Fonds Grothendieck, cote n° 121, pages 21–40 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-26)Opus 5.5 (claude-opus-5-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-09-26
Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription
est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une
machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La
source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.
https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)121
Topologie modérée : notes manuscrites (s.d.), lettre (1974)
Pages 21 à 40 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 2 de vingt pages.
Les pages absentes de la transcription ne portent pas de
mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.1974Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/121.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement
par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \add devient
supplied ; \struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
\note devient note[@type='editorial']
(du transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
Les mathématiques sont transportées en TeX dans
formula[@notation='TeX'], les diagrammes
commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'],
sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une
formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de
la formule, sous les mêmes macros.
Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une
faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurPremière passe de transcription.Export TEI depuis la source LaTeX.
On est ramené au cas où U = X, soit A qui est loc. une réunion de
feuilles, l'est-il globalement ? Il suffit de prouver que pour les
feuilles X_i, telles que X_i \cap A \neq \emptyset, on a X_i \subset A,
on a vu que X_i \cap A est une partie à la fois ouverte et
fermée de Aon attend plutôt « de X_i » ; transcrit tel qu'écrit.
C'est une condition locale sur X, or loc. sur XA est comme une
réunion de feuilles, OK !
Cela entraîne, un peu plus gén., que pour tout ouvert U
\subset X, si A \in \overline{\mathcal{F}}_U, alors les A \cap X_i
sont : à la fois ouverts et fermés dans X_i \cap U, donc des réunions de
comp. connexes de X_i \cap U. Donc A est réunion de comp.
connexes des ensembles de la forme X_i \cap
U.addition interlinéaire, serrée entre deux lignes ; la barre
au-dessus de \mathcal{F}_U porte, à sa première occurrence, une sorte de
flèche, et le signe est transcrit \overline{\mathcal{F}}_U partout
Inversement, supposons que A soit une telle réunion, est-il vrai que A
\in \overline{\mathcal{F}}_U ? Évidemment,En particulier,
une comp. connexe« En particulier, une comp. connexe » est
récrit au-dessus de la ligne puis biffé avec elleune composante connexe d'un X_i \cap U est-il \in
\overline{\mathcal{F}}_U ? Non, exemple :
X_0 = \lbrace 0 \rbrace, X_1 = \mathbb{R}^{*} = \mathbb{R} - \lbrace 0
\rbraceles trois lignes de l'exemple sont réunies par une accolade
\mathbb{R}^{+}n'est pas\in \overline{\mathcal{F}} =
\mathcal{F}_Xles deux lettres sont écrites, la première avec une
barre, la seconde sans, au-dessus de l'indice X.
Si on veut un exemple avec des X_i connexes, U \neq X, on prend X =
\widehat{\mathbb{R}} =\mathbb{S}^1, X_0 =
\lbrace 0 \rbrace, X_1 = X - \lbrace 0 \rbrace, U = \mathbb{R}
…le signe après « \widehat{\mathbb{R}} = » est surchargé ;
on lit une lettre ajourée d'exposant 1. Dans la marge gauche, à hauteur de
l'exemple, un signe entouré d'un ovale, illisible
Nous étudions maintenant la condition f). Il est clairOn a vu qu'elle est stable par restriction à un ouvert \in
\mathcal{F}, mais il est aussi clair qu'elle n'est pas stable par
restriction à un ouvert quelconque. Supposons, parsiA \in \overline{\mathcal{F}}_U est loc. fermé dans U (donc fermé dans un
ouvert plus petit V \subset U). Alors A est loc. connexe, et
! donc ses comp. connexes sont ouvertes, si A est loc. compact
(p.ex. si X l'est) alors ses comp. connexes forment dans une
famille loc. finie dans A (donc dans V) . Elle
est-elleloc. finie dans U ?
« Il est clair » est souligné puis biffé, « On a vu » écrit
au-dessus ; au-dessus de « Elle », deux signes (« est » et un
signe d'égalité triple) ; la fin de la phrase est soulignée
la top. deengendréeouvertsnote en biais dans la marge
gauche, à hauteur des lignes 8 à 10, presque entièrement illisible
Ceci n'auraitU, A = \ill{}, avec Z \in \mathcal{F}, Z loc. fermé,\forall x \in U, \exists voisinage ouvert V \in
\mathcal{F}_U, tel que A \cap V \in \mathcal{F}, et A \cap V réunion
finie de comp. connexes.les trois premières lignes de ce paragraphe
sont barrées de trois longs traits obliques, qui ne touchent pas la fin ;
un double trait horizontal le sépare de ce qui suit
Soit \underline{\mathcal{F}} un sous-faisceau du faisceau des germes de
parties de X. On suppose \underline{\mathcal{F}} satisfait a) b) c) d),
et de plus
Soit U un ouvert de X, et X_1 \supset X_2
\supset \cdots \supset X_n \supset \cdots des fermés de U, \in
\Gamma(U, \underline{\mathcal{F}}), tels que X_{n+1} rare dans X_n.
Alors la suite des X_n est loc. finie sur U, donc \bigcap X_n =
\emptyset
le premier mot de la condition, souligné, est biffé ; on y lit
« f… », et « e) » est écrit au-dessus. Les deux \mathcal{F}
soulignés de cette page (faisceau) sont transcrits
\underline{\mathcal{F}}
(dans pour toute partie quasi-compacte K de U, \exists\, i =
i(K) \in \mathbb{N} tel que X_i \cap K = \emptyset). Alors \mathcal{F} =
\Gamma(X, \underline{\mathcal{F}}) satisfait à a) b) c) d) e), et
aussi à e) si Xquasi-compact. Plus généralement, si A \in
\overline{\mathcal{F}}, alors \mathcal{F}_A satisfait à a) b) c) d)
e) (et satisfait à e) si ???).
= ensemble des parties de A qui sont loc. par
des sections de \underline{\mathcal{F}}addition interlinéaire
entourée, au-dessus de « \mathcal{F}_A satisfait », reliée à
\mathcal{F}_A ; lecture incertaine
Ici il est plus commode de partir de l'axiome suivant plus fort que e) :
\exists un entier n tel que si X_0 \supset X_1 \supset
\cdots \supset X_n \supset X_{n+1}dansU, comme dans
e) ci-dessus, alors on a X_{n+1} = \emptyset. (On dit que X est de
\underline{\mathcal{F}}-dim \leq n)
un trait vertical dans la marge gauche marque l'énoncé
Alors tous les \mathcal{F}_A (Aouvert fermé dans X),
satisfont à e_n), donc e).
NB\underline{\mathcal{F}} est \supsetpour le
faisceau engendré par \mathcal{F} = \Gamma(X,
\underline{\mathcal{F}}) et l'inclusion peut être stricte. Ex :
germes de parties analytiques d'un tore analytique de dim 2 sans fonctions
méromorphes non constantes…« \supset » : le signe après
« est » est petit et peu net
Nous supposonsenvisageons maintenant une condition :
f)
la condition f) est annoncée mais laissée en blanc ; la page s'arrête
là
1. X espace top.
Y sous-espace « non singulier » resp. variété
X est dit « équisingulier le long de Y » si \forall y \in Y,
\exists espace pointé (N, a), et un voisinage
ouvert U de y dans X, et un homéomorphisme
\begin{tikzcd}
U \arrow[r, "\simeq"] & N \times Y_U \\
Y_U \arrow[u, hook] \arrow[r, "\simeq"] & a \times Y_U \arrow[u, hook]
\end{tikzcd}
(Y_U = Y \cap U), avec commutativité.le diagramme est redessiné :
sur la page, « avec commutativité : » précède la ligne du bas, et les deux
flèches verticales sont tracées vers le haut, un crochet à leur pied ;
« can » est écrit sous la flèche du bas. Dans N \times Y_U, un premier
X est biffé
On dit que x \in X est une singularité éliminable
(ou ou immobile) de X si \forall Y \subset X, Y
sous-espace non singulier de X, Y \ni x, X
équisingulier le long de Y, on a \dim_x Y =
0.« ou immobile » : le mot entre parenthèses, souligné, est biffé
et récrit au-dessus ; lecture incertaine du mot biffé
On dit que x \in X est une singularité \nu-mobile si \exists\, Y \subset X sous-espace, Y non sing.,
Y \ni x, X équisingulier le long de Y, \dim_x Y \geq \nu (N.B. on
peut alors choisir Y avec \dim Y = \nu).
Ainsi, les singularités éliminables
On dit que x a un ordre de mobilité \nu si x est \nu-mobile
mais non (\nu + 1)-mobile. (Ainsi les singularités éliminables
ou immobiles sont celles qui sont d'ordre de mobilité 0).
Donc les pointsLes points qui un ordre de
mobilitél'un des points ordre de mobiles\nu \geq \nu_0 (\nu_0 donné) sont les pts \nu_0-mobiles qui ont un
ordre de mobilité. (Mais si Xest loc. de dim finie, tout pt
x de X a nécessairement un ordre de mobilité \nu(x), qui est le sup
des dim en x des ss-espaces de X non singuliers
qui sont le le long desquels X est
équisingulier)interligne très chargé ; le début de la phrase
« … sont les pts \nu_0-mobiles » est reconstitué à travers deux
essais biffés
Supposons que \nu(x) existe pour \forall x \in X (p.ex. X
loc. de dim finie)
L'ens. des pts x \in X tels que \nu(x) \geq ix soit
i-mobile dans Xest unouvert\mathrm{Mob}^i(X) — on
trouve ainsi un système décroissant
\mathrm{Mob}^0(X) = X \supset \mathrm{Mob}^1(X) \supset \mathrm{Mob}^2(X)
\supset \cdotsdont l'intersection est vide si \forall x \in X, \nu(x) défini
(p.ex. X loc. de dim finie). Les complémentaires forment des
ensembles
F_0(X) \subset F_1(X) \subset F_3(X) \subset \cdots \qquad
(F_i(X) = X - \mathrm{Mob}^{i+1}(X))réunion des F_i(X) est X ssi \forall x \in X, \nu(x)
défini) p.ex. X loc. de dim finieécrit à droite de la suite des
F_i ; l'indice F_3 est sic, pour F_2
Pour tout X fixé, on se pose la question suivante : de la
validité des propositions « suivantes » (oùF_{-1}(X) =
\emptyset)
Prop A\forall i \geq 0, Y_i =F_i(X) -
F_{i-1}(X)= \nu^{-1}(\lbrace i \rbrace) (ens. des pts d'ordre
de mobilité i) est un sous-espace non singulier partout de
dimension i, et X est équisingulier le long de Y_i.
au-dessus de la ligne, « Y_i = » est ajouté ; le signe final
« = \nu^{-1}(\lbrace i \rbrace) » est surchargé et paraît biffé ; « non
singulier » : le second mot est souligné d'un trait qui le barre à demi
Appelons « vraiesvariétés » les espaces
loc. de dim finie qui vérifientnote verticale
dans la marge gauche, reliée par une accolade à la Prop A ; lecture très
incertaine
Prop B Localement au voisinage de chaque pt de Y_i, on a (X,
Y_i) \simeq Y_i \times (N_\xi, a), où est un espace topologique dont
a est une singularité immobile. [Le type d'homéomorphie local de
(N, a) ne dépend que de la composante connexe du point envisagé de
Y_i]Dans la marge gauche, reliée par
une accolade à la Prop B : « vrai pour les + \forallNdivisible ? »
Prop C Pour \forallx\in Y_i, (Y_i, y) \mapsto le
plus grand germe de sous-variété \ni y de X en y le long de laquelle
X soit équisingulier. Tous les « autres » Y correspondent
\xrightarrow{1-1} aux germes en y de sous-variétés régulières
plongées de Y_i.
« \xrightarrow{1-1} » : le 1-1 est écrit au-dessus d'une flèche
en crochet ; la fin de la ligne, sous « de », est biffée
Prop D Soit Y une variété topologique partout de
dim i, N un espace topologique. Alors \forall (y, n)
\in Y \times N, (y, n) est (y, n) est
i-mobile. si \nu \geq i, (y, n)\in Y \times N est
\nu-mobile ssi n \in N est (\nu - i)-mobile. Donc
Y_\nu(Y \times N) = Y \times Y_{\nu - i}(N).Ndivisible\LongleftrightarrowY \times Ndivisible (Y \neq \emptyset)Prop B \Leftarrow (sous réserve de Prop A)deux notes dans la marge gauche, séparées de l'énoncé par un trait
vertical ; « divisible » est d'une lecture douteuse aux deux places
Équisingularité
titre souligné, de sa main
Le contexte des « espaces » est celui des espaces
topologiques (ou algébriques, ou analytiques) linéaires par
morceaux, espaces algébriques, par Le mot
« espace » et « variété » désignent les objets et
morphismes du contexte choisi.« (ou algébriques, ou analytiques) »
est écrit au-dessus de la ligne et souligné ; « par morceaux » est ajouté
dans la ligne suivante, au-dessus d'un trait
Soient X un espace, Y un sous-espace loc. fermé. X est dit
équisingulier le long de Y si \forall y \in Y, \exists ouvert
X' de X, et espace pointé (Z, a), tels que l'on ait un diagramme
commutatif
\begin{tikzcd}
X' \cap Y = Y' \arrow[r, hook] \arrow[d, "\simeq"] & X' \arrow[d, "\simeq"] \\
Y' \times \lbrace a \rbrace \arrow[r, hook] & Y' \times Z
\end{tikzcd}
les deux flèches verticales portent un signe en forme de 2, qu'on
lit comme un \simeq couché ; au lieu de X' il avait d'abord écrit une
autre lettre, surchargée
Plus généralement, soit \mathfrak{X} = (X_i)_{i \in I} un diagramme
d'espaces (I étant un type de diagrammes, p.ex. défini par un ens.
ordonné — c'est le seul cas que nous envisagerons), soit i_0 \in I et
Y un sous-espace loc. fermé de X_{i_0}. On dit que \mathfrak{X} est
équisingulier le long de Y si, désignant par J le sous-diagramme
de I formé de tous les j \in I pour lesquels ou bien j = i_0 ou
bien\exists flèche j \to i_0, \forall y \in Y\exists voisinage
ouvert X'_{i_0} de y dans X_{i_0}, d'espaces un diagramme
(Z_j)_{j \in J}, avec Z_{i_0} muni d'un point a \in Z_{i_0}, et un
homomorphisme de diagrammes (Y' = Y \cap X'_{i_0})
(Z_j \times Y')_{j \in J} \longrightarrow (X_j)_{j \in J}
tels que pour tout j \in J, Z'_j \times Y' \to X_j soit un plongement
ouvert, et que \exists diagramme comm.
« d'espaces » est écrit au-dessus de « diagramme », avant
(Z_j) ; Z_{i_0} est écrit une fois Z'_{i_0}, et Z'_j dans
« Z'_j \times Y' \to X_j » : transcrit tel qu'écrit. Le « et que »
ajouté en fin de phrase est de lecture incertaine
Soit X un espace, (X_i)_{i \geq 0} une filtration croissante (pour fixer
les idées) de X par des sous-espaces fermés. On dit que la
filtration est équisingulière si \forall i \geq 0, le diagramme
formé de (X_0 \to X_1 \to \cdots \to X) est équisingulier le long de
X_i - X_{i-1} = V_i (NB on pose X_{-1} = \emptyset).
Appelons « feuilles (restreintes) » de la filtration les
composantes connexes d'un V_i = X_i - X_{i-1}. Les feuilles restreintes
forment donc une partition de X si X est réunion des X_i, ce
qu'on supposera désormais.un crochet dans la marge gauche marque le
début de ce paragraphe
Proposition Si la condition filtration est
équisingulière, alors l'adhérence de toute feuille est une réunion de
feuilles.
(Si X est compact, et les X_i loc. connexes — ce qui est vrai dans
le contexte an. ou alg. ou aussi « par morceaux » — alors
il s'agit bien sûr d'une réunion finie de feuilles…)
Les adhérences des feuilles seront appelées feuilles fermées. Il y a
corr. biunivoque via F \mapsto \overline{F} entre feuilles (restreintes
— on dira aussi les appelées « ouvertes ») et feuilles
fermées. Les parties fermées de X qui sont réunions de feuilles
sont aussi celles qui sont réunions de feuilles fermées. Toute intersection
et toute réunion finie de telles parties est une
partie du même type. Par exemple toute intersection de feuilles fermées
est une réunion de feuilles fermées.
La relation d'inclusion entre feuilles fermées induit une relation d'ordre
sur l'ens. des feuilles, appelée « relation d'incidence ». La réunion des
feuilles incidentes à une feuille donnée F et distinctes d'icelle n'est
autre que \overline{F} - F ; on l'appelle le bord de la feuille
F ; c'est donc une partie fermée, réunion de feuilles fermées.
Proposition Pour que la filtration donnée de X soit
équisingulière, il f. et s. qu'elle satisfasse les 2 conditions :
\forall feuille F, \overline{F} est une réunion
de feuillesLe diagramme formé de X et de toutes les feuilles fermées
(avec les applicationsinclusions
d'inclusion) est équisingulier le long de chaque
feuille.
au-dessus de « applications » biffé, un mot surchargé, peut-être
« inclusions » ; « équisingulier » est écrit au-dessus d'un mot biffé
On dit qu'une partition (F_i)_{i \in I}d'unen
« feuilles » F_id'un espace Xest équisingulière est
une partition équisingulière si 1°) chaque F_i est la différence de
deux sous-espaces fermés (i.e. \overline{F_i} et \overline{F_i} - F_i =
bF_i sont des sous-espaces fermés) 2°) Chaque \overline{F_i} est une
réunion de feuilles et 3°) le diagramme formé par X, les
\overline{F_i} et leurs inclusions est équisingulier le long de chaque
feuille.
Si 1° et 2° sont satisfaits, on dira que la partition est
admissibledans la marge gauche, en biais, reliée par
une accolade aux conditions 1°) et 2°)
NB Deux filtrations équisingulières de X
peuvent très bien définir des partitions identiques de X
en feuilles. C'est la partition en feuilles qui est la plus importante,
non la filtration. P.ex. dans le contexte « par morceaux », où on dispose
donc d'une notion de « dimension » et de « codimension », il y a au moins 4
façons canoniques, distinctes « en général », pour
décrire une partition équisingulière donnée à l'aide de filtrations : 1°)
X_i = réunion des feuilles de dimension \leq i, 2°) X_0 = réunion des
feuilles minimales … X_i = réunion des feuilles minimales parmi
celles qui sont \not\subset X_{i-1}, 3° et 4° définitions « duales » de
1° et 2°, donnant des filtrations décroissantes.
Pour la suite, on préfèrera utiliser le langage des espaces à partitions
équisingulières, plutôt que des espaces filtrés équisinguliers.
Prop Si la partition donnée de X est équisingulière, les fermés de X qui sont réunions de feuilles, la
partition équisingulière.deux lignes serrées, encadrées d'un
crochet et biffées d'un long trait
Soit (X_i)_{i \in I} un diagramme d'espaces, et supposons que tout X_i
est muni d'une partition admissible. On dit que la
définit ladit quesystème de partitions équisingulièresle système de partitions est admissible si
\forall i \in I, la partition donnée de X_i est admissible\forall flèche i \to j, l'application X_i \to X_j applique
une feuille de X_i dans une feuille (évidemment unique déterminée) de
X_j.
Lorsque cette condition est satisfaite, on définit un nouveau diagramme
(dont le type se déduit de façon évidente du type de diagramme I), des
ensembles ordonnés par incidence des\Phi_i des feuilles des
espaces X_i, et des morphismes d'ensembles ordonnés \Phi_i \to \Phi_j définis par les flèches applications X_i \to
X_j définies par les flèches du diagramme I — d'où un diagramme
(\Phi_i)_{i \in I}de type I d'ensembles ordonnés…),
par les applications F_{i,\alpha} \to F_{j,\beta} entre feuilles
fermées induites par les X_i \to X_j. Ceci dit, le
systèmesystèmediagramme des partitions des X_i
est dit équisingulier (relativement au diagramme donné \mathfrak{X}
= (X_i)_{i \in I}) s'il est admissible, et si
prendre si le diagramme des applications entre
feuilles fermées est équisingulier le long de toute feuille (restreinte) de
tout X_i.« prendre » : mot écrit au-dessus de
« si » ; peut-être « prenant »
Un système de partitions est dit « privilégié » si équisingulier les feuilles des variétés (sans
bord)note verticale dans la marge gauche, reliée par une accolade à
la définition ; lecture fragmentaire
On suppose maintenant que le contexte soit linéaire (ou algébrique, ou
analytique) par morceaux.
Conjecture 1 Tout espace X admet une partition
équisingulièreprivilégiée. Parmi toutes les partitions
équisingulièresprivilégiées de X, il en est une plus
grossière que toutes les autres (appelée « canonique »).
Cela ne suffit pas pour bien des questions : on aura besoin de partitions
privilégiées qui soient admissibles(pas
grossières) plus fines qu'une partition donnée, ou telles que
donnéesles X_i par des sous-espaces fermés donnés de X
en nb fini, chacun soit réunion de feuilles et que la filtration induite
soit équisingulièreprivilégiée. Ou pour une application
donnée X \to Y, on voudrait trouver simultanément des partitions
privilégiées compatibles avec cette application. Tous ces cas semblent
couverts par l'énoncé conjectural suivant :l'interligne de la
deuxième ligne est chargé : « admissibles » et « (pas grossières) » sont
écrits au-dessus d'un mot biffé ; lecture incertaine
Conjecture 2 Soient I un ens. ordonné fini,
(X_i)_{i \in I} un diagramme de type I d'espaces, avec les applications
X_i \to X_jpropres. Alors il existe des partitions privilégiées
de ce diagramme, et il y a parmi elles une moins fine (appelée comme de
juste « canonique »).
Remarque Soit une partition admissible pour un
diagramme (X_i)_{i \in I}. Si X_i \xrightarrow{f} X_j dans ce diagramme
est propre, on voit aussitôt que pour une
feuille F_\alpha de X_i, s'appliquant donc dans une feuille
\Phi de X_j, l'image est \Phi tout entier (c'est un…
ou l'image de \ldots dans \Phi) seulement un
ouvert de \Phi) F \cap f^{-1}(\Phi) est à la fois
ouvert àpleinfin de page très
raturée : les parenthèses et les additions interlinéaires se chevauchent,
et le début de la dernière ligne est biffé d'une rature serrée ; la phrase
se poursuit p. 35
équisingularité) et fermé (par propreté) donc égal à \Phi qui est connexe,
et d'autre partdonc(\subset \overline{F} \cap
f^{-1}(\Phi))\Phi - f(F) est une réunion d'images de feuilles
de X_i, donc ouvert dans \Phi, donc f(F) est à la
fois ouvert et fermé dans \Phi, donc = \Phi ] De plus, bien comme F est fibré loc. trivial sur l'ouvert f(F) de
\Phi, et que (équisingularité) il est en fait fibré loc. trivial
sur \Phi tout entier.« égal » est souligné ; le crochet fermant
répond à un crochet ouvert qui n'est pas sur la page précédente
Mieux, f^{-1}(\Phi)est fibré avec partition induite est un fibré loc. trivial sur \Phi. Comme Fest et \Phi sont des variétés, il s'ensuit que les fibres de F
sur \Phi doivent aussi être des variétés…
Dans la précédente lettre à A'Campo, j'ai donné une
description conjecturale de la « partition privilégiée canonique » d'un
espace X, en termes de points « immobiles ». Voici une description
conjecturale de la « partition privilégiée » d'une application propre
f : X \to Y
Pour simplifier, on suppose Y compact, donc X compact. On
procède par récurrence sur \dim Y pour filtration
décroissante deprocède par la construction. Considérons
le plus grand ouvert U de Y tel que 1°) U est non singulier, 2°) X
| U \to U est un fibré loc. trivial. Il faut prouver que Y - U = Y' est
un sous-espace (de la catégorie « par morceaux » envisagée) rare
(donc \dim Y' < \dim Y). Les composantes connexes de Y - Y' seront les
feuillesle nom est écrit « A-Campo ». Les deux lignes biffées après
« On » ne se lisent qu'en partie
ouvertes de la partition cherchée de Y. Les feuilles
de X au-dessus de celles-ci sont simplement les feuilles de la partition
privilégiée canonique (intrinsèque) de V = X | U (loc. sur U,
c'est le produit de U avec une feuille canonique d'une fibre). Si F_i
sont ces feuilles, il faudra bien sûr que les \Phi'_i = \overline{F_i} - V
\cap \overline{F_i} = \overline{F_i} | Y' soient des réunions de feuilles
de X. Mais si X' = X | Y' = X - V on est ramené à trouver la
partition canonique pour X' \to Y', mais X' étant
muni de plus des sous-espaces \Phi'_i — et de leurs intersections
finies, sans quoi faire. On gagne par hyp. de récurrence, à cela près
qu'il aurait fallu partir non avec X \to Y, mais avec en plus une famille
finie de sous-espaces fermés donnés de X. Pour paraphraser dans ce cas
plus général la construction précédente, il faut simplement (remplaçant X
par V) pour un espace X muni d'une famille finie
de sous-espaces fermés, définir la partition privilégiée
canonique (i.e. la plus grossière) pour ce système. Or la construction
peut probablement se faire en paraphrasant celle proposée dans la
1re lettre : A'Campo.
Il faudra prendre pour les \overline{F_i}
(donc\overline{F_i}) des « variétés » catégorienote verticale dans la marge gauche, en trois
colonnes, rattachée par un signe à « feuilles de X. » ; lecture
fragmentaire. Le mot abrégé avant « : A'Campo » se lit « lettre », surmonté
de « 1re »
feuillet de formules sans texte suivi, en deux colonnes ; on les donne
dans l'ordre de la page, colonne de gauche d'abord\mathfrak{X} = \bigl( Y \xleftarrow{\;p\;} Z \overset{i}{\hookrightarrow} X
\bigr), \qquad p^{*}(\mathcal{F}) \xrightarrow{\;\alpha\;}
i^{*}(\mathcal{G}), \qquad (\mathcal{F}, \mathcal{G}, \alpha)\mathcal{F} est écrit au-dessus de Y, \mathcal{G} au-dessus de
X ; la flèche p est barrée d'un petit trait vertical, et un point
marque la flèche i
\begin{align*}
i'_{*}(\mathcal{F}) &= (\mathcal{F}, 0, 0) \\
i'^{*}(\mathcal{F}, \mathcal{G}, \alpha) &= \mathcal{F} \\
p'_{*}(\mathcal{G}) &= (p_{*} i^{*} \mathcal{G}, \mathcal{G},
\mathrm{can} : p^{*} p_{*}(i^{*}\mathcal{G}) \to i^{*}(\mathcal{G})) \\
p'^{*}(\mathcal{F}, \mathcal{G}, \alpha) &= \mathcal{G} \\
q_{!}(\mathcal{G}) &= (0, \mathcal{G}, 0) \\
q^{!}(\mathcal{G}) &=
\end{align*}dans i'^{*}, l'argument est surchargé ; dans q_!, le 0 est
écrit sur une autre lettre ; q^! reste inachevé
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& Z \arrow[dl, "p"'] \arrow[dr, dashed, hook, "i"] & & \\
Y \arrow[dr, "i'"'] & & X \arrow[dl, "p'"] & X - Z \arrow[l, hook'] \arrow[dll, bend left=30, "q"] \\
& \mathfrak{X} & &
\end{tikzcd}
schéma en haut à droite de la page, redessiné ; i' est une flèche
en crochet sur la page
\begin{align*}
& X_{I,J} = X_I - X_J, \qquad \Sigma \supset I \supset J \\
& X_{I,J} \xrightarrow{\;\alpha_{IJ/I'J'}\;} X_{I',J'} \\
& \alpha_{*},\ \alpha^{*},\ \alpha_{!},\ \alpha^{!} ; \qquad
K_{X,\Lambda} \ \text{complexe dualisant}
\end{align*}sous « I \supset J », une ligne peu lisible : « June antichaînepour » ; les deux
dernières lignes sont réunies par une accolade
\partial X_\alpha \xrightarrow{\;p_\alpha\;} \cdots, \qquad
\partial X_\alpha \xrightarrow{\;i_\alpha\;} X_\alphaau milieu de la page, i_\alpha est une flèche verticale de
\partial X_\alpha vers X_\alpha ; le but de p_\alpha est biffé et
illisible,
feuillet de cahier à petits carreaux, détaché d'une spirale ; en tête,
de sa main : « Fujii Guruji Nichidatsu ». La page est un brouillon de
formules et de croquis ; on transcrit les formules, et les croquis sont
décrits en fin de page
I ens. ordonné fini
\forall i \in IV_i^\circ variété à bord [bord vide si i
minimal)
\forall (i,j) \in I \times I, j < i\partial_j V_i^\circ \subset
\partial V_i^\circ (sous-variété à bord) \partial_j V_i^\circ \to
V_j^\circfibration, fibres des variétés à bord (variétés
sans bord si j prédécesseur de i)
\partial V_i^\circ = \bigcup_{j \in \Phi_i} \partial_j V_i^\circsous j \in \Phi_i : « ens. de prédécesseurs de i »,
et une flèche de \partial_j V_i^\circ vers V_j^\circ\partial(\partial_j V_i^\circ) = \bigl[ (\partial_j V_i^\circ) \,|\,
\partial V_j^\circ \bigr] \cup \partial_{\cdot}(\partial_j V_i^\circ)le second terme est souligné d'une accolade : « fibré des bords » ; son indice est illisible, \begin{align*}
\partial(\partial_j V_i^\circ) &= \bigcup_{k \in \Phi_j} (\partial_j
V_i^\circ \,|\, \partial_k V_j^\circ) \cup \partial_{i,j}(\partial_j
V_i^\circ) \\
&= \Bigl( \bigcup_{k < j} (\partial_j V_i^\circ \,|\, \partial_k
V_j^\circ) \Bigr) \cup \partial_{\emptyset,j} V_i^\circ \\
\partial(\partial_{j'} V_i^\circ) &= \Bigl( \bigcup_{k < j'}
\partial_{j'} V_i^\circ \,|\, \partial_k V_j^\circ \Bigr) \cup
\partial_{i,j'} V_i^\circ
\end{align*}sous les termes, des accolades : « fibré sur V_k^\circ »,
« fibré sur V_j^\circ », « fibré sur V_k^\circ », et pour le dernier
terme « vide si j prédécesseur de i » ; les indices
\partial_{i,j}, \partial_{\emptyset,j} sont d'une lecture incertaine\begin{align*}
\partial(\partial_0 V_2^\circ) &\simeq \partial(\partial_1 V_2^\circ) =
\partial_1 V_2^\circ \,|\, \partial V_1^\circ \\
\partial_j V_i^\circ \,|\, \partial_k V_j^\circ &= \partial_{j,k}
V_i^\circ \quad \text{fibré sur } V_k^\circ \\
\partial_{j > k > l} &= \partial_{j,k} V_i^\circ \,|\, \partial_l
V_k^\circ \quad \text{fibré sur } V_l^\circ \\
& \partial_{j > k > l > m} V_i^\circ
\end{align*}
Croquis : à gauche, les trois V_0^\circ, V_1^\circ, V_2^\circ,
avec \partial V_1^\circ \to V_0^\circ et \partial V_2^\circ =
\partial_1 V_2^\circ \cup \partial_0 V_2^\circ envoyé sur V_1^\circ et
V_0^\circ par des flèches courbes ; en bas, un tableau de flèches
\partial_2 \leftarrow \partial_{21}, \partial_{20} \leftarrow
\partial_{210}, \partial_1 \leftarrow \partial_{10}, \partial_0
\leftarrow \ldots, avec « bord » ; deux bandes hachurées étiquetées
\partial_{210}, \partial_{20}, \partial_{21} ; un cylindre et un
tore étiquetés \partial_{10}, \partial_1 ; un grand cercle \partial_0
contenant une haltère \partial_0 ; dans un cadre, \partial_1,
\partial_{10}, \partial_0 = \partial_0, et un demi-cercle posé sur un
segment, marqué \partial_1\ \partial_0\ \partial_1