Cote n° 121 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Topologie modérée : notes manuscrites (s.d.), lettre (1974)
Datation de l’inventaire : 1974
Édition de démonstration

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21On est ramené au cas où \(U = X\), soit \(A\) qui est loc. une réunion de feuilles, l'est-il globalement ? Il suffit de prouver que pour les feuilles \(X_i\), telles que \(X_i \cap A \neq \emptyset\), on a \(X_i \subset A\), on a vu que \(X_i \cap A\) est une partie à la fois ouverte et fermée de \(A\)on attend plutôt « de \(X_i\) » ; transcrit tel qu'écrit. C'est une condition locale sur \(X\), or loc. sur \(X\) \(A\) est comme une réunion de feuilles, OK !

Cela entraîne, un peu plus gén., que pour tout ouvert \(U \subset X\), si \(A \in \overline{\mathcal{F}}_U\), alors les \(A \cap X_i\) sont : à la fois ouverts et fermés dans \(X_i \cap U\), donc des réunions de comp. connexes de \(X_i \cap U\). [Donc \(A\) est réunion de comp. connexes […] des ensembles de la forme \(X_i \cap U\).]addition interlinéaire, serrée entre deux lignes ; la barre au-dessus de \(\mathcal{F}_U\) porte, à sa première occurrence, une sorte de flèche, et le signe est transcrit \(\overline{\mathcal{F}}_U\) partout Inversement, supposons que \(A\) soit une telle réunion, est-il vrai que \(A \in \overline{\mathcal{F}}_U\) ? Évidemment, En particulier, une comp. connexe« En particulier, une comp. connexe » est récrit au-dessus de la ligne puis biffé avec elle une composante connexe d'un \(X_i \cap U\) est-il \(\in \overline{\mathcal{F}}_U\) ? Non, exemple :

\(X = U =\) droite numérique \(\mathbb{R}\)

\(\mathcal{F} = \lbrace \emptyset, \mathbb{R}, \lbrace 0 \rbrace, \mathbb{R}^{*} \rbrace\)

\(X_0 = \lbrace 0 \rbrace\), \(X_1 = \mathbb{R}^{*} = \mathbb{R} - \lbrace 0 \rbrace\)les trois lignes de l'exemple sont réunies par une accolade

\(\mathbb{R}^{+}\) n'est pas \(\in \overline{\mathcal{F}} = \mathcal{F}_X\)les deux lettres sont écrites, la première avec une barre, la seconde sans, au-dessus de l'indice \(X\). Si on veut un exemple avec des \(X_i\) connexes, \(U \neq X\), on prend \(X = \widehat{\mathbb{R}} =\) \(\mathbb{S}^1\), […] \(X_0 = \lbrace 0 \rbrace\), \(X_1 = X - \lbrace 0 \rbrace\), \(U = \mathbb{R}\) …le signe après « \(\widehat{\mathbb{R}} =\) » est surchargé ; on lit une lettre ajourée d'exposant 1. Dans la marge gauche, à hauteur de l'exemple, un signe entouré d'un ovale, illisible

22Nous étudions maintenant la condition f). Il est clair [On a vu] qu'elle est stable par restriction à un ouvert \(\in \mathcal{F}\), mais il est aussi clair qu'elle n'est pas stable par restriction à un ouvert quelconque. Supposons, par si \(A \in \overline{\mathcal{F}}_U\) est loc. fermé dans \(U\) (donc fermé dans un ouvert plus petit \(V \subset U\)). Alors \(A\) est loc. connexe, et […] ! donc ses comp. connexes sont ouvertes, si \(A\) est loc. compact (p.ex. si \(X\) l'est) alors ses comp. connexes forment dans une famille loc. finie dans \(A\) (donc dans \(V\)) […]. Elle [est-elle] loc. finie dans \(U\) ? « Il est clair » est souligné puis biffé, « On a vu » écrit au-dessus ; au-dessus de « Elle », deux signes (« est » et un signe d'égalité triple) ; la fin de la phrase est soulignée

[…] la top. de […] engendrée […] ouverts […]note en biais dans la marge gauche, à hauteur des lignes 8 à 10, presque entièrement illisible

Ceci n'aurait […] […] […] […] \(U\), […] […] \(A = \ill{}\), avec \(Z \in \mathcal{F}\), \(Z\) loc. fermé, […] \(\forall x \in U\), \(\exists\) voisinage ouvert \(V \in \mathcal{F}_U\), tel que \(A \cap V \in \mathcal{F}\), et \(A \cap V\) réunion finie de comp. connexes.les trois premières lignes de ce paragraphe sont barrées de trois longs traits obliques, qui ne touchent pas la fin ; un double trait horizontal le sépare de ce qui suit

Soit \(\underline{\mathcal{F}}\) un sous-faisceau du faisceau des germes de parties de \(X\). On suppose \(\underline{\mathcal{F}}\) satisfait a) b) c) d), et […] [de plus]

le premier mot de la condition, souligné, est biffé ; on y lit « f… », et « e) » est écrit au-dessus. Les deux \(\mathcal{F}\) soulignés de cette page (faisceau) sont transcrits \(\underline{\mathcal{F}}\)

23(dans pour toute partie quasi-compacte \(K\) de \(U\), \(\exists\, i = i(K) \in \mathbb{N}\) tel que \(X_i \cap K = \emptyset\)). Alors \(\mathcal{F} = \Gamma(X, \underline{\mathcal{F}})\) satisfait à a) b) c) d) e), et aussi à e) si \(X\) quasi-compact. Plus généralement, si \(A \in \overline{\mathcal{F}}\), alors \(\mathcal{F}_A\) satisfait à a) b) c) d) e) (et satisfait à e) si ???). [\(=\) ensemble des parties de \(A\) qui sont loc. […] par des sections de \(\underline{\mathcal{F}}\)]addition interlinéaire entourée, au-dessus de « \(\mathcal{F}_A\) satisfait », reliée à \(\mathcal{F}_A\) ; lecture incertaine Ici il est plus commode de partir de l'axiome suivant plus fort que e) :

un trait vertical dans la marge gauche marque l'énoncé Alors tous les \(\mathcal{F}_A\) (\(A\) ouvert fermé dans \(X\)), satisfont à e\(_n\)), donc e).

NB \(\underline{\mathcal{F}}\) est \(\supset\) pour le faisceau engendré par \(\mathcal{F} = \Gamma(X, \underline{\mathcal{F}})\) et l'inclusion peut être stricte. Ex : germes de parties analytiques d'un tore analytique de dim 2 sans fonctions méromorphes non constantes…« \(\supset\) » : le signe après « est » est petit et peu net

Nous supposons [envisageons] maintenant une condition :

f) la condition f) est annoncée mais laissée en blanc ; la page s'arrête là

251. \(X\) espace top.

\(Y\) sous-espace « non singulier » resp. variété

\(X\) est dit « équisingulier le long de \(Y\) » si \(\forall y \in Y\), […] \(\exists\) espace pointé \((N, a)\), et un voisinage ouvert \(U\) de \(y\) dans \(X\), et un homéomorphisme

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\begin{tikzcd}
U \arrow[r, "\simeq"] & N \times Y_U \\
Y_U \arrow[u, hook] \arrow[r, "\simeq"] & a \times Y_U \arrow[u, hook]
\end{tikzcd}

(\(Y_U = Y \cap U\)), avec commutativité.le diagramme est redessiné : sur la page, « avec commutativité : » précède la ligne du bas, et les deux flèches verticales sont tracées vers le haut, un crochet à leur pied ; « can » est écrit sous la flèche du bas. Dans \(N \times Y_U\), un premier \(X\) est biffé

On dit que \(x \in X\) est une singularité éliminable (ou […] [ou immobile]) de \(X\) si \(\forall Y \subset X\), \(Y\) sous-espace […] non singulier de \(X\), \(Y \ni x\), \(X\) équisingulier […] le long de \(Y\), on a \(\dim_x Y = 0\).« ou immobile » : le mot entre parenthèses, souligné, est biffé et récrit au-dessus ; lecture incertaine du mot biffé

On dit que \(x \in X\) est une singularité \(\nu\)-mobile […] si \(\exists\, Y \subset X\) sous-espace, \(Y\) non sing., \(Y \ni x\), \(X\) équisingulier le long de \(Y\), \(\dim_x Y \geq \nu\) (N.B. on peut alors choisir \(Y\) avec \(\dim Y = \nu\)).

Ainsi, les singularités éliminables

On dit que \(x\) a un ordre de mobilité \(\nu\) si \(x\) est \(\nu\)-mobile mais non \((\nu + 1)\)-mobile. (Ainsi les singularités éliminables [ou immobiles] sont celles qui sont d'ordre de mobilité \(0\)). Donc les points [Les points qui […] un ordre de mobilité] l'un des points […] ordre de […] mobiles \(\nu \geq \nu_0\) (\(\nu_0\) donné) sont les pts \(\nu_0\)-mobiles qui ont un ordre de mobilité. (Mais si \(X\) est loc. de dim finie, tout pt \(x\) de \(X\) a nécessairement un ordre de mobilité \(\nu(x)\), qui est le sup des dim en \(x\) des ss-espaces de \(X\) […] non singuliers qui sont le le long desquels \(X\) est équisingulier)interligne très chargé ; le début de la phrase « … sont les pts \(\nu_0\)-mobiles » est reconstitué à travers deux essais biffés

26Supposons que \(\nu(x)\) existe pour \(\forall x \in X\) (p.ex. \(X\) loc. de dim finie)

L'ens. des pts \(x \in X\) tels que \(\nu(x) \geq i\) [\(x\) soit \(i\)-mobile dans \(X\)] [est un] ouvert \(\mathrm{Mob}^i(X)\) — on trouve ainsi un [système] décroissant \[\mathrm{Mob}^0(X) = X \supset \mathrm{Mob}^1(X) \supset \mathrm{Mob}^2(X) \supset \cdots\] [dont l'intersection est vide si \(\forall x \in X\), \(\nu(x)\) défini (p.ex. \(X\) loc. de dim finie)]. Les complémentaires forment des […] ensembles \[F_0(X) \subset F_1(X) \subset F_3(X) \subset \cdots \qquad (F_i(X) = X - \mathrm{Mob}^{i+1}(X))\] réunion des \(F_i(X)\) est \(X\) ssi \(\forall x \in X\), \(\nu(x)\) défini) p.ex. \(X\) loc. de dim finieécrit à droite de la suite des \(F_i\) ; l'indice \(F_3\) est sic, pour \(F_2\)

Pour tout \(X\) fixé, on se pose la question suivante : de la validité des propositions « suivantes » (où \(F_{-1}(X) = \emptyset\))

Prop A \(\forall i \geq 0\), [\(Y_i =\)] […] \(F_i(X) - F_{i-1}(X)\) \(= \nu^{-1}(\lbrace i \rbrace)\) (ens. des pts d'ordre de mobilité \(i\)) est un sous-espace non singulier partout de dimension \(i\), et \(X\) est équisingulier le long de \(Y_i\). au-dessus de la ligne, « \(Y_i =\) » est ajouté ; le signe final « \(= \nu^{-1}(\lbrace i \rbrace)\) » est surchargé et paraît biffé ; « non singulier » : le second mot est souligné d'un trait qui le barre à demi

Appelons « vraies variétés » les espaces loc. de dim finie qui vérifient […]note verticale dans la marge gauche, reliée par une accolade à la Prop A ; lecture très incertaine

Prop B Localement au voisinage de chaque pt de \(Y_i\), on a \((X, Y_i) \simeq Y_i \times (N_\xi, a)\), où […] est un espace topologique dont \(a\) est une singularité immobile. [Le type d'homéomorphie local de \((N, a)\) ne dépend que de la composante connexe du point envisagé de \(Y_i\)]Dans la marge gauche, reliée par une accolade à la Prop B : « vrai pour les […] + […] \(\forall\) […] \(N\) […] divisible ? »

Prop C Pour \(\forall\) \(x\) \(\in Y_i\), \((Y_i, y) \mapsto\) le plus grand germe de sous-variété \(\ni y\) de \(X\) en \(y\) le long de laquelle \(X\) soit équisingulier. Tous les « autres » \(Y\) correspondent \(\xrightarrow{1-1}\) aux germes [en \(y\)] de sous-variétés régulières plongées de [\(Y_i\)] […]. « \(\xrightarrow{1-1}\) » : le 1-1 est écrit au-dessus d'une flèche en crochet ; la fin de la ligne, sous « de », est biffée

27Prop D Soit \(Y\) […] une variété topologique partout de dim \(i\), \(N\) un espace topologique. Alors […] \(\forall (y, n) \in Y \times N\), \((y, n)\) est […] \((y, n)\) est \(i\)-mobile. si \(\nu \geq i\), \((y, n)\) [\(\in Y \times N\)] est \(\nu\)-mobile ssi \(n \in N\) est \((\nu - i)\)-mobile. Donc \[Y_\nu(Y \times N) = Y \times Y_{\nu - i}(N).\] \(N\) divisible \(\Longleftrightarrow\) \(Y \times N\) divisible (\(Y \neq \emptyset\)) Prop B \(\Leftarrow\) (sous réserve de Prop A) deux notes dans la marge gauche, séparées de l'énoncé par un trait vertical ; « divisible » est d'une lecture douteuse aux deux places

29

Équisingularité

titre souligné, de sa main

[…] Le contexte des « espaces » est celui des espaces topologiques [(ou algébriques, ou analytiques)] linéaires [par morceaux], […] espaces algébriques, par Le mot « espace » et « variété » désignent les […] objets et morphismes du contexte choisi.« (ou algébriques, ou analytiques) » est écrit au-dessus de la ligne et souligné ; « par morceaux » est ajouté dans la ligne suivante, au-dessus d'un trait

Soient \(X\) un espace, \(Y\) un sous-espace loc. fermé. \(X\) est dit équisingulier le long de \(Y\) si \(\forall y \in Y\), \(\exists\) ouvert \(X'\) de \(X\), et espace pointé \((Z, a)\), tels que l'on ait un diagramme commutatif

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\begin{tikzcd}
X' \cap Y = Y' \arrow[r, hook] \arrow[d, "\simeq"] & X' \arrow[d, "\simeq"] \\
Y' \times \lbrace a \rbrace \arrow[r, hook] & Y' \times Z
\end{tikzcd}

les deux flèches verticales portent un signe en forme de 2, qu'on lit comme un \(\simeq\) couché ; au lieu de \(X'\) il avait d'abord écrit une autre lettre, surchargée

Plus généralement, soit \(\mathfrak{X} = (X_i)_{i \in I}\) un diagramme d'espaces (\(I\) étant un type de diagrammes, p.ex. défini par un ens. ordonné — c'est le seul cas que nous envisagerons), soit \(i_0 \in I\) et \(Y\) un sous-espace loc. fermé de \(X_{i_0}\). On dit que \(\mathfrak{X}\) est équisingulier le long de \(Y\) si, désignant par \(J\) le sous-diagramme de \(I\) formé de tous les \(j \in I\) pour lesquels [ou bien \(j = i_0\) ou bien] \(\exists\) flèche \(j \to i_0\), \(\forall y \in Y\) \(\exists\) voisinage ouvert \(X'_{i_0}\) de \(y\) dans \(X_{i_0}\), [d'espaces] un diagramme \((Z_j)_{j \in J}\), avec \(Z_{i_0}\) muni d'un point \(a \in Z_{i_0}\), et un homomorphisme de diagrammes (\(Y' = Y \cap X'_{i_0}\)) \[(Z_j \times Y')_{j \in J} \longrightarrow (X_j)_{j \in J}\] tels que pour tout \(j \in J\), \(Z'_j \times Y' \to X_j\) soit un plongement ouvert, et que \(\exists\) diagramme comm.

LaTeX source
\begin{tikzcd}
Y' \arrow[r, hook] \arrow[d, "\simeq"] & X'_{i_0} \arrow[d, "\simeq"] \\
\lbrace a \rbrace \times Y' \arrow[r, hook] & Z_{i_0} \times Y'
\end{tikzcd}

« d'espaces » est écrit au-dessus de « diagramme », avant \((Z_j)\) ; \(Z_{i_0}\) est écrit une fois \(Z'_{i_0}\), et \(Z'_j\) dans « \(Z'_j \times Y' \to X_j\) » : transcrit tel qu'écrit. Le « et que » ajouté en fin de phrase est de lecture incertaine

30Soit \(X\) un espace, \((X_i)_{i \geq 0}\) une filtration croissante (pour fixer les idées) de \(X\) par des sous-espaces fermés. On dit que la filtration est équisingulière si \(\forall i \geq 0\), le diagramme formé de \((X_0 \to X_1 \to \cdots \to X)\) est équisingulier le long de \(X_i - X_{i-1} = V_i\) (NB on pose \(X_{-1} = \emptyset\)).

Appelons « feuilles (restreintes) » de la filtration les composantes connexes d'un \(V_i = X_i - X_{i-1}\). Les feuilles restreintes forment donc une partition de \(X\) si \(X\) est réunion des \(X_i\), ce qu'on supposera désormais.un crochet dans la marge gauche marque le début de ce paragraphe

Proposition Si la condition filtration est équisingulière, alors l'adhérence de toute feuille est une réunion de feuilles.

(Si \(X\) est compact, et les \(X_i\) loc. connexes — ce qui est vrai dans le contexte an. ou alg. ou aussi « par morceaux » — alors il s'agit bien sûr d'une réunion finie de feuilles…)

Les adhérences des feuilles seront appelées feuilles fermées. Il y a corr. biunivoque via \(F \mapsto \overline{F}\) entre feuilles (restreintes — on dira aussi les appelées « ouvertes ») et feuilles fermées. Les parties fermées de \(X\) qui sont réunions de feuilles sont aussi celles qui sont réunions de feuilles fermées. Toute intersection et toute réunion finie de telles parties est une

31partie du même type. Par exemple toute intersection de feuilles fermées est une réunion de feuilles fermées.

La relation d'inclusion entre feuilles fermées induit une relation d'ordre sur l'ens. des feuilles, appelée « relation d'incidence ». La réunion des feuilles incidentes à une feuille donnée \(F\) et distinctes d'icelle n'est autre que \(\overline{F} - F\) ; on l'appelle le bord de la feuille \(F\) ; c'est donc une partie fermée, réunion de feuilles fermées.

Proposition Pour que la filtration donnée de \(X\) soit équisingulière, il f. et s. qu'elle satisfasse les 2 conditions :

au-dessus de « applications » biffé, un mot surchargé, peut-être « inclusions » ; « équisingulier » est écrit au-dessus d'un mot biffé

On dit qu'une partition \((F_i)_{i \in I}\) d'un [en « feuilles » \(F_i\)] [d'un] espace \(X\) est équisingulière est une partition équisingulière si 1°) chaque \(F_i\) est la différence de deux sous-espaces fermés (i.e. \(\overline{F_i}\) et \(\overline{F_i} - F_i = bF_i\) sont des sous-espaces fermés) 2°) Chaque \(\overline{F_i}\) est une réunion de feuilles et 3°) le diagramme formé par [\(X\),] les \(\overline{F_i}\) et leurs inclusions est équisingulier le long de chaque feuille.

Si 1° et 2° sont satisfaits, on dira que la partition est admissibledans la marge gauche, en biais, reliée par une accolade aux conditions 1°) et 2°)

32NB Deux filtrations […] [équisingulières] de \(X\) peuvent très bien définir des […] partitions identiques de \(X\) en feuilles. C'est la partition en feuilles qui est la plus importante, non la filtration. P.ex. dans le contexte « par morceaux », où on dispose donc d'une notion de « dimension » et de « codimension », il y a au moins 4 façons canoniques, […] [distinctes] « en général », pour décrire une partition équisingulière donnée à l'aide de filtrations : 1°) \(X_i\) = réunion des feuilles de dimension \(\leq i\), 2°) \(X_0\) = réunion des feuilles minimales … \(X_i\) = réunion des feuilles minimales parmi celles qui sont \(\not\subset X_{i-1}\), 3° et 4° définitions « duales » de 1° et 2°, donnant des filtrations décroissantes.

Pour la suite, on préfèrera utiliser le langage des espaces à partitions équisingulières, plutôt que des espaces filtrés équisinguliers.

Prop Si la partition donnée de \(X\) est équisingulière, […] […] les […] fermés de \(X\) qui sont réunions de feuilles, […] la partition […] équisingulière.deux lignes serrées, encadrées d'un crochet et biffées d'un long trait

Soit \((X_i)_{i \in I}\) un diagramme d'espaces, et supposons que tout \(X_i\) est muni d'une partition admissible. On dit que la définit la [dit que] système de partitions équisingulières [le système de] partitions est admissible si

33Lorsque cette condition est satisfaite, on définit un nouveau diagramme (dont le type se déduit de façon évidente du type de diagramme \(I\)), des ensembles ordonnés par incidence des \(\Phi_i\) des feuilles des espaces \(X_i\), et des morphismes d'ensembles ordonnés […] \(\Phi_i \to \Phi_j\) définis par les flèches applications \(X_i \to X_j\) définies par les flèches du diagramme \(I\) — d'où un diagramme [\((\Phi_i)_{i \in I}\)] de type \(I\) d'ensembles ordonnés…), par les applications \(F_{i,\alpha} \to F_{j,\beta}\) entre feuilles fermées induites par les \(X_i \to X_j\). Ceci dit, le système [système] diagramme des partitions des \(X_i\) est dit équisingulier (relativement au diagramme donné \(\mathfrak{X} = (X_i)_{i \in I}\)) s'il est admissible, et si [ prendre] si le diagramme [des] […] applications entre feuilles fermées est équisingulier le long de toute feuille (restreinte) de tout \(X_i\).« prendre » : mot écrit au-dessus de « si » ; peut-être « prenant »

Un système de partitions est dit « privilégié » si […] équisingulier […] les feuilles […] des variétés (sans bord)note verticale dans la marge gauche, reliée par une accolade à la définition ; lecture fragmentaire

On suppose maintenant que le contexte soit linéaire (ou algébrique, ou analytique) par morceaux.

Conjecture 1 Tout espace \(X\) admet une partition équisingulière [privilégiée]. Parmi toutes les partitions équisingulières [privilégiées] de \(X\), il en est une plus grossière que toutes les autres (appelée « canonique »).

34Cela ne suffit pas pour bien des questions : on aura besoin de partitions privilégiées qui […] soient [admissibles] [(pas grossières)] plus fines qu'une partition donnée, ou telles que données [les \(X_i\)] par des sous-espaces fermés donnés de \(X\) en nb fini, chacun soit réunion de feuilles et que la filtration induite soit équisingulière [privilégiée]. Ou pour une application donnée \(X \to Y\), on voudrait trouver simultanément des partitions privilégiées compatibles avec cette application. Tous ces cas semblent couverts par l'énoncé conjectural suivant :l'interligne de la deuxième ligne est chargé : « admissibles » et « (pas grossières) » sont écrits au-dessus d'un mot biffé ; lecture incertaine

Conjecture 2 Soient \(I\) un ens. ordonné fini, \((X_i)_{i \in I}\) un diagramme de type \(I\) d'espaces, avec les applications \(X_i \to X_j\) propres. Alors il existe des partitions privilégiées de ce diagramme, et il y a parmi elles une moins fine (appelée comme de juste « canonique »).

Remarque Soit une […] partition admissible pour un diagramme \((X_i)_{i \in I}\). Si \(X_i \xrightarrow{f} X_j\) dans ce diagramme est propre, on voit aussitôt que pour […] [une] feuille \(F_\alpha\) de \(X_i\), s'appliquant [donc] dans une feuille \(\Phi\) de \(X_j\), l'image est \(\Phi\) tout entier (c'est un… [ou l'image de \(\ldots\) dans \(\Phi\)]) […] seulement un ouvert de \(\Phi\)) […] \(F \cap f^{-1}(\Phi)\) est à la fois ouvert [à plein]fin de page très raturée : les parenthèses et les additions interlinéaires se chevauchent, et le début de la dernière ligne est biffé d'une rature serrée ; la phrase se poursuit p. 35

35équisingularité) et fermé (par propreté) donc égal à \(\Phi\) qui est connexe, et d'autre part [donc] [(\(\subset \overline{F} \cap f^{-1}(\Phi)\))] \(\Phi - f(F)\) est une réunion d'images de feuilles […] de \(X_i\), donc ouvert dans \(\Phi\), donc \(f(F)\) est à la fois ouvert et fermé dans \(\Phi\), donc \(= \Phi\) ] De plus, bien […] comme \(F\) est fibré loc. trivial sur l'ouvert \(f(F)\) de \(\Phi\), et que (équisingularité) il est en fait fibré loc. trivial sur \(\Phi\) tout entier.« égal » est souligné ; le crochet fermant répond à un crochet ouvert qui n'est pas sur la page précédente

Mieux, \(f^{-1}(\Phi)\) est fibré avec […] [[…]] partition induite est un fibré loc. trivial sur \(\Phi\). Comme \(F\) est et \(\Phi\) sont des variétés, il s'ensuit que les fibres de \(F\) sur \(\Phi\) doivent aussi être des variétés…

Dans la précédente lettre à A'Campo, j'ai donné une description conjecturale de la « partition privilégiée canonique » d'un espace \(X\), en termes de points « immobiles ». Voici une description conjecturale de la « partition privilégiée » d'une application propre […] \[f : X \to Y\] Pour simplifier, on suppose \(Y\) compact, donc \(X\) compact. On procède par récurrence sur \(\dim Y\) pour […] filtration décroissante de [procède par] la construction. Considérons le plus grand ouvert \(U\) de \(Y\) tel que 1°) \(U\) est non singulier, 2°) \(X | U \to U\) est un fibré loc. trivial. Il faut prouver que \(Y - U = Y'\) est un sous-espace (de la catégorie « par morceaux » envisagée) rare (donc \(\dim Y' < \dim Y\)). Les composantes connexes de \(Y - Y'\) seront les feuillesle nom est écrit « A-Campo ». Les deux lignes biffées après « On » ne se lisent qu'en partie

36ouvertes de la […] [partition] cherchée de \(Y\). Les feuilles de \(X\) au-dessus de celles-ci sont simplement les feuilles de la partition [privilégiée] canonique (intrinsèque) de \(V = X | U\) (loc. sur \(U\), c'est le produit de \(U\) avec une feuille canonique d'une fibre). Si \(F_i\) sont ces feuilles, il faudra bien sûr que les \(\Phi'_i = \overline{F_i} - V \cap \overline{F_i} = \overline{F_i} | Y'\) soient des réunions de feuilles de \(X\). Mais si \(X' = X | Y' = X - V\) on est ramené à trouver la […] [partition canonique] pour \(X' \to Y'\), mais \(X'\) étant muni de plus des sous-espaces \(\Phi'_i\) — et de leurs intersections finies, sans quoi faire. On gagne par hyp. de récurrence, à cela près qu'il aurait fallu partir non avec \(X \to Y\), mais avec en plus une famille finie de sous-espaces fermés donnés de \(X\). Pour paraphraser dans ce cas plus général la construction précédente, il faut simplement (remplaçant \(X\) par \(V\)) pour un espace \(X\) muni d'une famille [finie] […] de sous-espaces fermés, définir la […] partition privilégiée canonique (i.e. la plus grossière) pour ce système. Or la construction peut probablement se faire en paraphrasant celle proposée dans la [1re] lettre : A'Campo.

Il faudra prendre pour les \(\overline{F_i}\) (donc \(\overline{F_i}\)) […] […] des « variétés » […] catégorienote verticale dans la marge gauche, en trois colonnes, rattachée par un signe à « feuilles de \(X\). » ; lecture fragmentaire. Le mot abrégé avant « : A'Campo » se lit « lettre », surmonté de « 1re »

38feuillet de formules sans texte suivi, en deux colonnes ; on les donne dans l'ordre de la page, colonne de gauche d'abord \[\mathfrak{X} = \bigl( Y \xleftarrow{\;p\;} Z \overset{i}{\hookrightarrow} X \bigr), \qquad p^{*}(\mathcal{F}) \xrightarrow{\;\alpha\;} i^{*}(\mathcal{G}), \qquad (\mathcal{F}, \mathcal{G}, \alpha)\] \(\mathcal{F}\) est écrit au-dessus de \(Y\), \(\mathcal{G}\) au-dessus de \(X\) ; la flèche \(p\) est barrée d'un petit trait vertical, et un point marque la flèche \(i\)

[…] \[\begin{align*} i'_{*}(\mathcal{F}) &= (\mathcal{F}, 0, 0) \\ i'^{*}(\mathcal{F}, \mathcal{G}, \alpha) &= \mathcal{F} \\ p'_{*}(\mathcal{G}) &= (p_{*} i^{*} \mathcal{G}, \mathcal{G}, \mathrm{can} : p^{*} p_{*}(i^{*}\mathcal{G}) \to i^{*}(\mathcal{G})) \\ p'^{*}(\mathcal{F}, \mathcal{G}, \alpha) &= \mathcal{G} \\ q_{!}(\mathcal{G}) &= (0, \mathcal{G}, 0) \\ q^{!}(\mathcal{G}) &= \end{align*}\] dans \(i'^{*}\), l'argument est surchargé ; dans \(q_!\), le \(0\) est écrit sur une autre lettre ; \(q^!\) reste inachevé

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & Z \arrow[dl, "p"'] \arrow[dr, dashed, hook, "i"] & & \\
Y \arrow[dr, "i'"'] & & X \arrow[dl, "p'"] & X - Z \arrow[l, hook'] \arrow[dll, bend left=30, "q"] \\
 & \mathfrak{X} & &
\end{tikzcd}

schéma en haut à droite de la page, redessiné ; \(i'\) est une flèche en crochet sur la page

\[\begin{align*} & X_{I,J} = X_I - X_J, \qquad \Sigma \supset I \supset J \\ & X_{I,J} \xrightarrow{\;\alpha_{IJ/I'J'}\;} X_{I',J'} \\ & \alpha_{*},\ \alpha^{*},\ \alpha_{!},\ \alpha^{!} ; \qquad K_{X,\Lambda} \ \text{complexe dualisant} \end{align*}\] sous « \(I \supset J\) », une ligne peu lisible : « \(J\) une antichaîne pour […] […] » ; les deux dernières lignes sont réunies par une accolade

\[\partial X_\alpha \xrightarrow{\;p_\alpha\;} \cdots, \qquad \partial X_\alpha \xrightarrow{\;i_\alpha\;} X_\alpha\] au milieu de la page, \(i_\alpha\) est une flèche verticale de \(\partial X_\alpha\) vers \(X_\alpha\) ; le but de \(p_\alpha\) est biffé et illisible, […]

40feuillet de cahier à petits carreaux, détaché d'une spirale ; en tête, de sa main : « Fujii Guruji Nichidatsu ». La page est un brouillon de formules et de croquis ; on transcrit les formules, et les croquis sont décrits en fin de page

\(I\) ens. ordonné fini

\(\forall i \in I\) \(V_i^\circ\) variété à bord [bord vide si \(i\) minimal)

\(\forall (i,j) \in I \times I\), \(j < i\) \(\partial_j V_i^\circ \subset \partial V_i^\circ\) (sous-variété à bord) \(\partial_j V_i^\circ \to V_j^\circ\) fibration, fibres des variétés à bord (variétés [sans bord] si \(j\) prédécesseur de \(i\)) \[\partial V_i^\circ = \bigcup_{j \in \Phi_i} \partial_j V_i^\circ\] sous \(j \in \Phi_i\) : « ens. de prédécesseurs de \(i\) », et une flèche de \(\partial_j V_i^\circ\) vers \(V_j^\circ\) \[\partial(\partial_j V_i^\circ) = \bigl[ (\partial_j V_i^\circ) \,|\, \partial V_j^\circ \bigr] \cup \partial_{\cdot}(\partial_j V_i^\circ)\] le second terme est souligné d'une accolade : « fibré des bords » ; son indice est illisible, […] \[\begin{align*} \partial(\partial_j V_i^\circ) &= \bigcup_{k \in \Phi_j} (\partial_j V_i^\circ \,|\, \partial_k V_j^\circ) \cup \partial_{i,j}(\partial_j V_i^\circ) \\ &= \Bigl( \bigcup_{k < j} (\partial_j V_i^\circ \,|\, \partial_k V_j^\circ) \Bigr) \cup \partial_{\emptyset,j} V_i^\circ \\ \partial(\partial_{j'} V_i^\circ) &= \Bigl( \bigcup_{k < j'} \partial_{j'} V_i^\circ \,|\, \partial_k V_j^\circ \Bigr) \cup \partial_{i,j'} V_i^\circ \end{align*}\] sous les termes, des accolades : « fibré sur \(V_k^\circ\) », « fibré sur \(V_j^\circ\) », « fibré sur \(V_k^\circ\) », et pour le dernier terme « vide si \(j\) prédécesseur de \(i\) » ; les indices \(\partial_{i,j}\), \(\partial_{\emptyset,j}\) sont d'une lecture incertaine \[\begin{align*} \partial(\partial_0 V_2^\circ) &\simeq \partial(\partial_1 V_2^\circ) = \partial_1 V_2^\circ \,|\, \partial V_1^\circ \\ \partial_j V_i^\circ \,|\, \partial_k V_j^\circ &= \partial_{j,k} V_i^\circ \quad \text{fibré sur } V_k^\circ \\ \partial_{j > k > l} &= \partial_{j,k} V_i^\circ \,|\, \partial_l V_k^\circ \quad \text{fibré sur } V_l^\circ \\ & \partial_{j > k > l > m} V_i^\circ \end{align*}\]

Croquis : à gauche, les trois \(V_0^\circ\), \(V_1^\circ\), \(V_2^\circ\), avec \(\partial V_1^\circ \to V_0^\circ\) et \(\partial V_2^\circ = \partial_1 V_2^\circ \cup \partial_0 V_2^\circ\) envoyé sur \(V_1^\circ\) et \(V_0^\circ\) par des flèches courbes ; en bas, un tableau de flèches \(\partial_2 \leftarrow \partial_{21}\), \(\partial_{20} \leftarrow \partial_{210}\), \(\partial_1 \leftarrow \partial_{10}\), \(\partial_0 \leftarrow \ldots\), avec « bord » ; deux bandes hachurées étiquetées \(\partial_{210}\), \(\partial_{20}\), \(\partial_{21}\) ; un cylindre et un tore étiquetés \(\partial_{10}\), \(\partial_1\) ; un grand cercle \(\partial_0\) contenant une haltère \(\partial_0\) ; dans un cadre, \(\partial_1\), \(\partial_{10}\), \(\partial_0 = \partial_0\), et un demi-cercle posé sur un segment, marqué \(\partial_1\ \partial_0\ \partial_1\)