Cote n° 121 · batch 4 · pages 61–72 · Transcription · Topologie modérée : notes manuscrites (s.d.), lettre (1974)
Datation de l’inventaire : 1974
Édition de démonstration

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61Démsuite de la page 60, où sont posées les conditions 5°) et 6°) Si \(X\) est rétract dans \(Y\), \(Z\) [(dans \(M\))], alors on plonge \(Y\) dans \(Y\) et \(Z\) dans \(Y \times_X Z\)sic : le signe est un produit fibré ; on attendrait plutôt une somme amalgamée qui […] deux sections \(X \to Y\), \(X \to Z\), et […] […] […] \(Y \cap Z = X\), OK. Il faudrait On se ramène au cas particulier. Partant d'un diagramme cartésien (en 6°)

\begin{tikzcd}
X \arrow[r, hook] \arrow[d] & Y \arrow[d, "\Psi"] \\
e \arrow[r] & I_0^p
\end{tikzcd}

et considérons une \(Y \overset{\Phi}{\hookrightarrow} I_0^n\) mono, \(\Phi | X = \varphi\), d'où \(Y \to\) diagramme cartésien de monos

\begin{tikzcd}
X \arrow[r, hook] \arrow[d, "{(e,\ \varphi)}"'] & Y \arrow[d, "{(\Psi \times \Phi)}"] \\
e \times I_0^n \simeq I_0^n \arrow[r, hook] & I_0^p \times I_0^n \simeq I_0^{p+n}
\end{tikzcd}

l'étiquette de gauche est surchargée : le premier terme, biffé, se lit mal

et de même

\begin{tikzcd}
X \arrow[r, hook] \arrow[d, "\varphi'"'] & Z \arrow[d, "{(\Psi',\ \Phi')}"] \\
e \times I_0^{n'} \simeq I_0^{n'} \arrow[r, hook] & I_0^{p'} \times I_0^{n'} = I_0^{p'+n'}
\end{tikzcd}

Mais quitte à prolonger \(\varphi\) de \(X\) à \(Z\) en \(\overline{\varphi} : Z \to I_0^n\), et \(\varphi'\) de \(X\) à \(Y\) en \(\overline{\varphi}' : Y \to I_0^{n'}\), on trouve des diagrammes cart.

\begin{tikzcd}
X \arrow[r, hook] \arrow[d, "{(\varphi',\ \varphi)}"'] & Z \arrow[d, "{(\Psi',\ \Phi',\ \overline{\varphi})}"] \\
e \times I_0^{n'} \times I_0^n \arrow[r, hook] & I_0^{p'} \times I_0^{n'} \times I_0^n
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}
X \arrow[r, hook] \arrow[d, "{(\varphi,\ \varphi')}"'] & Y \arrow[d, "{(\Psi,\ \Phi,\ \overline{\varphi}')}"] \\
e \times I_0^n \times I_0^{n'} \arrow[r, hook] & I_0^p \times I_0^n \times I_0^{n'}
\end{tikzcd}

\[n + n' = \nu, \qquad p + n + n' = N, \qquad p' + n + n' = N'\] ces trois égalités sont écrites en marge droite, à hauteur du second diagramme

et finalement un diagramme [comm.] de monos

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & Z \arrow[dd] & & \\
X \arrow[ur, hook] \arrow[rr, hook] \arrow[dd] & & Y \arrow[dd] & \\
 & I^{N'} \arrow[rr, dashed] & & S \\
I^{\nu} \arrow[ur, hook] \arrow[rr, hook] & & I^{N} \arrow[ur, dashed] &
\end{tikzcd}

cube redessiné d'après le croquis : les deux flèches vers \(S\) sont en pointillé ; l'emplacement exact des flèches verticales issues de \(Z\) et de \(Y\) est serré sur la page

avec carrés cart., et \(I^{\nu}\) rétract de \(I^N\), \(I^{N'}\). Dès lors il y a \(\dashrightarrow S\) donnant carré cartésien. OK

62Il ne semble pas que 5° et 6° s'expriment de façon simple en termes des \(\mathcal{M}_n\). Mais […] […] […] profiter pour reformuler les données ainsi. Pour tt \(n \geqslant 0\), soit \[F_n = \mathrm{Hom}_M(I^n, I) \wr \ \mathrm{Hom}_M(I_0^n, I_0)\] il écrit « \(F_n = \mathrm{Hom}(I^n, I)\) », un signe \(\wr\) vertical dessous, puis « l'ens. \(\mathrm{Hom}_M(I_0^n, I_0)\) » ; un mot biffé à droite de la première formule l'ens. \(\mathrm{Hom}_M(I_0^n, I_0)\). Grâce à 6°), la connaissance des \(F_n\) implique celle des \(\mathcal{M}_n\). Quelles conditions […] ?

(F1) Posons \(F_{m,n} \subset \mathrm{Hom}_K(I^n, I^m)\) défini (composantes par composantes) par \(\varphi = (\varphi_1, \ldots, \varphi_m)\) \(F\)-modéré ssi les \(\varphi_i \in F_n\), […] […]

• (F1)\(F_n\) contient les \(\mathrm{pr}_i : I^n \to I\).
• (F2)Stabilité par composition des \(F_{m,n}\).

« (F1) » est d'abord écrit devant « Posons », puis biffé et reporté, serré, à la ligne suivante ; devant (F2), un signe biffé

On pose \(\mathcal{M}_n =\) ens. des […] objets de \(I^n\) [intersections finies de sous-objets […]] de la forme \(\varphi^{-1}(\alpha)\), où \(\varphi \in F_n\), \(\alpha \in F_0 : e \overset{\alpha}{\hookrightarrow} I\).

Alors \(\mathcal{M}_{*}\) satisfait M1, M2, pour avoir M3 bis ([…] […]) on doit admettre

• (F3)Si \(\varphi_1, \ldots, \varphi_m \in F_n\), d'où \(I^n \to I^m\) …sous « (F3) », « (M3 bis) » et, à la suite, « et si » ; la ligne s'achève sur des points de suspension
• (F4)

  a) \(\exists\, 0 : e \to I\) [\(\in F_0\)] tel que \(\forall \alpha \in F_1\), \(\alpha : e \to I\), on ait \(\mathrm{Im}\, \alpha = \bigcap_{1 \leqslant i \leqslant n} \varphi_i^{-1}(0)\), pour \(\varphi_1, \ldots, \varphi_n \in F_1\) (\(\mathcal{M}_1^{\cap}\) i.e.)le chiffre de (F4) est surchargé ; « \(\forall \alpha \in F_1\) » est écrit tel quel, bien que \(\alpha\) soit pris dans \(F_0\) à la ligne précédente

  b) […] \((e \times I \,;\, I \times e) \subset I^2\) est \(\in \mathcal{M}_2\), i.e. est de la forme \(\bigcap_i \varphi_i^{-1}(0)\), où \(\varphi_i \in F_2\).

  c) \(\exists\, \varepsilon_1, \varepsilon_2 \in F_0\), \(\varepsilon_1, \varepsilon_2 : e \to I\), tel que \(e \sqcup e \to I\) soit mono.

Il […] exprimer […] que pour \(f : X \to I\) […] diagramme \(\Gamma_f\)passage biffé et récrit au-dessus de lui-même, à peine lisible ; on y lit encore « \(\subset I^n \times\) » \(\Gamma_f \subset I^{n+1}\), \(F_f\) […] pour que \(f \in F_n\), il faut et il suffit que \(\Gamma_f \in \mathcal{M}_{n+1}\) ; a) Si \(f \in F_n\), \(\exists\) le « il faut » […] i.e. \(\Delta_I \subset I \times I\) est \(\in \mathcal{M}_2\) ; le « il suffit » doit être postulé indépendamment.

64\[\mathcal{M}_n \subset I^n \qquad n \in \mathbb{N} \qquad (I = [-1, +1])\]

• \(\mathcal{M}_n\) stable par int. et réunions finies
• \(\mathcal{M}_{*}\) stables par images directes et inverses d'appl. simpliciales
• \(\mathcal{M}_0\) contient deux parties […] […] \(\lbrace 0 \rbrace\) et \(\lbrace 1 \rbrace\)
• […] [ \(I\) est \(M\)-injectif ([…] […] […] […] de \(\mathcal{M}_{*}\)) ; Tout […] \(\mathcal{M}_n\) est de la forme \(f^{-1}(0) = \bigcap_{1 \leqslant i \leqslant p} f_i^{-1}(0)\), \(f : I^n \to I^p\) « permis ») ]les deux lignes sont réunies par une accolade dans un crochet ; une double flèche, dans la marge, pointe vers elles

a) \(\mathcal{M}_{*}\) contient les simplexes types et […] […] […] linéaires d'un simplexe type dans \(I\) […] un \(M\)-[…] […] ses sommets aux sommets […]ligne surchargée de biffures et d'ajouts interlinéaires ; la lettre a) est écrite dans la marge

b) Pour tout « schéma simplicial » fini \(\Sigma\), sa réalisation Soit \(M^a\) la catégorie modérée des […] [[objets […] par morceaux.]]addition encadrée sous la ligne biffée géométrique \(\widetilde{\Sigma}\) admet une \(M\)-structure admissible (définie par une liste finie dans \(M\)), et tout objet de \(M\) [i.e. […] […] d'un \(\mathcal{M}_n\)] admet une telle « triangulation ». Pour tout couple \(Y \subset X\) dans \(M\) (OPS \(Y, X \in \mathcal{M}_n\), \(Y \subset X\)), […] […] \(M\)-triangulation de \(Y\) est induite par une \(M\)-triangulation de \(X\).le paragraphe b) est encadré d'un trait vertical dans la marge

\[\Delta \quad \bigl\lbrace (x_0, \ldots, x_n, y) \bigm| x_i \geqslant 0,\ \ \textstyle\sum x_i = 1,\ \ y - \sum_{0 \leqslant i \leqslant n} a_i x_i = 0 \bigr\rbrace \in \mathcal{M}_{n+2}\] si les \(\lbrace a_i \rbrace \in \mathcal{M}_1\)\(\Delta\) est un petit triangle dessiné ; les deux conditions sont superposées dans une accolade ; le signe entre \(y\) et \(\Sigma\) est un gros point, lu comme un signe moins

65feuillet double à l'italienne ; la moitié gauche est écrite en travers, la moitié droite droit ; on donne la droite d'abord

\begin{tikzcd}
X \arrow[r, hook, "i"] \arrow[d, "p"'] & Y \arrow[d, "p'"] \\
Z \arrow[r, hook, "i'"'] & S
\end{tikzcd}

comm.

• d)\(S = \mathrm{Im}\, i' \cup \mathrm{Im}\, p'\) i.e. \(Z \sqcup Y \to S\) épi effectif« effectif » est ajouté serré à droite ; un petit signe en exposant de \(S\)
• a)\(i'\) mono
• b)carré cartésien i.e. \(X = p'^{-1}(Z)\)
• c)\(Y \times_S Y = \Delta_Y \cup (X \times_Z X)\)

les lettres d) et a) sont repassées sur d'autres ; celle de c) est écrite sur un d) \[\Longrightarrow \quad S \xleftarrow{\ \sim\ } Y \sqcup_X Z\] \[(Z \sqcup Y) \times_S (Z \sqcup Y) = Z \sqcup X \sqcup X \sqcup (Y \times_S Y)\] \[Z \sqcup X \sqcup X \sqcup (Y \times_S Y) \rightrightarrows Z \sqcup Y \to S\]

\[Z \sqcup X \sqcup X \sqcup \bigl[ (X \times_Z X) \sqcup \Delta_Y \bigr] \rightrightarrows Z \sqcup Y\]

\begin{tikzcd}
Z \sqcup Y \arrow[r] \arrow[dr, "{(f,\ g)}"'] & S \arrow[d, dashed] \\
 & T
\end{tikzcd}

sous la dernière ligne, « \(Z \sqcup Y \to S\) » récrit et biffé ; la double flèche est suivie, sur la page, de \(Z \sqcup Y \to S\) et de la flèche \((f, g)\) vers \(T\), redessinées à part ; en bas de la page, deux croquis : un rectangle partagé en deux par un trait vertical, et deux triangles opposés par un sommet

moitié gauche, écrite en travers : \[\begin{array}{c} E \\ \mid \\ S \end{array} \qquad \mathrm{Grass}_n(E) \leftarrow \Sigma_{n,\sigma}(E) \to D_\sigma(E), \qquad \mathrm{Drap}(N) \to \mathrm{Grass}_n(E)\] diagramme redessiné en ligne : \(\Sigma_{n,\sigma}(E)\) est au centre, \(\mathrm{Drap}(N)\) dessous, avec une flèche vers \(D_\sigma(E)\) surchargée ; des flèches longues vont de \(\mathrm{Grass}_n(E)\) et de \(D_\sigma(E)\) vers \(S\) \[\begin{array}{ccc} E & & E' \\ \mid & & \mid \\ S & \text{---} & S' = D_\sigma(E) \end{array}\] \[H(S)\bigl[ c_i(M), c_j(N) \bigr] \Big/ \Bigl( \textstyle\sum c_i(M) \Bigr) \Bigl( \sum c_j(N) \Bigr) = \sum_{h} c_h(E)\] \[\xi_1, \ldots, \xi_n \qquad c_1(N), \ldots, c_d(N)\] \[\Bigl( \prod_{1 \leqslant i \leqslant n} (1 + \xi_i) \Bigr) \sum_{0 \leqslant j \leqslant d} c_j(N) = \sum_{0 \leqslant h \leqslant N} c_h(E)\] un exposant de \(c_i\), illisible ([…]), est omis ; cet exposant et l'indice sous le dernier \(\Sigma\) de la première ligne sont peu lisibles ; en bas de cette moitié, deux lettres isolées, lues \(E\) et \(N\)

66feuillet double à l'italienne ; la moitié gauche, en partie tête-bêche, porte des calculs de brouillon épars, dont on lit : « \(e \to I^n\), \((\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_n)\), \((\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_n, x_{n+1}, \ldots, x_{n+p})\) » ; une flèche \(I^{n+p} \to I\) marquée \(x_1, \ldots, x_n\) ; « \(I^p \to I^{n+p}\) » au-dessus de « \(\bigl(\prod_{i \leqslant n} (\varepsilon_i \times I)\bigr)^p \times \ldots \subset (I \times I)^{n \times p} \times I^n\) » ; encadré, « \(\varepsilon_i \times I \subset I \times I\) » au-dessus de « \(e \to I \times I\) », avec « \((x, y)\) » et « \((x, xy)\) » ; « \(f_1, \ldots, f_n\) \(g_1, \ldots, g_p\) \(f_i g_j\) » ; une flèche \(I^{n+p} \to (I \times I)^{np} \times I^n\) marquée \((f_i, g_j)\) ; « \((x, y)\), \((x', y')\), \((x, xy) = (x', x'y')\) », encadré « \(x = x'\) », puis « \(xy = x'y'\) » et une ligne biffée ; deux segments superposés avec une flèche ; « \(a) \; y = 0\) ». Le reste, écrit tête-bêche, reprend les mêmes produits \((I \times I)^{np}\) et n'est pas lisible au-delà

\begin{tikzcd}
X \arrow[r, hook] \arrow[d] \arrow[dr] & Y \arrow[d] \\
Z \arrow[r, hook] & I^m
\end{tikzcd}

comm

\begin{tikzcd}
X \arrow[r, hook] \arrow[d] & Y \arrow[d, "{\varphi = (\varphi_1, \ldots, \varphi_n)}"] \\
e \arrow[r] & I^n
\end{tikzcd}

à droite, un second carré \(X \subset Y\) au-dessus de \(I^p \hookrightarrow I^{p+n}\), avec « \(\varphi_1, \ldots, \varphi_{p+n}\) », est biffé de grands traits

\[Y \hookrightarrow I^p, \qquad \psi = (\psi_1, \ldots, \psi_p)\] \[(\varphi_i, \psi_j) : Y \longrightarrow (I \times I)^{n \times p}\] sous \((\varphi_i, \psi_j)\), une accolade marquée \(X_{ij}\) \((\varphi_i, \psi_j)\) se \(X_{ij} | X\) se factorise par \(e \times I \subset I \times I\)

\begin{tikzcd}
X \arrow[r, hook] \arrow[d] & Y \arrow[d] \\
X' = I^p \arrow[r, hook] \arrow[d] & Y' = I^{n+p} \arrow[d] \\
e \arrow[r, hook] & S
\end{tikzcd}

les deux carrés portent chacun un signe \(\times\) en leur milieu

\[Y \times Y \leftarrow Y \times_S Y = \underbrace{\bigl( Y \times_{Y'} Y \bigr)}_{\Delta_{Y/Y'}} \cup (X \times X)\] il écrit d'abord, puis biffe, « \(= Y \times_{Y'} Y = Y\) » ; l'accolade marquée \(\Delta_{Y/Y'}\) est au-dessus \[Y' \times Y' \supset Y' \times_S Y' \neq \Delta_{Y'} \cup (X' \times X')\] le signe \(\neq\) est une lecture douteuse (\(\neq\)) ; au-dessous de \(\Delta_{Y'}\), des guillemets \[I^p \text{ --- } I^{n+p}\] dessous, une ligne biffée, illisible

67

\begin{tikzcd}
X \arrow[r, hook, "i"] \arrow[d, "p"'] & Y \arrow[d, "?"] \\
Z \arrow[r, hook, "?"] & I^n
\end{tikzcd}

avec a) b) c)les deux points d'interrogation sont de sa main, à la place des noms de flèches

\(f_1, \ldots, f_n : Z \to I\) \(Z \to I^n\) mono

\(f_\alpha \circ p = g_\alpha \circ i \,/_{1 \leqslant \alpha \leqslant p}\) \(Y \to I\)les lettres de \(f_\alpha\) et \(g_\alpha\) sont surchargées ; lecture douteuse

OK pour a)

\[Z \overset{\sigma}{\longrightarrow} I^q\] \(f_{p+1}, \ldots, f_{p+q} = \sigma\)

\(f_{p+\beta} \circ p = \uncertain{\dot{0}}\)

\(g_{p+\beta} \circ i = \dot{0}\) \(\bigcap_{1 \leqslant \beta \leqslant q} g_{p+\beta}^{-1}(0) = X\) […]

OK pour b)

comme

\begin{tikzcd}
X \arrow[r, hook] \arrow[d] & Y \arrow[d] \\
e \arrow[r] & I^q
\end{tikzcd}

cart. \[Y \times_{I^q} Y = \Delta_Y \cup (X \times X)\]

\begin{tikzcd}
X \arrow[r, hook, "i"] \arrow[d, "p"'] & Y \arrow[d] \\
Z \arrow[r] \arrow[d] & I^{p+q} = S \arrow[d] \\
e \arrow[r] & I^q = S'
\end{tikzcd}

\[\begin{array}{ccc} Y \times_S Y & \hookrightarrow & S \times_S S \\ \updownarrow & & \updownarrow \delta \\ Y \times_{S'} Y & \hookrightarrow & S \times_{S'} S \\ \parallel & & \\ \Delta_Y \cup X \times X & & \end{array}\] schéma redessiné ; les objets de la ligne du haut sont surchargés, on lit à droite « \(S \times_S S\) » sur un premier essai biffé

69il numérote le feuillet « 1) » en haut à gauche

1. Soit \(R\) un ensemble (ce sera bientôt \(\mathbb{R}\)). […] Soit pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(C_n \in R^n\)sic ; plus bas il écrit \(C_I \subset \mathfrak{P}(R^I)\). On suppose

• (1)\(C_n\) stable par \(\mathfrak{S}_n\)
• (2)Soient \(p, n \in \mathbb{N}\), \(p \leqslant n\), considérons \(\varphi_{p,n} : R^n \to R^p\), \((x_1, \ldots, x_n) \mapsto (x_1, \ldots, x_p)\), alors \(\varphi_{p,n}(X) \in C_p\) si \(X \in C_n\)
• (3)

  Soient \(p_1, p_2, \ldots, p_n \in \mathbb{N}\), [\(p_{*} = (p_1, \ldots, p_n)\),] considérons \[R^n \xrightarrow{\ \varphi_{p_{*}}\ } R^{p_1 + \cdots + p_n}, \quad (x_1, \ldots, x_n) \mapsto (\underbrace{x_1, \ldots, x_1}_{p_1\ \text{fois}}, \ldots, \underbrace{x_n, \ldots, x_n}_{p_n\ \text{fois}})\] d) Il y a tel que \(C_n \neq \emptyset\) (\(\Longleftrightarrow\) \(C_0 \neq \emptyset\))

  alors \(\varphi_{p_{*}}(X) \in C_p\) si \(X \in C_n\)

• (4)Si \(X \in C_m\), \(Y \in C_n\), alors \(X \times Y \in C_{m+n}\)

les numéros (1) à (4) sont cerclés ; au-dessus de \(R^{p_1 + \cdots + p_n}\), une accolade marquée \(p\)

NB Il revient au même, pour tout ens. fini \(I\), de se donner […] \(C_I \subset \mathfrak{P}(R^I)\), de telle façon que pour tout \(\alpha : I \to J\) (\(I\), \(J\) ens. finis) d'où \(\alpha^{*} : R^J \to R^I\), on ait \(\alpha^{*}(X) \in C_I\) pour \(X \in C_J\), et que \(X \in C_I\), \(Y \in C_J \Rightarrow X \times Y \in C_{I \sqcup J}\).

Prop Si \(X, Y \in C_n\), alors \(X \cap Y \in C_n\).

Déf Soit \(X \in C_I\), \(Y \in C_J\), \(f : X \to Y\), d'où \(\Gamma_f \subset X \times Y \subset R^{I \sqcup J}\). On dit que \(f\) est un \(C_{*}\)-morphisme si \(\Gamma_f \in C_{I \sqcup J}\).le signe accolé à \(C\) dans « \(C\)-morphisme », « \(C\)-modèle », tout au long des pages 69 à 72, est une petite marque en indice, étoile ou croix ; transcrit \(C_{*}\) partout où il figure, \(C\) là où il manque [NB. ne dépend que du composé \(X \to Y \hookrightarrow R^J\)]sous la formule, un mot biffé

Prop Soit \(X, Y \in C_n\), alors \(X \cap Y \in C_n\)

Prop a) Si \(X \in C_I\), \(\mathrm{id}_X\) est […] \(C\)-morphisme.

b) Le composé de deux \(C\)-morphismes est aussi unfin de ligne serrée contre le bord.

c) Soit \(f : X \to Y\) […] une bijection. Pour que \(f\) [\(f^{-1}\) soit] […] aussi un \(C_{*}\)-morphisme, il f. et s. que […]l'addition « \(f^{-1}\) soit » est en exposant au bout de la ligne ; la construction de la phrase reste incertaine

d) Soient \(X \in C_I\), \(Y \in C_J\), \(Z \in C_K\), \(g : X \to Y\), \(h : X \to Z\), d'où \(f = (g, h) : X \to Y \times Z\) […] (où \(Y \times Z \in C_{J \sqcup K}\)). Alors \(f\) est un \(C\)-morphisme ssi \(g\) et \(h\) le sont.

e) Soit \(\alpha : I \to J\), d'où \(\alpha^{*} : R^J \to R^I\), soit \(X \in C_J\), alors \(Y = \alpha^{*}(X) \in C_I\). Alors \(\alpha^{*} | X : X \to Y\) est un \(C_{*}\)-morphisme. f) Si \(X \subset Y\), \(X, Y \in C_I\), alors l'inj. \(X \hookrightarrow Y\) est un \(C_{*}\)-morphisme.en biais dans le coin inférieur gauche ; dans e), « \(\alpha : I \to J\) » est écrit sur une première formule biffée

g) Si \(f : X \to Y\) (\(X \in C_n\), \(Y \in C_m\)) est un \(C_{*}\)-morphisme, alors \(f(X') \in C_m\) pour \(X' \subset X\), \(X' \in C_n\). h) Si \(f\) […] comme dessus, alors \(f^{-1}(Y') \in C_n\) si \(Y' \subset Y\), \(Y' \in C_m\).écrit verticalement le long de la marge gauche ; les lettres g) et h) sont peu sûres, les indices \(n\), \(m\) aussi

Définitionle mot est dans la marge, souligné […] Une structure [\(T\) de \(C_{*}\)-modèle] sur un ens. \(E\) est la donnée, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), d'un ens. \(T_n\) d'applications injectives de \(E\) dans \(R^n\), telles que

70

• a)\(\exists\, n \in \mathbb{N}\) tel que \(T_n \neq \emptyset\)
• b)Si \(u \in T_n\) \((u : E \to R^n) \in T_n\), et si \(v : E \hookrightarrow R^m\), alors \(v \in T_m\) ssi 1°) \(v(E) \in C_m\) 2°) \(v u^{-1} : u(E) \to v(E)\) est un \(C_{*}\)-morphisme (\(u(E) \subset R^n\), \(v(E) \subset R^m\))

en haut à droite, une variante : « b) \(\forall m \in \mathbb{N}\) et \(v \in T_m\), … \(v(E) \in C_m\) »

Cette structure peut aussi être définie par l'ensemble \(\Sigma\) des \(C_{*}\)-morphismes de \(E\) dans \(R\), avec l'axiome suivant : a) \(\exists\, J \subset \Sigma\), partie finie, telle que \(E \to R^J\) soit injectif, et ait image \(X \in C_J\). b) On peut choisir \(J\) tel que pour \(f : E \to R\), on ait \(f \in \Sigma\) ssi le composé \(X \simeq E \xrightarrow{f} R\) est \(C_{*}\)-morphisme, [l'inverse de \(E \xrightarrow{\sim} X\)].en biais dans la marge gauche, depuis le haut ; dans b), « \(E \to R\) » est écrit sur une première lettre biffée ; au-dessous, d'autres fragments en biais, « \(X \subset\) », « \(E \xrightarrow{f} R\) », non lus davantage

Ex Si \(n \in \mathbb{N}\), \(X \in R^n\) […] \(X \subset C_n\)sic ; on attend « \(X \in C_n\) », alors \(X\) est muni d'une \(C_{*}\)-structure canonique.

Déf Soient \(X, Y\) deux \(C_{*}\)-modèles modèles. Une application \(f : X \to Y\) est dite un \(C_{*}\)-morphisme si …

Prop Les cat. \(C_{*}\)-modèles, et \(C_{*}\)-morphismes, forment une catégorie (pour la composition ensembliste des morphismes). Dans cette catégorie, les produits finis de deux objets existent. Un morphisme de \(C_{*}\)-modèles est un iso ssi il est bijectif.

Prop C. équivalentes sur \(C\)

• a)[…] \(\exists\, n \in \mathbb{N}\) et \(X \in C_n\), tel que \(X \neq \emptyset\)
• b)\(R^0 \in C_0\)
• c)La catégorie des \(C_{*}\)-modèles admet des objets de cardinal 1 ([…] […] […] objets de cardinal 1 sont des structures de \(C_{*}\)-modèle) […], […] […] […]

Alors les […] \(C_{*}\)-produits […] […] des 2 […] […] objets […] de la catégorie des \(C_{*}\)-modèles.

Dorénavant, on suppose cette condition, sous la forme plus forte \(\forall n \in \mathbb{N}\), on a \[\text{(5)} \qquad R^n = \bigcup_{X \in C_n} X\] le 5 est cerclé et écrit sur une première formule biffée

On définit la notion de \(C_{*}\)-partie d'un \(C_{*}\)-modèle, de façon évidente, de façon que (i) compatible « transport de structure » et (ii) si \(X \in C_n\) (\(n \in \mathbb{N}\)), alors pour \(Y \subset X\), \(Y\) est une \(C_{*}\)-partie du \(C_{*}\)-modèle \(X\), ssi \(Y \in C_n\). Ceci dit, pour un morphisme de modèles, l'image directe ou inverse d'une \(C_{*}\)-partie est itou.Notion de \(C_{*}\)-str. induiteséparée du texte par un trait oblique, en bas à droite ; « induite » est lu sous réserve

712. Je suppose maintenant que \(R\) est un espace top. [séparé], et je suppose [\(n \in \mathbb{N}\),]

• (7)Si \(X \in C_n\), \(X\) est compact.

le 7 est cerclé, écrit sur un autre chiffre

Cela implique que si \(X \in C_m\), \(Y \in C_p\), tout \(C_{*}\)-morphisme de \(X\) dans \(Y\) est continu, que les \(C_{*}\)-modèles s.t de façon naturelle munis d'une structure d'espace compact, d'où un foncteur \[(C_{*}\text{-modèles}) \longrightarrow \text{espaces compacts.}\]

Je suppose de plus

• (8)\(\forall\, n \in \mathbb{N}\), \(X \in C_n\), et \(x \in X\), alors \(V \in C_n\) qui soit un voisinage de \(x\) dans \(X\), \(\exists Y\) les \(Y \in C_n\) qui [dans \(X\)] sont voisinage de \(x\) forment un syst. fondamental de voisinages de \(x\) dans \(X\).

le 8 est cerclé ; les passages biffés sont récrits au-dessus de la ligne [Il suffit que […] les intérieurs des \(X \in C_n\) forment une base de la topologie de \(R^n\)][…] […] […]trait vertical dans la marge gauche, contre le crochet, avec trois mots en biais, illisibles

Alors, les [\(C_{*}\)-]morphismes d'un \(C_{*}\)-modèle \(X\) dans un autre \(Y\) sont les sections d'un faisceau — le faisceau des germes de \(C_{*}\)-morphismes de \(X\) dans \(Y\). Il en est ainsi pour les \(C_{*}\)-morphismes de \(X\) dans \(R\) ([…] dans un \(R^I\)). La connaissance du faisceau des \(C_{*}\)-morphismes d'un modèle \(X\) [(comme \(H\)-faisceau […] […] […] […] […] \(X\) dans \(R\))] dans \(R\), ne donne pas la structure de modèle.addition interlinéaire serrée, lue en partie

\(C_{*}\)-espace : espace loc.\(^t\) compact, muni d'un faisceau […] faisceau des fonctions continues […] […] […] […] de \(R\), tel que […] pt ait un voisinage compact […] qui, pour la structure induite, soit un \(C_{*}\)-modèle.

72il numérote le feuillet « 2) » en haut à gauche

Considérons la condition

• (6)\(\forall\) \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(C_n\) stable par réunions finies (\(\Rightarrow \emptyset \in C_n\))

le 6 est cerclé

On en conclut

Prop Soit \(X\) un \(C_{*}\)-modèle, \((X_i)_{i \in I}\) une famille finie de \(C_{*}\)-parties de \(X\), avec \(X = \bigcup X_i\), \(f : X \to Y\) une application de \(X\) dans un \(C_{*}\)-modèle \(Y\). Alors \(f\) est un \(C_{*}\)-morphisme ssi \(\forall i \in I\), \(f | X_i\) l'est.

Corollaire Dans la cat. des \(C_{*}\)-modèles, \(X\) est la somme amalgamée des \(X_i\), sur les \(X_i \cap X_j\).

Question Soit un diagramme

\begin{tikzcd}[column sep=small]
 & Z \arrow[dl, hook'] \arrow[dr, hook] & \\
X & & Y
\end{tikzcd}

dans la catégorie des \(C_{*}\)-modèles, y a-t-il une somme amalgamée ? OK. Si on […] […] [[…] la condition] suivante : \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(X, Y \in C_n\), \(Y \subset X\), et \(\forall\) \(C_{*}\)-morphisme \(f_Y : Y \to R\), \(\exists\) \(C_{*}\)-morphisme \(f_X : X \to R\) qui le prolonge.? […] […]dans la marge gauche, un point d'interrogation et deux mots, dont le premier se termine peut-être en « -tion », à côté d'un trait vertical qui borde la condition