Fonds Grothendieck, cote n° 122, pages 1–20 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-24)Opus 5.5 (claude-opus-5-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-09-25
Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription
est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une
machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La
source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.
https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)122
Point singulier isolé de la fibre : notes manuscrites (s.d.)
Pages 1 à 20 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 1 de vingt pages.
Les pages absentes de la transcription ne portent pas de
mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.[vers 1968-1971]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/122.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement
par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \add devient
supplied ; \struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
\note devient note[@type='editorial']
(du transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
Les mathématiques sont transportées en TeX dans
formula[@notation='TeX'], les diagrammes
commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'],
sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une
formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de
la formule, sous les mêmes macros.
Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une
faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurPremière passe de transcription.Export TEI depuis la source LaTeX.
P variété à bord paracompacte, purement de dimension n« para » est ajouté au-dessus de la ligne et entouré
\partial P le bord
\mathring{P} = P - \partial P
\mathring{P} \longrightarrow P est une équivalence d'homotopie, donc
H^{*}(P, F) \longrightarrow H^{*}(\mathring{P}, F) \quad \text{un isom}
\qquad (\text{si } F \text{ loc. constant})donc i.e.
H^{*}_{\partial P}(P, F) = 0
et en localisant
\underline{H}^{*}_{\partial P}(F) = 0 .
Considérons d'autre part la suite exacte
\cdots \longrightarrow H^{i}_{!}(\mathring{P}, F) \longrightarrow H^{i}(P, F)
\longrightarrow H^{i}(\partial P, F) \longrightarrow \cdotssi on travaille avec faisceaux loc. constants , i.e. fibres
de dim finieH^{i}_{!}(\mathring{P}, F) \simeq H^{n-i}(\mathring{P}, \check{F} \otimes T)^\vee
\simeq H^{n-i}(P, \check{F} \otimes T)^\veeles deux isomorphismes sont écrits verticalement sous
H^{i}_{!}(\mathring{P}, F) ; T désigne ici le faisceau d'orientation
Ainsi, on a des homomorphismes\varphi : H^{n-i}(P, \check{F} \otimes T)^\vee \longrightarrow H^{i}(P, F)
i.e.
\varphi \in H^{i}(P, F) \otimes H^{n-i}(P, \check{F} \otimes T)
[si \partial P = \emptyset, les \varphi sont des isom, ce qui est la
dualité de Poincaré pour la variété topologiqueP].
Soit d'autre part P' \subset P, P' = \overline{P - \widetilde{\partial P}},
\widetilde{\partial P} un « épaississement » de \partial P,
\widetilde{\partial P} \simeq \partial P \times D^{1} .en bas à gauche, un croquis : un anneau hachuré \widetilde{\partial P}
bordé par le cercle \partial P
On a donc de toutes sortes
\partial P \to \widetilde{\partial P} \leftarrow \partial P', \partial P' \to P
équivalences d'homotopiedeux lignes biffées ; la seconde est surchargée
tout le haut de la page, jusqu'au trait horizontal, est barré de longs
traits obliques et entouré d'un grand trait courbe
Dans , l'inclusion (P, \widetilde{\partial P}) \subset (P, \partial P) un homomorphisme de suites exactes
\begin{array}{ccccccc}
\to & H^{i}_{!}(P - \widetilde{\partial P}) & \to & H^{i}(P) & \to & H^{i}(\widetilde{\partial P}) & \to \cdots \\
& \downarrow & & \| & & \downarrow{\wr} & \\
\to & H^{i}_{!}(P - \partial P) & \to & H^{i}(P) & \to & H^{i}(\partial P) & \to \cdots
\end{array}
d'où H^{i}_{!}(P - \widetilde{\partial P}) \simeq H^{i}(P - \partial P)à gauche et à droite, deux croquis de flèches entre
\partial P, \widetilde{\partial P}, \partial P', \widetilde{\partial P} - \partial P,
\widetilde{\partial P} - \partial P' et P - P' = \widetilde{\partial P} - \partial P',
avec la mention « équivalences d' »
\begin{array}{ccccccc}
\to & H^{i}_{P'}(P, F) & \Longrightarrow & H^{i}(P, F) & \to & H^{i}(P - P', F) & \to \cdots \\
& \downarrow & & \| & & \updownarrow{\scriptstyle 2} & \\
\to & H^{i}(P, \partial P; F) & \longrightarrow & H^{i}(P, F) & \to & H^{i}(\partial P, F) & \to
\end{array}
\qquad
\begin{array}{c} (P, P - P') \\ \uparrow \\ (P, \partial P) \end{array}le premier terme de la seconde ligne peut se lire
H^{i}(P/\partial P; F) ; à côté de la flèche verticale de droite, un
H^{i}(\partial P) biffé
On trouve
H^{i}_{P'}(P, F) \simeq H^{i}(P \bmod \partial P, F) \simeq H^{i}_{!}(\mathring{P}, F)« mod » est une lecture douteuseH^{i}_{P'}(P, F) \xrightarrow{\ \sim\ } H^{i}_{!}(\mathring{P}' \bmod \partial P', F)
\simeq H^{i}_{!}(\mathring{P}', F)« mod » est ici biffé et surchargé ; l'indice du deuxième H est douteux
grâce à l'excision
(P', \partial P') \to (P, P - P') .
W variété
P \subset W sous-variété à bord telle que P = \overline{\mathring{P}}.
Soit Q = P - \mathring{P}.sic ; on attendrait \overline{W - P}
Alors Q est une sous-variété à bord satisfaisant Q = \overline{\mathring{Q}}, et
siW = P \cup Q, \qquad P \cap Q = \partial P = \partial Q .
Si W est purement de dimensionn, alors P et Q aussi, et
P \cap Q = \partial P = \partial Q est purement de dimensionn - 1.
Soit R = \partial P = \partial Q. donc
W - R = \mathring{P} \amalg \mathring{Q} .H^{i}(W) \to H^{i}(W)ligne biffée, lecture douteuse
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& & \mathring{Q} \arrow[d] \\
& W & Q \arrow[l, hook'] \\
\mathring{P} \arrow[r, hook] & P \arrow[u, hook] & P \cap Q = R = \partial P \arrow[l, hook'] \arrow[u, hook]
\end{tikzcd}
croquis dans la marge gauche ; sous P \cap Q = R, en colonne :
\partial P = T, le R étant surchargé
La suite exacte de cohomologie relative pour W, R, W - R donne
\cdots \to H^{i}(W, F) \to H^{i}(W - R, F) \to H^{i+1}(R, F \otimes \mathcal{T}_{R})
\to H^{i+1}(W, F)H^{i}(W - R) = H^{i}(\mathring{P}) \times H^{i}(\mathring{Q}) = H^{i}(P) \times H^{i}(Q)faisceau d'orientation normal : T dans W, ici \simeq \mathbb{Z}_Tdans une
bulle reliée à \mathcal{T}_R ; l'indice de \mathcal{T} est surchargé, R ou T
Cette suite exacte relative n'est sans doute autre que la suite exacte de
Mayer-Vietoris associée à (*), aussi [formetransposée]
\cdots \to H^{i}_{!}(W - T, F) \to H^{i}_{!}(W, F) \to H^{i}_{!}(R, F) \to \cdots\begin{aligned}
H^{i}_{!}(W - T, F) &\simeq H^{i}_{!}(\mathring{P}, F) \times H^{i}_{!}(\mathring{Q}, F) \\
&\simeq H^{n-i}(\mathring{P}, \check{F} \otimes \mathcal{T}_W)^\vee \times
H^{n-i}(\mathring{Q}, \check{F} \otimes \mathcal{T}_W)^\vee \\
&\simeq H^{n-i}(P, \check{F} \otimes \mathcal{T}_W)^\vee \times
H^{n-i}(Q, \check{F} \otimes \mathcal{T}_W)^\vee
\end{aligned}les isomorphismes sont écrits en colonne sous le premier terme. Dans la
dernière ligne, la lettre lue Q ressemble au R de la page ; le symbole lu
\mathcal{T}_W (faisceau d'orientation) est une sorte de C à queue
Écrivons aussi les 2 suites exactes relatives à l'inclusion P \hookrightarrow W. On a
\cdots \to H^{i}_{P}(W, F) \to H^{i}(W, F) \to H^{i}(W - P, F) \to \cdotsH^{i}(W - P, F) \simeq H^{i}(\mathring{Q}, F) \xleftarrow{\ \sim\ } H^{i}(Q, F)écrit en colonne sous H^{i}(W - P, F). Sous H^{i}_{P}(W, F), un
« \simeq H^{i}_{!}(\mathring{P}) » biffé, et dans la marge un mot biffé
Or, si \widetilde{P} est un petit épaississement de P dans W,
l'inclusion P \to \widetilde{P}, on H^{i}_{P}(\widetilde{P}, F) \xrightarrow{\ \sim\ }
H^{i}_{!}(\widetilde{P} \bmod \partial\widetilde{P}, F) \simeq H^{i}_{!}(\mathring{P}, F),
\qquad
H^{i}_{P}(\widetilde{P}, F) \simeq H^{i}_{P}(W, F) \ \ (\text{excision})« mod » est une lecture douteuse ; les deux isomorphismes de droite
sont écrits verticalement. À gauche, un croquis : P entouré d'un anneau
hachuré, l'épaississement \widetilde{P}
Donc la suite exacte pour l'inclusion P \hookrightarrow Wpeut
s'écrire\cdots \to H^{i}_{!}(\mathring{P}, F) \to H^{i}(W, F) \to H^{i}(Q, F) \to \cdotsH^{i}_{!}(\mathring{P}, F) \simeq H^{n-i}(P, \check{F} \otimes \mathcal{T}_W)^\vee
feuille tenue en largeur ; les parties sont écrites dans des sens
différents
hexagone : les flèches de H^{i}_{!}(\mathring{Q}, F) vers H^{i}(W, F)
et de H^{i}(W, F) vers H^{i}(P, F), H^{i}(Q, F) sont repassées en gras ;
le trait de H^{i-1}(R, F) vers le terme de gauche n'a pas de pointe
visible
suite exacte de cohomologie pour P \subset Wsuite exacte de cohomologie ! pour Q \subset Wdans
une bulle, de part et d'autre d'une flèche à deux pointes
\boxed{\begin{array}{ccc}
S_{!}(W, R) & \text{dual de} & S(W, R) \\
\uparrow & & \downarrow \\
S(W, P) \simeq S_{!}(W, Q) & \text{dual de} & S(W, Q) \simeq S_{!}(W, P) \\
\uparrow & & \downarrow \\
S(W, R) \simeq MV(W; P, Q) & \text{dual de} & S_{!}(W, R) \simeq MV_{!}(W, R)
\end{array}}le P de S(W, P) est surchargé ; les R de la première ligne sont
douteux
Suite exacte de Mayer-Vietoris
Suite exacte de coh. relative \begin{gathered}
H^{i}_{Q}(W) \to H^{i}(W) \to H^{i}(W - Q) \simeq H^{i}(P) \\
H^{i}_{Q}(W) \simeq H^{i}_{!}(W - P) = H^{i}_{!}(Q - \partial Q)
\simeq \bigl(H^{n-i}(Q - \partial Q)\bigr)^\vee = H^{n-i}(Q)^\vee \\
H^{i}_{Q}(W) \times H^{n-i}(Q)
\end{gathered}tout ce bloc, écrit dans l'autre sens, est barré de longs traits ; le
premier \simeq sous H^{i}_{Q}(W) est suivi d'un « ? ». En tête, à droite :
« P, Q, P \cap Q = S \times T, W »
avec
P \cap Q = \partial P = \partial Q, \qquad P \cup Q = W
et P et Q étant des fibrés diff.
Alors on\begin{array}{ccc}
P \longrightarrow S & \qquad & Q \longrightarrow T \\
\wr & & \uparrow \\
M & & N
\end{array}dans la marge gauche, un W biffé et « \partial P »
de bases S, T des variétés différentiables compactes S, T, de
fibres des variétés à bords M, resp. N. Donc \partial P est un fibré sur
S de fibre \partial M, et \partial Q un fibré sur T de fibre
\partial N :
\begin{array}{ccc}
\partial P \longrightarrow S & \qquad & \partial Q \longrightarrow T \\
\wr & & \uparrow \\
\partial M & & \partial N
\end{array}
On suppose donnés des isomorphismes
\alpha : S \simeq \partial N \qquad \beta : T \simeq \partial M
et que les fibrés des trivialisations
\sigma : \partial P \simeq S \times \partial M \qquad
\tau : \partial Q \simeq T \times \partial N
d'où, par composition,
(\alpha, \sigma) : \partial P \simeq \partial N \times \partial M, \qquad
(\beta, \tau) : \partial Q \simeq \partial M \times \partial Nle N de \partial N \times \partial M est surchargé
et par suite un isom
\varphi : \partial P \simeq \partial Q .
Ceci posé, on suppose W construit en recollant P et Q suivant leurs bords
via \varphi.
On supposeOn aura
L'hypothèsepour\partial Pest un fibré
trivial sursignifie que l'inclusion W - Q = P - \partial P \hookrightarrow P
est une équivalence d'homotopie,
et de même pour
W - P = Q - \partial Q \hookrightarrow Q .
Considérons le diagramme
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
& & T = \partial M & & t \arrow[ll] \\
& W & Q \arrow[l, hook'] \arrow[u, "2"'] & & N = D_{1} \sim e \arrow[ll, hook'] \arrow[u, no head] \\
\partial N = S^{1} & P \arrow[l] \arrow[u, leftrightarrow] & S^{1} \times T \arrow[l, hook'] \arrow[u, hook] & & \partial N = S^{1} \arrow[ll, leftrightarrow] \arrow[u, hook] \\
s \arrow[u] & M \arrow[l] \arrow[u, hook] & \partial M = T \arrow[l, hook'] \arrow[u, leftrightarrow] & & (s, t) \arrow[ll] \arrow[u, hook]
\end{tikzcd}
le sommet central porte en entier
S^{1} \times T = \partial N \times \partial M = \partial P = \partial Q = P \cap Q ;
à droite de ce sommet, un « e » biffé. La flèche de t vers N est un
trait épais à deux extrémités marquées ; plusieurs têtes de flèche du
diagramme sont douteuses, reproduites telles que lues. « D_{1} \sim e » est
une lecture douteuse
feuille de croquis, sans phrases suivies ; on en donne les inscriptions
\begin{array}{cccc}
W & P & Q & R \\
V' & X'_{\eta} = V_{\eta} & V'_{s} & V'_{s} \times \eta
\end{array}
\qquad\qquad
\begin{array}{ccc} & W & \\ P & & Q \\ & R & \end{array}à droite, les quatre lettres disposées en losange et reliées par des
traits
\begin{array}{cccc}
M & N & T = \dot{M}, & S = \dot{N} \\
X'_{\eta} & e & V'_{s} & \eta \sim S^{1}
\end{array}devant le e, un mot biffé ; le N de S = \dot{N} est surchargé et
peut se lire M
au milieu de la page, deux diagrammes en perspective, du type cube,
l'un sur les lettres S, W, T, P, Q, M, R, N, (s,t), t,
\emptyset, l'autre sur les lettres correspondantes V', X'_{\eta},
V'_{s}, V'_{s} \times \eta, X'_{\eta}, e, (s,t), t ; plusieurs
régions hachurées, des flèches repassées. Ils ne sont pas reproduits
D^{1} \times B \sim B, \ S^{1} \times B ; H^{i}(B) \times H^{n-i}(B)\ H^{i}(B)
le sommet \mathbb{R}^\bullet est mis entre crochets et entouré au
crayon ; l'isomorphisme avec \mathbb{R}(\Gamma, \pi)_{!}(\mathring{M}) est
écrit en dessous. La flèche de L^{\bullet\,\mathrm{triv}} vers
\mathbb{R}^\bullet est ondulée. Dans \mathbb{R}\Gamma(W_0), deux signes
fortement biffés entre \mathbb{R} et \Gamma, et un indice biffé ; de même
sous \mathbb{R}(\Gamma,\pi)(M). Le long de \rho : « compatible avec
cup »
on met dessus opér. triviales de \pirelié par une
flèche à l'exposant « triv »
dans catégorie dérivée de \Lambda[\pi]
(b) Appliquant \mathbb{R}\Gamma^{\pi}, on trouve
au-dessus, relié à \mathbb{R}\Gamma^{\pi} par un trait : « \simeq (a) »L^{\bullet\pi} = \mathbb{R}\Gamma(W_0 \times S^{1}) \simeq
\mathbb{R}\Gamma(W_0) \overset{\mathbf{L}}{\otimes}_{\Lambda} \mathbb{R}\Gamma(S^{1})
\simeq \mathbb{R}\Gamma(W_0) \times \mathbb{R}\Gamma(W_0)(-1)
\mathbb{R}^{\bullet\pi} entre crochets et entouré au crayon ; sous
\mathbb{R}\Gamma_{!}(\mathring{P}) : « = \mathbb{R}\Gamma_{!}(W - W_0) »
suite exacte de cohomologie relative pour
(P, \partial P = S^{1} \times W_0)
\begin{aligned}
\mathbb{R}\Gamma(P) \simeq \mathbb{R}\Gamma(W - W_0) &\xrightarrow[\ \alpha\ ]{\text{compatible avec cup}} \mathbb{R}\Gamma(W_0) \\
\mathbb{R}\Gamma(P) \simeq \mathbb{R}\Gamma(W - W_0) &\xrightarrow{\ \beta\ } \mathbb{R}\Gamma(W_0)(-1)
\end{aligned}s'identifie dans la cohomologie au \partial de la suite exacte de
cohomologie relative qui relie H^{i}(W - W_0) et H^{i-1}(W_0) …sous
\beta ; le décalage est écrit ici (-1), entre parenthèses