Cote n° 123 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · [Autour de Kostant] : tapuscrits (s.d.), notes manuscrites (s.d.), lettre (1969).
Édition de démonstration

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Lettre à Kostant

21le titre est de l'éditeur. Lettre dactylographiée, en anglais, de sa main pour le lieu, la date, quelques corrections, un appel de note et la note elle-même au pied du feuillet ; signée de sa main à la page suivante. Les fautes de frappe corrigées à la machine ne sont pas relevées.

Massy 22.10.1969

Dear Kostant,

I read again through your papers in the Amer. Journ. on « The principal three-dimensional subgroup … » and « Lie group representations on polynomial rings », prompted by some nice work of Brieskorn on Klein singularities. I very much appreciate this work of yours, and would appreciate getting reprints of any later work you may have available. As I already felt when your work appeared, it cries for careful reconsideration in the framework of Alg. Geometry, and suggests number of interesting problems. I wonder if you know the answer to some of them. For instance, I feel it would be of interest to classify (for a given complex simple adjoint Lie group, say) quadruples \((T,B,T',B')\), where \(T\) and \(T'\) are maximal tori « in apposition » (in your terminology), and \(B\) and \(B'\) Borel subgroups of \(G\) containing \(T\) resp. \(T'\). The number of conjugacy classes of such animals is equal to \(\operatorname{card}(W)^{2}/hz\varphi(h)\), where \(W\) is the Weyl group, \(h\) the Coxeter number, \(z\) the order of the center of \(\tilde{G}\), and \(\varphi(h) = \operatorname{card}(\mathbb{Z}/h\mathbb{Z})^{*}\) is the Euler indicatrix; if you want to classify such data with moreover a generating element (principal regular in your terminology) given for the finite group of order \(h\) \(T \cap N(T')\), then we get \(\operatorname{card}(W)^{2}/hz\) choices. One of the reasons I think this question is interesting is that the stablitysic subgroup in \(G\) of such a quadruple is \(T \cap T' = e\),\(^{*}\) hence such a structure makes \(G\) entirely « rigid » up to exterior automorphisms. Among the first questions one may wish to ask in this direction are the following: is it true that for some, or for all, such quadruples, \(B\) and \(B'\) are « in general position » i.e. \(B \cap B'\) is a torus (necessarily maximal), so that \(B\) and \(B'\) are « opposite » to each other with respect to the latter ? Is there in any sense a distinguished conjugacy class of such quadruples (which should then be, of course, invariant by action of exterior automorphisms) ? What are the groups of automorphisms of such quadruples (they les deux exposants \(2\) de \(\operatorname{card}(W)\), « of \(\tilde{G}\) » et « generating » sont ajoutés à la main ; « distinguished » est souligné

\(^{*}\) NB : \(N(T) \cap N(T')\) is an extension of \((\mathbb{Z}/h\mathbb{Z})^{*}\) by \(\mathbb{Z}/h\mathbb{Z} \times Z\) […], hence of order \(hz\varphi(h)\) note de sa main au pied du feuillet ; sous \(Z\), relié par un trait : « center of \(\tilde{G}\) »

22are isomorphic to subgroups of the group of exterior automorphisms of \(G\)) ?

In a different direction, it would be interesting to know more about the canonical morphism \(\mathfrak{g} \to \mathfrak{h}/W\), where \(\mathfrak{g}\) is the Lie algebra of \(G\) and \(\mathfrak{h}\) a Cartan subalgebra, and of the orbits of \(G\) on \(\mathfrak{g}\), and the analoguous morphism of Steinberg \(G \to T/W\) and the orbits of \(G\) acting on itself. Do you know for instance exactly how varies the rank (\(=\) rang of the tangent map) of this map ? There are some reasons to believe that for points of unipotent orbits of dimension \(n-r-2\) (just the next lower after the maximal dimension \(n-r\)), the rank is \(r-1\) in case all roots have same length (that is the corresponding diagrams \(A_{\uncertain{n}}, D_{\uncertain{n}}, E_6, E_7, E_8\) are those corresponding to Klein singularities), and \(< r-1\) in all other cases; in the first case, I would expect that there is just one orbit as stated, by the way, and maybe this property will be caracteristic of the « homogeneous » case when all roots have same length. Also, what can be said of the dimension of the set of all Borel subgroups containing a given element \(g \in G\), resp. whose Lie algebra contains a given element \(x \in \mathfrak{g}\) ? If \(2N = n-r\) is the number of roots and if the dimension of the orbit of the given element is \(2N-2i\), I would expect the dimension of the previous variety to be equal to \(i\); the inequality \(\leqslant i\) would imply, by generalizing a depth argument of Brieskorn, that the singularities of the fibers of your map \(\mathfrak{g} \to \mathfrak{h}/W\) (resp. Steinberg's \(G \to T/W\) in case \(G\) is simply connected instead of adjoint) are « rational », i.e. if \(F\) is such a fiber and \(F' \xrightarrow{f} F\) a resolution of singularities of \(F\), then \(R^{i} f_{*}(\mathcal{O}_{F'}) = 0\) for \(i > 0\). Maybe the answer to most of the questions I am asking are well known and I am just ignorant; for some of them, it would indeed be scandalous that the experts do not know the answer ! In any case, I would be grateful for any comment you would have on any of my questions.

Sincerely yours

A. Grothendieck « \(n-\) » et « all » sont ajoutés à la main ; l'indice des diagrammes \(A\) et \(D\) est frappé par-dessus un autre caractère et se lit mal ; la signature est manuscrite

Diagrammes d'espaces homogènes liés aux éléments de Kostant, de Coxeter et aux pts cycliques

titre de sa main, en haut à droite d'un feuillet de papier bis qui ne porte rien d'autre (page 23) : le feuillet est une chemise et ne reçoit donc pas de page

25tableau en trois colonnes : à gauche les notions, au milieu leurs sigles, à droite un groupe (le stabilisateur, semble-t-il, de la donnée correspondante) ; on le donne ligne par ligne

les mots « couple » au-dessus de « triple » biffé, « Killing » après « Kostant » à la sixième ligne et « Kostant normalisé » au-dessus de « Coxeter » biffé à la septième sont des surcharges ; les sigles ont été récrits plusieurs fois et les biffures y sont lourdes

Vrais seulement en car. \(0\) (ou car. \(p > h\) ?) à l'encre brune, dans la marge gauche, en face de l'accolade qui réunit les deux couples de la troisième ligne ; en face de la quatrième, de la même encre : « id », qui se lit mal

\(\delta\) choix d'un \(\alpha \in \Delta^{*}(k)\), où \(\Delta\) est le groupe commun aux droites cycliques par \(\mu_h\) (NB modulo signe, il y a un choix privilégié […] d'un \(x \in \mathfrak{z}\), des racines par coef. géodésiques) à l'encre brune, au pied du feuillet, sous un trait : c'est la note appelée par le \(\delta\) de la cinquième ligne

26sur le verso d'un feuillet dactylographié, dont le texte transparaît à l'envers. En haut, un treillis de sous-groupes, les traits sans flèche marquant l'inclusion ; les étiquettes sont celles qu'il porte sur les traits

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
  & & 0 \arrow[dl, no head] \arrow[dr, no head] & & \\
  & \mathfrak{z} \arrow[dr, no head] & & \mu \arrow[dl, no head] & \\
  & & \mu \times \mathfrak{z} \arrow[dl, no head, "T/\mu"'] \arrow[dd, no head, "(\mathbb{Z}/h\mathbb{Z})^{*}"] \arrow[dr, no head] & & \\
  & \mathfrak{z}\cdot T \arrow[dl, no head, "(\mathbb{Z}/h\mathbb{Z})^{*}"'] & & \mu \cdot T' \arrow[dr, no head] & \\
  N(\mu) \arrow[rr, no head] \arrow[d, no head] & & N \cap N' \arrow[rr, no head] & & N' \\
  N & & & &
\end{tikzcd}

En dessous, un second diagramme, d'espaces cette fois :

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
  & & & \text{Kost-Kill-norma} \arrow[dl, no head] \arrow[dr, no head] & & & \\
  & & \text{C Kost norma} \arrow[dr, no head] & & \text{Kost Kill} \arrow[dl, no head] & & \\
  & & & \text{C Kos} \arrow[dl, no head] \arrow[ddd, no head] \arrow[dr, no head, "\wr^{*}"] \arrow[drr, no head] & & & \\
  & & \text{E Kos} \arrow[dl, no head] \arrow[d, no head, "\wr^{**}"] & & \text{C Cox} \arrow[dll, no head] \arrow[ddl, no head, "{}^{*}"] \arrow[dr, no head] & \text{D Cy} \arrow[d, no head, "\wr^{**}"] \arrow[dr, no head] & \\
  & \text{SG Kos} \arrow[dl, no head] \arrow[dr, no head, "\wr^{*}"] & \text{E Cox} \arrow[d, no head] & & & \text{P Cox} \arrow[dr, no head] & \text{Tor} \arrow[d, no head, "="] \\
  \text{Tor} \arrow[dr, no head, "="'] & & \text{SG Cox} \arrow[r, no head, "{}^{*}"] & \text{Toapp} \arrow[rrr, no head, "{}^{*}"'] & & & \text{Tor} \\
  & \text{Tor} \arrow[ur, no head] & & & & &
\end{tikzcd}

les « \(=\) » rendent deux doubles traits verticaux « \(\parallel\) » entre deux « Tor » ; le long trait qui descend de C Kos passe derrière C Cox et s'arrête à Toapp, lecture incertaine. Au-dessus de C Kost norma et de Kost Kill, sous « Kost-Kill-norma », une ligne encadrée et biffée : \(((T,B),(T',B'))\) […] \(T, T'\) en apposition […]. Sous les deux sommets de la deuxième ligne, leurs définitions, que les traits du diagramme traversent :

C Kost norma : paires \((T,(T',B'))\), avec \(T\) en apposition avec \(T'\), \(B'\) dans une classe donnée mod \(W'\) (ss-gr. extension de \((\mathbb{Z}/h\mathbb{Z})^{*}\) par \(\mu\)).

Kost Kill : paires \(((T,B),T')\), telles que \((\kappa, T')\) soit une paire de Kost., \(\kappa\) étant l'élément de Kostant défini par le couple de Killing.

\(^{**}\) Isom défini si on travaille sur \(\mathring{\mu}_h^{*}\).

\(^{*}\) Isom défini si \((h,p) = 1\) ou notion définie dans ce cas.

une grande courbe au crayon enferme la partie haute du second diagramme (de Kost-Kill-norma à C Cox) ; un trait en descend jusqu'à : leur existence dans cas quasi-déployé suit par descente.

27Feuillet de tapuscrit, paginé « 72 », barré d'un long trait vertical et remployé comme brouillon : un exposé sur les topos, § 3.1 (n° 3.1.2) — si \(u \colon E \to E'\) est un morphisme de topos, \(u_*\) commute aux limites projectives et \(u^*\) aux limites inductives et aux limites projectives finies, donc \(u^*\) est exact ; pour toute espèce de structure algébrique \(\Sigma\) définie par des limites projectives finies et des limites inductives quelconques, l'image inverse par \(u^*\) d'un objet de \(E'\) muni d'une structure d'espèce \(\Sigma\) en est muni ; exemples : groupe, anneau, module, comodule, bigèbre, torseur. Le texte ne touche pas aux notes sur Kostant. Les corrections à l'encre bleue, qui semblent de sa main, sont d'un correcteur de tapuscrit : astérisques de \(u_*\), \(u^*\) et lettre \(\Sigma\) encrées, renvois « (I 2.11) », « (3.2.1) », « (1.5 et 1.8) », « \(\mathcal{U}\)- » devant « limites projectives » ; on ne relève que les ajouts de mots :

est exact à gauche i.e. au-dessus de « commute aux limites projectives finies », qu'il remplace

On peut donc dire que en tête de « c'est le foncteur image inverse \(u^*\) qui, dans le couple \((u_*,u^*)\), possède les propriétés d'exactitude les plus remarquables », où « donc » est biffé

et pour devant « tout objet de \(E'\) muni d'une structure d'espèce \(\Sigma\) »

l'expliciter et de inséré dans « nous conseillons au lecteur de se convaincre de sa validité » ; à la note de bas de page, « vérifier » est biffé, et la fin « c'est une conséquence immédiate de 1.2 » est barrée

28Couples de tores \((T,T')\) en apposition

\(\simeq\) ss-groupes de Coxeter \(\mu\), […] de Cartan normalisé tel que \(\mu\) opère fidèlement sur une droite cyclique de Cartan (\(\mathrm{Lie}\,\mathfrak{g}\))

et le choix d'un isom. \(\mu \simeq \mu_h\) équivaut au choix d'un \(D\) … ces trois lignes sont encadrées ; à droite, hors du cadre, une accolade réunit « sous-groupes de Kostant-Coxeter » et « Éléments de Kostant », et en dessous « Sous-g »

puis un tableau de sous-groupes, en quatre lignes reliées par des traits verticaux ; sur les traits horizontaux et verticaux, les quotients ; « coc. » (cocartésien, semble-t-il) marque chaque carré. On le redonne tel qu'il se lit :

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
  T \arrow[r, no head, "\mathfrak{z}"] \arrow[d, no head, "T/\mu"'] & \mathfrak{z}(\mu) \arrow[r, no head, "(\mathbb{Z}/h\mathbb{Z})^{*}"] \arrow[d, no head, "T/\mu"] & N(\mu) \arrow[r, no head] \arrow[d, no head, "T/\mu"] & N \arrow[d, no head] & \\
  T \cap N' \arrow[r, no head, "\mathfrak{z}"] \arrow[d, no head, "0"'] & \mathfrak{z}(\mu) \cap N' \arrow[r, no head, "(\mathbb{Z}/h\mathbb{Z})^{*}"] \arrow[d, no head, "0"] & N(\mu) \cap N' \arrow[r, no head, "="] \arrow[d, no head, "(\mathbb{Z}/h\mathbb{Z})^{*}"] & N \cap N' \arrow[r, no head] \arrow[d, no head, "(\mathbb{Z}/h\mathbb{Z})^{*}"] & N' \arrow[d, no head] \\
  T \cap N(D) \arrow[r, no head, "\mathfrak{z}"] \arrow[d, no head, "\mu"'] & \mathfrak{z}(\mu) \cap N(D) \arrow[r, no head, "0"] \arrow[d, no head, "\mu"] & N(\mu) \cap N(D) \arrow[r, no head, "="] \arrow[d, no head, "\mu"] & N \cap N(D) \arrow[r, no head, "T'/\mathfrak{z}"] \arrow[d, no head, "\mu"] & N(D) = \mu \cdot T' \arrow[d, no head, "\mu"] \\
  T \cap T' \arrow[r, no head, "\mathfrak{z}"] & \mathfrak{z}(\mu) \cap T' \arrow[r, no head, "="] & N(\mu) \cap T' \arrow[r, no head, "="] & N \cap T' \arrow[r, no head, "T'/\mathfrak{z}"] & T'
\end{tikzcd}

le signe \(\mathfrak{z}\) rend la lettre en forme de 3 qu'il emploie ici pour le centre ; sous \(T \cap T'\), « \(0\) » avec des guillemets de répétition ; au-dessus de \(N \cap N(D)\), entre \(=\) et le trait suivant, « \(\mu \times \mathfrak{z}\) » ; sous la dernière flèche horizontale, une étiquette biffée, illisible

[…] \[\begin{cases} N \cap N(D) = \mathfrak{z}(\mu) \cap N(D) \\ N \cap T' = \mathfrak{z}(\mu) \cap T' \\ N \cap N' = N(\mu) \cap N' \end{cases}\]

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
  T \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & T \cdot \mathfrak{z} \arrow[r, no head, "(\mathbb{Z}/h\mathbb{Z})^{*}"] \arrow[d, no head] & N(\mu) \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & N \arrow[d, no head] & \\
  \mu \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & \mu \times \mathfrak{z} \arrow[r, no head, "(\mathbb{Z}/h\mathbb{Z})^{*}"'] \arrow[d, no head] & N(\mu) \cap N' \arrow[r, no head, "="] & N \cap N' \arrow[r, no head] & N' \\
  0 \arrow[r, no head] & \mathfrak{z} & & &
\end{tikzcd}

On a une extension can. de \((\mathbb{Z}/h\mathbb{Z})^{*}\) par \(\mu \times \mathfrak{z}\), les deux extensions induites de \((\mathbb{Z}/h\mathbb{Z})^{*}\) par \(\mu\) et de \((\mathbb{Z}/h\mathbb{Z})^{*}\) par \(\mathfrak{z}\) se réalisent canoniquement dans \(W'\) et dans \(W\). Cela fait dans […] un groupe de Weyl des sous-groupes remarquables, définis à conjugaison […] …

29Feuillet de tapuscrit, paginé « 8 », verso du précédent ; d'un autre texte que celui de la page 27 : un paragraphe « Accouplements définis par une biextension », n° 2.1.8 à 2.1.10 — réduction au cas \(P = Q = (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})_T\) ; l'homomorphisme \(\alpha \colon (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})_T \otimes (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})_T \to \mathrm{Tor}_1^{\mathbb{Z}}((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})_T, (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})_T)\) est l'isomorphisme (2.1.8.1) déduit de la résolution plate canonique ; définition symétrique \(\beta^n_{P,Q} \colon {}_nP \otimes {}_nQ \to \mathrm{Tor}_1(P,Q)\) (2.1.9.1)-(2.1.9.2), et la relation (2.1.9.3) \(\beta^n_{P,Q} = -\alpha^n_{P,Q}\) ; Lemme 2.1.10 : un certain diagramme est anticommutatif. Sans rapport avec les notes sur Kostant. Les lettres grecques et les exposants \(n\) y sont encrés à la main ; le numéro « (2.1.8.2) » est ajouté ; dans la marge, entouré : « \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})_T\) », qui remplace « \(P = (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})_T\) » biffé dans la ligne ; « premier » est souligné

30Car si \(g \in \mathfrak{z}(\gamma)\), \(g \cdot D = D'\) est conjugué de \(D\) par élément de \(T\), donc on peut modifier \(g\) pour qu'il soit dans \(\mathfrak{z}(\gamma) \cap T'\) en tête du feuillet, relié par un trait au diagramme qui suit

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
  T \arrow[r, no head, "\mathfrak{z}"] \arrow[d, no head] & \mathfrak{z}(\gamma) \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & N(T) \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & G \arrow[d, no head] \\
  T \cap N(T') \arrow[r, no head, "\mathfrak{z}"] \arrow[d, no head, "\mathbb{Z}/h\mathbb{Z}"] & \mathfrak{z}(\gamma) \cap N(T') = N'^{\gamma} \arrow[r, no head] \arrow[d, no head, "\mathbb{Z}/h\mathbb{Z}"] & N(T) \cap N(T') \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & N(T') \arrow[d, no head, "W'"] \\
  T \cap T' \arrow[r, no head, "\mathfrak{z}"] & \mathfrak{z}(\gamma) \cap T' = T'^{\gamma} \arrow[r, no head, "="] & N(T) \cap T' \arrow[r, no head] & T'
\end{tikzcd}

devant \(T \cap N(T')\), « \(\gamma \in\) ». Sous le diagramme : \(T \cap T' = 0\), et \(T'^{\gamma} \simeq P'/(1-c)P'(1) \simeq \mathfrak{z}\). une flèche remonte de \(0\) vers la phrase suivante, une grande courbe enveloppe la colonne de \(\mathfrak{z}(\gamma)\)

Car tout élément de \(T\) qui normalise \(D\) est […] l'élément neutre.

Car tout élément de \(W\) qui centralise \(c\) est une puissance de \(c\).

À prouver : Tout élément de \(T\) qui normalise \(D\) est dans \(K(\mu_h)\), i.e. \(h\psi\) ([…], […] choix, les […]) sont complétées à coeff. entiers définissant \(\alpha_i + \psi\).

Prouvons donc […] […] \[\det \begin{pmatrix} n_1 + 1 & n_2 & n_3 & \cdots & n_r \\ n_1 & n_2 + 1 & n_3 & \cdots & n_r \\ \vdots & & & & \\ n_1 & n_2 & & \cdots & n_r + 1 \end{pmatrix} = \textstyle\sum n_i + 1\] la matrice est esquissée : la première colonne de la deuxième ligne porte « \(n\,x\) », la dernière ligne commence par un \(n_1\) surchargé

Un élément de \(N(T) \cap N(D)\) […] normalise \(D\), et normalise \(T\), donc il […] normalise […] \(\mu_h = \mathbb{Z}/h\mathbb{Z} \subset T\) qui est formé des éléments de \(T\) qui normalisent \(D\). Donc \[N(T) \cap N(D) = \struck{T \cap \mathrm{Norm}(\mu)}\ N(\mu) \cap N(D) \qquad (\mu \subset T \text{ par } \gamma), \quad \mathbb{Z}/h\mathbb{Z} \simeq \mu_h .\] entre « \(\subset T\) » et « par \(\gamma\) », un mot biffé, illisible

31Même tapuscrit, feuillet paginé « 11 » : fin de la démonstration de 2.1.11 (un triangle \(P/nP \to {}_nP\), \({}_{n'}P\) par \(x \mapsto mx\) et \(x \mapsto x\)), Corollaire 2.1.12 (commutativité du carré (2.1.12.1) entre \(\alpha^{n'}_{P,Q}\) et \(\alpha^{n}_{P,Q}\), les flèches horizontales induites par \(m \cdot \mathrm{id}\)), puis 2.1.13 : pour \(\ell\) premier, \(T_\ell(E) = ({}_{\ell^\nu}E)_{\nu \geqslant 0}\), et les \(\alpha\) définissent un homomorphisme de systèmes projectifs (2.1.13.2) \(\alpha^{(\ell)}_{P,Q} \colon T_\ell(P) \otimes T_\ell(Q) \to T_\ell(\mathrm{Tor}_1(P,Q))\). Sans rapport avec les notes sur Kostant. Les lettres grecques, les exposants et « \(m \otimes m\) », « \(m\) » sur les flèches sont encrés à la main ; « qui montre que le diagramme envisagé » est biffé et « évidemment » ajouté devant « commutatif » ; au bas, dans la marge, « \(\alpha^{\ell^\nu}_{P,Q}\) », et sous « pour \(\nu\) variable » : fonctoriel en \(P\), \(Q\) :

33Quelques rappels de résultats de Kostant :

a) Pour \(\mu_h \hookrightarrow T \hookrightarrow G\) fixé, les droites cycliques \(D\) normalisées par \(\mu_h\) (i.e. […])

1) forment un espace homogène sous \(T\), stabilisateur \(\mu_h\), donc un espace homogène sous \(\mathfrak{t}\). Ces droites cycliques \(D\) correspondent biunivoquement aux sous-tores \(T'\) de \(G\) […] en apposition \(\mu_h\) à \(T\) par \(\mu_h\) (i.e. normalisés par \(\mu_h\), et tels que \(\mu_h\) y admette une […] car. propre au moins qui est […] car. primitif, \(\Leftrightarrow\) la car. \(1\) y est car. propre) : à \(D\) correspond \(T' =\) Cent\((D)\), à \(T'\) correspond l'unique droite des […] l'unique […] […] propre de \(\mu_h\) opérant sur \(\mathrm{Lie}\,T' \subset \mathfrak{g}\). On a d'ailleurs \(T \cap N(T') = \mu_h\).

b) Les droites cycliques \(D\) de \(\mathfrak{g}\) mod \(\mu_h^{*}\) s'identifient can., via une droite \(\Delta\) canonique sur \(k\). On l'obtient par descente à partir de \(D^{\otimes h}\) défini sur le schéma des droites cycliques ou sur le schéma des droites sur le schéma des tores maximaux \(T'\), et à ce titre se descend. On l'obtient aussi comme l'image des lieux cycliques de \(\mathfrak{g}\) par l'hom. de Kostant \(\mathfrak{g} \to I = \mathfrak{t}/W\), qui a une structure vectorielle car le stabilisateur (dans \(W\)) d'une droite cyclique \(D \subset \mathfrak{t}\) est […] […] vectorielle … et \(D/\mu_h\) a une structure vectorielle […]. Il serait intéressant de calculer la relation de […] la valeur […] de \(G\) (connexe cal.) dans \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \simeq \mu_2(\mathbb{Z})\) qui s'obtient ainsi en […] et le can. provenant de la vraie […] et […] compare avec le car. privilégié […] racines). P. ex. il est clair […] […] \(\mathfrak{g}_\psi\) (\(\psi\) plus grande racine). […] […] résultats de Kostant que si la deuxième racine […] […] […] […] […] […], par le tore \(T\) dans un Borel \(B\), […], la primitive associée. Alors […] \[\mathfrak{g}_\psi \simeq \Delta \quad (\text{ou } \mathfrak{g}_\psi \simeq \Delta^{-1}, \text{ car } \Delta^{\otimes 2} \simeq \mathbf{1}),\] […] isom. can. […] […] isom. can. les trois dernières lignes sont d'une écriture rapide et effacée ; on n'en donne que ce qui se lit. En dessous, à l'encre brune : Vérifier […] \(=\), […] …

NB Si on a plus généralement un topos, […] classifiant \(B_{E_k^{*}}\), on trouve […] généralement […] […] […], donc on a un torseur, défini […] Kost Kill norm : […] […] faut […] […] \(\Delta\) […] […]. Il faut que cela provienne […] le torseur […] \(E\) […] \(\Delta\) […] être un trivial. Il faut […] processus à vérifier […] d'[…] et […] […] des façon générale […] […] […] obstruction […] de Kostant \(D\) dans \(H^{2}(Q ; E ; \mu_h)\), […] nul si \(H^{2}(Q, \mu_h) = \ill{}\) […] ; restreint : \(H^{2}(Q ; E^{\circ} ; \mu_h)\) écrit en oblique dans la marge gauche, du bas vers le haut, en regard de b) ; les deux \(H^2\) et « restreint » sont à l'encre brune. La lecture est très lacunaire

34Considérons le schéma des […] rigidifications RigKos \[(T, T', B, B') \quad \text{avec} \quad \begin{cases} T, T' \text{ tores maximaux en apposition} \\ B, B' \text{ des Borels contenant } T, T' \text{ respectivement} \end{cases} \qquad [\,(h,p) = 1\,]\] (Rigidification de Kostant). C'est un schéma lisse sur \(S\), sur lequel \(G\) opère librement. « Rigidification de Kostant » est ajouté en marge gauche et souligné ; « \((h,p)=1\) » est encadré à droite

RigKos\(/G \simeq\) schéma fini étale sur \(S\), étale de rang \(W^{2}/\varphi(h)hz\), où \[\begin{cases} W \text{ ordre du groupe de Weyl} \\ h \text{ ordre de l'élt de Coxeter} \\ \varphi \text{ l'indicatrice d'Euler} \\ z \text{ ordre du centre} \end{cases}\]

Il revient au même : une représentation du groupe \(\Gamma\) des automorphismes extérieurs dans un schéma fini étale sur \(\mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}[1/h]\) [le schéma des classes de rigidifications de Kostant de \(G\) sur \(\mathrm{Spec}(\mathbb{Z}[1/h])\)]. Le dernier schéma est […] il de déployé : prenons un épinglage, définissant \(\mu_h \xrightarrow{\kappa} T\) canonique, défini par épinglage, \(D\) engendré par \[e_{\alpha_1} + \cdots + e_{\alpha_r} + e_{-\psi} = e\] (défini au signe près). « canonique » et « défini par épinglage » sont écrits sous \(\mu_h \xrightarrow{\kappa} T\), « défini au signe près » sous \(e_{-\psi}\)

On trouve \(T'\) comme centralisateur […] de cet élément. On a […] Alors le schéma des Borels contenant \(T\), isomorphe à \(W_{\mathbb{Z}}\), et le schéma \(Q'\) des Borels contenant \(T'\), qui est très tordu, […] c'est un torseur sous \(W' = N(T')/T'\). On a (dans \(W \times W'\)) le sous-groupe \(\Phi = N \cap N'\) extension de \((\mathbb{Z}/h\mathbb{Z})^{*}\) par […] \(\mathfrak{z} \times \mu_h\), où \(\mathfrak{z} \subset W\) (centralisateur de \(\kappa\)) et \(\mu_h \subset W'\). Il opère (librement) sur \(Q \times Q'\) : torseur sous \(W \times W'\), et on forme \[(Q \times Q')/\Phi .\] Le groupe des automorphismes extérieurs de \(G\) y opère via son action par \(\pm 1\) sur \(\mathfrak{g}_{-\psi}\), donc en fait, […] à travers l'opération sur […]. Si \(E\) est trivial, on a à faire pour un autre cas. le schéma \(Q\) des Borels contenant \(T\) n'est pas nommé sur la page ; \(\Phi\) rend la lettre écrite au-dessus de « \(N \cap N'\) », surchargée. Les quatre dernières lignes sont à l'encre brune

35Même tapuscrit, feuillet paginé « 6 », fait de bandes de papier collées, en partie à l'encre bleue de la machine : « 2. Accouplements définis par une biextension », n° 2.1 — pour \(P\), \(Q\) deux Groupes abéliens sur \(T\) et \(n > 0\), construction d'un homomorphisme canonique (2.1.1) \(\alpha = \alpha^n_{P,Q} \colon {}_nP \otimes {}_nQ \to \mathrm{Tor}_1(P,Q)\), composé (2.1.2) ; réduction au cas \(nP = nQ = 0\) ; isomorphisme (2.1.3) dans la catégorie dérivée, suite spectrale de Künneth (2.1.4), valeurs des \(\mathrm{Tor}_i^{\mathbb{Z}}(P, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\) par la résolution \(0 \to \mathbb{Z}_T \xrightarrow{n} \mathbb{Z}_T \to 0\), suite exacte (2.1.5). Sans rapport avec les notes sur Kostant. Corrections à la main : les \(\alpha\) et le « \(n\) » de la résolution encrés ; en marge, entouré, « \(nQ = 0\). » et une rature ; en marge droite, encadré, « (cf. SGA 1 IV 5.2) » ; « de Künneth » ajouté après « suite spectrale de type homologique » ; « qui figure dans la dernière suite exacte » précédé, au-dessus de « aussi » biffé, de « l'homomorphisme-coin \(E^2_{0,1} \to \mathrm{Tor}_1^{\mathbb{Z}}\) » ; la dernière formule, \({}_nP \otimes Q \to \mathrm{Tor}_1({}_nP, Q) \to \mathrm{Tor}_1(P,Q)\), est achevée à la main

Liste d'espaces homogènes remarquables et leurs relations

titre de sa main, en haut à droite d'un feuillet de papier bis qui ne porte rien d'autre (page 36) ; une flèche au crayon le prolonge par « liés aux ss-groupes simples principaux de rang 1, ». Le feuillet est une chemise et ne reçoit donc pas de page

37Schémas :

sont isomorphes canoniquement car. \(0\) (et sans doute d'autres) accolade en face des deux dernières lignes

des éléments NB […] peut donner des variantes en termes de \(\mathfrak{g}\) des trois dernières, qui sont isom. car les applications canoniques isom. en car. \(0\) ne […] […]. une tache d'encre couvre un mot après « NB » ; la lecture de cette phrase est très incertaine

la suite du feuillet est coupée par trois longs traits obliques au crayon qui la traversent ; ils ne biffent rien de lisible

NB on a un espace homogène \(G\) ; […] DC\(_0/G\) […] E\('\) […] l'action […] les droites cycliques, l'action […] normalisateur […] \(\mu_h\) […] […] multipliée […] […] […] \(D/\Gamma\) encadré, à droite de ces trois lignes, en partie à l'encre brune ; lecture très lacunaire

sont isom. sur \(\mu_h^{*}\) accolade en face des deux dernières lignes ; une flèche ramène la deuxième ligne au-dessus de la première

38sur le verso d'une page dactylographiée en français, qui transparaît à l'envers et n'a pas de rapport avec ces notes. En haut, le diagramme des espaces de la page précédente ; à droite, de sa main : « diagramme d'espaces homogènes sous \(G\) ». Les traits sont sans flèche

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
  & & \underline{\mathrm{Isom}}(G_0, G) \arrow[d, no head, "\wr"] \arrow[r, dashed] & \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{gr}}(\mathrm{Sl}(2), G) & \\
  & & \text{SSPEP} \arrow[dl, no head] \arrow[d, no head] \arrow[dr, no head] & & \\
  & \text{SSPTor}_0 \arrow[r, no head, "\simeq"] \arrow[d, no head] \arrow[dl, no head] & \text{SSPKill} \arrow[dl, no head] \arrow[dr, no head] & \text{SSPBorep} \arrow[d, no head] \arrow[r, no head] & \text{SAP}_0 \simeq \text{EUP} \arrow[d, no head] \\
  \text{Kill} \simeq \text{ST}_0\text{P} \arrow[d, no head] & \text{SSPTor} \arrow[dr, no head] \arrow[dl, no head] & & \text{SSPBor} \arrow[dl, no head] \arrow[r, no head] & \text{SAP} \\
  \text{STP} & & \text{SSP} & &
\end{tikzcd}

sous ST\(_0\)P, un trait épais descend vers « Tor » en bas à gauche ; à côté, « Kost » surchargé d'un mot noirci, illisible. Plus bas, un second diagramme, de groupes cette fois (les stabilisateurs, semble-t-il), les étiquettes des traits étant les dimensions ou les quotients :

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
  & & & e \arrow[dl, no head, "1"'] \arrow[d, no head, "1"] \arrow[dr, no head, "1"] & \\
  & & t \arrow[dl, no head, "r-1"'] \arrow[d, no head] \arrow[r, no head, "="] & t \arrow[dl, no head] \arrow[dr, no head, "1"] & b_u \arrow[d, no head, "1"] \arrow[dr, no head, "r-1"] & \\
  N_1 \arrow[r, no head, "\circ"] \arrow[d, no head] & T \arrow[d, no head, "\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}"] & n \arrow[dr, no head, "2"'] \arrow[dl, no head, "r-1"'] & & b \arrow[dl, no head, "1"] \arrow[dr, no head, "r-1"] & Z(b_u) \arrow[d, no head, "1(\mathbb{G}_m)"] \\
  N \arrow[r, no head] & N_0 & & H & & N(b_u)
\end{tikzcd}

un « ? » devant \(N_1\) ; l'étiquette du trait vertical de \(t\) à \(n\) est noircie et illisible. La disposition est simplifiée : sur la page, \(t\) de gauche est plus haut que \(t\) de droite, et \(N_1\), \(T\), \(N_0\), \(N\) forment un losange à gauche

39Feuillet de tapuscrit du même exposé sur les topos que la page 27 (fin de 3.1.2 et n° 3.1.3) : \(u_*\) respecte toute structure algébrique définissable exclusivement en termes de limites projectives, mais n'est en général pas exact à droite — source des propriétés cohomologiques étudiées dans l'exposé suivant ; 3.1.3 : devant un foncteur \(f \colon E \to F\) d'un \(\mathcal{U}\)-topos dans un autre, expliciter ses propriétés d'exactitude ; s'il commute aux limites inductives quelconques et aux limites projectives finies, l'écrire \(f = u^*\) pour un morphisme de topos \(u \colon F \to E\). Sans rapport avec les notes sur Kostant. Ses ajouts à l'encre bleue :

les opérations fonctionnelles habituelles faites en termes de telles structures, plus précisément à toutes les opérations qui […] peuvent s'exprimer en termes de \(\varinjlim\) et de \(\varprojlim\) finies : constructions d'objets libres (groupes ou modules libres, p. ex.) engendrés par un objet, produits tensoriels (cf. § 6 plus bas) etc. en tête du feuillet, encadré, relié par un trait à l'insertion suivante

De plus, le foncteur \(u^*\) « commute » à toutes inséré après « limites inductives) », avec l'indication en marge gauche : « à la ligne, puis : Quant au … » ; « Quant au foncteur image directe \(u_*\) » reçoit « \(: E \to E'\) », « respecte » reçoit « par suite », « définissable en termes de limites projectives » reçoit « exclusivement », et « parmi » remplace un mot biffé

Par suite, il ne s'étend pas, en général, en présence d' après « dans l'exposé suivant », « s'étend pas » au-dessus d'un mot biffé ; appel d'une note de bas de page, de sa main :

ou un foncteur sur des objets du type comodule, ou bigèbre, ou torseur sous un groupe et ne commute pas en général à des opérations telles que « module libre engendré », produit tensoriel de modules, etc.

40Résultats de Kostant sur classes de conjugaison remarquables dans \(G\) \(\frac12\) simple adjoint (sur \(\mathbb{C}\))

a) Classes de conjugaison de ss-groupes simples de rang \(1\) […] [ou de ss-groupes additifs de \(G\)] \(\simeq\) classes de conjugaison d'éléments unipotents de \(G\) [ou de \(\mathfrak{g}\)] \(\simeq\) certaines classes de conjugaison d'éléments semi-simples de \(\mathfrak{g}\) [NB […] […]] d'homomorphismes \(\mathbb{G}_m \to G\) [ou d'éléments \(\in \mathfrak{g}\) … ].

Les hom. admissibles \(\mathbb{G}_m \to T \simeq \mathbb{G}_m^{\Sigma}\) (\(\Sigma\) ensemble des racines simples) dans le « domaine fondamental » \(W\) de \(\mathrm{Hom}(\mathbb{G}_m, T) \simeq \mathbb{Z}^{\Sigma}\), savoir \(\mathbb{N}^{\Sigma}\), correspondant à des éléments dont les composantes sont \(0, 1, 2\) (pas tous).

b) Le cas où toutes les composantes sont \(1\) est admissible ; il correspond aux éléments unipotents principaux (ou réguliers), et dans \(\mathfrak{g}\) aux éléments semi-simples principaux ; […] aux hom. « principaux » \(\mathbb{G}_m \to G\), de part des sous-groupes simples de rang \(1\) principaux. une grande marque en marge gauche, en face de b), illisible

Centralisateur d'un élément unipotent principal : sous-groupe commutatif (de Springer) unipotent de dim. \(r\) (\(\simeq \mathbb{G}_m\) comme […] par Kostant). les mots « commutatif », « de Springer », « unipotent » et « de dim. » sont des ajouts entourés au-dessus de la ligne ; leur ordre est incertain

Normalisateur d'un ss-gr. additif principal : groupe connexe […] […] […].

Centralisateur d'un hom. principal \(\mathbb{G}_m \to G\) : un tore max. T. Donc […] bijection entre les hom. et les couples de Killing de \(G\) correspondant à \(b\). « Killing de \(G\) » est ajouté au-dessus de la ligne

Normalisateur d'un 1-tore principal : groupe […] des \(g \in T\) d'ordre \(2\) […] du rang \(1\) principal : lui-même.

Normalisateur Stabilisateur d'un ss-groupe principal de rang \(1\) (avec un Borel, resp. un couple de Killing) : donné dans chaque […] (resp. […]) […] \(H\) avec un tore maximal \(T_0\) ; Normalisateur \(N_0\) du tore \(T_0\) dans \(H\) (resp. \(B_0\), resp. \(T_0\)).

Donc sur base quelconque, \(\exists\) ss-groupe […] de rang \(1\) principal déployé ssi \(G\) quasi-déployé. encadré dans la marge gauche, relié par une flèche à « Normalisateur d'un 1-tore principal »

NB […] […] […] […] […] […] […] […] […] question […] classes […] […] tores de dim. \(1\) principaux encadré et biffé, sous le précédent

l'élément \(w_0 \in W\) qui transforme la chambre \(C\) en l'opposée écrit en long dans la marge gauche, en face de a) ; auquel des énoncés il se rattache, la page ne le dit pas

c) Soit \(\mathbb{G}_m \xrightarrow{u} G\) un hom. principal, et soit […] \(h\) le nombre de […] [\(=\sigma(\psi)+1\)] (la plus haute racine \(\psi\), plus \(1\)). [Coxeter (\(=\) somme des coeff. de la plus haute racine \(+1\)), et considérons \(u(\zeta)\).] Soit \(\zeta\) une racine primitive \(h\)-ième de \(1\), et considérons aussi pour \(\zeta\) […] variable) ; les \(u(\zeta)\) (\(\zeta\) variable). On prouve que les éléments obtenus sont réguliers (principaux), tous conjugués. Les éléments obtenus sont réguliers, et \(\gamma \in W = N(T)/T\) […] de \(G\). Si \(T\) est un tore maximal, et \(\gamma \in W = N(T)/T\) un élément de Coxeter, on prouve que les représentants de \(\gamma\) […] sont les éléments […] tores principaux (donc réguliers). le paragraphe c) est surchargé d'ajouts interlinéaires dont l'ordre ne se reconstitue pas avec certitude ; on donne les segments dans l'ordre où ils se lisent

ordre qui divise \(h\), il vaut mieux considérer la classe d'hom. \(\mu_h \to G\) encadré dans la marge gauche, en face de c)

Centralisateur d'un élément régulier principal \(\gamma\) : ss-groupe de \(N(T)\) […] extension du ss-groupe de \(W = W(T)\) qui stabilise \(\gamma\). (?) C'est probablement \(T\), i.e. […] le donné de \(\mu : \mathbb{G}_m \to G\) et \(\gamma\) variant : celle de \(\mu : \mathbb{G}_m \to G\). le « ? » est entouré

d) Considérons l'opération de \(W\) sur \(\mathfrak{t} = \mathrm{Lie}(T)\). Il existe des […] droites \(D\) […] dans \(\gamma\) (op. de Coxeter) dont les valeurs propres sont une racine primitive \(h\)-ième de \(1\), vérifiant qu'elles qui sont « régulières », et ces droites sont conjuguées sous l'action de \(W\) (donc : forment un conjugaison […]) \(G\) simple dans la marge gauche, en face de d) ; la page s'arrête sur cette ligne