Fonds Grothendieck, cote n° 122, pages 21–34 — transcription Alexandre Grothendieck transcription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-24) Opus 5.5 (claude-opus-5-5) procédure, outillage, export TEI grothendieck.commutator.io (Commutator, Paris) Édition de démonstration Commutator Paris 2026-09-25

Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.

 https://grothendieck.commutator.io France Montpellier Université de Montpellier Fonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991) 122 Point singulier isolé de la fibre : notes manuscrites (s.d.) Pages 21 à 34 de la cote, dans la numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque page) ; lot 2 de vingt pages. Les pages absentes de la transcription ne portent pas de mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est le seul enregistrement. [vers 1968-1971]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes. https://grothendieck.umontpellier.fr/122.pdf Fac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa première page est une feuille de garde générée par l'université : la page n des archivistes est la page n+1 du PDF, et l'attribut facs de chaque pb tient compte de ce décalage.

Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.

L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source : \ill devient gap[@reason='illegible'] (jamais deviné) ; \uncertain devient unclear ; \add devient supplied ; \struck devient del (biffé par l'auteur) ; \note devient note[@type='editorial'] (du transcripteur) ; \marginal devient note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ; \page devient pb.

Les mathématiques sont transportées en TeX dans formula[@notation='TeX'], les diagrammes commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'], sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de la formule, sous les mêmes macros.

Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.

 https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project français, avec la notation mathématique de l'auteur Première passe de transcription. Export TEI depuis la source LaTeX.

(e)

\begin{tikzcd}[column sep=small] & \mathbb{R}\Gamma(W_0) \simeq \mathbb{R}\Gamma(Q) \simeq \mathbb{R}\Gamma(\mathring{Q}) \arrow[dl, dashed, "\beta'"'] \\ \mathbb{R}\Gamma_{!}(\mathring{P}) \arrow[r, dashed] & \mathbb{R}\Gamma(W) \arrow[u, "\rho_1"'] \end{tikzcd}

les flèches \beta' et \mathbb{R}\Gamma_{!}(\mathring{P}) \to \mathbb{R}\Gamma(W) sont tracées en pointillé ; le sommet \mathbb{R}\Gamma_{!}(\mathring{P}) est mis entre crochets et entouré au crayon. Le long de \rho_1 : « compatible avec ». À droite : « NB \rho_1 = \alpha\rho_0 ».

[suite exacte de cohomologie relative pour (W, W_0) \to (W, Q) \to (W, \mathring{Q})].

NB. On a un homomorphisme (u_0, u_1, u_2) des triangles (e) dans les triangles (b), induit par (P, \partial P) \subset (W, Q), avec sous le Q, en interligne : « W_0 », suivi d'un mot biffé u_1 = \rho_0, \qquad u_2 = \mathrm{id}_1 et qui induit un isomorphisme u_0 (grâce aux d'identification = …).

le cas W (a') note écrite en oblique dans la marge gauche, en regard des lignes précédentes ; presque entièrement illisible

Supposons W non singulière, i.e. \mathring{M} non singulière, i.e. \mathring{P} non singulière. Alors on a un isomorphisme \mathbb{R}(\Gamma, \pi)_{!}(\mathring{M}) \simeq \mathbb{R}\mathrm{Hom}_{\Lambda}(K^\bullet, \Lambda)[2n], \qquad K^\bullet = \mathbb{R}(\Gamma, \pi)(M), le décalage est écrit [2n], le crochet ouvrant repassé ; plus bas sur la page il est [-2n]. L'égalité K^\bullet = \mathbb{R}(\Gamma,\pi)(M) est écrite sous K^\bullet et la flèche verticale en (a) est une flèche \boxed{\ u : \mathbb{R}\mathrm{Hom}_{\Lambda}(K^\bullet, \Lambda)[-2n] \longrightarrow K^\bullet\ } \qquad \text{dans } D(\Lambda[\pi]), i.e. un élément de \xi \in H^{2n}\bigl(K^\bullet \overset{\mathbf{L}}{\otimes}_{\Lambda} K^\bullet\bigr). la lettre \xi sous l'élément est douteuse

La donnée précédente (a) devient

(a')

\begin{tikzcd}[column sep=small] & L^{\bullet\,\mathrm{triv}} \arrow[dl, "\rho'"'] & \\ \mathbb{R}\mathrm{Hom}_{\Lambda}(K^\bullet, \Lambda)[-2n] \arrow[rr] & & K^\bullet \arrow[ul, "\rho"'] \end{tikzcd}

K^\bullet \in \mathrm{ob}\, D(\Lambda[\pi]), L^\bullet \in \mathrm{ob}\, D(\Lambda), K^\bullet parfait relativement à \Lambda

En fait, \rho et \rho' sont transposés l'un de l'autre (signe ?) dans les triangles (a) et (a') comme autotransposé.

Appliquant le foncteur oubli, on trouve

(c')

\begin{tikzcd}[column sep=small] & L^\bullet \simeq \mathbb{R}\Gamma(W_0) \arrow[dl] & \\ \mathbb{R}\mathrm{Hom}_{\Lambda}(K^{\bullet\,\mathrm{ens}}, \Lambda)[-2n] \arrow[rr] & & K^{\bullet\,\mathrm{ens}} \simeq \mathbb{R}\Gamma(M) \arrow[ul] \end{tikzcd}

l'exposant de K^\bullet, lu « ens », est douteux ; dans le triangle (c) de la page 19 (lot 1), le même exposant a été lu comme un petit « \omega » (ou « w »), et les deux lectures sont à confronter aux pages. Sous le premier sommet : \mathbb{R}\mathrm{Hom}_{\Lambda}(K^{\bullet\,\mathrm{ens}}, \Lambda)[-2n] \simeq \mathbb{R}\Gamma_{!}(\mathring{M})

dire que c'est encore un triangle autotransposé

Appliquant \mathbb{R}\Gamma^{\pi}, on trouve [exprimer comment ?]

(b')

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & L^\bullet \overset{\mathbf{L}}{\otimes}_{\Lambda} \mathbb{R}\Gamma(S^1) \simeq L^\bullet \times L^\bullet[-1] \arrow[dl, "{(\alpha',\ \beta')}"'] & \\ \mathbb{R}\mathrm{Hom}_{\Lambda}(K^{\bullet\,\pi}, \Lambda)[-2n-1] \arrow[rr] & & K^{\bullet\,\pi} \simeq \mathbb{R}\Gamma(P) \simeq \mathbb{R}\Gamma(W - W_0) \arrow[ul, "{(\alpha,\ \beta)}"'] \end{tikzcd}

le sommet supérieur se prolonge par « \simeq ». Sous le sommet de gauche : \mathbb{R}\Gamma_{!}(\mathring{P}) \simeq \mathbb{R}\Gamma_{!}(W - W_0)

(triangle autotransposé)

vérifier la commutation de \mathbb{R}\Gamma^{\pi} à \mathbb{R}\mathrm{Hom}_{\Lambda}(-, \Lambda) = (-)^\veedans un cadre, à gauche, relié au triangle (b')

les triangles (d) et (e) ligne entièrement biffée

Comme nouvelles données structures, on trouve deux u_1 : \mathbb{R}\mathrm{Hom}_{\Lambda}(K^\bullet, \Lambda)[-2n-1] \longrightarrow

\boxed{\ u_1 : \mathbb{R}\Gamma(W - W_0)^\vee[-2n-1] \longrightarrow \mathbb{R}\Gamma(W - W_0)\ } et des accouplements \boxed{\begin{aligned} \lambda &: \mathbb{R}\Gamma(W_0) \times \mathbb{R}\Gamma(W - W_0) \longrightarrow \Lambda[-2n] \\ \mu &: \mathbb{R}\Gamma(W_0) \times \mathbb{R}\Gamma(W - W_0) \longrightarrow \Lambda[-(2n-1)] \end{aligned}} \begin{aligned} \lambda &: H^{2n-i}(W_0) \times H^{i}(W - W_0) \longrightarrow \Lambda \\ \mu &: H^{2n-1-i}(W_0) \times H^{i}(W - W_0) \longrightarrow \Lambda \end{aligned} les exposants de ces deux lignes sont récrits par-dessus d'autres, illisibles i.e. \begin{aligned} \lambda^i &: H^{i}(W - W_0) \longrightarrow H^{i-1}(W_0) && \text{je dis que c'est } \beta \\ \mu^i &: H^{i}(W - W_0) \longrightarrow H^{i}(W_0) && \text{je dis que c'est } \alpha \end{aligned}

On obtient donc deux données remarquables, savoir u et L^{\bullet\,\mathrm{triv}} \times K^\bullet \longrightarrow \Lambda[-2n+1] i.e. \boxed{\ \text{accoupl\add{ement}}\quad \mathbb{R}\Gamma(W_0)^{\mathrm{triv}} \times \mathbb{R}(\Gamma, \pi)(M) \longrightarrow \Lambda[-(2n-1)]\ } i.e. \mathbb{R}(\Gamma, \pi)(M) \longrightarrow \mathbb{R}\Gamma(W_0)^\vee[-(2n-1)]^{\mathrm{triv}} \simeq \mathbb{R}\Gamma(W_0)^{\mathrm{triv}} sous le dual : « p.r. à \Lambda » ; sous l'isomorphisme : « dualité de W_0 »

Enfin, les triangles (a) et (b) sont transposés.

NB. En prenant des coefficients généraux, localement triviaux au voisinage de W_0, on trouve que, prenant des coefficients : des coefficients « duaux », les sans hypothèse de régularité non-singularité sur W, les suites exactes du type (a), (b), (e) sont transposées de suites exactes du même type, et les suites exactes du type (c) sont transposées de celles du type (d). la troisième lettre de la première liste est surchargée ; (e) est une lecture douteuse

plus bas

Supposons que W soit une sphère (de dimension 2n+1). Alors la suite exacte de déduite de (b) \cdots \longrightarrow H^{i-2}(W_0) \longrightarrow H^{i}(W) \longrightarrow H^{i}(W - W_0) \longrightarrow H^{i-1}(W_0) \longrightarrow H^{i+1}(W) montre ceci : i.e. i \neq 0, 2n, 2n+1 (en fait, comme on sait (b), il suffit que i \neq 0, 2n)

a) si i, i+1 \neq 0, 2n+1, alors H^{i}(W - W_0) \xrightarrow{\ \sim\ } H^{i-1}(W_0)

b) \to H^{2n}(W - W_0) \to H^{2n-1}(W_0) \to \Lambda \to \ldots \to H^{2n}(W_0) \to 0

H^{2n+1}(W - W_0) \simeq H^{2n}(W_0) \simeq 0

b) La portion de suite exacte \begin{aligned} &\underbrace{H^{2n}(W)}_{=0} \to H^{2n}(W - W_0) \xrightarrow{\ \mathrm{inj}\ } \underbrace{H^{2n-1}(W_0)}_{\simeq \Lambda} \xrightarrow{\ \mathrm{surj}\ } \underbrace{H^{2n+1}(W)}_{=\Lambda} \\ &\qquad \to \underbrace{H^{2n+1}(W - W_0)}_{=0} \to \underbrace{H^{2n}(W_0)}_{=0} \to 0 \end{aligned} sous H^{2n-1}(W_0) \simeq \Lambda, dans une bulle : « si W_0 est connexe, le cas si n \geq 2 » donne : \left\{\begin{aligned} H^{2n}(W - W_0) &= H^{2n+1}(W - W_0) = 0 \\ \Lambda = H^{2n-1}(W_0) &\simeq H^{2n+1}(W) = \Lambda \end{aligned}\right. comme on résulte de Lefschetz affine? local plus basdans une bulle reliée à la première égalité

NB H^{i}(W_0) = 0 sauf si i \in [0, 2n-1]. H^{i}(W_0) satisfait dualité de Poincaréencadré à droite

NB W sphère cohomologique \Longleftrightarrow \bigl\{H^{i}(W - W_0) \xrightarrow{\sim} H^{i-1}(W_0) si i \neq 0, 2n et H^{2n}(W - W_0) \hookrightarrow H^{2n-1}(W_0) [si W_0 connexe, cela équivaut à H^{2n}(W - W_0) = 0]. Si n \geq 2, et W non singulière, il faut que H^{2n}(W - W_0) = 0, W_0 connexe\bigr\}encadré à gauche, sous un mot fortement biffé

Supposons que X soit régulier en x. Alors on a, par Lefschetz local : \left\{\begin{aligned} H^{i}(W) \longrightarrow H^{i}(W_0) \quad &\text{un isom pour } i \leq n-2 \\ &\text{un mono pour } i = n-1 \end{aligned}\right. les deux bornes sont récrites par-dessus d'autres chiffres

Dire que W est une sphère,

Par la suite exacte cohomologie si et dualité, cela signifie \left\{\begin{aligned} H^{i}_{!}(W_0) \longrightarrow H^{i+2}(W) \quad &\text{un isom si } i \geq n+1 \\ &\text{un épim si } i = n \end{aligned}\right. les bornes n+1 et n sont surchargées ; la seconde est douteuse donc la connaissance de la cohomologie de W implique celle de la cohomologie de W_0, sauf en les deux dimensions moyennes H^{n-1}(W_0), H^{n}(W_0) (complémentaires, i.e. où les cohomologies sont duales pour W_0).

On peut dire aussi que l'on a \Bigl[\ H^{i}(W - W_0) = 0 \ \text{ si } i > n+1 \Bigr], \qquad H^{i}(W - W_0) = H^{i}(P). l'égalité H^{i}(W - W_0) = H^{i}(P) est écrite verticalement sous le premier terme

Revenant au cas W une sphère, on trouve \left\{\begin{aligned} H^{i}(W - W_0) &= 0 \quad \text{si } i > n+1 \\ H^{i}(W_0) &= 0 \quad \text{si } i \neq n-1, n, 0, 2n-1 \end{aligned}\right. [en fait, si i \neq 0, 1, n, n+1] (d'abord si i \geq n+1 et i \neq 2n-1, puis le reste par dualité)

La suite exacte : est triviale, sauf la portion 0 \to H^{0}(W) \to H^{0}(W - W_0) \to 0, \qquad 0 \to H^{1}(W - W_0) \to H^{0}(W_0) \to 0 \left\{\begin{aligned} &0 \to H^{n}(W - W_0) \to H^{n-1}(W_0) \to 0 \\ &0 \to H^{n+1}(W - W_0) \to H^{n}(W_0) \to 0 \qquad (\text{si } n \neq 1) \\ &0 \to H^{2n-1}(W_0) \to H^{2n+1}(W) \to 0 \end{aligned}\right. à droite, deux lignes biffées : « n+1 \neq 2n+1 », « n+2 \neq 2n+1 » (lecture douteuse)

[Si n = 1, on trouve \begin{aligned} &0 \to H^{0}(W) \xrightarrow{\ \sim\ } H^{0}(W - W_0) \to 0 \\ &0 \to H^{1}(W - W_0) \to H^{0}(W_0) \to 0 \\ &0 \to H^{2}(W - W_0) \to H^{1}(W_0) \to H^{3}(W) \simeq \Lambda \to 0 \ ] \end{aligned}

Notons que, pour : la , les relations H^{i}(W - W_0, \Lambda) = 0 pour i > n+1 donnent \boxed{\ H^{i}(M, \Lambda) = 0 \quad \text{si } i > n\ } la borne de l'encadré est surchargée ; n est douteux, n+1 possible. Dans la ligne précédente, W - W_0 est récrit sur un autre symbole [Indépendant en fait que W non singulière et de ce que W_0 non singulière]

La suite exacte infinie (si W non singulière) \cdots \to H^{2n-i}(M)^\vee \to H^{i}(M) \to H^{i}(W_0) \to H^{2n-i-1}(M)^\vee \to H^{i+1}(M) \to H^{i+1}(W_0) montre donc que si i > n+1

En d'autres termes, le triangle … H^{i}(W_0) = 0 si i \neq deux lignes biffées, avec un petit encadré « i \neq n-1 », « 2n-1-i = n-1 »

isomorphismes \left\{\begin{aligned} H^{i}(W_0) &\xrightarrow{\ \sim\ } H^{2n-i-1}(M)^\vee && \text{si } i \geq n+2 && (\text{épim si } i = n+1) \quad (\text{donc } 2n-i-1 \leq n-3) \\ H^{i}(M) &\xrightarrow{\ \sim\ } H^{i}(W_0) && \text{si } i \leq n-2 && (\text{mono si } i = n-1) \end{aligned}\right. les deux bornes sont surchargées d'un chiffre épais ; n+2 et n-2 sont lus d'après « donc 2n-i-1 \leq n-3 » et la page 27. La seconde ligne est entourée. Les mots « épim » et « mono » entre parenthèses sont des lectures douteuses

Donc H^{q}(M) est connu en termes de H^{q}(W_0) sauf en dimensions n-1, n, , où on a la suite exacte

\begin{tikzcd}[column sep=small] H^{n-1}(M) \arrow[r] & H^{n-1}(W_0) \arrow[r, "\mathrm{surj}"] & H^{n}(M)^\vee \arrow[d] \\ H^{n-1}(M)^\vee & H^{n}(W_0) \arrow[l] & H^{n}(M) \arrow[l] \end{tikzcd}

les deux lignes commencent par des termes biffés : \to H^{n-2}(M) \to H^{n-2}(W_0) \to H^{n+1}(M)^\vee\ (=0) \to en haut, 0 \leftarrow H^{n-2}(M)^\vee \leftarrow H^{n-1}(W_0) \leftarrow H^{n-1}(M)\ (=0) \leftarrow en bas ; entre les deux lignes, un signe biffé

Supposons maintenant que W la sphère topologique. Alors on a vu que H^{i}(W_0) = 0 si i \neq 0, n-1, n, 2n-1.

Si donc n \geq 3, on trouve aussi H^{i}(M) = 0, en interligne : « pour i \neq 0, n-1, n, »

et la suite exacte précédente devient \boxed{\begin{array}{c} 0 \to H^{n+1}(M)^\vee \xrightarrow{\ u\ } H^{n-1}(M) \to H^{n-1}(W_0) \to H^{n}(M)^\vee \\ \downarrow \\ 0 \leftarrow H^{n+1}(M) \xleftarrow{\ {}^t u\ } H^{n-1}(M)^\vee \leftarrow H^{n}(W_0) \leftarrow H^{n}(M) \end{array}} la flèche verticale descend de H^{n}(M)^\vee à H^{n}(M), en bout de ligne. L'encadré est traversé au crayon de traits obliques en zigzag reliant les deux lignes, avec des signes + et - alternés au-dessus et au-dessous des termes ; l'exposant du premier terme de la ligne supérieure est surchargé

V une sphère cohomologique \Updownarrow \left\{\begin{aligned} &H^{i}(V_\eta) \to H^{i-1}(V_s) \ \text{un \emph{isom} si } i \neq 0, 2n \\ &\emph{et}\ \left\{\begin{aligned} &H^{0}(V_\eta) \simeq \Lambda \\ &H^{2n}(V_\eta) \to H^{2n-1}(V_s) \ \text{inj et conoyau} \simeq \Lambda \\ \end{aligned}\right. \qquad (\text{quand } n \geq 1) \end{aligned}\right. avant « i \neq 0, 2n », biffé : « i, i+1 \neq 0, 2n+1 » ; après, un terme biffé illisible ; la troisième ligne de l'accolade intérieure est biffée : « H^{2n+1}(V_s) \simeq \Lambda ». Sous la ligne : « 2n+1 > n+1 » \Bigl[\ 0 \to \underbrace{H^{2n}(V_\eta)}_{=0 \text{ si } n \geq 2} \to H^{2n-1}(V_s) \to H^{2n+1}(V) \to \underbrace{H^{2n+1}(V_\eta)}_{=0 \text{ si } n \geq 1} \to \underbrace{H^{2n}(V_s)}_{=0} \to 0 \ \Bigr] les exposants de H^{2n+1}(V) et H^{2n+1}(V_\eta) se lisent aussi bien 2n-1 \Downarrow \quad \text{si on suppose déjà que l'on a singularité « isolée »} H^{i}(V_s) = 0 \quad \text{si } i \neq 0, n-1, n H^{i}(V_{\xi}) \xrightarrow{\ \sim\ } H^{i}(V_s)à droite, séparé par un trait vertical ; l'indice, lu \xi, peut être le même que l'\eta plus haut

Inconvénient sérieux de la Ext^n(S, T; A) lorsque A satisfait (AB5), : les conditions de finitude naturelles (pour A localement noethérien), sur les systèmes inductifs a-adiques, ou essentiellement a-adiques, ou en a-adiques, ne semblent pas stables par noyaux [dualement, des (S, T; A) quand A satisfait (AB5^*), les conditions de finitude ne semblent pas stables par conoyaux] !!

Exemple. A anneau [noeth.], f, g deux éléments de A, M un objet de \mathcal{C}, (f, g) soit M-régulière. Soit P = M_f / M = \varinjlim_n M / f^n M (i.e. M/f^nM \to M/f^mM est donné par f^{m-n} ; le système inductif est à morphismes de transition injectifs.) Soit Q =le paragraphe est barré de traits obliques croisés et s'arrête sur « Q = »