Cote n° 121 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Topologie modérée : notes manuscrites (s.d.), lettre (1974)
Datation de l’inventaire : 1974
Édition de démonstration

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Topologie modérée

1« Topologie Modérée » est inscrit à l'encre en haut à droite du feuillet de garde ; ces mots sont de sa main et servent ici de titre. Le bas du même feuillet porte, au crayon, des esquisses de diagrammes sans texte suivi, dont on ne donne que ce qui se lit : des cubes \(I^{n-1} \to I^n \leftarrow I^{n+1}\) et des inclusions \(X \hookrightarrow I^n\), \(Y \hookrightarrow X\) ; un système \(\coprod_{\alpha \in F \subset I} X(\alpha) \rightrightarrows \coprod_{i \in I} X_i \to X\), avec des flèches \(X_i \xrightarrow{\alpha} X_j\), des \(p_i\) vers \(X\) et une flèche \(X \to Z\) ; une relation \(R \simeq X \times_Y X \subset X \times X\), \(R \rightrightarrows X \to Y\) ; en bas, \(|X| \times |Z| \to \Gamma(|g|)\), marqué « cont », \((x,z) \mapsto (g(x),z)\), et « \(z = \ill{}\, x\) (\(= V g(x)\)) ».

au crayon, dans un cadre, en bas à droite du feuillet \[X \overset{\beta}{\hookrightarrow} M\]

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§ 1) (Structure modérée sur un espace)

titre entre parenthèses, souligné d'un trait qui l'enveloppe ; les lettres a), b), c) des trois conditions sont repassées, et une flèche courbe les relie

\(X\) ensemble topologique

\(\mathcal{F}\) ens. de parties de \(X\), satisfaisant les conditions

Si […] \(\mathcal{A}_{\mathcal{F}}\) est l'ens. des fonctions sur \(X\), à valeurs dans \(\mathbb{Z}\) (disons), ne prenant qu'un nb fini de valeurs, et telles que \(\forall n \in \mathbb{Z}\), on a \(f^{-1}(\lbrace n \rbrace) \in \mathcal{F}\), alors de sorte que alors a) équivaut à la condition

et par suite la donnée de \(\mathcal{F}\) équivaut à celle de la partie \(\mathcal{A}_{\mathcal{F}} \subset \mathbb{Z}^X\). Ceci dit, après moyennant a) les conditions b) et b\('\)) sont équivalentes, et équivalentes à la suivante :

[…] \(\mathcal{A}_{\mathcal{F}}\) est […]une ligne biffée de hachures ; on n'y distingue que « \(\mathcal{A}_{\mathcal{F}}\) est » et alors \(\mathcal{A}_{\mathcal{F}}\) est […] stable par sommes finies, et s'il l'est de leurs \(f \circ g\) […] par \(f \mapsto -f\), donc c'est un sous-anneau unitaire de \(X^{\mathbb{Z}}\)sic : on attend \(\mathbb{Z}^X\). Plus généralement, si \(\Lambda\) est un anneau […][ou une […]]addition interlinéaire peu lisible au-dessus du mot biffé, on peut remplacer dans tout ceci [\(\mathbb{Z}\) par \(\Lambda\), donc] \(\mathbb{Z}^X\) par \(\Lambda^X\) : Moyennant a) et b) \(\mathcal{A}_{\mathcal{F}}\) est une sous-\(\Lambda\)-algèbre de \(\mathcal{A}_{\mathcal{F}}\) \(\Lambda^X\). Soit \(\mathrm{Et}(X,\Lambda)\) l'alg. des fonctions « étagées » sur \(X\) à valeurs dans \(\Lambda\) (i.e. ne prenant qu'un [nb fini de] […] valeurs). Alors \(\mathcal{F}\) est connu quand on connaît la sous-algèbre \(\mathcal{A}_{\mathcal{F}}\) de \(\mathrm{Et}(X,\Lambda)\). Lorsque \(\Lambda\) est intègre de corps

b\('\)) […] \(\mathcal{A}_{\mathcal{F}}\) […]note en biais dans la marge gauche, reliée par une flèche à la condition b\('\)), dont l'énoncé n'est écrit nulle part ailleurs sur la page ; presque entièrement illisible

4des fractions \(K\), on peut prouver que les sous-algèbres \(\mathcal{A}\) de \(\mathrm{Et}(X,\Lambda)\) ainsi obtenues sont les traces sur \(\mathrm{Et}(X,\Lambda)\) des sous-algèbres de \(\mathrm{Et}(X,\Lambda) \otimes_\Lambda K \simeq \mathrm{Et}(X,K)\) [i.e. satisfaisant la condition que si \(\varphi \in \mathrm{Et}(X,\Lambda)\) […] et \(\lambda \in \Lambda\) […] sont tels que \(\lambda \neq 0\) et \(\lambda\varphi \in \mathcal{A}\), alors \(\varphi \in \mathcal{A}\)]

Nous supposons maintenant que \(X\) est un espace topologique, et considérons la condition

équivalente (moyennant a)) à

Ceci implique donc que \[\dot{A} = \overline{A} - A^{\circ} \ \struck{\ill{}} \in \mathcal{F}\] donc la [prendre] partition de \(X\) en \(\mathring{A}\), \(\complement\mathring{A} = X - \overline{A}\), \(\dot{A}\) est formée d'éléments de \(\mathcal{F}\)la lettre c) de cette nouvelle condition reprend celle de la condition de passage au complémentaire, p. 3 ; transcrit tel quel

ce d) est barré de trois longs traits obliques ; il sera repris autrement p. 5

5Condition

la première ligne de d) est très raturée : « l'intérieur » est écrit au-dessus d'une première écriture « l'intérieur de \(A\) », et la fin (« est dense dans \(\overline{A}\) », « son complémentaire ») est ajoutée au-dessus de la ligne ; la reconstitution de l'ordre des ajouts est incertaine

NB Si \(\mathcal{L}\) est une partie de \(\mathfrak{P}(X)\), alors la plus petite partie \(\mathcal{F}\) de \(\mathfrak{P}(X)\) contenant \(\mathcal{L}\) et satisfaisant a) à b)lecture douteuse du renvoi aux conditions, est l'ens. des réunions finies d'ens. de la forme \(A \cap \complement B\), avec \(A, B \in \mathcal{L}\). Ceci dit, prouvons

Prop Si \(\mathcal{F}\) satisfait a) à d), alors \(\mathcal{F}\) est « engendrée » par l'ens. des parties fermées \(\in \mathcal{F}\). un trait vertical dans la marge gauche marque l'énoncé

Soit \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\) l'ens. engendré. Soit \(A \in \mathcal{F}\), prouvons \(A \in \mathcal{F}'\). Prouvons que si \(A \in \mathcal{F}\) est \(\in \mathcal{F}'\). Considérons \(\dot{A}\) On a \(\overline{A} = \mathring{A} \cup bA\) d'où \(A = \mathring{A} \cup A \cap b\mathring{A}\)sic ; on lit \(b\mathring{A}\), peut-être pour \(bA\). \(\mathring{A} = \complement\overline{\complement A} \in \mathcal{F}'\) grâce à c) [\(\Rightarrow \overline{\complement A} \in \mathcal{F}\) […] \(\overline{\complement A} \in \mathcal{F}'\)], il reste à prouver que \(A \cap bA \in \mathcal{F}'\). Mais ceci nous […] ramène à prouver l'énoncé analogue, avec \(A\) remplacé par \(bA = X_1\), \(\mathcal{F}\) par \(\mathcal{F}_1 \subset \mathfrak{P}(X_1)\) « induit » par \(\mathcal{F}\). [\(A\) par \(A_1 = A \cap X_1\)] On prend d), \(X_1\) est rare dans \(X\). On construit ainsi une suite décroissante \(X_0 = X \supset X_1 \supset X_2 \supset \cdots \supset X_n \supset \cdots\), avec \(X_{n+1}\) rare dans \(X_n\), et \(A_n \in \mathcal{F}_n = \mathcal{F} | X_n\), telle que si \(A_n \in \mathcal{F}'_n \Rightarrow A \in \mathcal{F}'\). Or \(\exists n\) tel que \(X_n = \emptyset\), cqfd […]. « \(bA\) » : il écrit \(b\) pour la frontière ; plus haut (p. 4) il notait \(\dot{A}\)

6Soit \(\mathcal{F}_0\) un ens. de parties fermées de l'espace top. \(X\). Pour que l'ens. \(\mathcal{F} \subset \mathfrak{P}(X)\) [satisfaisant a) b)] engendré par \(\mathcal{F}_0\) soit tel que \(\mathcal{F}_0\) soit [exactement] l'ens. des parties fermées \(\in \mathcal{F}\), il suffit [faut] que \(\mathcal{F}_0\) soit stable par intersections finies et réunions finies. Est-ce suffisant, i.e. est-il vrai alors que si une réunion finie \[A = \textstyle\bigcup A_i \cap \complement B_i \qquad (A_i, B_i \in \mathcal{F}_0)\] est fermée, alors \(A \in \mathcal{F}_0\) ? […]la suite de la ligne, après « \(A \in \mathcal{F}_0\) ? », est biffée et reliée par un trait à la ligne suivante

On a \(A = \overline{A} = \bigcup \overline{A_i \cap \complement B_i}\), donc il suffit de savoir que \(\forall A, B \in \mathcal{F}_0\) […] réunion […], \(\overline{A \cap \complement B} \in \mathcal{F}_0\). Rédaction […] [[…] conditions] […]deux lignes de ratures superposées ; lecture fragmentaire

[[…] donc] que [\(\mathcal{F}\)] […] satisfait […], elle est [satisfaite si et seulement si]interligne très chargé ; lecture incertaine

Montrons que, [alors] que \(\mathcal{F}\) satisfait d), il faut que \(\mathcal{F}_0\) satisfasse

\(\delta\)) est entouré d'un trait qui le relie à la ligne biffée au-dessus ; l'énoncé est inachevé

En effet, si \(C = \bigcup A_i \cap \complement B_i\) [(\(C\) étant fermé)], \((A_i, B_i \in \mathcal{F}_0)\), posons \(C_i = A_i \cap \complement B_i\), \(D_i = \overline{C_i} \in \mathcal{F}_0\) par \(\gamma\)), donc \(C_i = D_i - E_i\) (\(E_i = D_i - C_i\), fermé rare dans \(\mathcal{F}\), et \(\in \mathcal{F}_0\)), alors, posant \(D = \bigcup D_i\) \(= \overline{C}\), \(E_i\) est rare dans [a fortiori] […] rare dans \(D \supset D_i\), donc \(E = \bigcup E_i\) est rare dans \(D\), donc \[D - E \subset C = \textstyle\bigcup C_i \subset D\] donc \(E\) fermé rare dans \(D\) donc l'int. […]. [contient \(D - E\), donc] […] \(C\) dans \(D = \overline{C}\) est [est dense dans] \(D = \overline{C}\)…

7Supposons donc que \(\mathcal{F}_0\) satisfasse \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\). Soit \(A \in \mathcal{F}\), donc \(A = \bigcup C_i\) ([…]) \(C_i = D_i - E_i\), \(E_i\) rare dans Alors \(\forall A, B \in \mathcal{F}_0\) [\(\forall A \in \mathcal{F}\)] \(A \cap \complement B\) \(\overline{A}\) est le plus petit \(\in \mathcal{F}_0\) contenant \(A \cap \complement B\) (donc est connu en termes de \(\mathcal{F}_0\) directement, sans faire appel à la top. de \(X\) !). les deux premières lignes sont encadrées et biffées ; « \(\overline{A}\) » est écrit au-dessus de « \(A \cap \complement B\) » biffé, que la fin de la phrase conserve Donc la […] condition pour \(A \subset B\), \(A, B \in \mathcal{F}\), que \(A\) rare dans \(B\) i.e. \(A' = B - A\) dense dans \(B\) i.e. […] \(B \subset \overline{A'}\), a un sens indépendamment de la connaissance de la top. de \(X\). L'axiome e) sur \(\mathcal{F}\) peut donc s'expliciter en termes de \(\mathcal{F}_0\) directement :

la lettre de cette condition est repassée et peu nette ; on lit \(\varepsilon\)), en accord avec la série \(\alpha\)–\(\delta\) de p. 6

NB On peut se demander, indépendamment d'une topologie de \(X\), pour un ensemble \(\mathcal{F}_0\) de parties de \(X\), quand il existe une top. sur \(X\) pour laquelle \(\mathcal{F}_0\) satisfait : \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\)) (et éventuellement \(\varepsilon\))). Il faut et il suffit que \(\mathcal{F}_0\) satisfasse \(\alpha\), \(\beta\)) (qui ne font pas appel à une topologie de \(X\)) et :

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« l'ensemble des \(\in \mathcal{F}_0\) » : on attend l'intersection ; transcrit tel qu'écrit

C'est suffisant, car on peut alors prendre la top. \(T\) [dont les fermés sont] formée des intersections quelconques d'éléments de \(\mathcal{F}_0\) [ils sont stables par réunions finies, comme on voit tout de suite]. Cette topologie […] est d'ailleurs la moins fine parmi celles qu'on envisage. Elle est caractérisée par le fait qu'elle satisfait à la condition

[…] les ouverts [(*)] Tout ouvert de \(X\) est réunion d'ouverts de \(X\) qui sont \(\in \mathcal{F}\), ou encore tout fermé de \(X\) est int. de fermés \(\in \mathcal{F}\), ou encore […] tout \(x \in X\) a un syst. fond. de voisinages \(\in \mathcal{F}\) (ou de voisinages ouverts \(\in \mathcal{F}\))…

NB Supposons que \(\mathcal{F}\) satisfasse a), b), c), d), i.e. que […] si \(A \in \mathcal{F}\), alors \(\dot{A}\) [\(= \overline{A} - \mathring{A}\)] est rare dans \(X\), En effet, \(\dot{A} = \overline{A} - \mathring{A}\), […] \(A^{\circ}\) i.e. \(\dot{A}\) l'intérieur \(U\) de \(\dot{A}\) est vide. On sait que \(U \in \mathcal{F}\), nous introduisons sur \(U\) [cela conserve a) b) c) d)] on est ramené à prouver que si \(\overline{A} = X\), \(\mathring{A} = \emptyset\) [\(A^{\circ}\) est […] d)] alors \(A\) \(X = \emptyset\) [disons donc \(X = \overline{A}\)]… fin de page très raturée et interlignée ; lecture fragmentaire

Condition f) : \(\forall A \in \mathcal{F}\), si […] \(B, C \ldots\) […] ferment ([…] \(B, C \in \mathcal{F}\)) […] les […] dans \(A\) […] \(\mathcal{F}\)note écrite verticalement dans la marge gauche, sur trois colonnes, et barrée de quatre longs traits obliques ; elle est reprise au propre en tête de la page 9

9Condition f) \(\forall A \in \mathcal{F}\), \(A\) loc. fermé[e] (i.e. \(A = B - C\), \(B, C \in \mathcal{F}_0\)) les comp. connexes de \(A\) sont en nb fini (donc ouvertes dans \(A\)) et \(\in \mathcal{F}\). un trait vertical dans la marge gauche marque l'énoncé

Cela implique donc que \(A\) [loc. fermé \(\in \mathcal{F}\)] est connexe ssi […] \(A', A'' \in \mathcal{F}\), \(A' \cap A'' = \emptyset\), \(A' \cup A'' = A\), \(A'\) et \(A''\) fermés dans \(A\) (ou encore dans un sens \(A\) d'élément de \(\mathcal{F}_0\)), on a \(A' = \emptyset\) ou \(A'' = \emptyset\) : c'est donc là une condition qui ne fait pas intervenir la top. de \(X\), mais \(\mathcal{F}_0\) directement. De plus, \(B \subset \ldots\) si \(A\) est […] [\(\mathcal{F}_0\) satisfaisant (\(\varphi\))] loc. […] si \(A = B - C\), avec \(B, C \in \mathcal{F}_0\), \(C \subset B\), alors \(A\) se décompose en somme disjointe [(i.e. dans un sens \(A\) d'\(\in\) de \(\mathcal{F}_0\))] finie d'éléments de \(\mathcal{F}\) rel. fermés dans \(A\) [qui] sont ainsi \(\mathcal{F}_0\)-connexes. C'est là une nouvelle condition (sur \(\mathcal{F}_0\)).le (\(\varphi\)) cerclé, écrit au-dessus de la ligne, semble nommer la condition qui suit ; lecture douteuse

Si les ouverts \(\in \mathcal{F}\) forment une base de la top. de \(X\), alors la condition f) (qui peut être considérée comme une condition sur l'ens. de parties \(\mathcal{F}_0\)) implique que les \(A \in \mathcal{F}\) (du moins ceux qui sont loc. fermés — en fait cette restriction est inutile) sont loc. connexes.

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§ 2) (Décompositions cellulaires)

titre entre parenthèses, souligné ; le chiffre 2 est repassé

(Soit \(\mathcal{P} = (X_i)_{i \in I}\) une partition [finie] de \(X\), et soit \(\mathcal{F}_{\mathcal{P}}\) l'ens. des parties de \(X\) qui sont des réunions […] de \(X_i\). Alors […] \(\mathcal{F}_{\mathcal{P}}\) satisfait les conditions a), b), et \(\mathcal{A}_{(\mathcal{F}_{\mathcal{P}})}\) est l'algèbre des fonctions sur \(X\) à valeurs dans \(\Lambda\) qui sont constantes sur chaque \(X_i\), i.e. qui se factorisent par l'ens. quotient \(X/\mathcal{R}\), où \(\mathcal{R}\) est la relation d'équivalence associée à la partition.

NB La partition […] correspondante […] \(\mathcal{F}_{\mathcal{P}}\) […] les éléments minimaux […] de \(X/\mathcal{R}\) […] réunions […] \(\mathcal{F}_0\) […]note en biais dans la marge gauche, sur plusieurs lignes, presque entièrement illisible

Supposons \(X\) un espace topologique. Alors la condition c) équivaut à la suivante : (1) \(\forall i \in I\), \(\overline{X_i}\) est une réunion de \(X_j\) (i.e. est saturé par \(\mathcal{R}\)).le 1 est cerclé Montrons [[…] la condition (2) d) équivaut à] que cela implique que chaque \(X_i\) est loc. fermé [dans \(X\)], i.e. ouvert dans \(\overline{X_i}\), ou encore que \(\overline{X_i} - X_i\) est fermé. En effet, c'est une réunion de « feuillets » \(X_j\), pour \(j \neq i\), et si [on a] (\(j \neq i\)) … \(X_j \subset \overline{X_i}\), … dis que l'on … \(\overline{X_j} \cap X_i = \emptyset\) : en effet. Je dis que ceci équivaut à ce passage est encadré et barré de longs traits obliques

(2) Si \(i, j \in I\), alors \(\overline{X_i} = \overline{X_j} \Rightarrow X_i = X_j\) Nécessité […] Comme c) est satisfaite, chaque \(X_i\) est […] loc. fermés, donc […], \(X_i = \ill{}\) comme \(X_i\) et \(X_j\) […] deux […] dans […] (puisque) \(X_i \cap X_j\) est non vide […] loc. fermé, donc […] dense dans \(X_i\). Mais alors \(\overline{X_i} = \overline{X_j} \Rightarrow X_i \cap X_j \neq \emptyset\), donc \(i = j\), OK. deux lignes et demie barrées ; la fin, sur deux lignes serrées, est une addition interlinéaire

Je dis que 1°) et 2°) impliquent que les \(X_i\) sont loc[alemen]t fermés. En effet

Mais 1° + les \(X_i\) loc. fermés implique 2° : \(\overline{X_i} - X_i\) […] \(\bigcup_{j} \ill{}\) \((X - \ill{})\) […] \(X_i\) […] note verticale dans la marge gauche, en bas, peu lisible

11Considérons la relation dans \(I\) \[i \prec j \quad \overset{\text{déf}}{\Longleftrightarrow} \quad \overline{X_i} \subset \overline{X_j}\] (relation d'incidence des feuillets). C'est une relation de préordre, et grâce à 2) une relation d'ordre. Soit […] \(X_{i_0}\) un feuillet minimal. Alors, comme \(\overline{X_{i_0}}\) donc \(\overline{X_{i_0}} - X_{i_0}\) est une réunion de feuillets, on voit que \(\overline{X_{i_0}} \struck{-} X_{i_0} = \emptyset\) à cause de la condition minimale : un feuillet minimal (pour la relation d'incidence) est fermé. Ceci étant, on raisonne par récurrence sur le nb de feuillets, en remplaçant \(X\) par \(X - X_{i_0}\) et la partition induite \((X_i)_{i \in I - \lbrace i_0 \rbrace}\). [Je dis maintenant que \(\mathcal{F}_{\mathcal{P}}\) est engendré par un ens. de parties fermées \(\mathcal{F}_0\), donc d) est satisfait automatiquement !] […] Décomposition cellulaire (finie) de \(X\) : satisfaisant 1°) et 2°). Elle est « stricte » si elle satisfait de plus […]

la phrase « Je dis maintenant … automatiquement ! » est serrée en deux lignes au-dessus de « Décomposition cellulaire », et reliée par une accolade au paragraphe précédent ; le premier mot de la ligne est biffé de hachures

NB Si \(X_i\) est […] \(\overline{X_j}\) […] dans \(X_i \cap \overline{X_j} = \emptyset\), […] \(\overline{X_j} \cap X_i\) rare dans \(X_i\)note verticale dans la marge gauche, à hauteur du début de la récurrence

Je dis que [moyennant 1°) et 2°)] 3) équivaut à la condition f) pour \(\mathcal{F}_{\mathcal{P}}\), i.e. que tout \(A \in \mathcal{F}_{\mathcal{P}}\) qui est loc. fermé a […] loc. connexe, et [un nb fini] des comp. conn. […] \(\in \mathcal{F}_{\mathcal{P}}\). C'est suffisant. En effet, d) \(\Rightarrow\) 3), car \(X_i\) étant loc[alemen]t fermé et \(\in \mathcal{F}_{\mathcal{P}}\), […]

12[…] loc. connexe, et ses composantes connexes étant \(\in \mathcal{F}_{\mathcal{P}}\) — or \(X_i\) étant un [élément] \(\neq \emptyset\) minimal de \(\mathcal{F}_{\mathcal{P}}\), il s'ensuit que \(X_i\) est connexe. Inversement, 3) \(\Rightarrow\) d).sic : d) pour f), ici et à la ligne précédente Soit en effet \(A \in \mathcal{F}_{\mathcal{P}}\) [loc. fermé] (loc. fermé). Quitte à remplacer \(X\) par \(A\), et la partition de \(X\) par la partition induite \(\lbrace\)qui satisfait encore 1), 2), 3)\(\rbrace\) — c'est c'est trivial sauf pour 2), [mais] […] […] \(A\) […], mais si \(X_i, X_j \subset A\), \(i \neq j\), et \(\overline{X_i} \cap A = \overline{X_j} \cap A\), […] [comme] \(X_i \subset \overline{X_i} \cap A\) et \(X_j \subset \overline{X_j} \cap A\), on aura \(X_i \subset \overline{X_j}\) et \(X_j \subset \overline{X_i}\) donc \(\overline{X_i} = \overline{X_j}\) donc \(X_i = X_j\)) on est ramené à prouver que \(X\) est loc. connexe et que les composantes connexes […] de \(X\) sont ouvertes et réunions de feuillets. Or les \(X_i\) étant connexes, [et réunion de \(X\),] les \(\overline{X_i}\) aussi. Donc les composantes connexes [de \(X\)] sont [bien] des réunions d'ensembles \(X_i\), donc […] 2°), […] et […] des réunions. Donc il n'y en a qu'un nb fini, donc les composantes connexes sont […] ouvertes constituant une partition finie de \(X\) […] […] des fermés.les trois dernières lignes sont barrées de quatre traits obliques

Soit \(Y = X/\mathcal{R}\) (\(\simeq I\)) l'espace quotient. C'est un espace top. fini, […] si \(i \in I\) \(\overline{\lbrace i \rbrace}\) (le plus petit

13ens. fermé de \(I\) contenant \(i\)) [correspond] est l'image au plus petit ens. fermé saturé de \(X\) contenant \(X_i\), i.e. à \(\overline{X_i}\) par 1). Donc \(j \in \overline{\lbrace i \rbrace}\) ssi \(X_j \subset \overline{X_i}\) i.e. \(\overline{X_j} \subset \overline{X_i}\) : la relation d'incidence est la relation de spécialisation. La condition [2°) :] \(\overline{X_i} = \overline{X_j} \Rightarrow X_i = X_j\) i.e. \(i = j\) signifie donc que \(I\) est « primitif » condition i.e. \(\overline{\lbrace i \rbrace} = \overline{\lbrace j \rbrace} \Rightarrow i = j\). Si \(\varphi : X \to I\) est l'application de passage au quotient, la condition 1) signifie que \(\overline{\varphi^{-1}(J)}\) commute à l'adhérence (ou encore, à l'intérieur) i.e. que \(\varphi\) est une application ouverte. « primitif » : lecture douteuse (la notion est celle d'un espace \(T_0\)) ; « \(\overline{\varphi^{-1}(J)}\) commute à l'adhérence » transcrit tel qu'écrit Donc, on voit que les décompositions cellulaires [(finies)] de \(X\) correspondent aux […] espaces quotients [finis] de \(X\) qui sont primitifs, et tels que \(X \to X/\mathcal{R}\) soit ouvert.

§ 3 Décompositions cellulaires \(\mathcal{F}\)-admissibles : th. d'existence

titre ajouté au-dessus de la ligne et entouré ; un premier mot après « § 3 » est biffé

Si \(\mathcal{F}\) est comme dans § 1, une décomposition cellulaire de \(X\) est dite \(\mathcal{F}\)-admissible (ou partition \(\mathcal{F}\)-admissible) si ses feuillets sont \(\in \mathcal{F}\), i.e. si \(\mathcal{F}_{\mathcal{P}} \subset \mathcal{F}\).

14Prop […] Soit \(\mathcal{F} \subset \mathfrak{P}(X)\) satisfaisant les conditions a) b) c) [d) e)] du § 1, et soit \(\mathcal{L} \subset \mathcal{F}\) une partie finie de \(\mathcal{F}\). Alors il existe une décomposition cellulaire \(\mathcal{F}\)-admissible de \(X\), telle que les \(Y \in \mathcal{L}\) sont des réunions de feuillets. Parmi toutes ces décompositions cellulaires, il y en a une plus fine [grossière] ([…] [qui est donc unique déterminée]). le mot remplaçant « fine » est peu lisible ; « grossière » est offert d'après le sens

OK […] (fini) […] […]dans l'angle supérieur gauche, quelques mots en biais, barrés de hachures

[…] Soit \(X' = \bigcup_{Y \in \mathcal{L}} \dot{Y}\), c'est une réunion finie de parties fermées rares de \(X\), donc est une partie rare de \(X\), soit \(X' = X_{\ill{}}\) \(U = \complement X'\). Les traces [\(Y \cap U\)] sur \(U\) des \(Y \in \mathcal{L}\) sont des ouvertes parties à la fois ouvertes et fermées […] en nb fini. Il y a donc ([ensemblistement] immédiat) dans \(U\) une plus [grossière] […] partition [(finie)] par des \(U_i\) […] telles que les \(Y \cap U\) soient des réunions [(finies)] de \(U_i\) ; de plus, chaque \(U_i\) est une intersection [(finie)] de tels ensembles \(Y \cap U\), donc est aussi ouvert et fermé. Ceci étant, si la prop. est prouvée pour […] \((X, \mathcal{L})\) remplacé par \((X', \mathcal{L}' = \lbrace Y \cap X' \mid Y \in \mathcal{L} \rbrace \cup \lbrace \overline{U_i} \cap X' \rbrace_{i \in I})\)la seconde moitié de \(\mathcal{L}'\) est écrite sous la ligne ; la barre sur \(U_i\) est peu nette,

15il est immédiat qu'il l'est pour \((X, \mathcal{L})\) : si \((X'_j)_{j \in J}\) est la partition cherchée de \(X'\), celle de \(X\) est formée des \(X'_j\) et des \(U_i\). Ceci nous fournit un principe de dém. par récurrence, si on suppose que \(\mathcal{F}\) satisfait la condition e) (Dim) Pour toute suite [finie] \(X_1 \supset X_2 \supset \cdots \supset X_n\) de parties fermées \(\in \mathcal{F}\) de \(X\), telles que \(X_{i+1}\) soit rare dans \(X_i\), on a \(X_n = \emptyset\) pour \(n\) assez grand.ce paragraphe, étiqueté « (Dim) » dans la marge, est barré de trois traits obliques ; c'est la condition e) de la p. 5 résulte des […] de (Dim) […]en biais dans la marge gauche, à côté du paragraphe barré

Cor 1 Si \(\mathcal{F}\), [satisfait les] en plus des conditions a) b) c) [d) e)] , satisfait la condition (Dim), alors \(\mathcal{F}\) est réunion filtrante des sous-ens. [de la forme] \(\mathcal{F}_{\mathcal{P}}\) (associés aux décompositions cellulaires […] \(\mathcal{F}\)-admissibles de \(X\)).

Cor 2 L'ens. [\(\Sigma\)] des décompositions cellulaires \(\mathcal{F}\)-admissibles, pour la relation évidente de raffinement, admet des bornes sup. pour les [sous-]ens. finis de [\(\Sigma\)] […].

16Remarque Supposons que \(\mathcal{F}\), en plus de a) b) c) [d) e)] (Dim) satisfasse aussi f). Alors il existe une décomposition cellulaire stricte \(\mathcal{P}\) (i.e. à feuillets connexes) \(\mathcal{F}\)-admissible telle que les \(Y \in \mathcal{L}\) soient des [réunions de] feuillets, et parmi ces \(\mathcal{P}\), il y en a une plus grossière. La dém. est la même, mais au lieu de prendre les \(U_i\) précédents, on prend leurs composantes connexes. Donc \(\mathcal{F}\) est réunion filtrante des \(\mathcal{F}_{\mathcal{P}}\), avec les \(\mathcal{P}\) décompositions cellulaires à feuillets connexes, et ces décompositions cellulaires admettent des sup finis.

§ 4 (Décompositions cellulaires \(\mathcal{F}\)-modérées régulières)

titre écrit au-dessus de la ligne, entre parenthèses et souligné

(Supposons maintenant donnée une partie \(\mathcal{F}_r\) de \(\mathcal{F}\) formée d'éléments de \(\mathcal{F}\) [loc.] […] fermés : on les appelle les parties \(\mathcal{F}\)-régulières de \(\mathcal{F}\). On suppose que

la lettre de la condition est cerclée et repassée ; on lit (S), que la p. 17 confirme (« la condition (S) sur \(\mathcal{F}_r\) »)

17Ceci dit, une décomposition cellulaire \(\mathcal{P}\) de \(X\) est dite \(\mathcal{F}\)-régulière si [\(\mathcal{F}_{\mathcal{P}}\) […]] les feuillets [[…] conditions de régularité induites par \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{F}_r\)] sont \(\in \mathcal{F}_r\) […] [satisfait la condition S, et] […] [[…] précédemment], […] \(\forall Y\) fermé \(\mathcal{P}\)-saturé \(Y_s\) est \(\mathcal{P}\)-saturé. (Cela implique que les feuillets sont \(\in \mathcal{F}_r\).) les trois premières lignes sont un palimpseste de ratures et d'additions interlinéaires ; lecture très partielle

Prop Sous les conditions a) b) c) d) [e)] […] sur \(\mathcal{F}\), et la condition (S) sur \(\mathcal{F}_r \subset \mathcal{F}\), si \(\mathcal{L} \subset \mathcal{F}\) est une partie finie, il existe une partition \(\mathcal{F}\)-régulière de \(X\), et il y en a une plus grossière telle partition. Si \(\mathcal{F}\) satisfait en plus f), alors il existe une partition \(\mathcal{F}\)-régulière de \(X\) à feuillets connexes, et une plus grossière telle. un trait vertical dans la marge gauche marque l'énoncé ; « telle que les \(Y \in \mathcal{L}\) soient des réunions de feuillets » n'est pas écrit

OPS \(\mathcal{L}\) stable par \(\complement\).

Soit \(X' = \bigcup_{Y \in \mathcal{L}} \dot{Y} \cup Y_{\mathrm{sing}}\), \(U = X - X'\). Les \(Y \cap U\) sont ouverts et fermés, et réguliers. On continue comme plus haut, [avec les \(U_i\), mais dans \(\mathcal{L}'\) on met aussi les \((\overline{U_i})_{\mathrm{sing}}\)] dans le cas où \(\mathcal{F}\) satisfait d), on prend [avant] aux composantes connexes des \(U\). « d) » pour f), sic

Cor 1 Donc [\(\mathcal{F}\)] est réunion filtrante de \(\mathcal{F}_{\mathcal{P}}\), où \(\mathcal{P}\) est à feuillets \(\mathcal{F}\)-réguliers (resp. \(\mathcal{F}\)-réguliers et connexes, si \(\mathcal{F}\) satisfait d)).

Cor 2 Sup. [finis] dans les partitions \(\mathcal{F}\)-régulières (resp. à fibres connexes)

Cor 3 Partition \(\mathcal{F}\)-régulière canonique de \(X\)

18§ 5 […]une ligne de titre entièrement biffée de zigzags

§ 5 Localisation

Soit \(\mathcal{F}\) satisfaisant a) b) c) d) e) ou encore \(\mathcal{F}_0\) satisfaisant \(\alpha\,\beta\,\gamma\,\varepsilon\) (c'est kif-kif). Soit \(A \in \mathcal{F}\), considérons \(\mathcal{F}_A = \lbrace B \in \mathfrak{P}(A) \mid B \in \mathcal{F} \rbrace\). Évidemment \(\mathcal{F}_A\) satisfait a) b) c), satisfait-il aussi d) et e) ? Pour d), c'est prouvé au fond puisqu'il est immédiat que \(\mathcal{F}_A\) est engendré par \((\mathcal{F}_A)_{\mathrm{f}}\), i.e. que tout \(\in \mathcal{F}_A\) est réunion finie de parties loc. fermées [\(\in \mathcal{F}_A\)] de \(A\). […] Enfin, pour e) on considère \(A \supset A_1 \supset A_2 \supset \cdots \supset A_i \supset \cdots\) \(A_i \in \mathcal{F}_A\), \(A_i\) rel[ativemen]t fermé dans \(A\), \(A_{i+1}\) rare dans \(A_i\). Alors \(\overline{A_i}\) rare dans \(\overline{A_{i+1}}\) […] pour \(i\) grand (car \(A_i - A_{i+1}\) dense dans \(A_i\) donc dans \(\overline{A_i}\), […] \(A_{i+1}\) or \(A_i - A_{i+1} = A_i - \overline{A_{i+1}} \cap A_i \subset \overline{A_i} - \overline{A_{i+1}}\), qui est donc dense dans \(\overline{A_i}\)) donc pour \(i\) grand on a \(\overline{A_i} = \emptyset\) donc \(A_i = \emptyset\) cqfd. « \(\overline{A_i}\) rare dans \(\overline{A_{i+1}}\) » : sic, pour \(\overline{A_{i+1}}\) rare dans \(\overline{A_i}\) ; sous « \(\overline{A_{i+1}} \cap A_i\) » est écrit « \(A_{i+1}\) »

On peut toujours […] restreindre à une […] quelconque \(A\) de \(X\), en posant \(\mathcal{F}_A = \lbrace B \ldots \rbrace\) […] \((B \in \mathcal{F})\), dans \(\mathcal{F}_A\) satisfait a) b) c) d) e)en biais dans la marge gauche ; lecture très incertaine

Prouvons que si \(\mathcal{F}\) satisfait aussi f), il en est de même de \(\mathcal{F}_A\). C'est trivial si \(A\) loc. fermé. Il suffit de prouver que si \(A \in \mathcal{F}\) quelconque, ses comp. conn. sont \(\in \mathcal{F}\) et en nb fini. Or \(A = \bigcup Z_i\), les \(Z_i\) loc. fermés, et par f) OPS les \(Z_i\) connexes. Donc les composantes

19connexes de \(A\) sont réunions de \(Z_i\), donc en nb fini et \(\in \mathcal{F}\).

Nous supposons maintenant que les ouverts \(\in \mathcal{F}\) forment une base de la top. de \(X\). Considérons chaque partie de \(X\) comme une section du faisceau [\(\mathfrak{P}_X\)] des germes de parties de \(X\). Le sous-faisceau [\(\underline{\mathcal{F}}\)] […] de \(\mathfrak{P}_X\) engendré par \(\mathcal{F}\) (considéré comme ens. de sections) [admet] comme sections [comme sections sur \(X\) les] \(A \subset X\) satisfaisant la condition

un trait vertical dans la marge gauche marque la condition ; la lettre a) est repassée

Soit \(\overline{\mathcal{F}}\) l'ens. de ces \(A\). On a \(\mathcal{F} \subset \overline{\mathcal{F}}\), \(\overline{\overline{\mathcal{F}}} = \overline{\mathcal{F}}\). On voit aussi \(\overline{\mathcal{F}}\) satisfait a) b) c) d). (satisfait-il e) ?) Il n'est pas clair qu'il satisfait e), […] ni que \(\overline{\mathcal{F}}\) est engendré par les fermés qu'il contient. Mais si \(X\) est quasi-compact, on a \(\mathcal{F} = \overline{\mathcal{F}}\) (car on peut prendre les \(U_i\) en nb fini). le d) est suivi d'un indice ou d'une virgule peu nette

Si on ne suppose plus que la top. de \(X\) soit engendrée par les ouverts \(\in \mathcal{F}\), on

20peut néanmoins définir \(\underline{\mathcal{F}}\), ses sections sur l'ouvert \(U \subset X\) sont les \(A \subset U\) tels que \(\forall x \in U\), \(\exists\) voisinage (ouvert si on veut) \(V_x\) et \(B_x \in \mathcal{F}\) tels que \(A \cap V_x = B_x \cap V_x\). Posant encore \(\overline{\mathcal{F}} = \Gamma(X, \underline{\mathcal{F}})\) (plus généralement, \(\Gamma(U, \underline{\mathcal{F}}) = \overline{\mathcal{F}}_U\), si \(U\) ouvert de \(X\)), satisfait a) b) c) d) (peut-être pas e), ni \(\overline{\mathcal{F}}\) engendré par ses fermés…), mais, si \(X\) compact, on ne peut affirmer que \(\overline{\mathcal{F}} = \mathcal{F}\). Par exemple, si \(\mathcal{F} = \lbrace \emptyset, X \rbrace\), alors \(\overline{\mathcal{F}}\) est formé des parties à la fois ouvertes et fermées de \(X\) (donc si \(X\) est loc. connexe ce sont les réunions de comp. connexes). « si \(X\) compact, on ne peut affirmer » : sic ; on attendrait « même si »

Plus généralement

Supposons p. ex. que \(\mathcal{F} = \mathcal{F}_{\mathcal{P}}\), où \(\mathcal{P}\) est une décomposition cellulaire de \(X\). Quand a-t-on \(\overline{\mathcal{F}} = \mathcal{F}\) ? Toute partie ouverte et fermée d'une cellule fermée est \(\in \overline{\mathcal{F}}\), il faut donc que les cellules fermées soient connexes. Plus généralement pour tout ouvert \(U \subset X\), \(U \in \mathcal{F}\), \(\overline{\mathcal{F}}_U = \mathcal{F}_U\), on voit donc qu'il faut que toutes les cellules soient connexes (puisqu'elles sont fermées dans un ouvert \(U \in \mathcal{F}\)). Cela suffit-il pour que \(\overline{\mathcal{F}_U} = \mathcal{F}_U\) pour tout \(U\) ouvert \(\in \mathcal{F}\) ?