Cote n° 122, pages 1–20

Cote n° 122 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Point singulier isolé de la fibre : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [vers 1968-1971]
Édition de démonstration

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\(P\) variété à bord [para]compacte, purement de dimension \(n\) « para » est ajouté au-dessus de la ligne et entouré

\(\partial P\) le bord

\(\mathring{P} = P - \partial P\)

\(\mathring{P} \longrightarrow P\) est une équivalence d'homotopie, donc \[H^{*}(P, F) \longrightarrow H^{*}(\mathring{P}, F) \quad \text{un isom} \qquad (\text{si } F \text{ loc. constant})\] donc i.e. \[H^{*}_{\partial P}(P, F) = 0\] et en localisant \[\underline{H}^{*}_{\partial P}(F) = 0 .\] Considérons d'autre part la suite exacte \[\cdots \longrightarrow H^{i}_{!}(\mathring{P}, F) \longrightarrow H^{i}(P, F) \longrightarrow H^{i}(\partial P, F) \longrightarrow \cdots\] si on travaille avec faisceaux loc. constants […], i.e. fibres de dim finie \[H^{i}_{!}(\mathring{P}, F) \simeq H^{n-i}(\mathring{P}, \check{F} \otimes T)^\vee \simeq H^{n-i}(P, \check{F} \otimes T)^\vee\] les deux isomorphismes sont écrits verticalement sous \(H^{i}_{!}(\mathring{P}, F)\) ; \(T\) désigne ici le faisceau d'orientation

Ainsi, on a des hom[omorphismes] \[\varphi : H^{n-i}(P, \check{F} \otimes T)^\vee \longrightarrow H^{i}(P, F)\] i.e. \[\varphi \in H^{i}(P, F) \otimes H^{n-i}(P, \check{F} \otimes T)\] [si \(\partial P = \emptyset\), les \(\varphi\) sont des isom, ce qui est la dualité de Poincaré pour la variété topologique \(P\)].

Soit d'autre part \(P' \subset P\), \(P' = \overline{P - \widetilde{\partial P}}\), \(\widetilde{\partial P}\) un « épaississement » de \(\partial P\), \[\widetilde{\partial P} \simeq \partial P \times D^{1} .\] en bas à gauche, un croquis : un anneau hachuré \(\widetilde{\partial P}\) bordé par le cercle \(\partial P\)

On a donc […] de toutes sortes

\(\partial P \to \widetilde{\partial P} \leftarrow \partial P'\), \(\partial P' \to P\) équivalences d'homotopiedeux lignes biffées ; la seconde est surchargée

tout le haut de la page, jusqu'au trait horizontal, est barré de longs traits obliques et entouré d'un grand trait courbe

Dans […], l'inclusion \((P, \widetilde{\partial P}) \subset (P, \partial P)\) […] un hom[omorphisme] de suites exactes \[\begin{array}{ccccccc} \to & H^{i}_{!}(P - \widetilde{\partial P}) & \to & H^{i}(P) & \to & H^{i}(\widetilde{\partial P}) & \to \cdots \\ & \downarrow & & \| & & \downarrow{\wr} & \\ \to & H^{i}_{!}(P - \partial P) & \to & H^{i}(P) & \to & H^{i}(\partial P) & \to \cdots \end{array}\] d'où […] […] […] […] \[H^{i}_{!}(P - \widetilde{\partial P}) \simeq H^{i}(P - \partial P)\] à gauche et à droite, deux croquis de flèches entre \(\partial P\), \(\widetilde{\partial P}\), \(\partial P'\), \(\widetilde{\partial P} - \partial P\), \(\widetilde{\partial P} - \partial P'\) et \(P - P' = \widetilde{\partial P} - \partial P'\), avec la mention « équivalences d'[…] »

\[\begin{array}{ccccccc} \to & H^{i}_{P'}(P, F) & \Longrightarrow & H^{i}(P, F) & \to & H^{i}(P - P', F) & \to \cdots \\ & \downarrow & & \| & & \updownarrow{\scriptstyle 2} & \\ \to & H^{i}(P, \partial P; F) & \longrightarrow & H^{i}(P, F) & \to & H^{i}(\partial P, F) & \to \end{array} \qquad \begin{array}{c} (P, P - P') \\ \uparrow \\ (P, \partial P) \end{array}\] le premier terme de la seconde ligne peut se lire \(H^{i}(P/\partial P; F)\) ; à côté de la flèche verticale de droite, un \(H^{i}(\partial P)\) biffé

On trouve \[H^{i}_{P'}(P, F) \simeq H^{i}(P \bmod \partial P, F) \simeq H^{i}_{!}(\mathring{P}, F)\] « mod » est une lecture douteuse […] […] […] \[H^{i}_{P'}(P, F) \xrightarrow{\ \sim\ } H^{i}_{!}(\mathring{P}' \bmod \partial P', F) \simeq H^{i}_{!}(\mathring{P}', F)\] « mod » est ici biffé et surchargé ; l'indice du deuxième \(H\) est douteux grâce à l'excision \[(P', \partial P') \to (P, P - P') .\]

\(W\) variété […]

\(P \subset W\) sous-variété à bord telle que \(P = \overline{\mathring{P}}\).

Soit \(Q = P - \mathring{P}\).sic ; on attendrait \(\overline{W - P}\)

Alors \(Q\) est une sous-variété à bord satisfaisant \(Q = \overline{\mathring{Q}}\), et si \[W = P \cup Q, \qquad P \cap Q = \partial P = \partial Q .\] Si \(W\) est purement de dimension \(n\), alors \(P\) et \(Q\) aussi, et \(P \cap Q = \partial P = \partial Q\) est purement de dim[ension] \(n - 1\).

Soit \(R = \partial P = \partial Q\). […] […] […] donc \[W - R = \mathring{P} \amalg \mathring{Q} .\] \(H^{i}(W) \to H^{i}(W)\)ligne biffée, lecture douteuse

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & & \mathring{Q} \arrow[d] \\
 & W & Q \arrow[l, hook'] \\
\mathring{P} \arrow[r, hook] & P \arrow[u, hook] & P \cap Q = R = \partial P \arrow[l, hook'] \arrow[u, hook]
\end{tikzcd}

croquis dans la marge gauche ; sous \(P \cap Q = R\), en colonne : \(\partial P = T\), le \(R\) étant surchargé

La suite exacte de coh[omologie] relative pour \(W\), \(R\), \(W - R\) donne \[\cdots \to H^{i}(W, F) \to H^{i}(W - R, F) \to H^{i+1}(R, F \otimes \mathcal{T}_{R}) \to H^{i+1}(W, F)\] \[H^{i}(W - R) = H^{i}(\mathring{P}) \times H^{i}(\mathring{Q}) = H^{i}(P) \times H^{i}(Q)\] faisceau d'orientation normal : \(T\) dans \(W\), ici \(\simeq \mathbb{Z}_T\)dans une bulle reliée à \(\mathcal{T}_R\) ; l'indice de \(\mathcal{T}\) est surchargé, \(R\) ou \(T\)

Cette suite exacte relative n'est sans doute autre que la suite exacte de Mayer-Vietoris associée à \((*)\), […] aussi [[…] forme transposée] \[\cdots \to H^{i}_{!}(W - T, F) \to H^{i}_{!}(W, F) \to H^{i}_{!}(R, F) \to \cdots\] \[\begin{aligned} H^{i}_{!}(W - T, F) &\simeq H^{i}_{!}(\mathring{P}, F) \times H^{i}_{!}(\mathring{Q}, F) \\ &\simeq H^{n-i}(\mathring{P}, \check{F} \otimes \mathcal{T}_W)^\vee \times H^{n-i}(\mathring{Q}, \check{F} \otimes \mathcal{T}_W)^\vee \\ &\simeq H^{n-i}(P, \check{F} \otimes \mathcal{T}_W)^\vee \times H^{n-i}(Q, \check{F} \otimes \mathcal{T}_W)^\vee \end{aligned}\] les isomorphismes sont écrits en colonne sous le premier terme. Dans la dernière ligne, la lettre lue \(Q\) ressemble au \(R\) de la page ; le symbole lu \(\mathcal{T}_W\) (faisceau d'orientation) est une sorte de C à queue

Écrivons aussi les 2 suites exactes relatives à l'inclusion \(P \hookrightarrow W\). On a \[\cdots \to H^{i}_{P}(W, F) \to H^{i}(W, F) \to H^{i}(W - P, F) \to \cdots\] \[H^{i}(W - P, F) \simeq H^{i}(\mathring{Q}, F) \xleftarrow{\ \sim\ } H^{i}(Q, F)\] écrit en colonne sous \(H^{i}(W - P, F)\). Sous \(H^{i}_{P}(W, F)\), un « \(\simeq H^{i}_{!}(\mathring{P})\) » biffé, et dans la marge un mot biffé

Or, si \(\widetilde{P}\) est un petit épaississement de \(P\) dans \(W\), […] l'inclusion \(P \to \widetilde{P}\) […], on […] […] \[H^{i}_{P}(\widetilde{P}, F) \xrightarrow{\ \sim\ } H^{i}_{!}(\widetilde{P} \bmod \partial\widetilde{P}, F) \simeq H^{i}_{!}(\mathring{P}, F), \qquad H^{i}_{P}(\widetilde{P}, F) \simeq H^{i}_{P}(W, F) \ \ (\text{excision})\] « mod » est une lecture douteuse ; les deux isomorphismes de droite sont écrits verticalement. À gauche, un croquis : \(P\) entouré d'un anneau hachuré, l'épaississement \(\widetilde{P}\)

Donc la suite exacte pour l'inclusion \(P \hookrightarrow W\) peut s'écrire \[\cdots \to H^{i}_{!}(\mathring{P}, F) \to H^{i}(W, F) \to H^{i}(Q, F) \to \cdots\] \[H^{i}_{!}(\mathring{P}, F) \simeq H^{n-i}(P, \check{F} \otimes \mathcal{T}_W)^\vee\]

feuille tenue en largeur ; les parties sont écrites dans des sens différents

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\begin{tikzcd}[column sep=tiny, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & H^{i-1}(R, F) \arrow[dl, no head] \arrow[dr] \arrow[d] & \\
H^{n-i}(P, \check{F} \otimes \mathcal{T}_W)^\vee \simeq H^{i}_{!}(\mathring{P}, F) \arrow[r] & H^{i}(W, F) \arrow[dl] \arrow[dr] & H^{i}_{!}(\mathring{Q}, F) \simeq H^{n-i}(Q, \check{F} \otimes \mathcal{T}_W)^\vee \arrow[l] \\
H^{i}(P, F) \arrow[r] & H^{i}(R, F) & H^{i}(Q, F) \arrow[l]
\end{tikzcd}

hexagone : les flèches de \(H^{i}_{!}(\mathring{Q}, F)\) vers \(H^{i}(W, F)\) et de \(H^{i}(W, F)\) vers \(H^{i}(P, F)\), \(H^{i}(Q, F)\) sont repassées en gras ; le trait de \(H^{i-1}(R, F)\) vers le terme de gauche n'a pas de pointe visible

suite exacte de cohomologie […] pour \(P \subset W\) suite exacte de cohomologie […] \(!\) pour \(Q \subset W\)dans une bulle, de part et d'autre d'une flèche à deux pointes

\[\boxed{\begin{array}{ccc} S_{!}(W, R) & \text{dual de} & S(W, R) \\ \uparrow & & \downarrow \\ S(W, P) \simeq S_{!}(W, Q) & \text{dual de} & S(W, Q) \simeq S_{!}(W, P) \\ \uparrow & & \downarrow \\ S(W, R) \simeq MV(W; P, Q) & \text{dual de} & S_{!}(W, R) \simeq MV_{!}(W, R) \end{array}}\] le \(P\) de \(S(W, P)\) est surchargé ; les \(R\) de la première ligne sont douteux

Suite exacte de Mayer-Vietoris

Suite exacte de coh. relative […] \[\begin{gathered} H^{i}_{Q}(W) \to H^{i}(W) \to H^{i}(W - Q) \simeq H^{i}(P) \\ H^{i}_{Q}(W) \simeq H^{i}_{!}(W - P) = H^{i}_{!}(Q - \partial Q) \simeq \bigl(H^{n-i}(Q - \partial Q)\bigr)^\vee = H^{n-i}(Q)^\vee \\ H^{i}_{Q}(W) \times H^{n-i}(Q) \end{gathered}\] tout ce bloc, écrit dans l'autre sens, est barré de longs traits ; le premier \(\simeq\) sous \(H^{i}_{Q}(W)\) est suivi d'un « ? ». En tête, à droite : « \(P\), \(Q\), \(P \cap Q = S \times T\), \(W\) »

Récapitulation

\[\boxed{\begin{array}{c|l} \begin{array}{ccc} & \Psi & \\ \swarrow & & \searrow \\ \Phi & & \Phi' \\ \searrow & & \swarrow \\ & \Psi' & \end{array} & \begin{array}{l} \Psi : H(P), H(Q), H(T), H(W) \\ \Psi' : \ldots\ \text{dual} \\ \Phi : H(P)^\vee, H(Q), H(W) \\ \Phi' : H(P), H(Q)^\vee, H(W) \end{array} \end{array}}\] dans la ligne \(\Psi'\), un mot illisible devant « dual » ; après les lignes \(\Phi\) et \(\Phi'\), un mot illisible chacune, suivi de « \(H(T)\) » \[\left.\begin{aligned} \Phi &\simeq S(W, P) \simeq S_{!}(W, Q) \\ \Phi' &\simeq S(W, Q) \simeq S_{!}(W, P) \end{aligned}\right\} (\Phi, \Phi' \text{ duals}) \qquad \left.\begin{aligned} \Psi &\simeq S(W, T) \simeq MV(W; P, Q) \\ \Psi' &\simeq S_{!}(W, T) \simeq MV_{!}(W; P, Q) \end{aligned}\right\} (\Psi, \Psi' \text{ duals})\]

Soit \(W\) une variété topologique, diff[érentiable].

\(P\), \(Q\) deux sous-variétés à bord

avec \[P \cap Q = \partial P = \partial Q, \qquad P \cup Q = W\] et \(P\) et \(Q\) étant des fibrés diff.

Alors on \[\begin{array}{ccc} P \longrightarrow S & \qquad & Q \longrightarrow T \\ \wr & & \uparrow \\ M & & N \end{array}\] dans la marge gauche, un \(W\) biffé et « \(\partial P\) »

de bases \(S\), \(T\) des variétés diff[érentiables] compactes \(S\), \(T\), de fibres des variétés à bords \(M\), resp. \(N\). Donc \(\partial P\) est un fibré sur \(S\) de fibre \(\partial M\), et \(\partial Q\) un fibré sur \(T\) de fibre \(\partial N\) : \[\begin{array}{ccc} \partial P \longrightarrow S & \qquad & \partial Q \longrightarrow T \\ \wr & & \uparrow \\ \partial M & & \partial N \end{array}\] On suppose donnés des isomorphismes \[\alpha : S \simeq \partial N \qquad \beta : T \simeq \partial M\] et que les fibrés des trivialisations \[\sigma : \partial P \simeq S \times \partial M \qquad \tau : \partial Q \simeq T \times \partial N\] d'où, par composition, \[(\alpha, \sigma) : \partial P \simeq \partial N \times \partial M, \qquad (\beta, \tau) : \partial Q \simeq \partial M \times \partial N\] le \(N\) de \(\partial N \times \partial M\) est surchargé et par suite un isom \[\varphi : \partial P \simeq \partial Q .\]

Ceci posé, on suppose \(W\) construit en recollant \(P\) et \(Q\) suivant leurs bords […] via \(\varphi\).

On suppose On aura

L'hyp[othèse] […] pour \(\partial P\) est un fibré trivial sur […] signifie que l'inclusion […] \[W - Q = P - \partial P \hookrightarrow P\] est une équivalence d'homotopie, […]

et de même pour \[W - P = Q - \partial Q \hookrightarrow Q .\] […] […]

Considérons le diagramme

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & & T = \partial M & & t \arrow[ll] \\
 & W & Q \arrow[l, hook'] \arrow[u, "2"'] & & N = D_{1} \sim e \arrow[ll, hook'] \arrow[u, no head] \\
\partial N = S^{1} & P \arrow[l] \arrow[u, leftrightarrow] & S^{1} \times T \arrow[l, hook'] \arrow[u, hook] & & \partial N = S^{1} \arrow[ll, leftrightarrow] \arrow[u, hook] \\
s \arrow[u] & M \arrow[l] \arrow[u, hook] & \partial M = T \arrow[l, hook'] \arrow[u, leftrightarrow] & & (s, t) \arrow[ll] \arrow[u, hook]
\end{tikzcd}

le sommet central porte en entier \(S^{1} \times T = \partial N \times \partial M = \partial P = \partial Q = P \cap Q\) ; à droite de ce sommet, un « \(e\) » biffé. La flèche de \(t\) vers \(N\) est un trait épais à deux extrémités marquées ; plusieurs têtes de flèche du diagramme sont douteuses, reproduites telles que lues. « \(D_{1} \sim e\) » est une lecture douteuse

feuille de croquis, sans phrases suivies ; on en donne les inscriptions

\[\begin{array}{cccc} W & P & Q & R \\ V' & X'_{\eta} = V_{\eta} & V'_{s} & V'_{s} \times \eta \end{array} \qquad\qquad \begin{array}{ccc} & W & \\ P & & Q \\ & R & \end{array}\] à droite, les quatre lettres disposées en losange et reliées par des traits

\[\begin{array}{cccc} M & N & T = \dot{M}, & S = \dot{N} \\ X'_{\eta} & e & V'_{s} & \eta \sim S^{1} \end{array}\] devant le \(e\), un mot biffé ; le \(N\) de \(S = \dot{N}\) est surchargé et peut se lire \(M\)

au milieu de la page, deux diagrammes en perspective, du type cube, l'un sur les lettres \(S\), \(W\), \(T\), \(P\), \(Q\), \(M\), \(R\), \(N\), \((s,t)\), \(t\), \(\emptyset\), l'autre sur les lettres correspondantes \(V'\), \(X'_{\eta}\), \(V'_{s}\), \(V'_{s} \times \eta\), \(X'_{\eta}\), \(e\), \((s,t)\), \(t\) ; plusieurs régions hachurées, des flèches repassées. Ils ne sont pas reproduits

\(D^{1} \times B \sim B\), \(\ S^{1} \times B\) ; \(H^{i}(B) \times H^{n-i}(B)\) \(\ H^{i}(B)\)

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\begin{tikzcd}[column sep=tiny, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & H^{i-1}(R) \arrow[d] & & \\
H^{n-i}(P)^\vee \arrow[r] & H^{i}(W) \arrow[dl] \arrow[dr] & H^{n-i}(Q)^\vee \arrow[l] & \\
H^{i}(P) \arrow[r] & H^{i}(R) \arrow[d] & H^{i}(Q) \arrow[l] \arrow[r] & H^{n-i-1}(P)^\vee \\
 & H^{i+1}(W) & &
\end{tikzcd}

l'exposant de \(H^{n-i-1}(P)^\vee\) et celui de \(H^{i+1}(W)\) sont écrits avec un signe illisible devant le \(1\) ; lectures douteuses

\[H^{i}(Q) \times H^{n-i-1}(P) \longrightarrow H^{n-1}(R) \simeq \Lambda\] \[H^{n-i}(P)^\vee \longrightarrow H^{i}(P)\] dans la première ligne, l'exposant \(n-i-1\) est taché ; lecture douteuse

\[\binom{5}{2} = \frac{5.4.3}{12.} = 10\] tel quel sur la page \[\begin{array}{ccc} 123 & 234 & 345 \\ 124 & 235 & \\ 125 & 245 & \\ 134 & & \\ 135 & & \\ 145 & & \end{array} \qquad 10 + 10 + 2\] \[\begin{array}{ccc} \emptyset & T \sim S & R \\ 5 + 5 & 2 + 2 & 2 \\ 3 & 3 + 3 & \\ 2 + 2 & 1 + 1 & \\ 1 + 2 & 1 + 1 & \\ \hline \boxed{20} & \boxed{14} & \boxed{2} \end{array} \qquad \begin{array}{c} M \sim N \\ 2 + 2 \\ \hline \boxed{4} \end{array}\]

40 suites exactes de coh. relative et autant pour l'homologie …le nombre 40 est entouré

En fait 80 suites exactes, mais

(a)

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\begin{tikzcd}[column sep=small]
 & L^{\bullet\,\mathrm{triv}} = \mathbb{R}\Gamma(W_0)^{\mathrm{triv}} \arrow[dl, dashed] & \\
{[\mathbb{R}^\bullet]} \simeq \mathbb{R}(\Gamma, \pi)_{!}(\mathring{M}) \arrow[rr, dashed] & & K^\bullet = \mathbb{R}(\Gamma, \pi)(M) \arrow[ul, "\rho"']
\end{tikzcd}

le sommet \(\mathbb{R}^\bullet\) est mis entre crochets et entouré au crayon ; l'isomorphisme avec \(\mathbb{R}(\Gamma, \pi)_{!}(\mathring{M})\) est écrit en dessous. La flèche de \(L^{\bullet\,\mathrm{triv}}\) vers \(\mathbb{R}^\bullet\) est ondulée. Dans \(\mathbb{R}\Gamma(W_0)\), deux signes fortement biffés entre \(\mathbb{R}\) et \(\Gamma\), et un indice biffé ; de même sous \(\mathbb{R}(\Gamma,\pi)(M)\). Le long de \(\rho\) : « compatible avec cup »

on met dessus opér. triviales de \(\pi\)relié par une flèche à l'exposant « triv »

dans catégorie dérivée de \(\Lambda[\pi]\)

(b) Appliquant \(\mathbb{R}\Gamma^{\pi}\), on trouve au-dessus, relié à \(\mathbb{R}\Gamma^{\pi}\) par un trait : « \(\simeq\) (a) » \[L^{\bullet\pi} = \mathbb{R}\Gamma(W_0 \times S^{1}) \simeq \mathbb{R}\Gamma(W_0) \overset{\mathbf{L}}{\otimes}_{\Lambda} \mathbb{R}\Gamma(S^{1}) \simeq \mathbb{R}\Gamma(W_0) \times \mathbb{R}\Gamma(W_0)(-1)\]

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\begin{tikzcd}[column sep=small]
 & L^{\bullet\pi} \arrow[dl, dashed] & \\
{[\mathbb{R}^{\bullet\pi}]} = \mathbb{R}\Gamma_{!}(\mathring{P}) \arrow[rr, dashed] & & K^{\bullet\pi} = \mathbb{R}\Gamma(P) = \mathbb{R}\Gamma(W - W_0) \arrow[ul, "{(\alpha,\ \beta)}"']
\end{tikzcd}

\(\mathbb{R}^{\bullet\pi}\) entre crochets et entouré au crayon ; sous \(\mathbb{R}\Gamma_{!}(\mathring{P})\) : « \(= \mathbb{R}\Gamma_{!}(W - W_0)\) »

suite exacte de cohomologie relative pour \((P, \partial P = S^{1} \times W_0)\)

\[\begin{aligned} \mathbb{R}\Gamma(P) \simeq \mathbb{R}\Gamma(W - W_0) &\xrightarrow[\ \alpha\ ]{\text{compatible avec cup}} \mathbb{R}\Gamma(W_0) \\ \mathbb{R}\Gamma(P) \simeq \mathbb{R}\Gamma(W - W_0) &\xrightarrow{\ \beta\ } \mathbb{R}\Gamma(W_0)(-1) \end{aligned}\] s'identifie dans la cohomologie au \(\partial\) de la suite exacte de cohomologie relative qui relie \(H^{i}(W - W_0)\) et \(H^{i-1}(W_0)\) …sous \(\beta\) ; le décalage est écrit ici \((-1)\), entre parenthèses

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\begin{tikzcd}[column sep=small]
 & L^\bullet = \mathbb{R}\Gamma(W_0) \arrow[dl, dashed] & \\
{[\mathbb{R}^{\omega}]} \simeq \mathbb{R}\Gamma_{!}(\mathring{M}) \arrow[rr, dashed] & & K^{\bullet\omega} = \mathbb{R}\Gamma(M) \arrow[ul, "\text{compatible avec cup}"']
\end{tikzcd}

l'exposant, lu \(\omega\), peut être un « w » ; \(\mathbb{R}^{\omega}\) est entre crochets et entouré au crayon

(d)

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\begin{tikzcd}[column sep=small]
 & \mathbb{R}\Gamma(P) \simeq \mathbb{R}\Gamma(W - W_0) \arrow[dl, "\beta"'] & \\
\mathbb{R}\Gamma(W_0)[-2] \arrow[rr] & & {[\mathbb{R}\Gamma_{!}(W)]} \arrow[ul, "\text{compatible avec cup}"']
\end{tikzcd}

N.B. c'est le \(\beta\) de (b)le long de la flèche de droite, un début de mot est biffé

[Suite exacte de cohomologie relative pour \((W, W - W_0)\), i.e. au choix pour \((W, P)\)] […] […] […] \(\mathbb{R}\Gamma(W)\) […] […] (a)