y'' est formé des pts tels que I \times \mathrm{Spec}\,k(y') \to X' \times_{Y'} \mathrm{Spec}\,k(y') soit géométriquement non injectif, la phrase s'arrête là ; le reste du feuillet est blanc