Fonds Grothendieck, cote n° 121, pages 61–72

Démsuite de la page 60, où sont posées les conditions 5°) et 6°) Si X est rétract dans Y, Z (dans M), alors on plonge ~~Y dans~~ Y et Z dans Y \times_X Zsic : le signe est un produit fibré ; on attendrait plutôt une somme amalgamée qui deux sections X \to Y, X \to Z, et Y \cap Z = X, OK. ~~Il faudrait~~ On se ramène au cas particulier. Partant d'un diagramme cartésien (en 6°)

\begin{tikzcd} X \arrow[r, hook] \arrow[d] & Y \arrow[d, "\Psi"] \\ e \arrow[r] & I_0^p \end{tikzcd}

et considérons une Y \overset{\Phi}{\hookrightarrow} I_0^n mono, \Phi | X = \varphi, d'où ~~Y \to~~ diagramme cartésien de monos

\begin{tikzcd} X \arrow[r, hook] \arrow[d, "{(e,\ \varphi)}"'] & Y \arrow[d, "{(\Psi \times \Phi)}"] \\ e \times I_0^n \simeq I_0^n \arrow[r, hook] & I_0^p \times I_0^n \simeq I_0^{p+n} \end{tikzcd}

l'étiquette de gauche est surchargée : le premier terme, biffé, se lit mal

et de même

\begin{tikzcd} X \arrow[r, hook] \arrow[d, "\varphi'"'] & Z \arrow[d, "{(\Psi',\ \Phi')}"] \\ e \times I_0^{n'} \simeq I_0^{n'} \arrow[r, hook] & I_0^{p'} \times I_0^{n'} = I_0^{p'+n'} \end{tikzcd}

Mais quitte à prolonger \varphi de X à Z en \overline{\varphi} : Z \to I_0^n, et \varphi' ~~de X~~ à Y en \overline{\varphi}' : Y \to I_0^{n'}, on trouve des diagrammes cart.

\begin{tikzcd} X \arrow[r, hook] \arrow[d, "{(\varphi',\ \varphi)}"'] & Z \arrow[d, "{(\Psi',\ \Phi',\ \overline{\varphi})}"] \\ e \times I_0^{n'} \times I_0^n \arrow[r, hook] & I_0^{p'} \times I_0^{n'} \times I_0^n \end{tikzcd}

\begin{tikzcd} X \arrow[r, hook] \arrow[d, "{(\varphi,\ \varphi')}"'] & Y \arrow[d, "{(\Psi,\ \Phi,\ \overline{\varphi}')}"] \\ e \times I_0^n \times I_0^{n'} \arrow[r, hook] & I_0^p \times I_0^n \times I_0^{n'} \end{tikzcd}

n + n' = \nu, \qquad p + n + n' = N, \qquad p' + n + n' = N' ces trois égalités sont écrites en marge droite, à hauteur du second diagramme

et finalement un diagramme comm. de monos

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & Z \arrow[dd] & & \\ X \arrow[ur, hook] \arrow[rr, hook] \arrow[dd] & & Y \arrow[dd] & \\ & I^{N'} \arrow[rr, dashed] & & S \\ I^{\nu} \arrow[ur, hook] \arrow[rr, hook] & & I^{N} \arrow[ur, dashed] & \end{tikzcd}

cube redessiné d'après le croquis : les deux flèches vers S sont en pointillé ; l'emplacement exact des flèches verticales issues de Z et de Y est serré sur la page

avec carrés cart., et I^{\nu} rétract de I^N, I^{N'}. Dès lors il y a \dashrightarrow S donnant carré cartésien. OK

Il ne semble pas que 5° et 6° s'expriment de façon simple en termes des \mathcal{M}_n. Mais profiter pour reformuler les données ainsi. Pour tt n \geqslant 0, soit F_n = \mathrm{Hom}_M(I^n, I) \wr \ \mathrm{Hom}_M(I_0^n, I_0) il écrit « F_n = \mathrm{Hom}(I^n, I) », un signe \wr vertical dessous, puis « l'ens. \mathrm{Hom}_M(I_0^n, I_0) » ; un mot biffé à droite de la première formule l'ens. \mathrm{Hom}_M(I_0^n, I_0). Grâce à 6°), la connaissance des F_n implique celle des \mathcal{M}_n. Quelles conditions ?

~~(F1)~~ Posons F_{m,n} \subset \mathrm{Hom}_K(I^n, I^m) défini (composantes par composantes) par \varphi = (\varphi_1, \ldots, \varphi_m) F-modéré ssi les \varphi_i \in F_n,

(F1)F_n contient les \mathrm{pr}_i : I^n \to I. (F2)Stabilité par composition des F_{m,n}.

« (F1) » est d'abord écrit devant « Posons », puis biffé et reporté, serré, à la ligne suivante ; devant (F2), un signe biffé

On pose \mathcal{M}_n = ens. des objets de I^n intersections finies de sous-objets de la forme \varphi^{-1}(\alpha), où \varphi \in F_n, \alpha \in F_0 : e \overset{\alpha}{\hookrightarrow} I.

Alors \mathcal{M}_{*} satisfait M1, M2, pour avoir M3 bis ( ) on doit admettre

(F3)Si \varphi_1, \ldots, \varphi_m \in F_n, d'où I^n \to I^m …sous « (F3) », « (M3 bis) » et, à la suite, « et si » ; la ligne s'achève sur des points de suspension (F4)

a) \exists\, 0 : e \to I \in F_0 tel que \forall \alpha \in F_1, \alpha : e \to I, on ait \mathrm{Im}\, \alpha = \bigcap_{1 \leqslant i \leqslant n} \varphi_i^{-1}(0), pour \varphi_1, \ldots, \varphi_n \in F_1 (\mathcal{M}_1^{\cap} i.e.)le chiffre de (F4) est surchargé ; « \forall \alpha \in F_1 » est écrit tel quel, bien que \alpha soit pris dans F_0 à la ligne précédente

b) (e \times I \,;\, I \times e) \subset I^2 est \in \mathcal{M}_2, i.e. est de la forme \bigcap_i \varphi_i^{-1}(0), où \varphi_i \in F_2.

c) \exists\, \varepsilon_1, \varepsilon_2 \in F_0, \varepsilon_1, \varepsilon_2 : e \to I, tel que e \sqcup e \to I soit mono.

Il ~~exprimer que pour f : X \to I diagramme \Gamma_f~~passage biffé et récrit au-dessus de lui-même, à peine lisible ; on y lit encore « \subset I^n \times » \Gamma_f \subset I^{n+1}, ~~F_f~~ pour que f \in F_n, il faut et il suffit que \Gamma_f \in \mathcal{M}_{n+1} ; ~~a) Si f \in F_n, \exists~~ le « il faut » i.e. \Delta_I \subset I \times I est \in \mathcal{M}_2 ; le « il suffit » doit être postulé indépendamment.

\mathcal{M}_n \subset I^n \qquad n \in \mathbb{N} \qquad (I = [-1, +1])

\mathcal{M}_n stable par int. et réunions finies \mathcal{M}_{*} stables par images directes et inverses d'appl. simpliciales \mathcal{M}_0 contient ~~deux parties~~ \lbrace 0 \rbrace et \lbrace 1 \rbrace [ I est M-injectif ( de \mathcal{M}_{*}) ; Tout \mathcal{M}_n est de la forme f^{-1}(0) = \bigcap_{1 \leqslant i \leqslant p} f_i^{-1}(0), f : I^n \to I^p « permis ») ]les deux lignes sont réunies par une accolade dans un crochet ; une double flèche, dans la marge, pointe vers elles

a) \mathcal{M}_{*} contient les simplexes types et linéaires d'un simplexe type dans I un M- ses sommets aux sommets ligne surchargée de biffures et d'ajouts interlinéaires ; la lettre a) est écrite dans la marge

b) Pour tout « schéma simplicial » fini \Sigma, sa réalisation ~~Soit M^a la catégorie modérée des~~ [objets par morceaux.]addition encadrée sous la ligne biffée géométrique \widetilde{\Sigma} admet une M-structure admissible (définie par une liste finie dans M), et tout objet de M [i.e. d'un \mathcal{M}_n] admet une telle « triangulation ». Pour tout couple Y \subset X dans M (OPS Y, X \in \mathcal{M}_n, Y \subset X), M-triangulation de Y est induite par une M-triangulation de X.le paragraphe b) est encadré d'un trait vertical dans la marge

\Delta \quad \bigl\lbrace (x_0, \ldots, x_n, y) \bigm| x_i \geqslant 0,\ \ \textstyle\sum x_i = 1,\ \ y - \sum_{0 \leqslant i \leqslant n} a_i x_i = 0 \bigr\rbrace \in \mathcal{M}_{n+2} si les \lbrace a_i \rbrace \in \mathcal{M}_1\Delta est un petit triangle dessiné ; les deux conditions sont superposées dans une accolade ; le signe entre y et \Sigma est un gros point, lu comme un signe moins

feuillet double à l'italienne ; la moitié gauche est écrite en travers, la moitié droite droit ; on donne la droite d'abord

\begin{tikzcd} X \arrow[r, hook, "i"] \arrow[d, "p"'] & Y \arrow[d, "p'"] \\ Z \arrow[r, hook, "i'"'] & S \end{tikzcd}

comm.

d)S = \mathrm{Im}\, i' \cup \mathrm{Im}\, p' i.e. Z \sqcup Y \to S épi effectif« effectif » est ajouté serré à droite ; un petit signe en exposant de S a)i' mono b)carré cartésien i.e. X = p'^{-1}(Z) c)Y \times_S Y = \Delta_Y \cup (X \times_Z X)

les lettres d) et a) sont repassées sur d'autres ; celle de c) est écrite sur un d) \Longrightarrow \quad S \xleftarrow{\ \sim\ } Y \sqcup_X Z (Z \sqcup Y) \times_S (Z \sqcup Y) = Z \sqcup X \sqcup X \sqcup (Y \times_S Y) Z \sqcup X \sqcup X \sqcup (Y \times_S Y) \rightrightarrows Z \sqcup Y \to S

Z \sqcup X \sqcup X \sqcup \bigl[ (X \times_Z X) \sqcup \Delta_Y \bigr] \rightrightarrows Z \sqcup Y

\begin{tikzcd} Z \sqcup Y \arrow[r] \arrow[dr, "{(f,\ g)}"'] & S \arrow[d, dashed] \\ & T \end{tikzcd}

sous la dernière ligne, « Z \sqcup Y \to S » récrit et biffé ; la double flèche est suivie, sur la page, de Z \sqcup Y \to S et de la flèche (f, g) vers T, redessinées à part ; en bas de la page, deux croquis : un rectangle partagé en deux par un trait vertical, et deux triangles opposés par un sommet

moitié gauche, écrite en travers : \begin{array}{c} E \\ \mid \\ S \end{array} \qquad \mathrm{Grass}_n(E) \leftarrow \Sigma_{n,\sigma}(E) \to D_\sigma(E), \qquad \mathrm{Drap}(N) \to \mathrm{Grass}_n(E) diagramme redessiné en ligne : \Sigma_{n,\sigma}(E) est au centre, \mathrm{Drap}(N) dessous, avec une flèche vers D_\sigma(E) surchargée ; des flèches longues vont de \mathrm{Grass}_n(E) et de D_\sigma(E) vers S \begin{array}{ccc} E & & E' \\ \mid & & \mid \\ S & \text{---} & S' = D_\sigma(E) \end{array} H(S)\bigl[ c_i(M), c_j(N) \bigr] \Big/ \Bigl( \textstyle\sum c_i(M) \Bigr) \Bigl( \sum c_j(N) \Bigr) = \sum_{h} c_h(E) \xi_1, \ldots, \xi_n \qquad c_1(N), \ldots, c_d(N) \Bigl( \prod_{1 \leqslant i \leqslant n} (1 + \xi_i) \Bigr) \sum_{0 \leqslant j \leqslant d} c_j(N) = \sum_{0 \leqslant h \leqslant N} c_h(E) un exposant de c_i, illisible (), est omis ; cet exposant et l'indice sous le dernier \Sigma de la première ligne sont peu lisibles ; en bas de cette moitié, deux lettres isolées, lues E et N

feuillet double à l'italienne ; la moitié gauche, en partie tête-bêche, porte des calculs de brouillon épars, dont on lit : « e \to I^n, (\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_n), (\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_n, x_{n+1}, \ldots, x_{n+p}) » ; une flèche I^{n+p} \to I marquée x_1, \ldots, x_n ; « I^p \to I^{n+p} » au-dessus de « \bigl(\prod_{i \leqslant n} (\varepsilon_i \times I)\bigr)^p \times \ldots \subset (I \times I)^{n \times p} \times I^n » ; encadré, « \varepsilon_i \times I \subset I \times I » au-dessus de « e \to I \times I », avec « (x, y) » et « (x, xy) » ; « f_1, \ldots, f_n g_1, \ldots, g_p f_i g_j » ; une flèche I^{n+p} \to (I \times I)^{np} \times I^n marquée (f_i, g_j) ; « (x, y), (x', y'), (x, xy) = (x', x'y') », encadré « x = x' », puis « xy = x'y' » et une ligne biffée ; deux segments superposés avec une flèche ; « a) \; y = 0 ». Le reste, écrit tête-bêche, reprend les mêmes produits (I \times I)^{np} et n'est pas lisible au-delà

\begin{tikzcd} X \arrow[r, hook] \arrow[d] \arrow[dr] & Y \arrow[d] \\ Z \arrow[r, hook] & I^m \end{tikzcd}

comm

\begin{tikzcd} X \arrow[r, hook] \arrow[d] & Y \arrow[d, "{\varphi = (\varphi_1, \ldots, \varphi_n)}"] \\ e \arrow[r] & I^n \end{tikzcd}

à droite, un second carré X \subset Y au-dessus de I^p \hookrightarrow I^{p+n}, avec « \varphi_1, \ldots, \varphi_{p+n} », est biffé de grands traits

Y \hookrightarrow I^p, \qquad \psi = (\psi_1, \ldots, \psi_p) (\varphi_i, \psi_j) : Y \longrightarrow (I \times I)^{n \times p} sous (\varphi_i, \psi_j), une accolade marquée X_{ij} ~~(\varphi_i, \psi_j) se~~ X_{ij} | X se factorise par e \times I \subset I \times I

\begin{tikzcd} X \arrow[r, hook] \arrow[d] & Y \arrow[d] \\ X' = I^p \arrow[r, hook] \arrow[d] & Y' = I^{n+p} \arrow[d] \\ e \arrow[r, hook] & S \end{tikzcd}

les deux carrés portent chacun un signe \times en leur milieu

Y \times Y \leftarrow Y \times_S Y = \underbrace{\bigl( Y \times_{Y'} Y \bigr)}_{\Delta_{Y/Y'}} \cup (X \times X) il écrit d'abord, puis biffe, « = Y \times_{Y'} Y = Y » ; l'accolade marquée \Delta_{Y/Y'} est au-dessus Y' \times Y' \supset Y' \times_S Y' \neq \Delta_{Y'} \cup (X' \times X') le signe \neq est une lecture douteuse (\neq) ; au-dessous de \Delta_{Y'}, des guillemets I^p \text{ --- } I^{n+p} dessous, une ligne biffée, illisible

\begin{tikzcd} X \arrow[r, hook, "i"] \arrow[d, "p"'] & Y \arrow[d, "?"] \\ Z \arrow[r, hook, "?"] & I^n \end{tikzcd}

avec a) b) c)les deux points d'interrogation sont de sa main, à la place des noms de flèches

f_1, \ldots, f_n : Z \to I Z \to I^n mono

f_\alpha \circ p = g_\alpha \circ i \,/_{1 \leqslant \alpha \leqslant p} Y \to Iles lettres de f_\alpha et g_\alpha sont surchargées ; lecture douteuse

OK pour a)

Z \overset{\sigma}{\longrightarrow} I^q f_{p+1}, \ldots, f_{p+q} = \sigma

f_{p+\beta} \circ p = \uncertain{\dot{0}}

g_{p+\beta} \circ i = \dot{0} \bigcap_{1 \leqslant \beta \leqslant q} g_{p+\beta}^{-1}(0) = X

OK pour b)

comme

\begin{tikzcd} X \arrow[r, hook] \arrow[d] & Y \arrow[d] \\ e \arrow[r] & I^q \end{tikzcd}

cart. Y \times_{I^q} Y = \Delta_Y \cup (X \times X)

\begin{tikzcd} X \arrow[r, hook, "i"] \arrow[d, "p"'] & Y \arrow[d] \\ Z \arrow[r] \arrow[d] & I^{p+q} = S \arrow[d] \\ e \arrow[r] & I^q = S' \end{tikzcd}

\begin{array}{ccc} Y \times_S Y & \hookrightarrow & S \times_S S \\ \updownarrow & & \updownarrow \delta \\ Y \times_{S'} Y & \hookrightarrow & S \times_{S'} S \\ \parallel & & \\ \Delta_Y \cup X \times X & & \end{array} schéma redessiné ; les objets de la ligne du haut sont surchargés, on lit à droite « S \times_S S » sur un premier essai biffé

il numérote le feuillet « 1) » en haut à gauche

1. Soit R un ensemble (ce sera bientôt \mathbb{R}). Soit pour ~~tout~~ n \in \mathbb{N}, C_n \in R^nsic ; plus bas il écrit C_I \subset \mathfrak{P}(R^I). On suppose

(1)C_n stable par \mathfrak{S}_n (2)Soient p, n \in \mathbb{N}, p \leqslant n, considérons \varphi_{p,n} : R^n \to R^p, (x_1, \ldots, x_n) \mapsto (x_1, \ldots, x_p), alors \varphi_{p,n}(X) \in C_p si X \in C_n (3)

Soient p_1, p_2, \ldots, p_n \in \mathbb{N}, p_{*} = (p_1, \ldots, p_n), considérons R^n \xrightarrow{\ \varphi_{p_{*}}\ } R^{p_1 + \cdots + p_n}, \quad (x_1, \ldots, x_n) \mapsto (\underbrace{x_1, \ldots, x_1}_{p_1\ \text{fois}}, \ldots, \underbrace{x_n, \ldots, x_n}_{p_n\ \text{fois}}) ~~d) Il y a tel que C_n \neq \emptyset (\Longleftrightarrow C_0 \neq \emptyset)~~

alors \varphi_{p_{*}}(X) \in C_p si X \in C_n

(4)Si X \in C_m, Y \in C_n, alors X \times Y \in C_{m+n}

les numéros (1) à (4) sont cerclés ; au-dessus de R^{p_1 + \cdots + p_n}, une accolade marquée p

NB Il revient au même, pour tout ens. fini I, de se donner C_I \subset \mathfrak{P}(R^I), de telle façon que pour tout \alpha : I \to J (I, J ens. finis) d'où \alpha^{*} : R^J \to R^I, on ait \alpha^{*}(X) \in C_I pour X \in C_J, et que X \in C_I, Y \in C_J \Rightarrow X \times Y \in C_{I \sqcup J}.

Prop Si X, Y \in C_n, alors X \cap Y \in C_n.

Déf Soit X \in C_I, Y \in C_J, f : X \to Y, d'où \Gamma_f \subset X \times Y \subset R^{I \sqcup J}. On dit que f est un C_{*}-morphisme si \Gamma_f \in C_{I \sqcup J}.le signe accolé à C dans « C-morphisme », « C-modèle », tout au long des pages 69 à 72, est une petite marque en indice, étoile ou croix ; transcrit C_{*} partout où il figure, C là où il manque [NB. ne dépend que du composé X \to Y \hookrightarrow R^J]sous la formule, un mot biffé

~~Prop Soit X, Y \in C_n, alors X \cap Y \in C_n~~

Prop a) Si X \in C_I, \mathrm{id}_X est C-morphisme.

b) Le composé de deux C-morphismes est aussi unfin de ligne serrée contre le bord.

c) Soit f : X \to Y une bijection. Pour que f f^{-1} soit aussi un C_{*}-morphisme, il f. et s. que l'addition « f^{-1} soit » est en exposant au bout de la ligne ; la construction de la phrase reste incertaine

d) Soient X \in C_I, Y \in C_J, Z \in C_K, g : X \to Y, h : X \to Z, d'où f = (g, h) : X \to Y \times Z (où Y \times Z \in C_{J \sqcup K}). Alors f est un C-morphisme ssi g et h le sont.

e) Soit \alpha : I \to J, d'où \alpha^{*} : R^J \to R^I, soit X \in C_J, alors Y = \alpha^{*}(X) \in C_I. Alors \alpha^{*} | X : X \to Y est un C_{*}-morphisme. f) Si X \subset Y, X, Y \in C_I, alors l'inj. X \hookrightarrow Y est un C_{*}-morphisme.en biais dans le coin inférieur gauche ; dans e), « \alpha : I \to J » est écrit sur une première formule biffée

g) Si f : X \to Y (X \in C_n, Y \in C_m) est un C_{*}-morphisme, alors f(X') \in C_m pour X' \subset X, X' \in C_n. h) Si f comme dessus, alors f^{-1}(Y') \in C_n si Y' \subset Y, Y' \in C_m.écrit verticalement le long de la marge gauche ; les lettres g) et h) sont peu sûres, les indices n, m aussi

Définitionle mot est dans la marge, souligné Une structure T de C_{*}-modèle sur un ens. E est la donnée, pour ~~tout~~ n \in \mathbb{N}, d'un ens. T_n d'applications injectives de E dans R^n, telles que

a)\exists\, n \in \mathbb{N} tel que T_n \neq \emptyset b)Si ~~u \in T_n~~ (u : E \to R^n) \in T_n, et si v : E \hookrightarrow R^m, alors v \in T_m ssi 1°) v(E) \in C_m 2°) v u^{-1} : u(E) \to v(E) est un C_{*}-morphisme (u(E) \subset R^n, v(E) \subset R^m)

en haut à droite, une variante : « b) \forall m \in \mathbb{N} et v \in T_m, … v(E) \in C_m »

Cette structure peut aussi être définie par l'ensemble \Sigma des C_{*}-morphismes de E dans R, avec l'axiome suivant : a) \exists\, J \subset \Sigma, partie finie, telle que E \to R^J soit injectif, et ait image X \in C_J. b) On peut choisir J tel que pour f : E \to R, on ait f \in \Sigma ssi le composé X \simeq E \xrightarrow{f} R est C_{*}-morphisme, [l'inverse de E \xrightarrow{\sim} X].en biais dans la marge gauche, depuis le haut ; dans b), « E \to R » est écrit sur une première lettre biffée ; au-dessous, d'autres fragments en biais, « X \subset », « E \xrightarrow{f} R », non lus davantage

Ex Si n \in \mathbb{N}, ~~X \in R^n~~ X \subset C_nsic ; on attend « X \in C_n », alors X est muni d'une C_{*}-structure canonique.

Déf Soient X, Y deux C_{*}-~~modèles~~ modèles. Une application f : X \to Y est dite un C_{*}-morphisme si …

Prop Les ~~cat.~~ C_{*}-modèles, et C_{*}-morphismes, forment une catégorie (pour la composition ensembliste des morphismes). Dans cette catégorie, les produits ~~finis~~ de deux objets existent. Un morphisme de C_{*}-modèles est un iso ssi il est bijectif.

Prop C. équivalentes sur C

a) \exists\, n \in \mathbb{N} et X \in C_n, tel que X \neq \emptyset b)R^0 \in C_0 c)La catégorie des C_{*}-modèles admet des objets de cardinal 1 ( objets de cardinal 1 sont des structures de C_{*}-modèle) ,

Alors les C_{*}-produits des 2 objets de la catégorie des C_{*}-modèles.

Dorénavant, on suppose cette condition, sous la forme plus forte \forall n \in \mathbb{N}, on a \text{(5)} \qquad R^n = \bigcup_{X \in C_n} X le 5 est cerclé et écrit sur une première formule biffée

On définit la notion de C_{*}-partie d'un C_{*}-modèle, de façon évidente, de façon que (i) compatible « transport de structure » et (ii) si X \in C_n (n \in \mathbb{N}), alors pour Y \subset X, Y est une C_{*}-partie du C_{*}-modèle X, ssi Y \in C_n. Ceci dit, pour un morphisme de modèles, l'image directe ou inverse d'une C_{*}-partie est itou.Notion de C_{*}-str. induiteséparée du texte par un trait oblique, en bas à droite ; « induite » est lu sous réserve

2. Je suppose maintenant que R est un espace top. séparé, et je suppose n \in \mathbb{N},

(7)Si X \in C_n, X est compact.

le 7 est cerclé, écrit sur un autre chiffre

Cela implique que si X \in C_m, Y \in C_p, tout C_{*}-morphisme de X dans Y est continu, que les C_{*}-modèles s.t de façon naturelle munis d'une structure d'espace compact, d'où un foncteur (C_{*}\text{-modèles}) \longrightarrow \text{espaces compacts.}

Je suppose de plus

(8)\forall\, n \in \mathbb{N}, X \in C_n, et x \in X, alors ~~V \in C_n qui soit un voisinage de x dans X, \exists Y~~ les Y \in C_n qui dans X sont voisinage de x forment un syst. fondamental de voisinages de x dans X.

le 8 est cerclé ; les passages biffés sont récrits au-dessus de la ligne [Il suffit que les intérieurs des X \in C_n forment une base de la topologie de R^n] trait vertical dans la marge gauche, contre le crochet, avec trois mots en biais, illisibles

Alors, les C_{*}-morphismes d'un C_{*}-modèle X dans un autre Y sont les sections d'un faisceau — le faisceau des germes de C_{*}-morphismes de X dans Y. Il en est ainsi pour les C_{*}-morphismes de X dans R ( dans un R^I). La connaissance du faisceau des C_{*}-morphismes d'un modèle X (comme H-faisceau X dans R) dans R, ne donne pas la structure de modèle.addition interlinéaire serrée, lue en partie

C_{*}-espace : espace loc.^t compact, muni d'un faisceau faisceau des fonctions continues de R, tel que pt ait un voisinage compact qui, pour la structure induite, soit un C_{*}-modèle.

il numérote le feuillet « 2) » en haut à gauche

Considérons la condition

(6)~~\forall~~ \forall n \in \mathbb{N}, C_n stable par réunions finies (\Rightarrow \emptyset \in C_n)

le 6 est cerclé

On en conclut

Prop Soit X un C_{*}-modèle, (X_i)_{i \in I} une famille finie de C_{*}-parties de X, avec X = \bigcup X_i, f : X \to Y une application de X dans un C_{*}-modèle Y. Alors f est un C_{*}-morphisme ssi \forall i \in I, f | X_i l'est.

Corollaire Dans la cat. des C_{*}-modèles, X est la somme amalgamée des X_i, sur les X_i \cap X_j.

Question Soit un diagramme

\begin{tikzcd}[column sep=small] & Z \arrow[dl, hook'] \arrow[dr, hook] & \\ X & & Y \end{tikzcd}

dans la catégorie des C_{*}-modèles, y a-t-il une somme amalgamée ? OK. Si on la condition suivante : \forall n \in \mathbb{N}, X, Y \in C_n, Y \subset X, et \forall C_{*}-morphisme f_Y : Y \to R, \exists C_{*}-morphisme f_X : X \to R qui le prolonge.? dans la marge gauche, un point d'interrogation et deux mots, dont le premier se termine peut-être en « -tion », à côté d'un trait vertical qui borde la condition