Fonds Grothendieck, cote n° 123, pages 21–40

Lettre à Kostant

le titre est de l'éditeur. Lettre dactylographiée, en anglais, de sa main pour le lieu, la date, quelques corrections, un appel de note et la note elle-même au pied du feuillet ; signée de sa main à la page suivante. Les fautes de frappe corrigées à la machine ne sont pas relevées.

Massy 22.10.1969

Dear Kostant,

I read again through your papers in the Amer. Journ. on « The principal three-dimensional subgroup … » and « Lie group representations on polynomial rings », prompted by some nice work of Brieskorn on Klein singularities. I very much appreciate this work of yours, and would appreciate getting reprints of any later work you may have available. As I already felt when your work appeared, it cries for careful reconsideration in the framework of Alg. Geometry, and suggests number of interesting problems. I wonder if you know the answer to some of them. For instance, I feel it would be of interest to classify (for a given complex simple adjoint Lie group, say) quadruples (T,B,T',B'), where T and T' are maximal tori « in apposition » (in your terminology), and B and B' Borel subgroups of G containing T resp. T'. The number of conjugacy classes of such animals is equal to \operatorname{card}(W)^{2}/hz\varphi(h), where W is the Weyl group, h the Coxeter number, z the order of the center of \tilde{G}, and \varphi(h) = \operatorname{card}(\mathbb{Z}/h\mathbb{Z})^{*} is the Euler indicatrix; if you want to classify such data with moreover a generating element (principal regular in your terminology) given for the finite group of order h T \cap N(T'), then we get \operatorname{card}(W)^{2}/hz choices. One of the reasons I think this question is interesting is that the stablitysic subgroup in G of such a quadruple is T \cap T' = e,^{*} hence such a structure makes G entirely « rigid » up to exterior automorphisms. Among the first questions one may wish to ask in this direction are the following: is it true that for some, or for all, such quadruples, B and B' are « in general position » i.e. B \cap B' is a torus (necessarily maximal), so that B and B' are « opposite » to each other with respect to the latter ? Is there in any sense a distinguished conjugacy class of such quadruples (which should then be, of course, invariant by action of exterior automorphisms) ? What are the groups of automorphisms of such quadruples (they les deux exposants 2 de \operatorname{card}(W), « of \tilde{G} » et « generating » sont ajoutés à la main ; « distinguished » est souligné

^{*} NB : N(T) \cap N(T') is an extension of (\mathbb{Z}/h\mathbb{Z})^{*} by \mathbb{Z}/h\mathbb{Z} \times Z , hence of order hz\varphi(h) note de sa main au pied du feuillet ; sous Z, relié par un trait : « center of \tilde{G} »

are isomorphic to subgroups of the group of exterior automorphisms of G) ?

In a different direction, it would be interesting to know more about the canonical morphism \mathfrak{g} \to \mathfrak{h}/W, where \mathfrak{g} is the Lie algebra of G and \mathfrak{h} a Cartan subalgebra, and of the orbits of G on \mathfrak{g}, and the analoguous morphism of Steinberg G \to T/W and the orbits of G acting on itself. Do you know for instance exactly how varies the rank (= rang of the tangent map) of this map ? There are some reasons to believe that for points of unipotent orbits of dimension n-r-2 (just the next lower after the maximal dimension n-r), the rank is r-1 in case all roots have same length (that is the corresponding diagrams A_{\uncertain{n}}, D_{\uncertain{n}}, E_6, E_7, E_8 are those corresponding to Klein singularities), and < r-1 in all other cases; in the first case, I would expect that there is just one orbit as stated, by the way, and maybe this property will be caracteristic of the « homogeneous » case when all roots have same length. Also, what can be said of the dimension of the set of all Borel subgroups containing a given element g \in G, resp. whose Lie algebra contains a given element x \in \mathfrak{g} ? If 2N = n-r is the number of roots and if the dimension of the orbit of the given element is 2N-2i, I would expect the dimension of the previous variety to be equal to i; the inequality \leqslant i would imply, by generalizing a depth argument of Brieskorn, that the singularities of the fibers of your map \mathfrak{g} \to \mathfrak{h}/W (resp. Steinberg's G \to T/W in case G is simply connected instead of adjoint) are « rational », i.e. if F is such a fiber and F' \xrightarrow{f} F a resolution of singularities of F, then R^{i} f_{*}(\mathcal{O}_{F'}) = 0 for i > 0. Maybe the answer to most of the questions I am asking are well known and I am just ignorant; for some of them, it would indeed be scandalous that the experts do not know the answer ! In any case, I would be grateful for any comment you would have on any of my questions.

Sincerely yours

A. Grothendieck « n- » et « all » sont ajoutés à la main ; l'indice des diagrammes A et D est frappé par-dessus un autre caractère et se lit mal ; la signature est manuscrite

Diagrammes d'espaces homogènes liés aux éléments de Kostant, de Coxeter et aux pts cycliques

titre de sa main, en haut à droite d'un feuillet de papier bis qui ne porte rien d'autre (page 23) : le feuillet est une chemise et ne reçoit donc pas de page

tableau en trois colonnes : à gauche les notions, au milieu leurs sigles, à droite un groupe (le stabilisateur, semble-t-il, de la donnée correspondante) ; on le donne ligne par ligne

éléments de Kostant \kappa : \mu_h \to G ; éléments de Coxeter \gamma \in G(k). — E Kost, E Cox : kif-kif si car. 0 et si on se donne \omega \in \mu_h^{*}(k). — ~~ext. de \mathfrak{z} par T~~ \mathfrak{z}.T (\tfrac12 direct) ~~Ss-groupes~~ Ss-groupes de Kostant \mu \hookrightarrow G ; ss-groupes de Coxeter \mu \hookrightarrow G. — SG Kost, SG Cox : kif kif en car. 0. — ext. de (\mathbb{Z}/h\mathbb{Z})^{*} par \mathfrak{z}.\struck{\ill{}}T Couple de Kostant (\kappa : \mu_h \to G, T') [ou on se donne (\kappa : \mu \hookrightarrow G, D), D \in \hat{\mathfrak{g}}(1)^{\mathrm{reg}}] ; couple de Coxeter (\gamma, T). — C Kost, C Cox : kif kif si car. 0 et si on se donne \omega \in \mu_h^{*}(k). — \mu_h \times \mathfrak{z} précouple de Kostant (\mu \subset G, T') ; précouple de Coxeter (\mu \subset G, T) ; i.e. couple de tores en apposition. — ~~PC Kost, PC Cox : kif kif en car. 0~~ Toapp^{*}. — ext. de (\mathbb{Z}/h\mathbb{Z})^{*} par \mu_h \times \mathfrak{z}, (ou produit) droites cycliques D ; ~~Classe~~ de Coxeter (T, \dot{\gamma}), \dot{\gamma} \in \hat{W}(h) ; élément ~~cyclique~~ normalisé (dépend du \delta Killing). — D Cy, Cox, E Cy_a : kif kif si car. 0 et on se donne \omega \in \mu_h^{*}(k). — \mu_h.T' (\tfrac12 direct) ; T' couple ~~triple~~ de Kostant-Killing ((B,T),T') \sim (B,T,D) (tel que T' normalise un \mu_h \xrightarrow{\kappa} T défini par B \supset T). — Kost Kill. — \mu_h couple ~~triple~~ de ~~Coxeter~~ Kostant normalisé (T, \struck{\ill{}}x) ~~\gamma cyclique normalisé~~ ~~droite cyclique~~ un tore T' en apposition avec T, i.e. . — ~~PCox~~ C Kost norma. — \mathfrak{z} Couple de Kostant-Killing normalisé ((T,B),x). — Kost Kill norma. — 1

les mots « couple » au-dessus de « triple » biffé, « Killing » après « Kostant » à la sixième ligne et « Kostant normalisé » au-dessus de « Coxeter » biffé à la septième sont des surcharges ; les sigles ont été récrits plusieurs fois et les biffures y sont lourdes

Vrais seulement en car. 0 (ou car. p > h ?) à l'encre brune, dans la marge gauche, en face de l'accolade qui réunit les deux couples de la troisième ligne ; en face de la quatrième, de la même encre : « id », qui se lit mal

\delta choix d'un \alpha \in \Delta^{*}(k), où \Delta est le groupe commun aux droites cycliques par \mu_h (NB modulo signe, il y a un choix privilégié d'un x \in \mathfrak{z}, des racines par coef. géodésiques) à l'encre brune, au pied du feuillet, sous un trait : c'est la note appelée par le \delta de la cinquième ligne

sur le verso d'un feuillet dactylographié, dont le texte transparaît à l'envers. En haut, un treillis de sous-groupes, les traits sans flèche marquant l'inclusion ; les étiquettes sont celles qu'il porte sur les traits

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & & 0 \arrow[dl, no head] \arrow[dr, no head] & & \\ & \mathfrak{z} \arrow[dr, no head] & & \mu \arrow[dl, no head] & \\ & & \mu \times \mathfrak{z} \arrow[dl, no head, "T/\mu"'] \arrow[dd, no head, "(\mathbb{Z}/h\mathbb{Z})^{*}"] \arrow[dr, no head] & & \\ & \mathfrak{z}\cdot T \arrow[dl, no head, "(\mathbb{Z}/h\mathbb{Z})^{*}"'] & & \mu \cdot T' \arrow[dr, no head] & \\ N(\mu) \arrow[rr, no head] \arrow[d, no head] & & N \cap N' \arrow[rr, no head] & & N' \\ N & & & & \end{tikzcd}

En dessous, un second diagramme, d'espaces cette fois :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & & & \text{Kost-Kill-norma} \arrow[dl, no head] \arrow[dr, no head] & & & \\ & & \text{C Kost norma} \arrow[dr, no head] & & \text{Kost Kill} \arrow[dl, no head] & & \\ & & & \text{C Kos} \arrow[dl, no head] \arrow[ddd, no head] \arrow[dr, no head, "\wr^{*}"] \arrow[drr, no head] & & & \\ & & \text{E Kos} \arrow[dl, no head] \arrow[d, no head, "\wr^{**}"] & & \text{C Cox} \arrow[dll, no head] \arrow[ddl, no head, "{}^{*}"] \arrow[dr, no head] & \text{D Cy} \arrow[d, no head, "\wr^{**}"] \arrow[dr, no head] & \\ & \text{SG Kos} \arrow[dl, no head] \arrow[dr, no head, "\wr^{*}"] & \text{E Cox} \arrow[d, no head] & & & \text{P Cox} \arrow[dr, no head] & \text{Tor} \arrow[d, no head, "="] \\ \text{Tor} \arrow[dr, no head, "="'] & & \text{SG Cox} \arrow[r, no head, "{}^{*}"] & \text{Toapp} \arrow[rrr, no head, "{}^{*}"'] & & & \text{Tor} \\ & \text{Tor} \arrow[ur, no head] & & & & & \end{tikzcd}

les « = » rendent deux doubles traits verticaux « \parallel » entre deux « Tor » ; le long trait qui descend de C Kos passe derrière C Cox et s'arrête à Toapp, lecture incertaine. Au-dessus de C Kost norma et de Kost Kill, sous « Kost-Kill-norma », une ligne encadrée et biffée : ~~((T,B),(T',B')) T, T' en apposition~~ . Sous les deux sommets de la deuxième ligne, leurs définitions, que les traits du diagramme traversent :

C Kost norma : paires (T,(T',B')), avec T en apposition avec T', B' dans une classe donnée mod W' (ss-gr. extension de (\mathbb{Z}/h\mathbb{Z})^{*} par \mu).

Kost Kill : paires ((T,B),T'), telles que (\kappa, T') soit une paire de Kost., \kappa étant l'élément de Kostant défini par le couple de Killing.

^{**} Isom défini si on travaille sur \mathring{\mu}_h^{*}.

^{*} Isom défini si (h,p) = 1 ou notion définie dans ce cas.

une grande courbe au crayon enferme la partie haute du second diagramme (de Kost-Kill-norma à C Cox) ; un trait en descend jusqu'à : leur existence dans cas quasi-déployé suit par descente.

Feuillet de tapuscrit, paginé « 72 », barré d'un long trait vertical et remployé comme brouillon : un exposé sur les topos, § 3.1 (n° 3.1.2) — si u \colon E \to E' est un morphisme de topos, u_* commute aux limites projectives et u^* aux limites inductives et aux limites projectives finies, donc u^* est exact ; pour toute espèce de structure algébrique \Sigma définie par des limites projectives finies et des limites inductives quelconques, l'image inverse par u^* d'un objet de E' muni d'une structure d'espèce \Sigma en est muni ; exemples : groupe, anneau, module, comodule, bigèbre, torseur. Le texte ne touche pas aux notes sur Kostant. Les corrections à l'encre bleue, qui semblent de sa main, sont d'un correcteur de tapuscrit : astérisques de u_*, u^* et lettre \Sigma encrées, renvois « (I 2.11) », « (3.2.1) », « (1.5 et 1.8) », « \mathcal{U}- » devant « limites projectives » ; on ne relève que les ajouts de mots :

est exact à gauche i.e. au-dessus de « commute aux limites projectives finies », qu'il remplace

On peut donc dire que en tête de « c'est le foncteur image inverse u^* qui, dans le couple (u_*,u^*), possède les propriétés d'exactitude les plus remarquables », où « donc » est biffé

et pour devant « tout objet de E' muni d'une structure d'espèce \Sigma »

l'expliciter et de inséré dans « nous conseillons au lecteur de se convaincre de sa validité » ; à la note de bas de page, « vérifier » est biffé, et la fin « c'est une conséquence immédiate de 1.2 » est barrée

Couples de tores (T,T') en apposition

\simeq ss-groupes de Coxeter \mu, de Cartan normalisé tel que \mu opère fidèlement sur une droite cyclique de Cartan (\mathrm{Lie}\,\mathfrak{g})

et le choix d'un isom. \mu \simeq \mu_h équivaut au choix d'un D … ces trois lignes sont encadrées ; à droite, hors du cadre, une accolade réunit « sous-groupes de Kostant-Coxeter » et « Éléments de Kostant », et en dessous « Sous-g »

puis un tableau de sous-groupes, en quatre lignes reliées par des traits verticaux ; sur les traits horizontaux et verticaux, les quotients ; « coc. » (cocartésien, semble-t-il) marque chaque carré. On le redonne tel qu'il se lit :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] T \arrow[r, no head, "\mathfrak{z}"] \arrow[d, no head, "T/\mu"'] & \mathfrak{z}(\mu) \arrow[r, no head, "(\mathbb{Z}/h\mathbb{Z})^{*}"] \arrow[d, no head, "T/\mu"] & N(\mu) \arrow[r, no head] \arrow[d, no head, "T/\mu"] & N \arrow[d, no head] & \\ T \cap N' \arrow[r, no head, "\mathfrak{z}"] \arrow[d, no head, "0"'] & \mathfrak{z}(\mu) \cap N' \arrow[r, no head, "(\mathbb{Z}/h\mathbb{Z})^{*}"] \arrow[d, no head, "0"] & N(\mu) \cap N' \arrow[r, no head, "="] \arrow[d, no head, "(\mathbb{Z}/h\mathbb{Z})^{*}"] & N \cap N' \arrow[r, no head] \arrow[d, no head, "(\mathbb{Z}/h\mathbb{Z})^{*}"] & N' \arrow[d, no head] \\ T \cap N(D) \arrow[r, no head, "\mathfrak{z}"] \arrow[d, no head, "\mu"'] & \mathfrak{z}(\mu) \cap N(D) \arrow[r, no head, "0"] \arrow[d, no head, "\mu"] & N(\mu) \cap N(D) \arrow[r, no head, "="] \arrow[d, no head, "\mu"] & N \cap N(D) \arrow[r, no head, "T'/\mathfrak{z}"] \arrow[d, no head, "\mu"] & N(D) = \mu \cdot T' \arrow[d, no head, "\mu"] \\ T \cap T' \arrow[r, no head, "\mathfrak{z}"] & \mathfrak{z}(\mu) \cap T' \arrow[r, no head, "="] & N(\mu) \cap T' \arrow[r, no head, "="] & N \cap T' \arrow[r, no head, "T'/\mathfrak{z}"] & T' \end{tikzcd}

le signe \mathfrak{z} rend la lettre en forme de 3 qu'il emploie ici pour le centre ; sous T \cap T', « 0 » avec des guillemets de répétition ; au-dessus de N \cap N(D), entre = et le trait suivant, « \mu \times \mathfrak{z} » ; sous la dernière flèche horizontale, une étiquette biffée, illisible

\begin{cases} N \cap N(D) = \mathfrak{z}(\mu) \cap N(D) \\ N \cap T' = \mathfrak{z}(\mu) \cap T' \\ N \cap N' = N(\mu) \cap N' \end{cases}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] T \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & T \cdot \mathfrak{z} \arrow[r, no head, "(\mathbb{Z}/h\mathbb{Z})^{*}"] \arrow[d, no head] & N(\mu) \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & N \arrow[d, no head] & \\ \mu \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & \mu \times \mathfrak{z} \arrow[r, no head, "(\mathbb{Z}/h\mathbb{Z})^{*}"'] \arrow[d, no head] & N(\mu) \cap N' \arrow[r, no head, "="] & N \cap N' \arrow[r, no head] & N' \\ 0 \arrow[r, no head] & \mathfrak{z} & & & \end{tikzcd}

On a une extension can. de (\mathbb{Z}/h\mathbb{Z})^{*} par \mu \times \mathfrak{z}, les deux extensions induites de (\mathbb{Z}/h\mathbb{Z})^{*} par \mu et de (\mathbb{Z}/h\mathbb{Z})^{*} par \mathfrak{z} se réalisent canoniquement dans W' et dans W. Cela fait dans un groupe de Weyl des sous-groupes remarquables, définis à conjugaison …

Feuillet de tapuscrit, paginé « 8 », verso du précédent ; d'un autre texte que celui de la page 27 : un paragraphe « Accouplements définis par une biextension », n° 2.1.8 à 2.1.10 — réduction au cas P = Q = (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})_T ; l'homomorphisme \alpha \colon (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})_T \otimes (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})_T \to \mathrm{Tor}_1^{\mathbb{Z}}((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})_T, (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})_T) est l'isomorphisme (2.1.8.1) déduit de la résolution plate canonique ; définition symétrique \beta^n_{P,Q} \colon {}_nP \otimes {}_nQ \to \mathrm{Tor}_1(P,Q) (2.1.9.1)-(2.1.9.2), et la relation (2.1.9.3) \beta^n_{P,Q} = -\alpha^n_{P,Q} ; Lemme 2.1.10 : un certain diagramme est anticommutatif. Sans rapport avec les notes sur Kostant. Les lettres grecques et les exposants n y sont encrés à la main ; le numéro « (2.1.8.2) » est ajouté ; dans la marge, entouré : « (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})_T », qui remplace « P = (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})_T » biffé dans la ligne ; « premier » est souligné

Car si g \in \mathfrak{z}(\gamma), g \cdot D = D' est conjugué de D par élément de T, donc on peut modifier g pour qu'il soit dans \mathfrak{z}(\gamma) \cap T' en tête du feuillet, relié par un trait au diagramme qui suit

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] T \arrow[r, no head, "\mathfrak{z}"] \arrow[d, no head] & \mathfrak{z}(\gamma) \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & N(T) \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & G \arrow[d, no head] \\ T \cap N(T') \arrow[r, no head, "\mathfrak{z}"] \arrow[d, no head, "\mathbb{Z}/h\mathbb{Z}"] & \mathfrak{z}(\gamma) \cap N(T') = N'^{\gamma} \arrow[r, no head] \arrow[d, no head, "\mathbb{Z}/h\mathbb{Z}"] & N(T) \cap N(T') \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & N(T') \arrow[d, no head, "W'"] \\ T \cap T' \arrow[r, no head, "\mathfrak{z}"] & \mathfrak{z}(\gamma) \cap T' = T'^{\gamma} \arrow[r, no head, "="] & N(T) \cap T' \arrow[r, no head] & T' \end{tikzcd}

devant T \cap N(T'), « \gamma \in ». Sous le diagramme : T \cap T' = 0, et T'^{\gamma} \simeq P'/(1-c)P'(1) \simeq \mathfrak{z}. une flèche remonte de 0 vers la phrase suivante, une grande courbe enveloppe la colonne de \mathfrak{z}(\gamma)

Car tout élément de T qui normalise D est l'élément neutre.

Car tout élément de W qui centralise c est une puissance de c.

À prouver : Tout élément de T qui normalise D est dans K(\mu_h), i.e. h\psi (, choix, les ) sont complétées à coeff. entiers définissant \alpha_i + \psi.

Prouvons donc \det \begin{pmatrix} n_1 + 1 & n_2 & n_3 & \cdots & n_r \\ n_1 & n_2 + 1 & n_3 & \cdots & n_r \\ \vdots & & & & \\ n_1 & n_2 & & \cdots & n_r + 1 \end{pmatrix} = \textstyle\sum n_i + 1 la matrice est esquissée : la première colonne de la deuxième ligne porte « n\,x », la dernière ligne commence par un n_1 surchargé

Un élément de N(T) \cap N(D) normalise D, et normalise T, donc il normalise \mu_h = \mathbb{Z}/h\mathbb{Z} \subset T qui est formé des éléments de T qui normalisent D. Donc N(T) \cap N(D) = \struck{T \cap \mathrm{Norm}(\mu)}\ N(\mu) \cap N(D) \qquad (\mu \subset T \text{ par } \gamma), \quad \mathbb{Z}/h\mathbb{Z} \simeq \mu_h . entre « \subset T » et « par \gamma », un mot biffé, illisible

Même tapuscrit, feuillet paginé « 11 » : fin de la démonstration de 2.1.11 (un triangle P/nP \to {}_nP, {}_{n'}P par x \mapsto mx et x \mapsto x), Corollaire 2.1.12 (commutativité du carré (2.1.12.1) entre \alpha^{n'}_{P,Q} et \alpha^{n}_{P,Q}, les flèches horizontales induites par m \cdot \mathrm{id}), puis 2.1.13 : pour \ell premier, T_\ell(E) = ({}_{\ell^\nu}E)_{\nu \geqslant 0}, et les \alpha définissent un homomorphisme de systèmes projectifs (2.1.13.2) \alpha^{(\ell)}_{P,Q} \colon T_\ell(P) \otimes T_\ell(Q) \to T_\ell(\mathrm{Tor}_1(P,Q)). Sans rapport avec les notes sur Kostant. Les lettres grecques, les exposants et « m \otimes m », « m » sur les flèches sont encrés à la main ; « qui montre que le diagramme envisagé » est biffé et « évidemment » ajouté devant « commutatif » ; au bas, dans la marge, « \alpha^{\ell^\nu}_{P,Q} », et sous « pour \nu variable » : fonctoriel en P, Q :

Quelques rappels de résultats de Kostant :

a) Pour \mu_h \hookrightarrow T \hookrightarrow G fixé, les droites cycliques D normalisées par \mu_h (i.e. )

1) forment un espace homogène sous T, stabilisateur \mu_h, donc un espace homogène sous \mathfrak{t}. Ces droites cycliques D correspondent biunivoquement aux sous-tores T' de G en apposition ~~\mu_h~~ à T par \mu_h (i.e. normalisés par \mu_h, et tels que \mu_h y admette une car. propre au moins qui est car. primitif, \Leftrightarrow la car. 1 y est car. propre) : à D correspond T' = Cent(D), à T' correspond ~~l'unique droite des~~ l'unique propre de \mu_h opérant sur \mathrm{Lie}\,T' \subset \mathfrak{g}. On a d'ailleurs T \cap N(T') = \mu_h.

b) Les droites cycliques D de \mathfrak{g} mod \mu_h^{*} s'identifient can., via une droite \Delta canonique sur k. On l'obtient par descente à partir de D^{\otimes h} défini sur le schéma des droites cycliques ou sur le schéma des droites sur le schéma des tores maximaux T', et à ce titre se descend. On l'obtient aussi comme l'image des lieux cycliques de \mathfrak{g} par l'hom. de Kostant \mathfrak{g} \to I = \mathfrak{t}/W, qui a une structure vectorielle car le stabilisateur (dans W) d'une droite cyclique D \subset \mathfrak{t} est vectorielle … et D/\mu_h a une structure vectorielle . Il serait intéressant de calculer ~~la relation de~~ la valeur de G (connexe cal.) dans \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \simeq \mu_2(\mathbb{Z}) qui s'obtient ainsi en et le can. provenant de la vraie et compare avec le car. privilégié racines). P. ex. il est clair \mathfrak{g}_\psi (\psi plus grande racine). résultats de Kostant que si la deuxième racine , par le tore T dans un Borel B, , la primitive associée. Alors \mathfrak{g}_\psi \simeq \Delta \quad (\text{ou } \mathfrak{g}_\psi \simeq \Delta^{-1}, \text{ car } \Delta^{\otimes 2} \simeq \mathbf{1}), isom. can. isom. can. les trois dernières lignes sont d'une écriture rapide et effacée ; on n'en donne que ce qui se lit. En dessous, à l'encre brune : Vérifier =, …

NB Si on a plus généralement un topos, classifiant B_{E_k^{*}}, on trouve généralement , donc on a un torseur, défini Kost Kill norm : faut \Delta . Il faut que cela provienne le torseur E \Delta être un trivial. Il faut processus à vérifier d' et des façon générale obstruction de Kostant D dans H^{2}(Q ; E ; \mu_h), nul si H^{2}(Q, \mu_h) = \ill{} ; restreint : H^{2}(Q ; E^{\circ} ; \mu_h) écrit en oblique dans la marge gauche, du bas vers le haut, en regard de b) ; les deux H^2 et « restreint » sont à l'encre brune. La lecture est très lacunaire

Considérons le schéma des rigidifications RigKos (T, T', B, B') \quad \text{avec} \quad \begin{cases} T, T' \text{ tores maximaux en apposition} \\ B, B' \text{ des Borels contenant } T, T' \text{ respectivement} \end{cases} \qquad [\,(h,p) = 1\,] (Rigidification de Kostant). C'est un schéma lisse sur S, sur lequel G opère librement. « Rigidification de Kostant » est ajouté en marge gauche et souligné ; « (h,p)=1 » est encadré à droite

RigKos/G \simeq schéma fini étale sur S, ~~étale~~ de rang W^{2}/\varphi(h)hz, où \begin{cases} W \text{ ordre du groupe de Weyl} \\ h \text{ ordre de l'élt de Coxeter} \\ \varphi \text{ l'indicatrice d'Euler} \\ z \text{ ordre du centre} \end{cases}

Il revient au même : une représentation du groupe \Gamma des automorphismes extérieurs dans un schéma fini étale sur \mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}[1/h] [le schéma des classes de rigidifications de Kostant de G sur \mathrm{Spec}(\mathbb{Z}[1/h])]. Le dernier schéma est il de déployé : prenons un épinglage, définissant \mu_h \xrightarrow{\kappa} T canonique, défini par épinglage, D engendré par e_{\alpha_1} + \cdots + e_{\alpha_r} + e_{-\psi} = e (défini au signe près). « canonique » et « défini par épinglage » sont écrits sous \mu_h \xrightarrow{\kappa} T, « défini au signe près » sous e_{-\psi}

On trouve T' comme centralisateur de cet élément. On a Alors le schéma des Borels contenant T, isomorphe à W_{\mathbb{Z}}, et le schéma Q' des Borels contenant T', qui est très tordu, c'est un torseur sous W' = N(T')/T'. On a (dans W \times W') le sous-groupe \Phi = N \cap N' extension de (\mathbb{Z}/h\mathbb{Z})^{*} par \mathfrak{z} \times \mu_h, où \mathfrak{z} \subset W (centralisateur de \kappa) et \mu_h \subset W'. Il opère (librement) sur Q \times Q' : torseur sous W \times W', et on forme (Q \times Q')/\Phi . Le groupe des automorphismes extérieurs de G y opère via son action par \pm 1 sur \mathfrak{g}_{-\psi}, donc en fait, à travers l'opération sur . Si E est trivial, on a à faire pour un autre cas. le schéma Q des Borels contenant T n'est pas nommé sur la page ; \Phi rend la lettre écrite au-dessus de « N \cap N' », surchargée. Les quatre dernières lignes sont à l'encre brune

Même tapuscrit, feuillet paginé « 6 », fait de bandes de papier collées, en partie à l'encre bleue de la machine : « 2. Accouplements définis par une biextension », n° 2.1 — pour P, Q deux Groupes abéliens sur T et n > 0, construction d'un homomorphisme canonique (2.1.1) \alpha = \alpha^n_{P,Q} \colon {}_nP \otimes {}_nQ \to \mathrm{Tor}_1(P,Q), composé (2.1.2) ; réduction au cas nP = nQ = 0 ; isomorphisme (2.1.3) dans la catégorie dérivée, suite spectrale de Künneth (2.1.4), valeurs des \mathrm{Tor}_i^{\mathbb{Z}}(P, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) par la résolution 0 \to \mathbb{Z}_T \xrightarrow{n} \mathbb{Z}_T \to 0, suite exacte (2.1.5). Sans rapport avec les notes sur Kostant. Corrections à la main : les \alpha et le « n » de la résolution encrés ; en marge, entouré, « nQ = 0. » et une rature ; en marge droite, encadré, « (cf. SGA 1 IV 5.2) » ; « de Künneth » ajouté après « suite spectrale de type homologique » ; « qui figure dans la dernière suite exacte » précédé, au-dessus de « aussi » biffé, de « l'homomorphisme-coin E^2_{0,1} \to \mathrm{Tor}_1^{\mathbb{Z}} » ; la dernière formule, {}_nP \otimes Q \to \mathrm{Tor}_1({}_nP, Q) \to \mathrm{Tor}_1(P,Q), est achevée à la main

Liste d'espaces homogènes remarquables et leurs relations

titre de sa main, en haut à droite d'un feuillet de papier bis qui ne porte rien d'autre (page 36) ; une flèche au crayon le prolonge par « liés aux ss-groupes simples principaux de rang 1, ». Le feuillet est une chemise et ne reçoit donc pas de page

Schémas :

des sous-groupes simples (de rang 1) principaux : SSP —, avec épinglage : SSPEP \subset \underline{\mathrm{Hom}}^{*}_{\mathrm{gr}}(\mathrm{Sl}(2), G) —, avec couple de Kill : SSPKill —, avec tore max. : SSPTor —, avec tore maximal « généré » de \mathbb{G}_m : SSPTor_0 \subset \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{gr}}(\mathbb{G}_m, G) —, avec Borel : SSPBor —, avec Borel épinglé : SSPBorep des tores ( de dim. 1) principaux : STP des hom. \mathbb{G}_m \to G principaux (cf. sous-tores « épinglés ») : ST_0P des sous-groupes additifs principaux : SAP des sous-groupes additifs principaux pointés : SAP_0 \subset \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{gr}}(\mathbb{G}_a, G) des ~~éléments~~ unip. tout principaux : EUP \subset G

sont isomorphes canoniquement car. 0 (et sans doute d'autres) accolade en face des deux dernières lignes

~~des éléments~~ NB peut donner des variantes en termes de \mathfrak{g} des trois dernières, qui sont isom. car les applications canoniques isom. en car. 0 ne . une tache d'encre couvre un mot après « NB » ; la lecture de cette phrase est très incertaine

la suite du feuillet est coupée par trois longs traits obliques au crayon qui la traversent ; ils ne biffent rien de lisible

des éléments principaux en tous cas ( réguliers) : E Cox, E Kost deviennent isomorphes une fois choisie une racine primitive h-ième de 1 (donc dans \mu_h^{*} !) ~~(NB il vaut mieux remplacer par les tores principaux \mu_h \to G ?)~~ des droites cycliques \subset \mathfrak{g} : DC des éléments cycliques \in \mathfrak{g} : DC_0 \simeq EC des éléments ~~principaux~~ cycliques principaux : ECP k_0

NB on a un espace homogène G ; DC_0/G E' l'action les droites cycliques, l'action normalisateur \mu_h multipliée D/\Gamma encadré, à droite de ces trois lignes, en partie à l'encre brune ; lecture très lacunaire

des couples ~~Coxeter~~ (T, \gamma \in N(T)) : ~~Clox~~ des couples de tores maximaux en apposition : CTAP des couples de Coxeter (T, \gamma \in W(T)) : CCox des couples de Kostant (\kappa : \mu_h \to G, D) : CKost

sont isom. sur \mu_h^{*} accolade en face des deux dernières lignes ; une flèche ramène la deuxième ligne au-dessus de la première

sur le verso d'une page dactylographiée en français, qui transparaît à l'envers et n'a pas de rapport avec ces notes. En haut, le diagramme des espaces de la page précédente ; à droite, de sa main : « diagramme d'espaces homogènes sous G ». Les traits sont sans flèche

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & & \underline{\mathrm{Isom}}(G_0, G) \arrow[d, no head, "\wr"] \arrow[r, dashed] & \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{gr}}(\mathrm{Sl}(2), G) & \\ & & \text{SSPEP} \arrow[dl, no head] \arrow[d, no head] \arrow[dr, no head] & & \\ & \text{SSPTor}_0 \arrow[r, no head, "\simeq"] \arrow[d, no head] \arrow[dl, no head] & \text{SSPKill} \arrow[dl, no head] \arrow[dr, no head] & \text{SSPBorep} \arrow[d, no head] \arrow[r, no head] & \text{SAP}_0 \simeq \text{EUP} \arrow[d, no head] \\ \text{Kill} \simeq \text{ST}_0\text{P} \arrow[d, no head] & \text{SSPTor} \arrow[dr, no head] \arrow[dl, no head] & & \text{SSPBor} \arrow[dl, no head] \arrow[r, no head] & \text{SAP} \\ \text{STP} & & \text{SSP} & & \end{tikzcd}

sous ST_0P, un trait épais descend vers « Tor » en bas à gauche ; à côté, « Kost » surchargé d'un mot noirci, illisible. Plus bas, un second diagramme, de groupes cette fois (les stabilisateurs, semble-t-il), les étiquettes des traits étant les dimensions ou les quotients :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & & & e \arrow[dl, no head, "1"'] \arrow[d, no head, "1"] \arrow[dr, no head, "1"] & \\ & & t \arrow[dl, no head, "r-1"'] \arrow[d, no head] \arrow[r, no head, "="] & t \arrow[dl, no head] \arrow[dr, no head, "1"] & b_u \arrow[d, no head, "1"] \arrow[dr, no head, "r-1"] & \\ N_1 \arrow[r, no head, "\circ"] \arrow[d, no head] & T \arrow[d, no head, "\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}"] & n \arrow[dr, no head, "2"'] \arrow[dl, no head, "r-1"'] & & b \arrow[dl, no head, "1"] \arrow[dr, no head, "r-1"] & Z(b_u) \arrow[d, no head, "1(\mathbb{G}_m)"] \\ N \arrow[r, no head] & N_0 & & H & & N(b_u) \end{tikzcd}

un « ? » devant N_1 ; l'étiquette du trait vertical de t à n est noircie et illisible. La disposition est simplifiée : sur la page, t de gauche est plus haut que t de droite, et N_1, T, N_0, N forment un losange à gauche

Feuillet de tapuscrit du même exposé sur les topos que la page 27 (fin de 3.1.2 et n° 3.1.3) : u_* respecte toute structure algébrique définissable exclusivement en termes de limites projectives, mais n'est en général pas exact à droite — source des propriétés cohomologiques étudiées dans l'exposé suivant ; 3.1.3 : devant un foncteur f \colon E \to F d'un \mathcal{U}-topos dans un autre, expliciter ses propriétés d'exactitude ; s'il commute aux limites inductives quelconques et aux limites projectives finies, l'écrire f = u^* pour un morphisme de topos u \colon F \to E. Sans rapport avec les notes sur Kostant. Ses ajouts à l'encre bleue :

les opérations fonctionnelles habituelles faites en termes de telles structures, plus précisément à toutes les opérations qui peuvent s'exprimer en termes de \varinjlim et de \varprojlim finies : constructions d'objets libres (groupes ou modules libres, p. ex.) engendrés par un objet, produits tensoriels (cf. § 6 plus bas) etc. en tête du feuillet, encadré, relié par un trait à l'insertion suivante

De plus, le foncteur u^* « commute » à toutes inséré après « limites inductives) », avec l'indication en marge gauche : « à la ligne, puis : Quant au … » ; « Quant au foncteur image directe u_* » reçoit « : E \to E' », « respecte » reçoit « par suite », « définissable en termes de limites projectives » reçoit « exclusivement », et « parmi » remplace un mot biffé

Par suite, il ne s'étend pas, en général, en présence d' après « dans l'exposé suivant », « s'étend pas » au-dessus d'un mot biffé ; appel d'une note de bas de page, de sa main :

ou un foncteur sur des objets du type comodule, ou bigèbre, ou torseur sous un groupe et ne commute pas en général à des opérations telles que « module libre engendré », produit tensoriel de modules, etc.

Résultats de Kostant sur classes de conjugaison remarquables dans G \frac12 simple adjoint (sur \mathbb{C})

a) Classes de conjugaison de ss-groupes simples de rang 1 [ou de ss-groupes additifs de G] \simeq classes de conjugaison d'éléments unipotents de G [ou de \mathfrak{g}] \simeq certaines classes de conjugaison ~~d'éléments semi-simples de \mathfrak{g} [NB ]~~ d'homomorphismes \mathbb{G}_m \to G [ou d'éléments \in \mathfrak{g} … ].

Les hom. admissibles \mathbb{G}_m \to T \simeq \mathbb{G}_m^{\Sigma} (\Sigma ensemble des racines simples) dans le « domaine fondamental » W de \mathrm{Hom}(\mathbb{G}_m, T) \simeq \mathbb{Z}^{\Sigma}, savoir \mathbb{N}^{\Sigma}, correspondant à des éléments dont les composantes sont 0, 1, 2 (pas tous).

b) Le cas où toutes les composantes sont 1 est admissible ; il correspond aux éléments unipotents principaux (ou réguliers), et dans \mathfrak{g} aux éléments semi-simples principaux ; aux hom. « principaux » \mathbb{G}_m \to G, de part des sous-groupes simples de rang 1 principaux. une grande marque en marge gauche, en face de b), illisible

Centralisateur d'un élément unipotent principal : sous-groupe commutatif (de Springer) unipotent de dim. r (\simeq \mathbb{G}_m comme par Kostant). les mots « commutatif », « de Springer », « unipotent » et « de dim. » sont des ajouts entourés au-dessus de la ligne ; leur ordre est incertain

Normalisateur d'un ss-gr. additif principal : groupe connexe .

Centralisateur d'un hom. principal \mathbb{G}_m \to G : un tore max. T. Donc bijection entre les hom. et les couples de Killing de G correspondant à b. « Killing de G » est ajouté au-dessus de la ligne

Normalisateur d'un 1-tore principal : groupe des g \in T d'ordre 2 du rang 1 principal : lui-même.

~~Normalisateur~~ Stabilisateur d'un ss-groupe principal de rang 1 (avec un Borel, resp. un couple de Killing) : donné dans chaque (resp. ) H avec un tore maximal T_0 ; Normalisateur N_0 du tore T_0 dans H (resp. B_0, resp. T_0).

Donc sur base quelconque, \exists ss-groupe de rang 1 principal déployé ssi G quasi-déployé. encadré dans la marge gauche, relié par une flèche à « Normalisateur d'un 1-tore principal »

NB question classes tores de dim. 1 principaux encadré et biffé, sous le précédent

l'élément w_0 \in W qui transforme la chambre C en l'opposée écrit en long dans la marge gauche, en face de a) ; auquel des énoncés il se rattache, la page ne le dit pas

c) Soit \mathbb{G}_m \xrightarrow{u} G un hom. principal, et soit h le nombre de [=\sigma(\psi)+1] (la plus haute racine \psi, plus 1). [Coxeter (= somme des coeff. de la plus haute racine +1), et considérons u(\zeta).] Soit \zeta ~~une~~ racine primitive h-ième de 1, et considérons aussi pour \zeta variable) ; les u(\zeta) (\zeta variable). On prouve que les éléments obtenus sont réguliers (principaux), tous conjugués. Les éléments obtenus sont réguliers, et \gamma \in W = N(T)/T de G. Si T est un tore maximal, et \gamma \in W = N(T)/T un élément de Coxeter, on prouve que les représentants de \gamma sont les éléments tores principaux (donc réguliers). le paragraphe c) est surchargé d'ajouts interlinéaires dont l'ordre ne se reconstitue pas avec certitude ; on donne les segments dans l'ordre où ils se lisent

ordre qui divise h, il vaut mieux considérer la classe d'hom. \mu_h \to G encadré dans la marge gauche, en face de c)

Centralisateur d'un élément régulier principal \gamma : ss-groupe de N(T) extension du ss-groupe de W = W(T) qui stabilise \gamma. (?) C'est probablement T, i.e. le donné de \mu : \mathbb{G}_m \to G et \gamma variant : celle de \mu : \mathbb{G}_m \to G. le « ? » est entouré

d) Considérons l'opération de W sur \mathfrak{t} = \mathrm{Lie}(T). Il existe des droites D ~~dans~~ \gamma (op. de Coxeter) dont les valeurs propres sont une racine primitive h-ième de 1, vérifiant qu'elles qui sont « régulières », et ces droites sont conjuguées sous l'action de W (donc : forment un conjugaison ) G simple dans la marge gauche, en face de d) ; la page s'arrête sur cette ligne