« Topologie Modérée » est inscrit à l'encre en haut à droite du feuillet de garde ; ces mots sont de sa main et servent ici de titre. Le bas du même feuillet porte, au crayon, des esquisses de diagrammes sans texte suivi, dont on ne donne que ce qui se lit : des cubes I^{n-1} \to I^n \leftarrow I^{n+1} et des inclusions X \hookrightarrow I^n, Y \hookrightarrow X ; un système \coprod_{\alpha \in F \subset I} X(\alpha) \rightrightarrows \coprod_{i \in I} X_i \to X, avec des flèches X_i \xrightarrow{\alpha} X_j, des p_i vers X et une flèche X \to Z ; une relation R \simeq X \times_Y X \subset X \times X, R \rightrightarrows X \to Y ; en bas, |X| \times |Z| \to \Gamma(|g|), marqué « cont », (x,z) \mapsto (g(x),z), et « z = \ill{}\, x (= V g(x)) ».

au crayon, dans un cadre, en bas à droite du feuillet X \overset{\beta}{\hookrightarrow} M

des fractions K, on peut prouver que les sous-algèbres \mathcal{A} de \mathrm{Et}(X,\Lambda) ainsi obtenues sont les traces sur \mathrm{Et}(X,\Lambda) des sous-algèbres de \mathrm{Et}(X,\Lambda) \otimes_\Lambda K \simeq \mathrm{Et}(X,K) [i.e. satisfaisant la condition que si \varphi \in \mathrm{Et}(X,\Lambda) et \lambda \in \Lambda sont tels que \lambda \neq 0 et \lambda\varphi \in \mathcal{A}, alors \varphi \in \mathcal{A}]

Nous supposons maintenant que X est un espace topologique, et considérons la condition

équivalente (moyennant a)) à

Ceci implique donc que \dot{A} = \overline{A} - A^{\circ} \ \struck{\ill{}} \in \mathcal{F} donc la prendre partition de X en \mathring{A}, \complement\mathring{A} = X - \overline{A}, \dot{A} est formée d'éléments de \mathcal{F}la lettre c) de cette nouvelle condition reprend celle de la condition de passage au complémentaire, p. 3 ; transcrit tel quel

ce d) est barré de trois longs traits obliques ; il sera repris autrement p. 5

Considérons la relation dans I i \prec j \quad \overset{\text{déf}}{\Longleftrightarrow} \quad \overline{X_i} \subset \overline{X_j} (relation d'incidence des feuillets). C'est une relation de préordre, et grâce à 2) une relation d'ordre. Soit X_{i_0} un feuillet minimal. Alors, comme \overline{X_{i_0}} donc \overline{X_{i_0}} - X_{i_0} est une réunion de feuillets, on voit que \overline{X_{i_0}} \struck{-} X_{i_0} = \emptyset à cause de la condition minimale : un feuillet minimal (pour la relation d'incidence) est fermé. Ceci étant, on raisonne par récurrence sur le nb de feuillets, en remplaçant X par X - X_{i_0} et la partition induite (X_i)_{i \in I - \lbrace i_0 \rbrace}. Je dis maintenant que \mathcal{F}_{\mathcal{P}} est engendré par un ens. de parties fermées \mathcal{F}_0, donc d) est satisfait automatiquement ! Décomposition cellulaire (finie) de X : satisfaisant 1°) et 2°). Elle est « stricte » si elle satisfait de plus

la phrase « Je dis maintenant … automatiquement ! » est serrée en deux lignes au-dessus de « Décomposition cellulaire », et reliée par une accolade au paragraphe précédent ; le premier mot de la ligne est biffé de hachures

NB Si X_i est \overline{X_j} dans X_i \cap \overline{X_j} = \emptyset, \overline{X_j} \cap X_i rare dans X_inote verticale dans la marge gauche, à hauteur du début de la récurrence

Je dis que [moyennant 1°) et 2°)] 3) équivaut à la condition f) pour \mathcal{F}_{\mathcal{P}}, i.e. que tout A \in \mathcal{F}_{\mathcal{P}} qui est loc. fermé a loc. connexe, et un nb fini des comp. conn. \in \mathcal{F}_{\mathcal{P}}. C'est suffisant. En effet, d) \Rightarrow 3), car X_i étant localement fermé et \in \mathcal{F}_{\mathcal{P}},

Prop Soit \mathcal{F} \subset \mathfrak{P}(X) satisfaisant les conditions a) b) c) d) e) du § 1, et soit \mathcal{L} \subset \mathcal{F} une partie finie de \mathcal{F}. Alors il existe une décomposition cellulaire \mathcal{F}-admissible de X, telle que les Y \in \mathcal{L} sont des réunions de feuillets. Parmi toutes ces décompositions cellulaires, il y en a une plus fine grossière ( qui est donc unique déterminée). le mot remplaçant « fine » est peu lisible ; « grossière » est offert d'après le sens

OK (fini) dans l'angle supérieur gauche, quelques mots en biais, barrés de hachures

Soit X' = \bigcup_{Y \in \mathcal{L}} \dot{Y}, c'est une réunion finie de parties fermées rares de X, donc est une partie rare de X, soit X' = X_{\ill{}} U = \complement X'. Les traces Y \cap U sur U des Y \in \mathcal{L} sont des ouvertes parties à la fois ouvertes et fermées en nb fini. Il y a donc (ensemblistement immédiat) dans U une plus grossière partition (finie) par des U_i telles que les Y \cap U soient des réunions (finies) de U_i ; de plus, chaque U_i est une intersection (finie) de tels ensembles Y \cap U, donc est aussi ouvert et fermé. Ceci étant, si la prop. est prouvée pour (X, \mathcal{L}) remplacé par (X', \mathcal{L}' = \lbrace Y \cap X' \mid Y \in \mathcal{L} \rbrace \cup \lbrace \overline{U_i} \cap X' \rbrace_{i \in I})la seconde moitié de \mathcal{L}' est écrite sous la ligne ; la barre sur U_i est peu nette,

Ceci dit, une décomposition cellulaire \mathcal{P} de X est dite \mathcal{F}-régulière si \mathcal{F}_{\mathcal{P}} les feuillets conditions de régularité induites par \mathcal{F}, \mathcal{F}_r sont \in \mathcal{F}_r satisfait la condition S, et précédemment, \forall Y fermé \mathcal{P}-saturé Y_s est \mathcal{P}-saturé. (Cela implique que les feuillets sont \in \mathcal{F}_r.) les trois premières lignes sont un palimpseste de ratures et d'additions interlinéaires ; lecture très partielle

Prop Sous les conditions a) b) c) d) e) sur \mathcal{F}, et la condition (S) sur \mathcal{F}_r \subset \mathcal{F}, si \mathcal{L} \subset \mathcal{F} est une partie finie, il existe une partition \mathcal{F}-régulière de X, et il y en a une plus grossière telle partition. Si \mathcal{F} satisfait en plus f), alors il existe une partition \mathcal{F}-régulière de X à feuillets connexes, et une plus grossière telle. un trait vertical dans la marge gauche marque l'énoncé ; « telle que les Y \in \mathcal{L} soient des réunions de feuillets » n'est pas écrit

OPS \mathcal{L} stable par \complement.

Soit X' = \bigcup_{Y \in \mathcal{L}} \dot{Y} \cup Y_{\mathrm{sing}}, U = X - X'. Les Y \cap U sont ouverts et fermés, et réguliers. On continue comme plus haut, avec les U_i, mais dans \mathcal{L}' on met aussi les (\overline{U_i})_{\mathrm{sing}} dans le cas où \mathcal{F} satisfait d), on prend avant aux composantes connexes des U. « d) » pour f), sic

Cor 1 Donc \mathcal{F} est réunion filtrante de \mathcal{F}_{\mathcal{P}}, où \mathcal{P} est à feuillets \mathcal{F}-réguliers (resp. \mathcal{F}-réguliers et connexes, si \mathcal{F} satisfait d)).

Cor 2 Sup. finis dans les partitions \mathcal{F}-régulières (resp. à fibres connexes)

Cor 3 Partition \mathcal{F}-régulière canonique de X

connexes de A sont réunions de Z_i, donc en nb fini et \in \mathcal{F}.

Nous supposons maintenant que les ouverts \in \mathcal{F} forment une base de la top. de X. Considérons chaque partie de X comme une section du faisceau \mathfrak{P}_X des germes de parties de X. Le sous-faisceau \underline{\mathcal{F}} de \mathfrak{P}_X engendré par \mathcal{F} (considéré comme ens. de sections) admet comme sections comme sections sur X les A \subset X satisfaisant la condition

un trait vertical dans la marge gauche marque la condition ; la lettre a) est repassée

Soit \overline{\mathcal{F}} l'ens. de ces A. On a \mathcal{F} \subset \overline{\mathcal{F}}, \overline{\overline{\mathcal{F}}} = \overline{\mathcal{F}}. On voit aussi \overline{\mathcal{F}} satisfait a) b) c) d). (satisfait-il e) ?) Il n'est pas clair qu'il satisfait e), ni que \overline{\mathcal{F}} est engendré par les fermés qu'il contient. Mais si X est quasi-compact, on a \mathcal{F} = \overline{\mathcal{F}} (car on peut prendre les U_i en nb fini). le d) est suivi d'un indice ou d'une virgule peu nette

Si on ne suppose plus que la top. de X soit engendrée par les ouverts \in \mathcal{F}, on