Cote n° 121 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · Topologie modérée : notes manuscrites (s.d.), lettre (1974)
Datation de l’inventaire : 1974
Édition de démonstration

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41feuillet de papier quadrillé, presque entièrement occupé par des dessins ; on ne transcrit que les légendes. En haut, un point \(V_0\) ; puis une courbe \(V_1\) aboutissant à \(V_0\), avec la légende « \(\partial V_1 = V_{1,0}\) » et le schéma \(\partial V_1 = V_{10} \to V_0\), \(\partial V_1 \to V_1\). Plus bas, une figure plane : une région hachurée \(V_2\), bordée par la courbe \(V_1\), avec des bandes marquées \(V_{21}\), \(V_{210}\), \(V_{20}\) (un demi-disque autour du point \(V_0\)). Le reste de la page est blanc.

42page de schémas, en partie au crayon ; on donne ce qui se lit.

\(\Phi_0\) ens fini \(\Phi_1 = \lbrace \Phi_1^{\circ} ; \Phi_1^{b} \rbrace\) […] « 1-spécial »lecture de « spécial » douteuse ; plusieurs mots biffés à droite, illisibles

[…] […] \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)-torseur (arêtes orientées ordinaires)

\(\Phi_2 = \lbrace F \xrightarrow{i} G \rbrace\) […] « 1-spécial » \(\to\) groupoïde ; foncteurs […] admissibles

\(\partial_0 \Phi_2 \in \Pi_0 F\) \(\Psi_0 =\) ens fini, \(\Psi_1 = \lbrace \Psi_1^{\circ} ; \Psi_1^{b} \rbrace\)

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
F_1 & \partial F_1 = F_1|\partial\Phi_1 \arrow[l] \\
\Phi_1 & \partial\Phi_1 \arrow[l, "\pi_1"'] \arrow[d, "\overline{\pi}_1"] \\
 & \Phi_0
\end{tikzcd}

à côté, des schémas analogues pour le niveau 2 : \(F_2\), \(\partial F_2 = F_2|\partial\Phi_2\), \(\Phi_2 \xleftarrow{\partial_2} \partial\Phi_2\), avec les composantes \(\partial_0\Phi_2\), \(\partial_1\Phi_2\), \((\partial_1\Phi_2)_0\), \((\partial_1\Phi_2)_1\), les flèches \(\alpha_0\), \(\alpha_1\), \(\beta_0\), \(\beta_1\), \(\pi'_1\), \((\pi_2)_0\), \((\pi_2)_{1,0}\), \(\pi_{2,1,1}\) vers \(\Phi_0\), \(\Phi_1\), \(\partial\Phi_1\) ; en bas, une tour \(X_0 \to X_1 \to X_2\) figurée par des cases \([\Phi_0]\), \([\Phi_1]\), \([\Phi_2]\). Ces schémas ne sont pas redessinés.

43\[U \subset V \subset W\]

dim : \(r\) \(r+s\) \(r+s+t\) reconstruction ;

Données

On construit

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
V' = V^{\circ\prime} \sqcup_{\partial} U'' \arrow[r] & W^{\circ} \arrow[r]
& W \\
 & V = V^{\circ} \sqcup_{U'} U \arrow[ur] & U \arrow[l, hook']
\end{tikzcd}

le diagramme, à gauche de la page, est redessiné d'après une esquisse ; les flèches \(V' \to V\) et les inclusions des bords n'y sont pas toutes lisibles

44page de dessins : une suite de figures numérotées 1°) à 6°) (un point \(U_0\), puis \(U_0\) et \(U_0'\), des « haltères », des régions hachurées \(V^{\circ\prime}\), \(U''\)), marquées I et II. En haut, la tour \(U_0 \subset U_1 \subset U_2 \subset U_3 \ldots U_n\), avec \(U_1^{\circ}\), \(U_2^{\circ}\), \(U_3^{\circ}\), \(\partial U_1^{\circ} = U_0'\), \(\partial U_2^{\circ}\), \(U_1^{\circ\prime}\), \(U_0''\), \(\partial U_1^{\circ\prime} = \partial U''\), \(U_2^{\circ\prime}\), \(\partial U_2^{\circ\prime}\). À droite, un schéma vertical : \[U_n \to U_n^{\circ} \leftarrow \partial U_n^{\circ} ; \qquad \partial_{n-1} U_n^{\circ},\ \partial_{n-2} U_n^{\circ},\ \ldots,\ \partial_0 U_n^{\circ} \longrightarrow U_{n-1}^{\circ},\ U_{n-2}^{\circ},\ \ldots,\ U_0^{\circ} = U_0 .\]

45PL variétés à bord fibrées sur v. à b. à fibres […]

le reste de la page porte, au crayon très pâle, des esquisses du même genre que la page 44 (haltères, bandes), sans texte lisible

46\[\partial_j V_i^{\circ} \to V_j^{\circ} ; \qquad \partial(\partial_j V_i^{\circ}) = \bigcup_{k} \partial_j V_i^{\circ}|\partial_k V_j^{\circ} \ \cup \ \cdots\] l'indice de la réunion et le dernier terme, rendu ici par des points, sont illisibles ([…]). La page porte ensuite deux grands tableaux de flèches : le premier part de \(V_i^{\circ}\) et de \(\partial V_i^{\circ}\) et descend en dimension (\(n_i\), \(n_i - 1\), …) ; le second est une suite \(V_i^{\circ} \leftarrow V_{ij}^{\circ} \leftarrow V_{ijk}^{\circ} \leftarrow V_{ijkl}^{\circ} \leftarrow \cdots \leftarrow V_{ijkl\ldots p}^{\circ}\), avec des croix marquant des carrés cartésiens. Ils ne sont pas redessinés.

Équisingularité. Cellules

titre pris sur le feuillet de garde rose (page 47), où il est écrit à l'encre, souligné, sur deux lignes : « Équisingularité » puis « Cellules ». Les mots sont de sa main.

48Contextes \[\left\lbrace \begin{array}{l} \mathrm{L.P.M.} \\ \mathrm{SA.P.M.} \\ \mathrm{Alg}_{\mathbb{C}},\ \mathrm{An}_{\mathbb{C}} \end{array}\right.\]

Soient \(X\) donné, avec une famille loc. finie de sous-espaces fermés \(T_\alpha \subset X\). Alors il existe une partition [stricte] admissible […] (i.e. avec condition de connexité) de \(X\), pour laquelle les \(T_\alpha\) soient réunions de feuilles. Parmi celles-ci, il y en a une plus grossière que toutes autres. Sa formation commute à la restriction à des ouverts. NB c'est une […] […] sur \(X\)en marge gauche, en face de l'énoncé, qu'un trait vertical délimite

La construction de cette dernière montre qu'il suffit de prouver l'existence loc[alemen]t, et la propriété […] […]… […] dans \(X\) de dimension finie [[…] […]] […]. Trivial si \(\dim X \leqslant 0\) (unique partition stricte admissible OK) les lignes « La construction … dans \(X\) » sont surchargées d'une addition interlinéaire (« Dans les […] […] … ») et d'un passage biffé ; la lecture est très incertaine

Considérons les

Supposons \(\dim X > 0\) (ce qui serait […]) […] […]. On se débarrasse des […] feuilles […] de la partition cherchée, [[…] […]] conditions […] des \(T_\alpha\) […] multiples i.e. \(r \geqslant 1\) (facteurs) \(T_{\alpha_1} \cap T_{\alpha_2} \cap \cdots \cap T_{\alpha_r}\) qui […] \(X^1\), comme \[X^1 = \bigcup_{\alpha} \dot{T}_\alpha\] Soit le bas du passage est barré de plusieurs traits obliques et d'un trait horizontal ; la page s'arrête sur « Soit »

49\(U\) ouvert \(\subset X\), \(i, j \in I\), \(\overline{F_i} \cap U \neq \emptyset\) i.e. \(F_i \cap U \neq \emptyset\) […] \[\overline{F_i} \subset \overline{F_j} \ \overset{?}{\Longleftrightarrow}\ \overline{F_i} \cap U \subset \overline{F_j} \cap U\] \(\Longrightarrow\) trivial

\(\overset{?}{\Longleftarrow}\) […]

[…] Soit \(x \in \overline{F_i}\), au voisinage de \(x\) on a \(\overline{F_i} \subset \overline{F_j}\), i.e. \(\bigl(\overline{F_i} \cap \overline{F_j} = \bigcup_{k \in K} \overline{F_k}\bigr) = \overline{F_i}\) au voisinage de \(x\).

[…]

\(\forall k\) \(\overline{F_k} \subset \overline{F_i}\) égalité au voisinage de \(x\) \(\Longrightarrow\) égalité partout ?

Oui, car \(F_k\) est ouvert dans \(\overline{F_i}\) !

Donc si \(I_U = \lbrace i \in I \mid \overline{F_i} \cap U \neq \emptyset \rbrace \subset I\), alors la relation d'ordre de \(I_U\) est celle induite par \(U\).sic ; on attend « induite par \(I\) »

Cor Si \(F_i \cap U \neq \emptyset\), alors \(F_i\) ouvert \(\Longleftrightarrow\) \(F_i \cap U\) ouvert (i.e. \(i\) maximal dans \(I\) \(\Longleftrightarrow\) \(i\) maximal dans \(I_U\)) ; \(\Longrightarrow\) trivial ; \(\Longleftarrow\) soit \(i\) maximal dans \(I_U\), si \(j \in I\), \(j \geqslant i\), alors \(j \in I_U\), donc \(j = i\), OK.la lecture du corollaire est incertaine par endroits ; plusieurs mots en sont surchargés

(III)le numéro est cerclé \[X = X^0 \supset X^1 \supset X^2 \supset \cdots \supset X^n \supset \cdots\] filtration loc. finie par des fermésencadré, \(\forall i\), […] \(X^{i-1} - X^i\) ouvert dans […] … \(V^i = X^i - X^{i+1}\) … ; \(\forall\) ouvert \(U\), l'ens. des composantes connexes de \(U \cap V^i\) est loc. fini sur \(U\), \(\forall i\) ; et \(\forall\) comp. conn. \(Z_\alpha\) de \(U \cap V^i\), \(\overline{Z_\alpha} \cap U \cap V^j\) est une partie ouverte de \(U \cap V^j\). (c'est en fait une condition locale, on peut se borner à \(U \ni x\) […])les indices de cette filtration sont peu lisibles ; la lecture « \(V^i = X^i - X^{i+1}\) » est donnée sous réserve

50Conditions pour une partition admissible

NB a) n'est pas stable en s'induisant sur un ouvert de \(X\) (tandis que la condition d'admissibilité l'est, ainsi que b) et c)). Une bonne condition stable est [localement] [les fibres loc. connexes], et

[c) \(\forall i\), la famille des composantes de \(U \cap F_i\) est loc. finie sur \(F_i\) […] \((F_{i\alpha})\)] i.e. […] si \(F_{i\alpha}\) est une composante connexe de \(U \cap F_i\) : \(F_{j\beta} \cap \overline{F_{i\alpha}} \neq \emptyset \Rightarrow F_{j\beta} \subset \overline{F_{i\alpha}}\) (ou encore, \(\overline{F_{i\alpha}} \cap F_j \cap U\) est une partie ouverte de \(F_j \cap U\), ou encore de \(F_j\)) l'addition « c) … \((F_{i\alpha})\) » est interlinéaire ; sa place exacte dans la phrase est incertaine

Soit \((F_i)\) partition admissible. \(F_i\) ouvert dans \(X\) \(\Longleftrightarrow\) \(\overline{F_i}\) maximale. \(F_i\) ouvert [dans \(X\), et] \(\overline{F_i} \supsetneq \overline{F_j}\) \(\Longrightarrow\) \(F_i\) [\(\neq \emptyset\)] ouvert [dense] dans \(\overline{F_j}\) et \(\overline{F_i}\) rare dans \(\overline{F_j}\)sic, les indices \(i\) et \(j\) semblent échangés dans la seconde moitié ; donc \(F_i\) ouvert dans \(X\) \(\Longrightarrow\) \(F_i\) maximal. Soit \(F_i\) maximal, alors \[X - F_i = \bigcup_{j \neq i} \overline{F_j} \quad \text{(fermé)}\] car \(\forall j \neq i\), \(\overline{F_j} \cap F_i = \emptyset\). \[F_i \text{ ouvert} \Longleftrightarrow X - F_i \ \bigl(= \textstyle\bigcup_{j \neq i} F_j\bigr) \text{ fermé} \Longleftrightarrow \forall j \neq i,\ \overline{F_j} \subset X - F_i\] i.e. \(\forall j \neq i\), […] \(\exists k\) tel que \(\overline{F_k} \supsetneq \overline{F_j}\), \(k \neq i\) \(\Longleftrightarrow\) \(i\) maximal ?fin de page serrée ; lecture incertaine

51

Cellules

\(X\) espace topologique, \((F_i)_{i \in I}\) une partition de \(X\) (les \(F_i\) sont appelés « feuilles »). On dit que la partition est admissible si (I) :les chiffres romains I et II sont écrits en marge, devant une accolade qui embrasse chaque liste

Les \(\overline{F_i}\) sont appelés « feuilles fermées ». Quand on a \(\overline{F_i} = \overline{F_j}\), on a \(F_i = F_j\), car si \(\overline{F_j} \subset \overline{F_i}\) i.e. \(F_j \subset \overline{F_i}\), comme \(\overline{F_i}\) est réunion de feuilles, on a \(F_j = F_i\), ou \(F_j \subset \overline{F_i} - F_i\), mais [dans ce cas] […] « \(\overline{F_j} \subset \overline{F_i} - F_i\) », donc \(\overline{F_j} \neq \overline{F_i}\) puisque \(F_i \neq \emptyset\). Donc la donnée de la famille \((F_i)\) équivaut à celle de la famille des \(\Phi_i = \overline{F_i}\). Elle est alors caractérisée (II) :

Ces conditions nécessaires pour que \((\Phi_i)\) soit la famille des feuilles fermées d'une partition admissible, sont aussi suffisantes. En effet, \(\forall i \in I\), soit \[F_i = \Phi_i - \bigcup_{\Phi_j \subsetneq \Phi_i} \Phi_j\] les \(F_i\) forment une partition de \(X\) (\(\forall x \in X\), \(\exists\) unique \(i\) tel que \(x \in F_i\)), \(F_i\) est loc. fermé (grâce à (i) et (ii)), \((F_i)\) est loc. finie (grâce à (i)), et \(\forall i\), \(\overline{F_i} = \Phi_i\) (grâce à (iv)), prouvons que \(\Phi_i\) est réunion de feuilles \(F_j\), i.e. Considérons le cas que \(\forall j\), \(F_j \cap \Phi_i \neq \emptyset \Rightarrow F_j \subset \Phi_i\). Mais \(F_j \cap \Phi_i \neq \emptyset \Longrightarrow\) […] \(\Phi_j \subset \Phi_i\) (prendre \(x \in F_j \cap \Phi_i\), et utiliser la description marginale de \(j\) tel que \(x \in F_j\)), d'où \(F_j \subset \Phi_i\) OK. \(x \in F_i\), savoir \(i\) tel que \(x \in \Phi_i\) et \(\Phi_i\) soit le plus petit de ceux-ci (existe grâce à (iii))en marge gauche, entre accolades, reliée à la parenthèse « \(\exists\) unique \(i\) tel que » ; c'est la « description marginale » à laquelle renvoie la fin de la page

53

Catégorie modérée

titre souligné ; feuillet perforé à réglure fine

A) Catégorie \(\mathcal{M}\) avec foncteur \[X \mapsto |X| = \varphi : \mathcal{M} \longrightarrow (\text{Espaces compacts})\]

les chiffres de M1) et M2) sont repassés

Cor 1 Pour que \(f : X \to Y\) dans \(\mathcal{M}\) soit un mono, il faut et il suffit que \(\varphi(f)\) le soit. L'application, pour \(X \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{M}\), \[\mathrm{SsObj}(X) \xrightarrow{\ \varphi\ } \mathrm{SsObj}(\varphi(X))\] est injective, la relation d'ordre du premier étant induite par [le second].

Déf. Sous-espace (\(\mathcal{M}\)-)modéré de \(|X|\) (stable par int. finies). Structure modérée [sur un espace compact \(K\)]. Sous-espace modéré d'une structure modérée. Application modérée.

Cor 2 Une application […] \(f : |X| \to |Y|\) est modérée ssi son graphe l'est.

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X \arrow[r, "f"] & Y & & {|X|} \arrow[r, "{|f|}"] & {|Y|} \\
X' \arrow[u] \arrow[r] & Y' \arrow[u, hook] & & {|X'|} \arrow[u]
\arrow[r] & {|Y'|} \arrow[u, hook]
\end{tikzcd}

deux carrés entre crochets, marqués d'une croix au centre ; la flèche de gauche porte un indice peu lisible

donc \(f\) se factorise de façon [est] unique en

forme équivalente

Est-ce que \(f'\) épi (effectif) i.e. \(X \times_{Y'} X \rightrightarrows X \to Y'\) exact ? C'est épi car \(|f'|\) l'est, et \(|\ |\) conservatif ; soit alors \(X \xrightarrow{g} Z\) tel que \(g\,\mathrm{pr}_1 = g\,\mathrm{pr}_2\), se factorise-t-il par \(Y'\) ? […] \(|g|\) se factorise en \(h : |Y'| \to |Z|\), il suffit de voir que \(h\) est modéré.

Lemme Soient \(X \xrightarrow{f'} Y'\) dans \(\mathcal{M}\) et \(H : |Y'| \to |Z|\) tel que \(H \circ |f'|\) modéré [\(= |g|\)], \(|f'|\) surjectif, alors \(H\) modéré i.e. provient de \(h : Y' \to |Z|\).sic : « \(h : Y' \to |Z|\) »

En effet, voit d'abord le graphe de \(H\) est l'image du graphe de \(|g| = H \circ f'\), donc est modéré.

[…]

Ind-objet spécial * de \(\mathcal{M}\) : a) défini par une suite \[X_1 \to X_2 \to \cdots \to X_n \to \cdots\] avec morphismes de transition des monos ; b) \(\forall i\), \(\exists\, j \geqslant i\) tel que \(\forall k \geqslant j\), \(|X_i| \subset \mathrm{Int}_{|X_k|} |X_j|\). l'astérisque est de sa main, au-dessus de « spécial » ; aucun renvoi correspondant n'est visible. Dans b), un \(X_k\) biffé précède l'indice \(|X_k|\)

54Alors \(\varinjlim_i |X_i|\) est un espace loc. compact dénombrable à l'\(\infty\), et les \(|X_i|\) y forment un système fond. de compacts. Le foncteur \[\mathfrak{X} \longmapsto |\mathfrak{X}| = \varinjlim_i |X_i|\] de la catégorie \(\widetilde{\mathcal{M}}\) [des ind-objets spéciaux de \(\mathcal{M}\)] vers les espaces loc. compacts, est exact à g. (NB \(\mathcal{M}\) est stable par \(\varprojlim\) finies dans \(\widetilde{\mathcal{M}}\)), conservatif, peut-être pas transportable — ce qui nous permet d'introduire la notion de structure pseudo-modérée sur un espace loc. compact (s'il est compact, cela revient à la structure modérée), de sorte que la catégorie des ind-objets spéciaux devient équivalente à celle des espaces loc. cpts pseudo-modérés. On définit encore la notion de morphisme [pseudo-]modéré modéré, de sous-ensembles (fermés) pseudo-modérés d'un tel \(X\). On a que si \(f : X \to Y\) est propre et pseudo-modéré, \(f(X)\) est une partie pseudo-modérée de \(Y\). compact.en marge gauche, en face de « espace loc. compact »

Donnée supplémentaire a) Structure pseudo-modérée sur \(\mathbb{R}\) pour laquelle les intervalles \(I_n = [-n, +n]\) (\(n \in \mathbb{Z}\) \(n \in \mathbb{N}^*\)) sont des sous-ens. (ps.) modérés, la multiplication par [\(x\)] [\(n \neq 0\)] étant un morphisme (donc isomorphisme) ps. modéré de \(\mathbb{R}\). On aura donc \[\mathbb{R} = \text{``}\varinjlim\text{''}\, I_n \simeq \varinjlim I_1 ,\] les morphismes de transition \(I_1(n) \to I_1(n+1)\) étant la multiplication par \(\frac{n}{n+1}\). Donc la donnée a) revient à la donnée : b) Structure modérée sur \(I_1 = [-1, +1]\) pour laquelle les applications \(t \mapsto rt\) (\(r \in \mathbb{Q}^*\), […] \(|r| \leqslant 1\)) sont modérées. On suppose de plus

De 1°) 2°) on conclut que […] […] les pts \(x \in \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\) sont modérés, que les translations \(T_x\) […] […] sont modérées, que les intervalles de \(\mathbb{R}\) à extrémités modérées sont […].la dernière ligne est coupée par le bord du feuillet

55Moyennant 1°, 2° les applications modérées de \(X\) (espace compact modéré) dans \(\mathbb{R}\) forment un sous-module sur le corps \(\mathbb{R}_{\mathrm{mod}}\) des pts modérés de \(\mathbb{R}\) (contenant \(\mathbb{Q}\)) ; moyennant 1°, 2°, 3°) c'est un sous-anneau algèbre.deux mots superposés en fin de phrase

L'axiome supplémentaire suivant sera vérifié par la suite

Considérons, pour tout \(n \geqslant 0\), l'ensemble [\(\mathcal{M}_n\)] des parties compactes modérées de \(I^n\) (\(I = [0,1]\)). Cet ensemble \(\mathcal{M}_*\) satisfait aux conditions

[…] On récupère \(\mathcal{M}\) et \(X \mapsto |X| : \mathcal{M} \to (\mathrm{Esp\,cpts})\) à équivalence près, connaissant \(\mathcal{M}_*\), de la façon suivante :

\(\mathcal{M}\)-structure sur \(X\)en marge gauche, avec une flèche vers « \(X \xrightarrow{i} \mathbb{R}^n\) » ; les deux phrases de la page qui suivent « de la façon suivante » avaient d'abord « \(\mathbb{R}^n\) » puis passent à \(I^n\), comme il l'écrit

56Partant de \(\mathcal{M}_*\) satisfaisant M\('\)1, M\('\)2, M\('\)3, soit \(\mathcal{M}_0\) la catégorie [suivante] définie des espaces compacts munis d'une \(\mathcal{M}_*\)-structure

le « \(\mathcal{M}_*\)-structure » biffé et une accolade, à gauche, relient les deux premières lignes à a)

NB Pour les identités, on a \(\Gamma_{\mathrm{id}_K} \subset K \times K \subset I^n \times I^n \simeq I^{2n}\) s'identifie à […] l'image de \(K\) par \(\delta_n : I^n \to I^{2n}\), et on applique M\('\)3. Comme Stabilité par composition, on a si […] \((K,-) \xrightarrow{f} (K',-') \xrightarrow{g} (K'',-'')\), … \[\Gamma_{fg} = p^{-1}(\Gamma_f) \cap q^{-1}(\Gamma_g),\] où \(p\), \(q\) sont les appl. can. \(I^{n+n'+n''} \to I^{n+n'}\) et \(I^{n+n'+n''} \to I^{n'+n''}\), et on applique M\('\)1) et M\('\)2). « \(\Gamma_{fg}\) » : sic ; le graphe écrit est dans \(I^{n+n'+n''}\), la projection sur \(I^{n+n''}\) n'est pas écrite

On a un foncteur \((K, n) \mapsto K\), \(\mathcal{M}_0 \to\) (Esp. cpts). Il est fidèle, et conservatif (appliquer M\('\)2) […]). On le rend transportable, ce qui donne \(\mathcal{M} \simeq\) équiv. […] […].« appliquer M\('\)2 » : le chiffre peut être 3

\(\exists\) objet final : \(e = (0,\) […] \(I^0 = \lbrace e \rbrace)\) : en effet, si \((K,-) \in \mathcal{M}_0\), \(K \to e\) […] comme graphe \(K\) lui-même.

\(\exists\) produits fibrés. Soit En effet, soit […] \((K,-)\), \((K',-')\), et \(K \times K' \subset I^{n+n'}\) … défini par \((L,-)\), mais bas de page surchargé : plusieurs formules biffées, dont on ne distingue que \(K \times K'\) et \(I^{n+n'}\)

57[…] \(L \subset K \times K'\) est modérée, donc […] \(L \to K\) et \(L \to K'\) le sont. En effet, si […] \(g\) est \(K \times K' \xrightarrow{\mathrm{pr}} K\) … est modérée, car le graphe de \(K \times K' \xrightarrow{\mathrm{pr}} K\) dans … est \(\Delta_{K \times K'} \subset I^{\ldots}\) \[(K \times K' \times K) \cap \mathrm{Im}\bigl(I^{n+n'} \to I^{n+n'+n}\bigr), \qquad (x, x') \mapsto (x, x', x)\] qui est \(\in \mathcal{M}_{2n+n'}\) par M\('\)1, 2, 3. Donc \(g\) modérée \(\Rightarrow\) \(f\), \(f'\) modérés. Inversement, on a \(\Gamma_g \subset I^{m+n+n'}\), \(= p^{-1}(\Gamma_f) \cap q^{-1}(\Gamma_{f'})\), \(p : I^{m+n+n'} \to I^{m+n}\), \(q : I^{m+n+n'} \to I^{m+n'}\), … et appliquer M\('\)1, 2.« \(q^{-1}(\Gamma_{f'})\) » : l'indice est lu \(g\) sur la page ; le contexte demande \(f'\)

La fonction (\(K \to K \times K'\) […]) … immédiat avec produits finis.

On voit de façon analogue que si \(f, g : (K,-) \rightrightarrows (K',-')\), alors \(\mathrm{Ker}(f,g)\) existe dans \(\mathcal{M}_0\) et \(\mathcal{M}_0 \to (\mathrm{Ens})\) y commute (car \(\mathrm{Ker}(f,g) = r\bigl(p^{-1}(\Gamma_f) \cap q^{-1}(\Gamma_g) \cap \delta(I^{n+n'})\bigr)\) est \(\in \mathcal{M}_{n+n'+n'}\) …), \(f, g : K \to K' \times K' \subset I^{n+n'}\) … ; où \(p, q : I^{n+n'+n'} \to I^{n+n'}\) sont les 2 proj., \(\delta : I^{n+n'} \to I^{n+n'+n'}\), \(r : I^{n+n'+n'} \to I^n\). \(x, x'_1, x'_2\) ; \(x'_1 = f(x)\), \(x'_2 = g(x)\), \(x'_1 = x'_2\)en marge droite, à la hauteur de la formule du noyau ; la parenthèse est surchargée et sa lecture est incertaine

Ainsi on a M1) M2), et on a aussi M3) grâce à M\('\)3). On a l'objet \((I, 1) = I\) de \(\mathcal{M}_0\) […] … d'où l'axiome M5 par construction.M1), M2), M3), M5 renvoient aux axiomes de la page 53 et de la page 55

Alors les conditions supplémentaires […] avant M4), ou M4), équivalent :

la ligne 3°) se termine par un trait, comme « idem »

58(A)la lettre est cerclée ; cette page et les deux suivantes sont en partie au crayon \(\mathcal{K}\) catégorie avec \(\varprojlim\) finies ; \(\mathcal{M} \xrightarrow{\varphi} \mathcal{K}\)

les trois lignes sont réunies par une accolade \(\varphi\) transportable sa lettre pour la catégorie cible est un K simple ; on la note \(\mathcal{K}\) pour la distinguer des parties \(K\) des pages précédentes

À équivalence près (pour \((\mathcal{M}, \varphi)\)), pour \(\mathcal{K}\) donné, on donne équivalemment la donnée

NB Si on […] \(\varphi\) transportable, on a correspondance avec \(\mathcal{M}\) défini à \(\mathcal{K}\)-isom près.

(B) Supposons que tt morphisme \(X \xrightarrow{f} Y\) de \(\mathcal{K}\) se factorise en \(X \xrightarrow{g} Y' \xrightarrow{i} Y\), \(g\) épi effectif, \(i\) monomorphisme (donc nécessairement \(Y' = \mathrm{Im}\,g\)sic ; on attend \(\mathrm{Im}\,f\), donc le plus petit sous-objet de \(Y\) par lequel se factorise \(f\)) [et que les épi effectifs soient universels] […]. Considérons la condition plus forte que 3°

Cette condition est équivalente à : tout sous-objet […] d'un objet de \(\mathcal{K}\) « à structure modérée », image d'un morphisme « modéré », est modéré […].fin de phrase peu lisible

(C) Si dans \(\mathcal{K}\) [dans les sous-objets d'un objet] il y a des sup finis (« réunion »). Considérons

Cette condition équivaut

la marge gauche porte, au crayon, une note verticale presque entièrement illisible, où l'on distingue « \(X \to Y\) épi dans \(\mathcal{M}\) » et « \(\varphi(h)\) mono »

59Cela équivaut, en termes des \((\mathcal{M}, \varphi)\), à la condition que l'on ait

(D) Supposons que dans \(\mathcal{K}\) les sommes amalgamées \(X \sqcup_Y Z\) existent si \(Y \to X\) et \(Y \to Z\) mono. Alors pour un morph. quelconque \(Y \xrightarrow{f} X\), \(X \sqcup_Y X\) existe, car on peut remplacer \(f\) par \(Y' \to X\) (l'inclusion de son image). \(Y \to X\) est un épi ssi \(X \sqcup_Y X \xrightarrow{\nabla_{X/Y}} X\) est iso. Donc si dans \(\mathcal{M}\) les mêmes types de sommes amalgamées existent, et \(\varphi\) y commute, alors \(\varphi(f)\) est un épi ssi \(f\) est épi ; si dans \(\mathcal{K}\) épi \(\Rightarrow\) épi eff., kif kif dans \(\mathcal{M}\) […].« \(X \xrightarrow{f} X\) » sur la page ; lu \(Y \to X\) d'après la suite

On considère un diagramme dans \(\mathcal{M}\), [à morphismes modérés] i.e. d'objets modérés (de \(\mathcal{K}\))

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
Y \arrow[r, "i"] \arrow[d, "j"'] & X \\
Z &
\end{tikzcd}

avec \(i\), \(j\) mono, on cherche \(X \sqcup_Y Z\) dans \(\mathcal{M}\) avec \(\varphi\) y commutant. Donc on cherche une structure modérée sur \(X \sqcup_Y Z\) de \(\mathcal{K}\), et un diagr telle que \(X \to X \sqcup_Y Z\), \(Z \to X \sqcup_Y Z\) soient modérés, et que ça satisfasse la propriété universelle. « PB universel » sur la page, pour « propriété » ; un second schéma, \(X \sqcup Z \rightrightarrows\) vers \(X \sqcup_Y Z\), est esquissé à droite

la marge gauche porte une note au crayon, illisible

60On suppose que dans \(\mathcal{K}\), pour tt diagramme de mono \(X \xrightarrow{i} Y\), \(X \xrightarrow{j} Z\), il existe une somme amalgamée \(S =\) \(Y\) \(Y \sqcup_X Z\), et que de plus \(Y, Z \rightrightarrows S\) sont des mono et \(Y \times_S Z \leftarrow X\) iso. Je voudrais aussi […] ([…] d'exactitude et sommes) (compte tenu des hyp. de factorisation faites plus haut sur \(\mathcal{K}\)) qu'il existe un diagramme cartésien (de mono), (D) :

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X \arrow[r, hook, "i"] \arrow[d, hook', "j"'] & Y \arrow[d, hook] \\
Z \arrow[r, hook] & S'
\end{tikzcd}

(et donc on peut prendre \(S = Y \sqcup_{S'} Z\) (sup de sous-objets)). Il résulte de ceci que tout mono de \(\mathcal{K}\) est effectif (peut-être pas universel…) (les sommes amalgamées sont alors universelles (stables par chgt de base quelconque)).« \(Y \sqcup_{S'} Z\) » : sic, pour le sup de \(Y\) et \(Z\) dans \(S'\)

Supposons maintenant que \(X\), \(Y\), \(Z\) et \(i\), \(j\) soient modérés. On cherche sur \(S\) une structure modérée telle que \(Y \to S\) et \(Z \to S\) soient modérés (lorsque ça sera une somme amalg. dans \(\mathcal{M}\)). Cela revient (sic) à ce qu'on puisse trouver un diagramme cartésien (D) avec \(S'\) et \(Y, Z \to S'\) modérés.

(La condition d'[…] […] …) \(O_1 : e_0 \to I_0\) dans \(\mathcal{M}\) (cf. 4°)« \(O_1 : e_0 \to I_0\) dans \(\mathcal{M}\) » est encadré d'où \(\sigma_n : e \to I_0^n\)

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
Y \arrow[r] \arrow[d, hook'] & e \arrow[d, "\sigma_n"] \\
X \arrow[r, "f"'] & I_0^n
\end{tikzcd}

(NB OPS \(X = I_0^n\))