Cote n° 120, pages 1–20

Cote n° 120 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Topologie modérée : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1973-à partir de 1978]
Édition de démonstration

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Topologie modérée

inscrit à l'encre en haut à droite du feuillet de garde (page 1), qui ne reçoit pas de numéro de page : un premier mot, biffé et illisible (Structures), est remplacé en interligne par « Topologie », et la finale de « modérées » est corrigée en « modérée » ; le tout est souligné. Au-dessous, au crayon très pâle et peut-être d'une autre main, « 1978 […] » et « (Autour de l'Éloge) »

p. 1 de sa pagination

(I) Modèles \(R\)-modérés et […]titre écrit en biais dans la marge supérieure gauche, le chiffre romain cerclé ; « \(R\)-mo » est ajouté au-dessus de la ligne

\(\forall n \in \mathbb{N}^*\), \(\mathcal{M}_n \subset \mathfrak{P}(R^n)\)

(M1)\(\forall\, u : [1,n] \to [1,m]\), d'où \(u^* : R^m \to R^n\), on a \(u^*(\mathcal{M}_m) \subset \mathcal{M}_n\) i.e. \(\forall A \in \mathcal{M}_m\), on a \(u^*(A) \in \mathcal{M}_n\)
(M2)\(\forall\, u : [1,n] \to [1,m]\) surjectif, d'où \(u^* : R^m \hookrightarrow R^n\) injectif, on a \(u^{*-1}(\mathcal{M}_n) \subset \mathcal{M}_m\) i.e. \(\forall B \in \mathcal{M}_n\), on a \(u^{*-1}(B) \in \mathcal{M}_m\)à la fin de la ligne la lettre est surchargée (\(B\) sur \(A\), ou l'inverse) et l'exposant de \(u\) est peu net
(M3)\(\forall\, u : [1,n] \to [1,m]\) d'où \(u^* : R^m \to R^n\), et pour \(A \in \mathcal{M}_m\), \(B \in \mathcal{M}_n\), on a \[u^{*-1}(B) \cap A \in \mathcal{M}_m\]
(M4)\(\forall\, A \in \mathcal{M}_m\), \(B \in \mathcal{M}_n\), on a (moyennant \(R^m \times R^n \simeq R^{m+n}\)) \[A \times B \in \mathcal{M}_{m+n}\]

les quatre étiquettes (M1)–(M4) sont cerclées ; les chiffres de (M1), (M2), (M3) sont repassés […] M1, […] \(A \in \mathcal{M}_m \Rightarrow u_*(A) \in \mathcal{M}_n\)en biais, dans la marge gauche, en face de (M2)–(M3) ; le \(u_*\) est une lecture douteuse

Commentaires (1) M1) permet de définir, pour tout \(I\) ensemble fini non vide, \(\mathcal{M}_I \subset \mathfrak{P}(R^I)\), et alors on a des propriétés \(\mathcal{M}'1\) à \(\mathcal{M}'4\) pour les \(\mathcal{M}_I\) et les \(u : I \to J\).

(2) Pour avoir M1, il suffit de le supposer pour les […] cas

a)\(m = n\), \(u \in \mathfrak{S}_n\)
b)\(m = n+1\), \(u\) injectif (« op. face ») donc \(u^*\) surjectif
c)\(n = m+1\), \(u\) surjectif « op. dégénérescence » (« op. dégénérescence ») donc \(u^*\) injectif

et non seulement […] les opérations […] on peut se borner seulement […] \(R^n \to R^{n+1}\), \((x_1, \dots, x_n) \mapsto (x_1, \dots, x_n, x_n)\) et \(R^{n+1} \to R^n\), \((x_1, \dots, x_{n+1}) \mapsto (x_1, \dots, x_n)\)en biais dans la marge gauche, reliée par une accolade aux cas b) et c)

Pour avoir M2, il suffit de le supposer pour les op. de dégénérescence, et même seulement pour l'[…] […] […], \(R^n \hookrightarrow R^{n+1}\), \((x_1, \dots, x_n) \mapsto (x_1, \dots, x_n, x_n)\)cerclé dans la marge gauche ; une première flèche biffée Notons que M1, M2, M4 impliquent que les \(\mathfrak{S}_n\) sont stables par intersection, car de deux \[A, B \in \mathfrak{S}_n \Rightarrow A \cap B \in \mathfrak{S}_n\] (moyennant M1, M2, M4)le même sigle que le groupe symétrique \(\mathfrak{S}_n\) du cas a) ; on attendrait ici \(\mathcal{M}_n\). Transcrit tel qu'écrit, d'où résulte que pour avoir M3, il suffit de le prouver pour \(u\) surjectif, et même seulement pour \(u^*\) l'op. standard \(R^{n+1} \to R^n\), \((x_1, \dots, x_{n+1}) \mapsto (x_1, \dots, x_n)\).

3En résumé on voit que M1, M2, M3 peuvent être remplacés par

a)[…] \(\forall n \in \mathbb{N}^*\), \(\sigma \in \mathfrak{S}_n\), \(A \in \mathcal{M}_n\), on a \(\sigma^*(A) \in \mathcal{M}_n\)
b)\(\forall n \in \mathbb{N}^*\), d'où \(\alpha_n : [1, \dots, n+1] \to [1, n]\) (identité sur \([1,n]\), \(n+1 \mapsto n\)), d'où \(R\) \(\alpha_n^* : R^n \hookrightarrow R^{n+1}\), \((x_1, \dots, x_n) \mapsto (x_1, \dots, x_n, x_n)\), on a
b\(_1\))\(\forall A \in \mathcal{M}_n\), \(\alpha_n^*(A) \in \mathcal{M}_{n+1}\),
b\(_2\))\(\forall B \in \mathcal{M}_{n+1}\), \(\alpha_n^{*-1}(B) \in \mathcal{M}_n\)
c)\(\forall n \in \mathbb{N}^*\), d'où \(\beta_n : [1,n] \hookrightarrow [1, n+1]\) inclusion can., d'où \(\beta_n^* : R^{n+1} \to R^n\), \((x_1, \dots, x_{n+1}) \mapsto (x_1, \dots, x_n)\), on a
c\(_1\))\(\forall A \in \mathcal{M}_{n+1}\), \(B \in \mathcal{M}_n\), on a \(A \cap \beta_n^{*-1}(B) \in \mathcal{M}_{n+1}\),
c\(_2\))\(\forall A \in \mathcal{M}_{n+1}\), \(\beta_n^*(A) \in \mathcal{M}_n\)

en a), une première écriture est biffée d'un gribouillis ; la lettre de \(\sigma^*(A)\) est surchargée. En b\(_1\)), l'exposant de \(\alpha_n\) est mal formé ; on lit une image directe

(3) M1 implique que si un des \(\mathcal{M}_n\) est vide, tous le sont — et alors les axiomes M1 à M4 sont satisfaits trivialement. On va exclure ce cas trivial, i.e. supposer \[(*) \qquad \mathcal{M}_1 \neq \emptyset .\] M1 implique que si un des \(\mathcal{M}_n\) contient \(\emptyset\), tous le contiennent. Si ce n'est pas le cas, alors chaque \(\mathcal{M}_n\) (étant stable par intersection de deux ens.) est une base de filtre sur \(R^n\). On exclut ce cas, i.e. on suppose la relation suivante, plus forte que \((*)\) \[(**) \qquad \emptyset \in \mathcal{M}_1 \quad (\text{d'où } \emptyset \in \mathcal{M}_n \ \forall n \in \mathbb{N})\]

NB Si cette propriété n'était vérifiée, alors posant

4p. 2 de sa pagination \[\mathcal{M}'_n = \mathcal{M}_n \cup \{\emptyset\}\] les \(\mathcal{M}'_n\) satisfont encore les axiomes …

([…]) […] […]un départ biffé, sous un numéro cerclé lui-même surchargé De même, M1 implique que si on a, pour un \(n\), \(\mathcal{M}\) \(\mathcal{M}_n = \{\emptyset\}\), alors c'est vrai aussi pour tout \(n\) — cas trivial (qui satisfait nos axiomes) que je vais exclure. Donc je suppose aussi \[(***) \qquad \mathcal{M}_1 \neq \{\emptyset\} \quad \text{i.e.} \quad \exists A \in \mathcal{M}_1,\ A \neq \emptyset\] Ceci étant, si on pose pour \(I \neq \emptyset\) \[\mathcal{M}_\emptyset = \mathfrak{P}(R^\emptyset) = \{\emptyset, \{e\}\}\] (\(R^\emptyset\) ensemble ponctuel \(\{e\}\)), les propriétés \(\mathcal{M}'1\) à \(\mathcal{M}'4\) (cf. (1)) restent satisfaites […] […] \(I, J \neq \emptyset\) …ajout interlinéaire entouré d'un trait qui le rattache à « Ceci étant » ; « \(I \neq \emptyset\) » est écrit au-dessus de « pour », son symbole peut-être biffé

(4) Soit \(x \in R\), \[x = (x_1, \dots, x_n) \in R^n\] alors il résulte de M1 et M4 que \[\{x\} \in R^n \iff \forall i \in [1,n], \text{ on a } \{x_i\} \in \mathcal{M}_1 .\] à gauche, « \(\{x\} \in R^n\) » : lire \(\{x\} \in \mathcal{M}_n\) Soit \[R_0 = \{x \in R \mid \{x\} \in \mathcal{M}_1\} \qquad \text{donc } R_0 \subset R ,\] alors pour tout ens. fini \(I\), on a \[R_0^I = \{x \in R^I \mid \{x\} \in \mathcal{M}_I\} \qquad (R_0^I \subset R^I)\] Notons que si \(R_0 \neq \emptyset\) \(\operatorname{card} R_0 \geqslant 2\), alors on conclut de la stabilité de \(\mathcal{M}_1\) par intersection que \(\emptyset \in \mathcal{M}_1\), donc on satisfait à (3).

(5) Exemples (à part \(\mathcal{M}_n = \emptyset\) \(\forall n\), et \(\mathcal{M}_n = \{\emptyset\}\) \(\forall n\))

a)\(\mathcal{M}_n\) = parties de cardinal \(\leqslant 1\) de \(R^n\)
b)\(\mathcal{M}_n\) = parties finies de […] \(R^n\)
c)\(\mathcal{M}_n\) = toutes les […] parties de \(R^n\)

\(\to\) […] les axiomes […] b) c) du NB (2), […] l'exclusion de (2)à droite de la liste, relié par une flèche au cas a) ; lecture très incertaine

Aucun de ces […] […] pour nous !la ligne est coupée par un long ajout interlinéaire écrit en biais, en quatre ou cinq lignes serrées, dont on ne lit que des fragments : « […] exemples […] des […] discrets […] » ; il n'est pas transcrit

(II) Espaces modérés

titre écrit en biais dans la marge gauche, le chiffre romain cerclé, « Espaces modérés » souligné

Dans ce qui suit, au lieu de (M1) […], il suffit l'axiome […] […] \([1,n]\) […] un seulement […] ; on n'exclut pas \(I\) videen biais dans la marge gauche, sous le titre

Déf […] : partie modérée de \(R^I\), points modérés de \(R\), de \(R^I\).

Soit \(A \in \mathcal{M}_I\), \(B \in \mathcal{M}_J\), \(f : A \to B\), d'où \[\Gamma_f \subset A \times B \subset R^I \times R^J \simeq R^{I \sqcup J} .\] On dit que \(f\) est modérée si \(\Gamma_f \in \mathcal{M}_{I \sqcup J}\). il écrit l'indice \(I \cup J\) ; c'est la réunion disjointe qui est entendue

via M2Proposition

a)\(\mathrm{id}_A\) (si \(A \in \mathcal{M}_I\)) est modérée
b)\(f : A \to B\) et \(g : B \to C\) modérées (\(A \in \mathcal{M}_I\), \(B \in \mathcal{M}_J\), \(C \in \mathcal{M}_K\)) \(\Rightarrow\) \(gf\) modérée
c)\(f : A \to B\) (\(A \in \mathcal{M}_I\), \(B \in \mathcal{M}_J\)) modérée et bijective \(\Rightarrow\) \(f^{-1}\) modérée

(on précise \((I, A \in \mathcal{M}_I)\))

D'où catégorie des modèles modérés (\(\mathrm{Mod}_{\mathcal{M}_*}\)), et un foncteur conservatif fidèle \[\mathrm{Mod}_{\mathcal{M}_*} \longrightarrow (\mathrm{Ens}) \qquad (I, A) \mapsto A .\] on n'exclut pas les modèles […] dans lesquels \(R_0 = \{e\}\) ! […] […] évident […] …en biais dans la marge gauche On en déduit la catégorie des ensembles (\(\mathcal{M}_*\)-)modérés (ou « espaces »), équivalente à \(\mathrm{Mod}_{\mathcal{M}_*}\), mais avec un foncteur \[\mathrm{Esp}_{\mathcal{M}_*} \longrightarrow (\mathrm{Ens}) \qquad X \mapsto |X|\] qui est fidèle, conservatif et de plus « transportable », i.e.

6sa pagination, en haut à droite, est à demi effacée ; la suite 1, 2, 4, 5 des pages 2, 4, 8, 10 fait attendre 3 pour tout diagramme \[\begin{cases} X \\ |X| \xrightarrow[\sim]{\ \alpha\ } E \end{cases}\] avec \(X \in \operatorname{Ob} \mathrm{Esp}_{\mathcal{M}_*}\), \(\exists\) un unique \(Y\) et flèche \(f : X \to Y\) de \(\mathrm{Esp}_{\mathcal{M}_*}\), qui relève \(\alpha\) (« transport de structure »).le \(X\) du diagramme est écrit sur un \(A\)

Proposition Dans la catégorie \(\mathrm{Esp}_{\mathcal{M}_*}\) des espaces \(\mathcal{M}_*\)-modérés, il y a des produits finis, et des fibrés de deux objets sur un troisième) produits (de deux objets), et le foncteur \(X \mapsto |X|\) y commute. Si on suppose \[(\mathrm{M}5) \qquad R_0 \neq \emptyset\] alors il y a foncteur un objet final (qui est un ponctuel) et des foncteurs limites finies, et le foncteur \(X \mapsto |X|\) y commute. le passage qui va de « le foncteur \(X \mapsto |X|\) » à « limites finies » est encadré et barré de trois longs traits obliques ; en biais, sur la droite, un ajout que l'on ne lit que par fragments : « […] existence d'un objet final […] des produits […] […] \(X \mapsto |X|\) […] commute […] ». La ligne des produits porte d'abord « produits fibrés », repris en « produits (de deux objets) »

Proposition […] Si pour un \(n \in \mathbb{N}^*\) on a […] \(R^n \in \mathcal{M}_n\), il en est ainsi pour tout \(I\) fini dans \(R^I \in \mathcal{M}_I\). Considérons l'axiome (facultatif) \[(\mathrm{M}0) \qquad R \in \mathcal{M}_1 \qquad (\Rightarrow \forall I \ (\text{ens.\ fini}),\ R^I \in \mathcal{M}_I)\] cette fin de page est recouverte, dans la marge gauche et entre les lignes, par un long ajout écrit en biais, en une dizaine de lignes, où l'on distingue « Quand on […] (M0) », « (M5) », « des \(A \in \mathcal{M}_1\) », « \(R\) […] \(\Sigma\) », « (M11) » et « […] des […] » ; il n'est pas transcrit. Devant (M0), une première étiquette est biffée

7Alors \(R\) est muni d'une structure modérée canonique (car […] que modèle \(\subset R^1 = R\)), i.e. \[R \in \operatorname{Ob} \Sigma \qquad (\Sigma = \mathrm{Esp}_{\mathcal{M}_*})\] et tout objet de \(\Sigma\) est isomorphe à un sous-objet d'un \(R^n\) (produit dans \(\Sigma\)). On reconnaît les \(\mathcal{M}_n\) comme les ensembles des sous-objets (dans \(\Sigma\)) de l'objet \(R^n\). On trouve que la donnée d'un \(\mathcal{M}_*\) est équivalente à la donnée de la structure ajout interlinéaire : « […], les \(R^n\) correspondants […] » : la donnée de la \[(\Sigma, R, X \mapsto |X|)\] (à la notion d'isom. près) … […]

a)la catégorie \(\Sigma\) admet des \(\varprojlim\) finies
b)le foncteur \(X \mapsto |X|\), \(\Sigma \to (\mathrm{Ens})\), est […] […] […]
c)l'objet \(R \in \operatorname{Ob} \Sigma\) est tel que tout objet […] de \(R\) […] […] un \(R^n\).

la fin de la page est très chargée : une note en biais dans la marge gauche, où l'on lit « Introduire les parties modérées des espaces modérés, […] des […] \(\Sigma\) », « les parties […] \(f(A)\), \(f^{-1}(B)\) », « […] produits cartésiens » ; et une autre, en biais, en bas à droite, où l'on lit « (M1)\(_0\) […] […] […] » ; elles ne sont pas transcrites

Parlons aussi des opérations […] […] modérées d'espaces modérés […] dans des \(R^I\).

(III) Limites inductives finies d'espaces modérés

le chiffre romain est cerclé ; titre souligné, « inductives » ajouté en interligne À partir […] […] […] M1 […] […] […] […] […] intéressant : le problème de quotients des espaces modérés, et des limites inductives finies dans \((\mathrm{Esp}_{\mathcal{M}_*})\). lecture très incertaine de toute cette fin de page

8p. 4 de sa pagination la donnée modérée […] précise le […], qui […] facilement […] …en biais dans la marge supérieure gauche Proposition Si \(R_0 \neq \emptyset\) \(\operatorname{card} R_0 \geqslant 2\), alors dans \(\Sigma\) ([…] \(\Sigma\) (\(\Leftrightarrow R \in \mathcal{M}_1\))) existe un […] \((\mathrm{Hom}_\Sigma(e, R) \simeq \dots)\) de l'objet […] \(\mathrm{Hom}_\Sigma(R^0, R) \neq \emptyset\) (avec \(R^0 = \{e\}\)) alors dans \(\Sigma\) il y a des […] […] limites projectives finies (moyennant (M5)) et \(X \mapsto |X|\) y commute.les quatre premières lignes de l'énoncé sont biffées et surchargées ; seule la reprise finale est sûre dans son sens

Corollaire Sur tout ens. fini il y a une structure modérée et une seule, pour laquelle les parties modérées soient […] (str. mod. discrète).la ligne sous « modérée et une seule » porte une surcharge interlinéaire peu lisible Pour ne regarder […] […] […] […] construire \[X_1 \sqcup_Z X_2 ,\] sans supposer \(Z\) fini. Notons d'abord ceci :

Proposition Soit \(I\) un type de diagramme fini, et \((X_i)_{i \in I}\) un diagramme de type \(I\) dans \(\Sigma = \mathrm{Esp}_{\mathcal{M}_*}\), i.e. d'espaces modérés. Soit \(X\) la limite inductive dans \((\mathrm{Ens})\) (quotient de \(\coprod X_i\) par une certaine relation). Supposons qu'il existe sur \(X\) une structure modérée, telle que les applications can. \(g_i : X_i \to X\) soient modérées. Alors \(X\), muni de cette structure, est une \(\varinjlim\) des \(X_i\).« \(\varinjlim\) » : il écrit « un \(\varinjlim_I\) », l'indice sous la flèche

9Axiome supplémentaire \[(\mathrm{M}5) \qquad \forall n,\ \mathcal{M}_n \text{ stable par réunions finies}\] (\(\Leftrightarrow\) \(\emptyset \in \mathcal{M}_n\), et \(A, B \in \mathcal{M}_n \Rightarrow A \cup B \in \mathcal{M}_n\))l'étiquette (M5) a déjà servi, page 6, pour \(R_0 \neq \emptyset\) ; elle est reprise ici telle quelle

Proposition Parties modérées d'un esp. mod. stable par réunions finies.

Proposition Sur \(\emptyset\) il y a une structure modérée unique, qui en fait objet initial de \(\mathrm{Esp}_{\mathcal{M}_*}\).

Proposition Soient \(X\) un espace modéré, \((X_i)_{i \in I}\) une famille finie de parties modérées de \(X\). Alors \(\bigcup X_i\) est une partie modérée de \(X\). Si \(X = \bigcup_i X_i\), alors \(X\) est somme amalgamée des \(X_i\) suivant les \(X_i \cap X_j\) — une application \(f : X \to Y\) entre espaces modérés est modérée ssi ses restrictions aux \(X_i\,\) le sont.

Question Donnons-nous

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small]
 & Z \arrow[dl, hook'] \arrow[dr, hook] & \\
X_1 & & X_2
\end{tikzcd}

dans \(\mathrm{Esp}_{\mathcal{M}_*}\), existe-t-il une somme amalgamée ? Si \(Y = \emptyset\), c'est la question de l'existence des sommes finies dans \((\mathrm{Esp}_{\mathcal{M}_*})\).le \(Z\) du diagramme est écrit sur une autre lettre, sans doute \(Y\), qui reste dans « Si \(Y = \emptyset\) »

10p. 5 de sa pagination Pour que la somme amalgamée existe dans Esp \(\Sigma\) et que \(X \mapsto |X|\) y commute, il faut et suffit qu'il existe une famille finie de paires de fonctions \[\begin{cases} f_\alpha : X_1 \to R \\ g_\alpha : X_2 \to R \end{cases}\] telles que l'on ait

a)\(f_\alpha(i_1(z)) = g_\alpha(i_2(z))\) \(\forall \alpha \in A\), \(z \in Z\)
b)Si \(x, y\) les \(f_\alpha\) […] (\(f_\alpha\)) : les \(f_\alpha\) (\(g_\alpha\)) séparent les pts de \(X_1\) (\(X_2\)) i.e. \[X_1 \to R^I \qquad (X_2 \to R^A)\] sont injectifs
c)Si \(x_1 \in X_1 \setminus i_1(Z)\), \(x_2 \in X_2 \setminus i_2(Z)\), \(\exists \alpha\) avec \(f_\alpha(x_1) \neq g_\alpha(x_2)\)

l'ensemble d'indices est une lettre \(A\) cursive, que l'on transcrit \(A\) ; en b), le premier exposant ressemble à \(I\), transcrit tel quel. En a), le premier indice \(i_1\) est peu net. En c), une première lettre après \(x_1\) est biffée

NB On peut généraliser, sous les conditions de la proposition, il existe la structure modérée quotient sur \(X\), ssi \(\exists\) une famille finie \((F_\alpha)\) […] de systèmes compatibles \[(f_{\alpha i})_{i \in I} \qquad f_{\alpha i} : X_i \to R \text{ modérée} ,\] définissant des \[f_\alpha : X \to R\] telles que les \(f_\alpha\) séparent les pts de \(X\), i.e. \(f = (f_\alpha) : X \hookrightarrow R^A\)

11En effet, si \(Y\) est un espace modéré, une bijection […] des applications inductif \(X_i\) (dans \(\Sigma\)) dans \(Y\), \((f_i : X_i \to Y)_{i \in I}\), c'est-à-dire la donnée d'une application \(f : X \to Y\), telle que les \(f \circ g_i\) soient modérées. Il est évident : prouvons que cela implique que \(f\) est modérée, i.e. que son graphe \(\Gamma_f \subset X \times Y\) est une partie modérée. Or \(X\) étant la réunion des images des \(X_i\), il en est que \(\Gamma_f\) est la réunion des images des \(\Gamma_{f_i} \subset X_i \times Y\) par \[X_i \times Y \xrightarrow{\ g_i \times \mathrm{id}_Y\ } X \times Y .\] Mais ces images sont modérées, et donc leur réunion aussi. le début de la page est d'une lecture incertaine ; la famille \((f_i : X_i \to Y)_{i \in I}\) est écrite au-dessus de la ligne. Dans \(X_i \times Y \to X \times Y\), un premier facteur est biffé

Cor Soit \(f : X \to Y\) application modérée, \(\mathcal{R}_f\) la relation d'équivalence définie par \(f\) (qui est donc une partie modérée de \(X \times X\), et est une \(\Sigma\)-relation d'équivalence). Alors \(X / \mathcal{R}_f\) existe dans \(\Sigma = \mathrm{Esp}_{\mathcal{M}_*}\), et est can. isomorphe à \(f(X)\) (avec structure induite).« can. » est ajouté au-dessus de la ligne

Cor. 2 Considérons

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\begin{tikzcd}[column sep=small]
 & Z \arrow[dl, hook'] \arrow[dr, hook] & \\
X_1 & & X_2
\end{tikzcd}

dans \(\Sigma\).le diagramme, écrit en ligne, est traversé de quatre traits obliques, qui semblent annuler la ligne ; la suite est page 12

12p. 6 de sa pagination On va introduire \[(\mathrm{M}6) \qquad \begin{cases} \forall\, Z, X \in \mathcal{M}_n,\ Z \subset X,\ \exists\, (f_\alpha)_{\alpha \in A} \text{ famille finie de fonctions modérées } X \to R \\ \text{et des } (e_\alpha)_{\alpha \in A},\ e_\alpha \in R_0, \text{ telles que } Z = \bigcap f_\alpha^{-1}(e_\alpha) . \\ \text{De plus OPS que les } f_\alpha \text{ séparent les points de } X \smallsetminus Z \end{cases}\] devant l'accolade, un premier \(\exists\) est biffé ; « \(Z, X\) » est écrit sur une première lettre Il en résulte que les lim. finies des diagrammes (cont.)

([…])

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X \arrow[r, hook] & R^n \times R^A \\
Z \arrow[u, hook] \arrow[r, hook] & R^n \times \lbrace e \rbrace
\arrow[u, hook]
\end{tikzcd}

\(e = (e_\alpha)_{\alpha \in A}\)

Il s'ensuit ceci : \(Z_1 \subset X_1\) et \(Z_2 \subset X_2\) tout le bloc entre la ligne « Il en résulte … » et « \(Z_2 \subset X_2\) » est encadré de deux traits horizontaux et barré de quatre traits obliques ; le diagramme est pris dans la biffure, on le donne néanmoins

Notons que signifiant en fait que le quotient \(X/Z\) (contraction de \(Z\) en un point) existe dans \(\Sigma\) en un sens strict (i.e. \(X \mapsto |X|\) y commute). De plus, on supposera \[(\mathrm{M}7) \qquad \begin{cases} \forall\, Z, X \in \mathcal{M}_n,\ Z \subset X, \text{ et toute } f : Z \to R \text{ modérée,} \\ \exists\, g : X \to R \text{ modérée qui prolonge } f \end{cases}\]

Proposition Moyennant M5, M6, M7, les sommes amalgamées \[X_1 \sqcup_Z X_2 \qquad (Z \hookrightarrow X_1,\ Z \hookrightarrow X_2)\] existent dans \(\mathrm{Esp}_{\mathcal{M}_*}\), et commutent au foncteur oubli… (M6) (M7) implique l'existence […] […] […] […] sommes amalgaméesen biais dans la marge gauche, en plusieurs lignes, en face du diagramme et de la Proposition ; lecture très incertaine

13Soit \(Z \hookrightarrow R^I\) un plongement modéré. On peut (par M7) le prolonger en \[X_i \longrightarrow R^I \qquad (i \in \lbrace 1, 2 \rbrace)\] Soit \[X_i \longrightarrow R^{A_i} \qquad i \in \lbrace 1, 2 \rbrace\] comme dans M6 (qui définit un […] plongement modéré \(X_i / Z_i \hookrightarrow R^{A_i}\), \(Z_i = u_i(Z)\)), on on a donc un \[X_1 \to R^{I \sqcup A_1}\] qui est un plongement et s'insère dans un diagramme cartésien

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X_1 \arrow[r, hook] & R^{I \sqcup A_1} = R^I \times R^{A_1} \\
Z \arrow[u, hook] \arrow[r, hook] & R^I \times \lbrace e_1 \rbrace
\arrow[u, hook]
\end{tikzcd}

\(e_1 \in R_0^{A_1}\)dans ce diagramme, la flèche verticale de gauche est tracée vers le bas, de \(X_1\) vers \(Z\) ; on la donne dans le sens de l'inclusion, qui est celui de la flèche de droite

et de même pour \(X_2\), […] ce qui permet de considérer comme dans s'insérant dans suit un premier diagramme, sur deux lignes, barré de six traits obliques : \(X_1 \hookrightarrow R^I \times R^{A_1} \times \lbrace e_2 \rbrace \to R^I \times R^{A_1} \times R^{A_2}\) au-dessus de \(Z \to R^I \times \lbrace e_1 \rbrace \times \lbrace e_2 \rbrace \hookrightarrow R^I \times R^{A_1} \times R^{A_2}\) ; il est repris, corrigé, dans le diagramme (*) qui suit

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
X_1 \arrow[r, hook] & R^I \times R^{A_1} \times \lbrace e_2 \rbrace &
R^I \times R^{A_1} \times R^{A_2} \arrow[l] \\
 & R^I \times \lbrace e_1 \rbrace \times \lbrace e_2 \rbrace \arrow[u, hook]
\arrow[r, hook] & R^I \times \lbrace e_1 \rbrace \times R^{A_2} \arrow[u,
hook] \\
Z \arrow[uu, hook] \arrow[rr, hook] & & X_2 \arrow[u, hook]
\end{tikzcd}

diagramme marqué (*) dans la marge gauche. La flèche de la première ligne, de \(R^I \times R^{A_1} \times R^{A_2}\) vers \(R^I \times R^{A_1} \times \lbrace e_2 \rbrace\), est tracée de droite à gauche, sans crochet ; les deux crochets de la colonne de droite sont notés par de petites marques et leur sens est incertain ; le \(Z\) du coin inférieur est écrit sur une autre lettre

14p. 7 de sa pagination M5 […] […] mais […] M6dans la marge supérieure gauche, en biais

(IV) Ind-structures modérées strictes

le chiffre romain est cerclé ; « espaces modérés » est écrit au-dessus de « structures modérées », et en haut à droite, entre parenthèses, « (ou Ind-espaces modérés) ». Le préfixe s'écrit ici, trois fois, avec une majuscule nette : « Ind- »

[…] : c'est : la donnée d'un ens. \(E\), et un ens. de parties \(\mathcal{M}_E\) sur \(E\) (les parties modérées), stable par réunions finies, (recouvrant \(E\),) avec une structure modérée sur chacune, ces structures s'induisant mutuellement, et \[A \in \mathcal{M}, \ B \in \mathcal{M}_A \Rightarrow B \in \mathcal{M} .\] « recouvrant \(E\) » est ajouté au-dessus de la ligne ; devant « \(\mathcal{M}_E\) », une première lettre est surchargée, de même devant « \(A \in \mathcal{M}\) » Il revient au même de se donner la notion d'application modérée d'un \(X\) modéré dans \(E\), avec […] quelques conditions simples… Si on suppose \[(\mathrm{M}8) \qquad R \text{ est réunion de ses parties modérées}\] (impliqué par M5)la parenthèse est écrite au-dessus de la ligne, on trouve une structure ind-modérée canonique sur \(R\), et de même sur les \(R^I\).ici « ind- » en minuscule, lu comme le « Ind- » du titre

M1 : M5Proposition La catégorie \(\mathrm{Esp}_{\mathcal{M}}\) (des Ind-espaces modérés stricts) admet des \(\varprojlim\) finies, et le foncteur oubli y commute. Si \(R_0 \neq \emptyset\) (idem dans \(\mathrm{Esp}_{\mathcal{M}}\) il y a sommes […]) il y a des sommes directes finies dans \(\mathrm{Esp}_{\mathcal{M}}\), et \(X \mapsto |X|\) y commute. « M1 : M5 » en marge, en face de la Proposition, comme « M1 : M7 » page 23. Le sigle de la catégorie porte un indice surchargé, \(\mathcal{M}_*\) ou \(\mathcal{M}\). Dans la marge gauche, en biais, une remarque dont on lit « \(\mathrm{Esp}_{\mathcal{M}}\) […] […] […] stricts […] […] (en principe !) » ; un premier mot devant « catégorie » et un devant « dans » sont biffés

15Soit \(\mathfrak{X}\) un espace ind-modéré. Une partie de \(\mathfrak{X}\) est dite loc. modérée si \[\forall A \in \mathcal{M}_{\mathfrak{X}}, \text{ on a } A \cap \mathfrak{Y} \in \mathcal{M}_{\mathfrak{X}} .\] C'est stable par intersections finies (y compris pour famille vide, i.e. \(\mathfrak{X} \in \vec{\mathcal{M}}_{\mathfrak{X}}\)), par image inverse par morphismes loc. d'espaces ind-modérés.ses lettres gothiques \(\mathfrak{X}\), \(\mathfrak{Y}\), \(\mathfrak{Z}\) pour les espaces ind-modérés ; la première est écrite sur une autre lettre. Il note \(\vec{\mathcal{M}}_{\mathfrak{X}}\), une flèche au-dessus et une au-dessous, l'ensemble des parties loc. modérées

La notion d'application modérée d'un espace modéré \(X\) dans un \(R^I\), est un cas particulier de la précédente, quand \(\mathcal{M}_{\mathfrak{X}}\) est satisfait dans \(X\) et \(R^I\) sont deux des espaces ind-modérés.

Moyennant M6, M7, il existe pas dans \(\mathrm{Esp}_{\mathcal{M}_*}\) les quotients \(\mathfrak{X}/\mathfrak{Y}\) au sens strict (i.e. qui commutent à \(X \mapsto |X|\)) si \(\mathfrak{Y}\) est partie loc. modérée, et de même \[\mathfrak{X}_1 \sqcup_{\mathfrak{Z}} \mathfrak{X}_2\] pour \(\mathfrak{Z} \hookrightarrow \mathfrak{X}_1\) et \(\mathfrak{Z} \hookrightarrow \mathfrak{X}_2\) des immersions modérées i.e. correspondant à des parties loc. modérées

16p. 8 de sa pagination \(\mathfrak{Z}_i \subset \mathfrak{X}_i\) et \(\mathfrak{Z} \simeq \mathfrak{Z}_1\), \(\mathfrak{Z} \simeq \mathfrak{Z}_2\)).

NB On fera attention que contrairement à ce qui se passe dans \(\mathrm{Esp}_{\mathcal{M}_*}\)) un sous-objet d'un objet \(\mathfrak{X}\) de \(\mathrm{Esp}_{\mathcal{M}_*}\) i.e. d'un esp. ind-modéré, ne correspond pas néc. à une partie loc. modérée…le premier sigle \(\mathrm{Esp}\) est écrit sur un autre mot ; les deux portent peut-être une autre marque, qui distinguerait la catégorie des espaces ind-modérés

(V) Relations avec topologies

le chiffre romain est cerclé, le titre souligné Supposons \(R\) muni d'une topologie, donc les \(R^I\) et les « modèles » modérés aussi. On voudrait que les applications modérées soient continues — c'est OK si les parties modérées sont compactes (donc fermées, si \(R\) séparé), i.e. si Cas où les fonctions \(X \mapsto\) \[(\mathrm{M}9) \qquad \begin{cases} R \text{ séparé} \\ \text{les parties modérées de } R^n \text{ sont compactes} \end{cases}\] « Supposons donc » est écrit au-dessus de la ligne biffée ; l'étiquette (M9) est cerclée Alors le foncteur \(X \mapsto |X|\) se factorise par la cat. des espaces topologiques \[\mathrm{Esp}_{\mathcal{M}_*} \longrightarrow (\text{Esp.\ top.\ cpts})\] dans la parenthèse, un premier « Esp » est surchargé

17et ce foncteur est encore fidèle conservatif transportable ([…] égalité). […] On a une réciproque quand \(R \in \mathcal{M}_1\) (donc \(R\) cpct) en termes d'un tel foncteur et d'un objet \(R \in \operatorname{Ob} \Sigma\), tel que tout objet de \(\Sigma\) se plonge dans un \(R^n\).la parenthèse après « transportable » est ajoutée au-dessus de la ligne ; devant \(\mathcal{M}_1\), une première lettre est surchargée

Tout espace ind-modéré sera muni de la top. limite inductive. Elle induit sur chaque partie modérée sa topologie propre, quand on suppose que l'espace est ind-dénombrable, i.e. \(\varinjlim\) de suites croissantes d'espaces modérés.

On voudrait que dans un espace modéré, tout pt ait un syst. fond. de voisinages […] modérés. Il suffit que […] ce soit vrai dans \(R\), donc dans les \(R^n\), d'où l'axiome \[(\mathrm{M}10) \qquad \text{Dans } R, \text{ tout pt a un syst.\ fond.\ de voisinages} \in \mathcal{M}_1\] « l'analogue » est écrit au-dessus de « ce soit vrai »

18p. 9 de sa pagination On sait alors que c'est une la notion d'application \(X \to Y\) entre espaces modérés, qui est modérée au voisinage d'un pt, et on trouve…

Prop Pour qu'une application d'un espace modéré \(X\) dans un espace ind-modéré soit modérée, il faut et s. qu'elle le soit au voisinage de chaque pt.

Donc les applications modérées de \(X\) dans \(Y\) forment les sections d'un faisceau — le faisceau des applications modérées de \(X\) dans \(Y\). La structure modérée de \(X\) est connue quand on connaît l'ens. des applications modérées de \(X\) dans \(R\) (cela résulte dans le contexte purement ensembliste, avec (M1)\(_0\) (M2) (M3) (M4) seulement), donc aussi quand on connaît le faisceau des germes de fonctions modérées. « modérée » est ajouté au-dessus de « structure » ; « (M1)\(_0\) » : l'indice \(0\) est net, cf. la note en biais de la page 7

19Espace loc. modéré Esp. loc. cpct ind-modéré dont la top. est loc. cpcte séparée, et tout point admet un voisinage qui est […] modéré (donc l'espace est loc. cpct), et tout pt admet un syst. fond. de voisinages modérés, et les parties compactes sont les parties contenues dans une partie modérée — qui forment donc un ens. filtrant cofinal : celui des parties compactes. « ind-modéré » est écrit au-dessus de « loc. cpct » biffé

Par exemple, par (M10) \(R\) est un espace loc. modéré, donc les \(R^I\) aussi.

Les espaces loc. modérés \(\mathrm{Esp}_{\mathcal{M}_*}\) forment une sous-catégorie pleine \(\mathrm{Esplo}_{\mathcal{M}_*}\) de \(\mathrm{Esp}_{\mathcal{M}_*}\), stable par \(\varprojlim\) finies.il écrit « Esploc », « loc » en indice partiel ; le second \(\mathrm{Esp}_{\mathcal{M}_*}\) est souligné, sans doute pour la catégorie des espaces ind-modérés

Dire que toute […] est contenue […] d'un Esp […] […] modéréeen biais, dans le coin inférieur gauche ; au-dessous, un mot isolé biffé

20p. 10 de sa pagination

(VI) Relation avec structure de corps

le chiffre romain est cerclé ; le titre est écrit en biais dans la marge gauche, souligné, « de corps » au-dessus de la ligne

Oublions les structures topologiques, et supposons par contre que \(R\) est une structure de corps. On supposera alors, […] en plus de (M1) et (M4) (minimum pour construire \(\mathrm{Esp}_{\mathcal{M}_*}\) avec ses \(\varprojlim\) finies) l'axiome (M11) Pour toute partie modérée \(A\) de \(R^1\), l'application \(a \mapsto -a\) de \(A\) dans \(R\) est modérée (i.e. l'ens. \(\lbrace (a, -a) \in R^2 \mid a \in A \rbrace\) est modérée ce premier énoncé de (M11) est barré de sept traits obliques ; un trait le relie à la reprise qui suit. Après « (M1) », un indice est surchargé \[(\mathrm{M}11) \qquad \begin{cases} \text{a) } 0 \neq 1 \text{ sont } \in R_0 \text{ i.e.\ } \lbrace 0 \rbrace, \lbrace 1 \rbrace \in \mathcal{M}_1 \\ \text{b) } \forall A \in \mathcal{M}_2, \text{ les fonctions } (x,y) \mapsto x - y, \ (x,y) \mapsto xy \\ \qquad \text{sur } A \text{ sont modérées, i.e.\ les} \\ \qquad \lbrace (x, y, x-y) \mid (x,y) \in A \rbrace \text{ et } \lbrace (x, y, xy) \mid (x,y) \in A \rbrace \\ \qquad \text{sont modérées dans } R^3 \\ \text{c) } \forall A \subset R^*,\ A \in \mathcal{M}_1,\ \exists B \in \mathcal{M}_1 \text{ avec } A^{-1} \subset B \end{cases}\] l'étiquette (M11) est encadrée. Entre b) et c), une première version de c), « \(\forall A \subset R^*\), \(A \in \mathcal{M}_1\), \(\exists B \in \mathcal{M}_1\) tel que \(A^{-1} \subset B\) », est biffée ; en c), « \(A^{-1}\) modérée » est écrit puis repris, et en marge droite, deux fois, « (OPS \(B = A^{-1}\) !) », la première fois biffée Cela ex[…] (les parties a) b)) équivaut à la validité de la … NB si […] \(A \in \mathcal{M}_2\) […] (M11) pour \(A = R^2\) en biais dans la marge gauche, en face de (M11)

Proposition Pour un espace modéré \(X\), les fonctions modérées \(X \to R\) forment un et \(=\) une sous-\(R_0\)- sous-anneau de l'anneau des fonctions […] sur \(X\). En particulier \(R_0\) est un sous-anneau de \(R\), et les … […] particulier […] […] \(R_0\) intègreverticalement dans la marge gauche, en bas. La phrase « En particulier … » s'arrête au bas du feuillet ; la page 21 (lot 2) s'ouvre sur un signe isolé qui n'en est pas visiblement la suite