Cote n° 122, pages 21–34

Cote n° 122 · batch 2 · pages 21–34 · Transcription · Point singulier isolé de la fibre : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [vers 1968-1971]
Édition de démonstration

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(e)

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small]
 & \mathbb{R}\Gamma(W_0) \simeq \mathbb{R}\Gamma(Q) \simeq \mathbb{R}\Gamma(\mathring{Q}) \arrow[dl, dashed, "\beta'"'] \\
\mathbb{R}\Gamma_{!}(\mathring{P}) \arrow[r, dashed] & \mathbb{R}\Gamma(W) \arrow[u, "\rho_1"']
\end{tikzcd}

les flèches \(\beta'\) et \(\mathbb{R}\Gamma_{!}(\mathring{P}) \to \mathbb{R}\Gamma(W)\) sont tracées en pointillé ; le sommet \(\mathbb{R}\Gamma_{!}(\mathring{P})\) est mis entre crochets et entouré au crayon. Le long de \(\rho_1\) : « compatible avec […] […] ». À droite : « NB \(\rho_1 = \alpha\rho_0\) ».

[suite exacte de cohomologie relative pour \((W, W_0) \to (W, Q) \to (W, \mathring{Q})\)].

NB. On a un homom[orphisme] \((u_0, u_1, u_2)\) des triangles (e) dans les triangles (b), […] induit par \((P, \partial P) \subset (W, Q)\), avec sous le \(Q\), en interligne : « \(W_0\) », suivi d'un mot biffé \[u_1 = \rho_0, \qquad u_2 = \mathrm{id}_1\] et qui induit un isom[orphisme] \(u_0\) (grâce aux […] d'identification […] […] […] \(=\) […] …).

[…] […] le cas […] […] […] […] […] \(W\) […] […] […] (a') […]note écrite en oblique dans la marge gauche, en regard des lignes précédentes ; presque entièrement illisible

Supposons \(W\) non singulière, i.e. \(\mathring{M}\) non singulière, i.e. \(\mathring{P}\) non singulière. Alors on a un isomorphisme \[\mathbb{R}(\Gamma, \pi)_{!}(\mathring{M}) \simeq \mathbb{R}\mathrm{Hom}_{\Lambda}(K^\bullet, \Lambda)[2n], \qquad K^\bullet = \mathbb{R}(\Gamma, \pi)(M),\] le décalage est écrit \([2n]\), le crochet ouvrant repassé ; plus bas sur la page il est \([-2n]\). L'égalité \(K^\bullet = \mathbb{R}(\Gamma,\pi)(M)\) est écrite sous \(K^\bullet\) et la flèche verticale en (a) est une flèche \[\boxed{\ u : \mathbb{R}\mathrm{Hom}_{\Lambda}(K^\bullet, \Lambda)[-2n] \longrightarrow K^\bullet\ } \qquad \text{dans } D(\Lambda[\pi]),\] i.e. un élément de […] \[\xi \in H^{2n}\bigl(K^\bullet \overset{\mathbf{L}}{\otimes}_{\Lambda} K^\bullet\bigr).\] la lettre \(\xi\) sous l'élément est douteuse

La donnée précédente (a) devient

(a')

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\begin{tikzcd}[column sep=small]
 & L^{\bullet\,\mathrm{triv}} \arrow[dl, "\rho'"'] & \\
\mathbb{R}\mathrm{Hom}_{\Lambda}(K^\bullet, \Lambda)[-2n] \arrow[rr] & & K^\bullet \arrow[ul, "\rho"']
\end{tikzcd}

\(K^\bullet \in \mathrm{ob}\, D(\Lambda[\pi])\), \(L^\bullet \in \mathrm{ob}\, D(\Lambda)\), \(K^\bullet\) parfait rel[ativement à] \(\Lambda\)

En fait, \(\rho\) et \(\rho'\) sont transposés l'un de l'autre (signe ?) dans les triangles (a) et (a') […] comme autotransposé.

Appliquant le foncteur oubli, on trouve

(c')

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\begin{tikzcd}[column sep=small]
 & L^\bullet \simeq \mathbb{R}\Gamma(W_0) \arrow[dl] & \\
\mathbb{R}\mathrm{Hom}_{\Lambda}(K^{\bullet\,\mathrm{ens}}, \Lambda)[-2n] \arrow[rr] & & K^{\bullet\,\mathrm{ens}} \simeq \mathbb{R}\Gamma(M) \arrow[ul]
\end{tikzcd}

l'exposant de \(K^\bullet\), lu « ens », est douteux ; dans le triangle (c) de la page 19 (lot 1), le même exposant a été lu comme un petit « \(\omega\) » (ou « w »), et les deux lectures sont à confronter aux pages. Sous le premier sommet : \(\mathbb{R}\mathrm{Hom}_{\Lambda}(K^{\bullet\,\mathrm{ens}}, \Lambda)[-2n] \simeq \mathbb{R}\Gamma_{!}(\mathring{M})\)

dire que c'est encore un triangle autotransposé

Appliquant \(\mathbb{R}\Gamma^{\pi}\), on trouve [exprimer comment ?]

(b')

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & L^\bullet \overset{\mathbf{L}}{\otimes}_{\Lambda} \mathbb{R}\Gamma(S^1) \simeq L^\bullet \times L^\bullet[-1] \arrow[dl, "{(\alpha',\ \beta')}"'] & \\
\mathbb{R}\mathrm{Hom}_{\Lambda}(K^{\bullet\,\pi}, \Lambda)[-2n-1] \arrow[rr] & & K^{\bullet\,\pi} \simeq \mathbb{R}\Gamma(P) \simeq \mathbb{R}\Gamma(W - W_0) \arrow[ul, "{(\alpha,\ \beta)}"']
\end{tikzcd}

le sommet supérieur se prolonge par « \(\simeq\) […] ». Sous le sommet de gauche : \(\mathbb{R}\Gamma_{!}(\mathring{P}) \simeq \mathbb{R}\Gamma_{!}(W - W_0)\)

(triangle autotransposé)

vérifier la commutation de \(\mathbb{R}\Gamma^{\pi}\) à \(\mathbb{R}\mathrm{Hom}_{\Lambda}(-, \Lambda) = (-)^\vee\)dans un cadre, à gauche, relié au triangle (b')

[…] les triangles (d) et (e) […] […]ligne entièrement biffée

Comme nouvelles données structures, on trouve […] deux \(u_1 : \mathbb{R}\mathrm{Hom}_{\Lambda}(K^\bullet, \Lambda)[-2n-1] \longrightarrow\)

\[\boxed{\ u_1 : \mathbb{R}\Gamma(W - W_0)^\vee[-2n-1] \longrightarrow \mathbb{R}\Gamma(W - W_0)\ }\] et des accouplements \[\boxed{\begin{aligned} \lambda &: \mathbb{R}\Gamma(W_0) \times \mathbb{R}\Gamma(W - W_0) \longrightarrow \Lambda[-2n] \\ \mu &: \mathbb{R}\Gamma(W_0) \times \mathbb{R}\Gamma(W - W_0) \longrightarrow \Lambda[-(2n-1)] \end{aligned}}\] \[\begin{aligned} \lambda &: H^{2n-i}(W_0) \times H^{i}(W - W_0) \longrightarrow \Lambda \\ \mu &: H^{2n-1-i}(W_0) \times H^{i}(W - W_0) \longrightarrow \Lambda \end{aligned}\] les exposants de ces deux lignes sont récrits par-dessus d'autres, illisibles i.e. \[\begin{aligned} \lambda^i &: H^{i}(W - W_0) \longrightarrow H^{i-1}(W_0) && \text{je dis que c'est } \beta \\ \mu^i &: H^{i}(W - W_0) \longrightarrow H^{i}(W_0) && \text{je dis que c'est } \alpha \end{aligned}\]

On obtient donc deux données remarquables, savoir \(u\) et \[L^{\bullet\,\mathrm{triv}} \times K^\bullet \longrightarrow \Lambda[-2n+1]\] i.e. \[\boxed{\ \text{accoupl\add{ement}}\quad \mathbb{R}\Gamma(W_0)^{\mathrm{triv}} \times \mathbb{R}(\Gamma, \pi)(M) \longrightarrow \Lambda[-(2n-1)]\ }\] i.e. \[\mathbb{R}(\Gamma, \pi)(M) \longrightarrow \mathbb{R}\Gamma(W_0)^\vee[-(2n-1)]^{\mathrm{triv}} \simeq \mathbb{R}\Gamma(W_0)^{\mathrm{triv}}\] sous le dual : « p.r. à \(\Lambda\) » ; sous l'isomorphisme : « dualité de \(W_0\) »

Enfin, les triangles (a) et (b) sont transposés.

NB. En prenant des coefficients généraux, loc[alement] triviaux au voisinage de […] \(W_0\), on trouve que, prenant des coefficients […] : des coefficients « duaux », les […] sans hyp[othèse] de régularité non-singularité sur \(W\), les suites exactes du type (a), (b), (e) sont transposées de suites exactes du même type, et les suites exactes du type (c) sont transposées de celles du type (d). la troisième lettre de la première liste est surchargée ; (e) est une lecture douteuse

plus bas

Supposons que \(W\) soit une sphère (de dim[ension] \(2n+1\)). Alors la suite exacte de déduite de (b) \[\cdots \longrightarrow H^{i-2}(W_0) \longrightarrow H^{i}(W) \longrightarrow H^{i}(W - W_0) \longrightarrow H^{i-1}(W_0) \longrightarrow H^{i+1}(W)\] montre ceci : i.e. \(i \neq 0, 2n, 2n+1\) (en fait, comme on sait (b), il suffit que \(i \neq 0, 2n\))

a) si \(i, i+1 \neq 0, 2n+1\), alors \(H^{i}(W - W_0) \xrightarrow{\ \sim\ } H^{i-1}(W_0)\)

b) \(\to H^{2n}(W - W_0) \to H^{2n-1}(W_0) \to \Lambda \to \ldots \to H^{2n}(W_0) \to 0\)

\(H^{2n+1}(W - W_0) \simeq H^{2n}(W_0) \simeq 0\)

b) La portion de suite exacte \[\begin{aligned} &\underbrace{H^{2n}(W)}_{=0} \to H^{2n}(W - W_0) \xrightarrow{\ \mathrm{inj}\ } \underbrace{H^{2n-1}(W_0)}_{\simeq \Lambda} \xrightarrow{\ \mathrm{surj}\ } \underbrace{H^{2n+1}(W)}_{=\Lambda} \\ &\qquad \to \underbrace{H^{2n+1}(W - W_0)}_{=0} \to \underbrace{H^{2n}(W_0)}_{=0} \to 0 \end{aligned}\] sous \(H^{2n-1}(W_0) \simeq \Lambda\), dans une bulle : « si \(W_0\) est connexe, […] le cas si \(n \geq 2\) » donne : \[\left\{\begin{aligned} H^{2n}(W - W_0) &= H^{2n+1}(W - W_0) = 0 \\ \Lambda = H^{2n-1}(W_0) &\simeq H^{2n+1}(W) = \Lambda \end{aligned}\right.\] comme on […] résulte de Lefschetz affine? local plus basdans une bulle reliée à la première égalité

NB \(H^{i}(W_0) = 0\) sauf si \(i \in [0, 2n-1]\). \(H^{i}(W_0)\) satisfait dualité de Poincaréencadré à droite

NB \(W\) sph[ère] coh[omologique] \(\Longleftrightarrow\) \(\bigl\{H^{i}(W - W_0) \xrightarrow{\sim} H^{i-1}(W_0)\) si \(i \neq 0, 2n\) et \(H^{2n}(W - W_0) \hookrightarrow H^{2n-1}(W_0)\) [si […] \(W_0\) connexe, cela équivaut à \(H^{2n}(W - W_0) = 0\)]. Si \(n \geq 2\), et \(W\) non singulière, il faut que \(H^{2n}(W - W_0) = 0\), \(W_0\) connexe\(\bigr\}\)encadré à gauche, sous un mot fortement biffé

Supposons que \(X\) soit régulier en \(x\). Alors on a, par Lefschetz local : \[\left\{\begin{aligned} H^{i}(W) \longrightarrow H^{i}(W_0) \quad &\text{un isom pour } i \leq n-2 \\ &\text{un mono pour } i = n-1 \end{aligned}\right.\] les deux bornes sont récrites par-dessus d'autres chiffres

Dire que \(W\) est une sphère,

Par la suite exacte cohomologie si et dualité, cela signifie \[\left\{\begin{aligned} H^{i}_{!}(W_0) \longrightarrow H^{i+2}(W) \quad &\text{un isom si } i \geq n+1 \\ &\text{un épim si } i = n \end{aligned}\right.\] les bornes \(n+1\) et \(n\) sont surchargées ; la seconde est douteuse donc la connaissance de la cohomologie de \(W\) implique celle de la cohomologie de \(W_0\), sauf en les deux dimensions moyennes \(H^{n-1}(W_0)\), \(H^{n}(W_0)\) (complémentaires, i.e. où les cohomologies sont duales pour \(W_0\)).

On peut dire aussi que l'on a \[\Bigl[\ H^{i}(W - W_0) = 0 \ \text{ si } i > n+1 \Bigr], \qquad H^{i}(W - W_0) = H^{i}(P).\] l'égalité \(H^{i}(W - W_0) = H^{i}(P)\) est écrite verticalement sous le premier terme

Revenant au cas \(W\) une sphère, on trouve \[\left\{\begin{aligned} H^{i}(W - W_0) &= 0 \quad \text{si } i > n+1 \\ H^{i}(W_0) &= 0 \quad \text{si } i \neq n-1, n, 0, 2n-1 \end{aligned}\right.\] [en fait, si \(i \neq\) […] \(0, 1, n, n+1\)] (d'abord si \(i \geq n+1\) et \(i \neq 2n-1\), puis le reste par dualité)

La suite exacte […] : […] est triviale, sauf la portion \[0 \to H^{0}(W) \to H^{0}(W - W_0) \to 0, \qquad 0 \to H^{1}(W - W_0) \to H^{0}(W_0) \to 0\] \[\left\{\begin{aligned} &0 \to H^{n}(W - W_0) \to H^{n-1}(W_0) \to 0 \\ &0 \to H^{n+1}(W - W_0) \to H^{n}(W_0) \to 0 \qquad (\text{si } n \neq 1) \\ &0 \to H^{2n-1}(W_0) \to H^{2n+1}(W) \to 0 \end{aligned}\right.\] à droite, deux lignes biffées : « \(n+1 \neq 2n+1\) », « \(n+2 \neq 2n+1\) » (lecture douteuse)

[Si \(n = 1\), on trouve \[\begin{aligned} &0 \to H^{0}(W) \xrightarrow{\ \sim\ } H^{0}(W - W_0) \to 0 \\ &0 \to H^{1}(W - W_0) \to H^{0}(W_0) \to 0 \\ &0 \to H^{2}(W - W_0) \to H^{1}(W_0) \to H^{3}(W) \simeq \Lambda \to 0 \ ] \end{aligned}\]

Notons que, pour […] : la […], […] les relations \(H^{i}(W - W_0, \Lambda) = 0\) pour \(i > n+1\) donnent \[\boxed{\ H^{i}(M, \Lambda) = 0 \quad \text{si } i > n\ }\] la borne de l'encadré est surchargée ; \(n\) est douteux, \(n+1\) possible. Dans la ligne précédente, \(W - W_0\) est récrit sur un autre symbole [Indépendant en fait […] que \(W\) non singulière et de ce que \(W_0\) non singulière]

La suite exacte infinie (si \(W\) non singulière) \[\cdots \to H^{2n-i}(M)^\vee \to H^{i}(M) \to H^{i}(W_0) \to H^{2n-i-1}(M)^\vee \to H^{i+1}(M) \to H^{i+1}(W_0)\] montre donc que si \(i > n+1\)

En d'autres termes, le triangle … \(H^{i}(W_0) = 0\) si \(i \neq\) […]deux lignes biffées, avec un petit encadré « \(i \neq n-1\) », « \(2n-1-i = n-1\) »

isomorphismes \[\left\{\begin{aligned} H^{i}(W_0) &\xrightarrow{\ \sim\ } H^{2n-i-1}(M)^\vee && \text{si } i \geq n+2 && (\text{épim si } i = n+1) \quad (\text{donc } 2n-i-1 \leq n-3) \\ H^{i}(M) &\xrightarrow{\ \sim\ } H^{i}(W_0) && \text{si } i \leq n-2 && (\text{mono si } i = n-1) \end{aligned}\right.\] les deux bornes sont surchargées d'un chiffre épais ; \(n+2\) et \(n-2\) sont lus d'après « donc \(2n-i-1 \leq n-3\) » et la page 27. La seconde ligne est entourée. Les mots « épim » et « mono » entre parenthèses sont des lectures douteuses

Donc \(H^{q}(M)\) est connu en termes de \(H^{q}(W_0)\) sauf en dimensions […] \(n-1\), \(n\), […], où on a la suite exacte

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\begin{tikzcd}[column sep=small]
H^{n-1}(M) \arrow[r] & H^{n-1}(W_0) \arrow[r, "\mathrm{surj}"] & H^{n}(M)^\vee \arrow[d] \\
H^{n-1}(M)^\vee & H^{n}(W_0) \arrow[l] & H^{n}(M) \arrow[l]
\end{tikzcd}

les deux lignes commencent par des termes biffés : \(\to H^{n-2}(M) \to H^{n-2}(W_0) \to H^{n+1}(M)^\vee\ (=0) \to\) en haut, \(0 \leftarrow H^{n-2}(M)^\vee \leftarrow H^{n-1}(W_0) \leftarrow H^{n-1}(M)\ (=0) \leftarrow\) en bas ; entre les deux lignes, un signe biffé

Supposons maintenant que \(W\) […] la sphère topologique. Alors on a vu que \(H^{i}(W_0) = 0\) si \(i \neq 0, n-1, n, 2n-1\).

Si donc \(n \geq 3\), on trouve aussi \(H^{i}(M) = 0\), […]en interligne : « pour \(i \neq 0, n-1, n\), […] »

et la suite exacte précédente devient \[\boxed{\begin{array}{c} 0 \to H^{n+1}(M)^\vee \xrightarrow{\ u\ } H^{n-1}(M) \to H^{n-1}(W_0) \to H^{n}(M)^\vee \\ \downarrow \\ 0 \leftarrow H^{n+1}(M) \xleftarrow{\ {}^t u\ } H^{n-1}(M)^\vee \leftarrow H^{n}(W_0) \leftarrow H^{n}(M) \end{array}}\] la flèche verticale descend de \(H^{n}(M)^\vee\) à \(H^{n}(M)\), en bout de ligne. L'encadré est traversé au crayon de traits obliques en zigzag reliant les deux lignes, avec des signes \(+\) et \(-\) alternés au-dessus et au-dessous des termes ; l'exposant du premier terme de la ligne supérieure est surchargé

\(V\) une sphère cohomologique \[\Updownarrow\] \[\left\{\begin{aligned} &H^{i}(V_\eta) \to H^{i-1}(V_s) \ \text{un \emph{isom} si } i \neq 0, 2n \\ &\emph{et}\ \left\{\begin{aligned} &H^{0}(V_\eta) \simeq \Lambda \\ &H^{2n}(V_\eta) \to H^{2n-1}(V_s) \ \text{inj et conoyau} \simeq \Lambda \\ \end{aligned}\right. \qquad (\text{quand } n \geq 1) \end{aligned}\right.\] avant « \(i \neq 0, 2n\) », biffé : « \(i, i+1 \neq 0, 2n+1\) » ; après, un terme biffé illisible ; la troisième ligne de l'accolade intérieure est biffée : « \(H^{2n+1}(V_s) \simeq \Lambda\) ». Sous la ligne : « \(2n+1 > n+1\) » \[\Bigl[\ 0 \to \underbrace{H^{2n}(V_\eta)}_{=0 \text{ si } n \geq 2} \to H^{2n-1}(V_s) \to H^{2n+1}(V) \to \underbrace{H^{2n+1}(V_\eta)}_{=0 \text{ si } n \geq 1} \to \underbrace{H^{2n}(V_s)}_{=0} \to 0 \ \Bigr]\] les exposants de \(H^{2n+1}(V)\) et \(H^{2n+1}(V_\eta)\) se lisent aussi bien \(2n-1\) \[\Downarrow \quad \text{si on suppose déjà que l'on a singularité « isolée »}\] \[H^{i}(V_s) = 0 \quad \text{si } i \neq 0, n-1, n\] \(H^{i}(V_{\xi}) \xrightarrow{\ \sim\ } H^{i}(V_s)\)à droite, séparé par un trait vertical ; l'indice, lu \(\xi\), peut être le même que l'\(\eta\) plus haut

Inconvénient sérieux de la […] Ext\(^n(S, T; A)\) lorsque \(A\) satisfait (AB5), […] […] : les conditions de finitude naturelles (pour \(A\) loc[alement] noeth[érien]), sur les systèmes inductifs \(a\)-adiques, ou ess[entiellement] \(a\)-adiques, ou […] en \(a\)-adiques, ne semblent pas stables par noyaux [dualement, des […]\((S, T; A)\) quand \(A\) satisfait (AB5\(^*\)), les conditions de finitude […] ne semblent pas stables par conoyaux] !!

Exemple. \(A\) anneau [noeth.], \(f, g\) deux éléments de \(A\), \(M\) un objet de […] \(\mathcal{C}\), […] \((f, g)\) soit \(M\)-régulière. Soit \(P = M_f / M = \varinjlim_n M / f^n M\) (i.e. \(M/f^nM \to M/f^mM\) est donné par \(f^{m-n}\) ; le système inductif est à morphismes de transition injectifs.) Soit \(Q =\)le paragraphe est barré de traits obliques croisés et s'arrête sur « \(Q =\) »