Fonds Grothendieck, cote n° 121, pages 41–60 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-26)Opus 5.5 (claude-opus-5-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-09-26
Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription
est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une
machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La
source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.
https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)121
Topologie modérée : notes manuscrites (s.d.), lettre (1974)
Pages 41 à 60 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 3 de vingt pages.
Les pages absentes de la transcription ne portent pas de
mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.1974Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/121.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement
par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \add devient
supplied ; \struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
\note devient note[@type='editorial']
(du transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
Les mathématiques sont transportées en TeX dans
formula[@notation='TeX'], les diagrammes
commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'],
sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une
formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de
la formule, sous les mêmes macros.
Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une
faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurPremière passe de transcription.Export TEI depuis la source LaTeX.
feuillet de papier quadrillé, presque entièrement occupé par des
dessins ; on ne transcrit que les légendes. En haut, un point V_0 ; puis
une courbe V_1 aboutissant à V_0, avec la légende « \partial V_1 =
V_{1,0} » et le schéma \partial V_1 = V_{10} \to V_0, \partial V_1 \to
V_1. Plus bas, une figure plane : une région hachurée V_2, bordée par la
courbe V_1, avec des bandes marquées V_{21}, V_{210}, V_{20} (un
demi-disque autour du point V_0). Le reste de la page est blanc.
page de schémas, en partie au crayon ; on donne ce qui se lit.
\Phi_0 ens fini \Phi_1 = \lbrace \Phi_1^{\circ} ; \Phi_1^{b}
\rbrace « 1-spécial »lecture de « spécial »
douteuse ; plusieurs mots biffés à droite, illisibles
à côté, des schémas analogues pour le niveau 2 : F_2, \partial F_2 =
F_2|\partial\Phi_2, \Phi_2 \xleftarrow{\partial_2} \partial\Phi_2, avec
les composantes \partial_0\Phi_2, \partial_1\Phi_2,
(\partial_1\Phi_2)_0, (\partial_1\Phi_2)_1, les flèches \alpha_0,
\alpha_1, \beta_0, \beta_1, \pi'_1, (\pi_2)_0, (\pi_2)_{1,0},
\pi_{2,1,1} vers \Phi_0, \Phi_1, \partial\Phi_1 ; en bas, une tour
X_0 \to X_1 \to X_2 figurée par des cases [\Phi_0], [\Phi_1],
[\Phi_2]. Ces schémas ne sont pas redessinés.
U \subset V \subset W
U régulierV - U régulierW - V régulier(V, W) équisingulier le long de U ?W équisingulier le long de V - U
dim : rr+sr+s+t reconstruction ;
Données
U espace régulier (dim r)U' fibré sur U, fibres régulières (de dim
s-1), donc U' régulierV^{\circ} variété à bord, de bord U' (dim r+s)V^{\circ\prime} fibré sur V^{\circ}, à fibres régulières (de
dim t-1) (sa dim est r+s+t-1), son bord est V^{\circ\prime}|\partial
V^{\circ} = V^{\circ\prime}|U' (de dim r+s+t-2), fibré sur U à
fibres régulièresU'' autre fibré sur U (dim r+s+t-1) à fibres des
espaces réguliers variétés à bord (de dim s+t-1), donc
\partial U'' = fibré des bords (de dim r+s+t-2), fibré sur U de dim
s+t-2dimensions lues sur un bloc serré ; les exposants sont
incertainsUn isom. de U-fibrés en fibres régulières \partial U''
\simeq \partial V^{\circ\prime}. On en conclut, par recollement, un
espace régulier V' = V^{\circ\prime}
\sqcup_{\partial} U''espace variété à bord W^{\circ}, de bord V'.
On construit
V = V^{\circ} \sqcup_{U'} U et U \hookrightarrow V, V' \to
V ;b)W = W^{\circ} \sqcup_{V'} V et V \to W.
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
V' = V^{\circ\prime} \sqcup_{\partial} U'' \arrow[r] & W^{\circ} \arrow[r]
& W \\
& V = V^{\circ} \sqcup_{U'} U \arrow[ur] & U \arrow[l, hook']
\end{tikzcd}
le diagramme, à gauche de la page, est redessiné d'après une
esquisse ; les flèches V' \to V et les inclusions des bords n'y sont pas
toutes lisibles
page de dessins : une suite de figures numérotées 1°) à 6°) (un point
U_0, puis U_0 et U_0', des « haltères », des régions hachurées
V^{\circ\prime}, U''), marquées I et II. En haut, la tour U_0 \subset
U_1 \subset U_2 \subset U_3 \ldots U_n, avec U_1^{\circ}, U_2^{\circ},
U_3^{\circ}, \partial U_1^{\circ} = U_0', \partial U_2^{\circ},
U_1^{\circ\prime}, U_0'', \partial U_1^{\circ\prime} = \partial U'',
U_2^{\circ\prime}, \partial U_2^{\circ\prime}. À droite, un schéma
vertical :U_n \to U_n^{\circ} \leftarrow \partial U_n^{\circ} ; \qquad
\partial_{n-1} U_n^{\circ},\ \partial_{n-2} U_n^{\circ},\ \ldots,\
\partial_0 U_n^{\circ} \longrightarrow U_{n-1}^{\circ},\
U_{n-2}^{\circ},\ \ldots,\ U_0^{\circ} = U_0 .
PL variétés à bord fibrées sur v. à b. à fibres
le reste de la page porte, au crayon très pâle, des esquisses du même
genre que la page 44 (haltères, bandes), sans texte lisible
\partial_j V_i^{\circ} \to V_j^{\circ} ; \qquad
\partial(\partial_j V_i^{\circ}) = \bigcup_{k} \partial_j
V_i^{\circ}|\partial_k V_j^{\circ} \ \cup \ \cdotsl'indice de la réunion et le dernier terme, rendu ici par des points, sont illisibles (). La page
porte ensuite deux grands tableaux de flèches : le premier part de
V_i^{\circ} et de \partial V_i^{\circ} et descend en dimension (n_i,
n_i - 1, …) ; le second est une suite V_i^{\circ} \leftarrow
V_{ij}^{\circ} \leftarrow V_{ijk}^{\circ} \leftarrow V_{ijkl}^{\circ}
\leftarrow \cdots \leftarrow V_{ijkl\ldots p}^{\circ}, avec des croix
marquant des carrés cartésiens. Ils ne sont pas redessinés.
Équisingularité. Cellules
titre pris sur le feuillet de garde rose (page 47), où il est écrit à
l'encre, souligné, sur deux lignes : « Équisingularité » puis
« Cellules ». Les mots sont de sa main.
Soient X donné, avec une famille loc. finie de sous-espaces fermés
T_\alpha \subset X. Alors il existe une partition stricte
admissible (i.e. avec condition de connexité) de X, pour
laquelle les T_\alpha soient réunions de feuilles. Parmi celles-ci, il y en
a une plus grossière que toutes autres. Sa formation commute à la
restriction à des ouverts.
NB c'est une sur Xen marge gauche, en face
de l'énoncé, qu'un trait vertical délimite
La construction de cette dernière montre qu'il suffit de
prouverl'existence localement, et la
propriété … dans X de
dimensionfinie. Trivial si \dim X \leqslant 0 (unique partition
stricte admissible OK)
les lignes « La construction … dans X » sont surchargées
d'une addition interlinéaire (« Dans les … ») et d'un
passage biffé ; la lecture est très incertaine
Considérons les
Supposons \dim X > 0 (ce qui serait) .
On se débarrasse des feuilles de la partition
cherchée, conditionsdes T_\alphamultiplesi.e. r \geqslant 1 (facteurs) T_{\alpha_1} \cap
T_{\alpha_2} \cap \cdots \cap T_{\alpha_r}quiX^1, comme
X^1 = \bigcup_{\alpha} \dot{T}_\alpha
Soit
le bas du passage est barré de plusieurs traits obliques et d'un
trait horizontal ; la page s'arrête sur « Soit »
U ouvert \subset X, i, j \in I, \overline{F_i} \cap U \neq
\emptyset i.e. F_i \cap U \neq \emptyset\overline{F_i} \subset \overline{F_j} \ \overset{?}{\Longleftrightarrow}\
\overline{F_i} \cap U \subset \overline{F_j} \cap U\Longrightarrow trivial
\overset{?}{\Longleftarrow}
Soit x \in \overline{F_i}, au voisinage de x on a
\overline{F_i} \subset \overline{F_j}, i.e. \bigl(\overline{F_i} \cap
\overline{F_j} = \bigcup_{k \in K} \overline{F_k}\bigr) = \overline{F_i} au
voisinage de x.
\forall k\overline{F_k} \subset \overline{F_i} égalité au
voisinage de x\Longrightarrow égalité partout ?
Oui, car F_k est ouvert dans \overline{F_i} !
Donc si I_U = \lbrace i \in I \mid \overline{F_i} \cap U \neq \emptyset
\rbrace \subset I, alors la relation d'ordre de I_U est celle induite par
U.sic ; on attend « induite par I »
Cor Si F_i \cap U \neq \emptyset, alors F_i ouvert
\LongleftrightarrowF_i \cap U ouvert (i.e. i maximal dans I\Longleftrightarrowi maximal dans I_U) ; \Longrightarrow trivial ;
\Longleftarrow soit i maximal dans I_U, si j \in I, j \geqslant i,
alors j \in I_U, donc j = i, OK.la lecture du corollaire est
incertaine par endroits ; plusieurs mots en sont surchargés
(III)le numéro est cercléX = X^0 \supset X^1 \supset X^2 \supset \cdots \supset X^n \supset
\cdotsfiltration loc. finie par des fermésencadré, \forall i,
X^{i-1} - X^iouvert dans …
V^i = X^i - X^{i+1} … ; \forall ouvert U, l'ens. des
composantes connexes de U \cap V^i est loc. fini sur U, \forall i ; et
\forall comp. conn. Z_\alpha de U \cap V^i, \overline{Z_\alpha} \cap
U \cap V^j est une partie ouverte de U \cap V^j.
(c'est en fait une condition locale, on peut se borner à U \ni
x)les indices de cette filtration sont peu lisibles ; la
lecture « V^i = X^i - X^{i+1} » est donnée sous réserve
Conditions pour une partition admissible
feuilles connexesfeuilles non singulières (contexte d'espaces
lisses L.P.M. ou SA.P.M. )équisingularité.
NB a) n'est pas stable en s'induisant sur un ouvert de X (tandis que la
condition d'admissibilité l'est, ainsi que b) et c)). Une bonne condition
stable est localement [les fibres loc. connexes], et
\forall ouvert U de X, la famille de toutes les
composantes connexes de tous les U \cap F_i est une partition admissible
de U,
c) \forall i, la famille des composantes de U \cap F_i est loc.
finie sur F_i(F_{i\alpha}) i.e. si
F_{i\alpha} est une composante connexe de U \cap F_i : F_{j\beta} \cap
\overline{F_{i\alpha}} \neq \emptyset \Rightarrow F_{j\beta} \subset
\overline{F_{i\alpha}} (ou encore, \overline{F_{i\alpha}} \cap F_j \cap
U est une partie ouverte de F_j \cap U, ou encore de F_j)
l'addition « c) … (F_{i\alpha}) » est interlinéaire ; sa
place exacte dans la phrase est incertaine
Soit (F_i) partition admissible. F_i ouvert dans X\Longleftrightarrow\overline{F_i} maximale. F_i ouvert dans X,
et\overline{F_i} \supsetneq \overline{F_j}\LongrightarrowF_i\neq \emptyset ouvert dense dans \overline{F_j} et
\overline{F_i} rare dans \overline{F_j}sic, les indices i et j
semblent échangés dans la seconde moitié ; donc F_i ouvert dans X\LongrightarrowF_i maximal. Soit F_i maximal, alors
X - F_i = \bigcup_{j \neq i} \overline{F_j} \quad \text{(fermé)}
car \forall j \neq i, \overline{F_j} \cap F_i = \emptyset.
F_i \text{ ouvert} \Longleftrightarrow X - F_i \ \bigl(=
\textstyle\bigcup_{j \neq i} F_j\bigr) \text{ fermé} \Longleftrightarrow
\forall j \neq i,\ \overline{F_j} \subset X - F_i
i.e. \forall j \neq i, \exists k tel que
\overline{F_k} \supsetneq \overline{F_j}, k \neq i\Longleftrightarrowi maximal ?fin de page serrée ; lecture
incertaine
Cellules
X espace topologique, (F_i)_{i \in I} une partition de X (les F_i
sont appelés « feuilles »). On dit que la partition est
admissible si (I) :les chiffres romains I et II sont écrits en marge, devant une accolade qui embrasse chaque liste
(F_i) est une partition de X(F_i) est loc. finie \forall i, \overline{F_i} est une réunion de
feuilles, etF_i ouvert dans \overline{F_i} (i.e. F_i loc.
fermé dans X).
Les \overline{F_i} sont appelés « feuilles fermées ». Quand on a
\overline{F_i} = \overline{F_j}, on a F_i = F_j, car si
\overline{F_j} \subset \overline{F_i} i.e. F_j \subset \overline{F_i},
comme \overline{F_i} est réunion de feuilles, on a F_j = F_i, ou F_j
\subset \overline{F_i} - F_i, mais dans ce cas
« \overline{F_j} \subset \overline{F_i} - F_i », donc \overline{F_j}
\neq \overline{F_i} puisque F_i \neq \emptyset. Donc la donnée de la
famille (F_i) équivaut à celle de la famille des \Phi_i =
\overline{F_i}. Elle est alors caractérisée (II) :
les \Phi_i recouvrent X(\Phi_i) est loc. finieles \Phi_i fermés\forall i, j, \Phi_i \cap \Phi_j est une réunion
de \Phi_k\forall i, j avec \Phi_j \subsetneq \Phi_i,
\Phi_j est rare dans \Phi_i.
Ces conditions nécessaires pour que (\Phi_i) soit la famille des feuilles
fermées d'une partition admissible, sont aussi suffisantes. En effet,
\forall i \in I, soit
F_i = \Phi_i - \bigcup_{\Phi_j \subsetneq \Phi_i} \Phi_j
les F_i forment une partition de X (\forall x \in X, \exists unique
i tel que x \in F_i), F_i est loc. fermé (grâce à (i) et
(ii)), (F_i) est loc. finie (grâce à (i)), et \forall i,
\overline{F_i} = \Phi_i (grâce à (iv)), prouvons que \Phi_i est réunion
de feuilles F_j, i.e. Considérons le cas que \forall j, F_j
\cap \Phi_i \neq \emptyset \Rightarrow F_j \subset \Phi_i. Mais F_j \cap
\Phi_i \neq \emptyset \Longrightarrow\Phi_j \subset
\Phi_i (prendre x \in F_j \cap \Phi_i, et utiliser la description
marginale de j tel que x \in F_j), d'où F_j \subset \Phi_i OK.
x \in F_i, savoir i tel que x \in \Phi_i et \Phi_i soit
le plus petit de ceux-ci (existe grâce à (iii))en marge gauche,
entre accolades, reliée à la parenthèse « \exists unique i tel que » ;
c'est la « description marginale » à laquelle renvoie la fin de la page
Catégorie modérée
titre souligné ; feuillet perforé à réglure fine
A) Catégorie \mathcal{M} avec foncteur
X \mapsto |X| = \varphi : \mathcal{M} \longrightarrow (\text{Espaces
compacts})
Dans \mathcal{M} les \varprojlim finies existent, et
\varphi est exact à g.Le foncteur |\ | est conservatif
[\Longrightarrow le foncteur est fidèle]
les chiffres de M1) et M2) sont repassés
Cor 1 Pour que f : X \to Y dans \mathcal{M} soit un mono, il faut
et il suffit que \varphi(f) le soit. L'application, pour X \in
\mathrm{Ob}\,\mathcal{M},
\mathrm{SsObj}(X) \xrightarrow{\ \varphi\ } \mathrm{SsObj}(\varphi(X))
est injective, la relation d'ordre du premier étant induite par
le second.
Déf. Sous-espace (\mathcal{M}-)modéré de |X| (stable par int.
finies). Structure modérée sur un espace compact K. Sous-espace
modéré d'une structure modérée. Application modérée.
Cor 2 Une application f : |X| \to |Y| est modérée
ssi son graphe l'est.
L'image d'un espace modéré par une application modérée est
modérée.
deux carrés entre crochets, marqués d'une croix au centre ; la
flèche de gauche porte un indice peu lisible
donc f se factorise de façon est unique en
X \xrightarrow{f'} Y' \xrightarrow{i} Y avec |f'|
surjectif et |i| injectif i.e. i mono.
forme équivalente
Est-ce que f' épi (effectif) i.e. X \times_{Y'} X \rightrightarrows X
\to Y' exact ? C'est épi car |f'| l'est, et |\ | conservatif ; soit
alors X \xrightarrow{g} Z tel que g\,\mathrm{pr}_1 = g\,\mathrm{pr}_2,
se factorise-t-il par Y' ? |g| se factorise en h :
|Y'| \to |Z|, il suffit de voir que hest modéré.
Lemme Soient X \xrightarrow{f'} Y' dans \mathcal{M} et H : |Y'|
\to |Z| tel que H \circ |f'| modéré = |g|, |f'| surjectif, alors
H modéré i.e. provient de h : Y' \to |Z|.sic : « h : Y' \to
|Z| »
En effet, voit d'abord le graphe de H est l'image du graphe de
|g| = H \circ f', donc est modéré.
Ind-objet spécial * de \mathcal{M} : a) défini par une
suiteX_1 \to X_2 \to \cdots \to X_n \to \cdots
avec morphismes de transition des monos ; b) \forall i, \exists\, j
\geqslant i tel que \forall k \geqslant j, |X_i| \subset
\mathrm{Int}_{|X_k|} |X_j|.
l'astérisque est de sa main, au-dessus de « spécial » ; aucun renvoi
correspondant n'est visible. Dans b), un X_k biffé précède l'indice
|X_k|
Alors \varinjlim_i |X_i| est un espace loc. compact dénombrable à
l'\infty, et les |X_i| y forment un système fond. de compacts. Le
foncteur
\mathfrak{X} \longmapsto |\mathfrak{X}| = \varinjlim_i |X_i|
de la catégorie \widetilde{\mathcal{M}}des ind-objets spéciaux de
\mathcal{M} vers les espaces loc. compacts, est exact à g. (NB
\mathcal{M} est stable par \varprojlim finies dans
\widetilde{\mathcal{M}}), conservatif, peut-être pas transportable — ce
qui nous permet d'introduire la notion de structure pseudo-modérée sur
un espace loc. compact (s'il est compact, cela revient à la structure
modérée), de sorte que la catégorie des ind-objets spéciaux devient
équivalente à celle des espaces loc. cpts pseudo-modérés. On définit encore
la notion de morphismepseudo-modéré modéré, de
sous-ensembles (fermés) pseudo-modérés d'un tel X. On a que si f : X \to
Y est propre et pseudo-modéré, f(X) est une partie pseudo-modérée
de Y.
compact.en marge gauche, en face de « espace loc.
compact »
Donnée supplémentaire a) Structure pseudo-modérée sur \mathbb{R}
pour laquelle les intervalles I_n = [-n, +n]
(n \in \mathbb{Z}n \in \mathbb{N}^*) sont des sous-ens.
(ps.) modérés, la multiplication par xn \neq 0 étant un
morphisme (donc isomorphisme) ps. modéré de \mathbb{R}. On aura donc
\mathbb{R} = \text{``}\varinjlim\text{''}\, I_n \simeq \varinjlim I_1 ,
les morphismes de transition I_1(n) \to I_1(n+1) étant la multiplication
par \frac{n}{n+1}. Donc la donnée a) revient à la donnée :
b) Structure modérée sur I_1 = [-1, +1] pour laquelle les applications t
\mapsto rt (r \in \mathbb{Q}^*, |r| \leqslant 1) sont
modérées. On suppose de plus
1°) le point 1 de I_1 (ou de \mathbb{R}, c'est kif kif)
est modéré2°) l'application somme \mathbb{R} \times \mathbb{R}
\xrightarrow{x+y} \mathbb{R} (i.e. (x,y) \mapsto \frac{x+y}{2}I_1 \times I_1 \to I_1, c'est kif-kif) est modérée3°) l'application produit \mathbb{R} \times \mathbb{R}
\xrightarrow{xy} \mathbb{R} (i.e. (x,y) \mapsto xy : I_1 \times I_1
\to I_1, c'est kif-kif) est modérée.
De 1°) 2°) on conclut que les pts x \in \mathbb{Q}
\subset \mathbb{R} sont modérés, que les translations T_x sont modérées, que les intervalles de \mathbb{R} à
extrémités modérées sont .la dernière ligne est coupée par le
bord du feuillet
Moyennant 1°, 2° les applications modérées de X (espace compact modéré)
dans \mathbb{R} forment un sous-module sur le corps
\mathbb{R}_{\mathrm{mod}} des pts modérés de \mathbb{R} (contenant
\mathbb{Q}) ; moyennant 1°, 2°, 3°) c'est un sous-anneaualgèbre.deux mots superposés en fin de phrase
L'axiome supplémentaire suivant sera vérifiépar la
suite
Pour tout X \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{M}, \existsn \geqslant 0 et un morphisme modéré X \to \mathbb{R}^ninjectif [ou encore X \to I^ninjectif].
Considérons, pour tout n \geqslant 0, l'ensemble \mathcal{M}_n
des parties compactes modérées de I^n (I = [0,1]). Cet ensemble
\mathcal{M}_* satisfait aux conditions
les K \in \mathcal{M}_n sont compacts (\Longleftrightarrow
fermés)Stabilité par intersections finiesStabilité par images inverses par applications
simpliciales I^n \to I^m (\mathcal{M}_* est un ens.
cosimplicial)Stabilité par images directes (— simpliciales)
On récupère \mathcal{M} et X \mapsto |X| : \mathcal{M}
\to (\mathrm{Esp\,cpts}) à équivalence près, connaissant
\mathcal{M}_*, de la façon suivante :
Une structure modérée sur un espace compact X est
une classe d'équiv. d'appl. continues injectives X \xrightarrow{i}
\mathbb{R}^nà image K \in \mathcal{M}_n, deux telles
(i, K_n), (i', K'_{n'}) étant équivalentes si le
graphe de i'i^{-1} : K_n \to K'_{n'}, soit \Gamma \subset I^{n+n'},
est modéré\in \mathcal{M}_{n+n'},Si X, Y sont munis de structures modérées par i : X
\xrightarrow{\sim} K \subset I^n, i' : Y \xrightarrow{\sim} K' \subset
I^{n'}, \varphi : X \to Y est modéré ssi \Gamma_{i'\varphi i^{-1}}
\subset I^{n+n'} est \in \mathcal{M}_{n+n'}.
\mathcal{M}-structure sur Xen marge gauche, avec une
flèche vers « X \xrightarrow{i} \mathbb{R}^n » ; les deux phrases de la
page qui suivent « de la façon suivante » avaient d'abord « \mathbb{R}^n »
puis passent à I^n, comme il l'écrit
Partant de \mathcal{M}_* satisfaisant M'1, M'2, M'3, soit
\mathcal{M}_0 la catégorie suivantedéfinie des espaces
compacts munis d'une \mathcal{M}_*-structure
\mathrm{Ob}\,\mathcal{M} = espaces compacts X avec
\mathcal{M}_*-structure (définie )\mathrm{Ob}\,\mathcal{M}_0 = couples (n, K), n \in
\mathbb{N}, K \in \mathcal{M}_n\mathrm{Hom}((n,K),(n',K')) = partiesens. des
applications continues f (continues) de K dans K' telles que
\Gamma_f (\in I^{n+n'}) soit \in \mathcal{M}_{n+n'}\simeq ens. des parties\Gamma \in \mathcal{M}_{n+n'},
telles que \Gamma \subset K \times K' et \Gamma \to K induit par pr.
soit bijectif.
le « \mathcal{M}_*-structure » biffé et une accolade, à gauche,
relient les deux premières lignes à a)
NB Pour les identités, on a \Gamma_{\mathrm{id}_K} \subset K \times
K \subset I^n \times I^n \simeq I^{2n} s'identifie à
l'image de K par \delta_n : I^n \to I^{2n}, et on applique M'3.
Comme Stabilité par composition, on a si (K,-)
\xrightarrow{f} (K',-') \xrightarrow{g} (K'',-''), …
\Gamma_{fg} = p^{-1}(\Gamma_f) \cap q^{-1}(\Gamma_g),
où p, q sont les appl. can. I^{n+n'+n''} \to I^{n+n'} et
I^{n+n'+n''} \to I^{n'+n''}, et on applique M'1) et M'2).
« \Gamma_{fg} » : sic ; le graphe écrit est dans
I^{n+n'+n''}, la projection sur I^{n+n''} n'est pas écrite
On a un foncteur (K, n) \mapsto K, \mathcal{M}_0 \to (Esp. cpts). Il
est fidèle, et conservatif (appliquer M'2) ). On le rend
transportable, ce qui donne \mathcal{M} \simeq équiv. .« appliquer M'2 » : le chiffre peut être 3
\exists objet final : e = (0,I^0 = \lbrace e
\rbrace) : en effet, si (K,-) \in \mathcal{M}_0, K \to e comme
graphe K lui-même.
\exists produits fibrés. Soit En effet, soit (K,-), (K',-'), et K \times K' \subset I^{n+n'} … défini par
(L,-), mais
bas de page surchargé : plusieurs formules biffées, dont on ne
distingue que K \times K' et I^{n+n'}
L \subset K \times K' est modérée, donc L \to K
et L \to K' le sont. En effet, sig est K
\times K' \xrightarrow{\mathrm{pr}} K … est modérée, car le graphe
de K \times K' \xrightarrow{\mathrm{pr}} K dans … est
\Delta_{K \times K'} \subset I^{\ldots}(K \times K' \times K) \cap \mathrm{Im}\bigl(I^{n+n'} \to
I^{n+n'+n}\bigr), \qquad (x, x') \mapsto (x, x', x)
qui est \in \mathcal{M}_{2n+n'} par M'1, 2, 3. Donc g modérée
\Rightarrowf, f' modérés. Inversement, on a \Gamma_g \subset
I^{m+n+n'}, = p^{-1}(\Gamma_f) \cap q^{-1}(\Gamma_{f'}), p :
I^{m+n+n'} \to I^{m+n}, q : I^{m+n+n'} \to I^{m+n'}, … et
appliquer M'1, 2.« q^{-1}(\Gamma_{f'}) » : l'indice est lu
g sur la page ; le contexte demande f'
La fonction (K \to K \times K') … immédiat avec
produits finis.
On voit de façon analogue que si f, g : (K,-) \rightrightarrows (K',-'),
alors \mathrm{Ker}(f,g) existe dans \mathcal{M}_0 et \mathcal{M}_0 \to
(\mathrm{Ens})y commute (car \mathrm{Ker}(f,g) =
r\bigl(p^{-1}(\Gamma_f) \cap q^{-1}(\Gamma_g) \cap \delta(I^{n+n'})\bigr)
est \in \mathcal{M}_{n+n'+n'} …), f, g : K \to K' \times K'
\subset I^{n+n'} … ; où p, q : I^{n+n'+n'} \to I^{n+n'} sont les 2
proj., \delta : I^{n+n'} \to I^{n+n'+n'}, r : I^{n+n'+n'} \to I^n.
x, x'_1, x'_2 ; x'_1 = f(x), x'_2 = g(x), x'_1 =
x'_2en marge droite, à la hauteur de la formule du noyau ; la
parenthèse est surchargée et sa lecture est incertaine
Ainsi on a M1) M2), et on a aussi M3) grâce à M'3). On a l'objet (I, 1) =
I de \mathcal{M}_0 … d'où l'axiome M5 par
construction.M1), M2), M3), M5 renvoient aux axiomes de la page 53 et
de la page 55
Alors les conditions supplémentaires avant M4), ou M4),
équivalent :
\forall q \in \mathbb{Q}, |q| \leqslant
1, l'ens \lbrace (x,y) \mid y = qx \rbrace \subset I \times I est \in
\mathcal{M}_21°) \forall I\lbrace 1 \rbrace \subset I est \in
\mathcal{M}_12°) l'ens \lbrace x, y, z \mid z = \frac{x+y}{2} \rbrace \subset
I^3 est \in \mathcal{M}_33°) l'ens \lbrace x, y, z \mid z = xy \rbrace \subset I^3
…
la ligne 3°) se termine par un trait, comme « idem »
(A)la lettre est cerclée ; cette page et les deux suivantes sont en
partie au crayon\mathcal{K} catégorie avec \varprojlim finies ; \mathcal{M}
\xrightarrow{\varphi} \mathcal{K}
foncteur exact à g. (avec \varprojlim finies calculées dans
\mathcal{M})conservatif (donc fidèle)I_0 objet de \mathcal{M} tel que \forall X \in
\mathrm{Ob}\,\mathcal{M}, \exists n \in \mathbb{N} et mono i : X \to
I_0^n
les trois lignes sont réunies par une accolade\varphi transportablesa lettre pour la catégorie cible est un K simple ; on la note
\mathcal{K} pour la distinguer des parties K des pages précédentes
À équivalence près (pour (\mathcal{M}, \varphi)), pour \mathcal{K}
donné, on donne équivalemment la donnée
d'un I \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{K}\forall n \in \mathbb{N}, d'un ens \mathcal{M}_n de
sous-objets de I^n avec les conditions1°) \mathcal{M}_n stable par intersections finies2°) \mathcal{M}_n stable par images inverses d'appl. simpl.
I^m \to I^n3°) Pour \sigma : I^n \to I^{n'} simpl., et K
\in \mathcal{M}_n, tel que \sigma|K soit mono, \sigma(K) \in
\mathcal{M}_{n'}.
NB Si on \varphi transportable, on a correspondance avec
\mathcal{M} défini à \mathcal{K}-isom près.
(B) Supposons que tt morphisme X \xrightarrow{f} Y de \mathcal{K} se
factorise en X \xrightarrow{g} Y' \xrightarrow{i} Y, g épi effectif, i
monomorphisme (donc nécessairement Y' = \mathrm{Im}\,gsic ; on
attend \mathrm{Im}\,f, donc le plus petit sous-objet de Y par lequel se
factorise f) et que les épi effectifs soient
universels. Considérons la condition plus forte que 3°
Comme 3°, mais sans supposer que \sigma|K soit mono.
Cette condition est équivalente à : tout sous-objet d'un objet de
\mathcal{K} « à structure modérée », image d'un morphisme « modéré », est
modéré .fin de phrase peu lisible
(C) Si dans \mathcal{K}dans les sous-objets d'un objet
il y a des sup finis (« réunion »). Considérons
a) \mathcal{M}_n stable par sup finis (\forall n
\geqslant 0)b) Il existe un morphisme modéré de e \sqcup e dans I
[défini par deux (e_1, e_2) \in \mathcal{M}_1 tels que e_1 \simeq e
et e_2 \simeq e] qui soit un monomorphisme.
Cette condition équivaut
la marge gauche porte, au crayon, une note verticale presque
entièrement illisible, où l'on distingue « X \to Y épi dans
\mathcal{M} » et « \varphi(h) mono »
Cela équivaut, en termes des (\mathcal{M}, \varphi), à la condition que
l'on ait
Dans \mathcal{M} les sommes disjointes finies existent, et
\varphi y commute\exists monomorphisme e \sqcup e \to I_0.
(D) Supposons que dans \mathcal{K} les sommes amalgamées X \sqcup_Y Z
existent si Y \to X et Y \to Z mono. Alors pour un morph. quelconque
Y \xrightarrow{f} X, X \sqcup_Y X existe, car on peut remplacer f par
Y' \to X (l'inclusion de son image). Y \to X est un épi ssi X \sqcup_Y
X \xrightarrow{\nabla_{X/Y}} X est iso. Donc si dans \mathcal{M}les mêmes types de sommes amalgamées existent, et \varphi y
commute, alors\varphi(f) est un épi ssi fest
épi ; si dans \mathcal{K} épi \Rightarrow épi eff., kif kif dans
\mathcal{M}.« X \xrightarrow{f} X » sur la page ; lu
Y \to X d'après la suite
On considère un diagramme dans \mathcal{M}, à morphismes modérés
i.e. d'objets modérés (de \mathcal{K})
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
Y \arrow[r, "i"] \arrow[d, "j"'] & X \\
Z &
\end{tikzcd}
avec i, j mono, on cherche X \sqcup_Y Z dans \mathcal{M} avec
\varphi y commutant. Donc on cherche une structure modérée sur X \sqcup_Y
Zde\mathcal{K}, et un diagr telle que X \to X
\sqcup_Y Z, Z \to X \sqcup_Y Z soient modérés, et que ça satisfasse la
propriété universelle.
« PB universel » sur la page, pour « propriété » ; un second schéma,
X \sqcup Z \rightrightarrows vers X \sqcup_Y Z, est esquissé à droite
la marge gauche porte une note au crayon, illisible
On suppose que dans \mathcal{K}, pour tt diagramme de mono X
\xrightarrow{i} Y, X \xrightarrow{j} Z, il existe une somme amalgamée S =YY \sqcup_X Z, et que de plus Y, Z \rightrightarrows S sont
des mono et Y \times_S Z \leftarrow X iso. Je voudrais aussi
( d'exactitude et sommes) (compte tenu des hyp. de
factorisation faites plus haut sur \mathcal{K}) qu'il existe un diagramme
cartésien (de mono), (D) :
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X \arrow[r, hook, "i"] \arrow[d, hook', "j"'] & Y \arrow[d, hook] \\
Z \arrow[r, hook] & S'
\end{tikzcd}
(et donc on peut prendre S = Y \sqcup_{S'} Z (sup de sous-objets)). Il
résulte de ceci que tout mono de \mathcal{K} est effectif (peut-être pas
universel…) (les sommes amalgamées sont alors universelles (stables
par chgt de base quelconque)).« Y \sqcup_{S'} Z » : sic, pour le
sup de Y et Z dans S'
Supposons maintenant que X, Y, Z et i, j soient modérés. On
cherche sur S une structure modérée telle que Y \to S et Z \to S soient
modérés (lorsque ça sera une somme amalg. dans
\mathcal{M}). Cela revient (sic) à ce qu'on puisse trouver un
diagramme cartésien (D) avec S' et Y, Z \to S' modérés.
(La condition d' …) O_1 : e_0 \to I_0
dans \mathcal{M} (cf. 4°)« O_1 : e_0 \to I_0 dans
\mathcal{M} » est encadréd'où \sigma_n : e \to I_0^n
I_0 injectif dans \mathcal{M}, i.e. \forall mono Y
\hookrightarrow X dans \mathcal{M}, et tt f : Y \to I_0, f se
prolonge à X (NB OPS X = I_0^n)\forall mono Y \hookrightarrow X, \exists\, X
\xrightarrow{f} I_0^n tel que Y = f^{-1}(\sigma_n), i.e. diag.
cartésien
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
Y \arrow[r] \arrow[d, hook'] & e \arrow[d, "\sigma_n"] \\
X \arrow[r, "f"'] & I_0^n
\end{tikzcd}