(II) Espaces modérés

titre écrit en biais dans la marge gauche, le chiffre romain cerclé, « Espaces modérés » souligné

Dans ce qui suit, au lieu de (M1) , il suffit l'axiome [1,n] un seulement ; on n'exclut pas I videen biais dans la marge gauche, sous le titre

Déf : partie modérée de R^I, points modérés de R, de R^I.

Soit A \in \mathcal{M}_I, B \in \mathcal{M}_J, f : A \to B, d'où \Gamma_f \subset A \times B \subset R^I \times R^J \simeq R^{I \sqcup J} . On dit que f est modérée si \Gamma_f \in \mathcal{M}_{I \sqcup J}. il écrit l'indice I \cup J ; c'est la réunion disjointe qui est entendue

via M2Proposition

a)\mathrm{id}_A (si A \in \mathcal{M}_I) est modérée b)f : A \to B et g : B \to C modérées (A \in \mathcal{M}_I, B \in \mathcal{M}_J, C \in \mathcal{M}_K) \Rightarrow gf modérée c)f : A \to B (A \in \mathcal{M}_I, B \in \mathcal{M}_J) modérée et bijective \Rightarrow f^{-1} modérée

(on précise (I, A \in \mathcal{M}_I))

D'où catégorie des modèles modérés (\mathrm{Mod}_{\mathcal{M}_*}), et un foncteur conservatif fidèle \mathrm{Mod}_{\mathcal{M}_*} \longrightarrow (\mathrm{Ens}) \qquad (I, A) \mapsto A . on n'exclut pas les modèles dans lesquels R_0 = \{e\} ! évident …en biais dans la marge gauche On en déduit la catégorie des ensembles (\mathcal{M}_*-)modérés (ou « espaces »), équivalente à \mathrm{Mod}_{\mathcal{M}_*}, mais avec un foncteur \mathrm{Esp}_{\mathcal{M}_*} \longrightarrow (\mathrm{Ens}) \qquad X \mapsto |X| qui est fidèle, conservatif et de plus « transportable », i.e.

sa pagination, en haut à droite, est à demi effacée ; la suite 1, 2, 4, 5 des pages 2, 4, 8, 10 fait attendre 3 pour tout diagramme \begin{cases} X \\ |X| \xrightarrow[\sim]{\ \alpha\ } E \end{cases} avec X \in \operatorname{Ob} \mathrm{Esp}_{\mathcal{M}_*}, \exists un unique Y et flèche f : X \to Y de \mathrm{Esp}_{\mathcal{M}_*}, qui relève \alpha (« transport de structure »).le X du diagramme est écrit sur un A

Proposition Dans la catégorie \mathrm{Esp}_{\mathcal{M}_*} des espaces \mathcal{M}_*-modérés, il y a des produits finis, et des fibrés de deux objets sur un troisième) produits (de deux objets), et le foncteur X \mapsto |X| y commute. Si on suppose (\mathrm{M}5) \qquad R_0 \neq \emptyset alors il y a foncteur un objet final (qui est un ponctuel) et des foncteurs limites finies, et le foncteur X \mapsto |X| y commute. le passage qui va de « le foncteur X \mapsto |X| » à « limites finies » est encadré et barré de trois longs traits obliques ; en biais, sur la droite, un ajout que l'on ne lit que par fragments : « existence d'un objet final des produits X \mapsto |X| commute ». La ligne des produits porte d'abord « produits fibrés », repris en « produits (de deux objets) »

Proposition Si pour un n \in \mathbb{N}^* on a R^n \in \mathcal{M}_n, il en est ainsi pour tout I fini dans R^I \in \mathcal{M}_I. Considérons l'axiome (facultatif) (\mathrm{M}0) \qquad R \in \mathcal{M}_1 \qquad (\Rightarrow \forall I \ (\text{ens.\ fini}),\ R^I \in \mathcal{M}_I) cette fin de page est recouverte, dans la marge gauche et entre les lignes, par un long ajout écrit en biais, en une dizaine de lignes, où l'on distingue « Quand on (M0) », « (M5) », « des A \in \mathcal{M}_1 », « R \Sigma », « (M11) » et « des » ; il n'est pas transcrit. Devant (M0), une première étiquette est biffée

Alors R est muni d'une structure modérée canonique (car que modèle \subset R^1 = R), i.e. R \in \operatorname{Ob} \Sigma \qquad (\Sigma = \mathrm{Esp}_{\mathcal{M}_*}) et tout objet de \Sigma est isomorphe à un sous-objet d'un R^n (produit dans \Sigma). On reconnaît les \mathcal{M}_n comme les ensembles des sous-objets (dans \Sigma) de l'objet R^n. On trouve que la donnée d'un \mathcal{M}_* est équivalente à la donnée de la structure ajout interlinéaire : « , les R^n correspondants » : la donnée de la (\Sigma, R, X \mapsto |X|) (à la notion d'isom. près) …

a)la catégorie \Sigma admet des \varprojlim finies b)le foncteur X \mapsto |X|, \Sigma \to (\mathrm{Ens}), est c)l'objet R \in \operatorname{Ob} \Sigma est tel que tout objet de R un R^n.

la fin de la page est très chargée : une note en biais dans la marge gauche, où l'on lit « Introduire les parties modérées des espaces modérés, des \Sigma », « les parties f(A), f^{-1}(B) », « produits cartésiens » ; et une autre, en biais, en bas à droite, où l'on lit « (M1)_0 » ; elles ne sont pas transcrites

Parlons aussi des opérations modérées d'espaces modérés dans des R^I.

(III) Limites inductives finies d'espaces modérés

le chiffre romain est cerclé ; titre souligné, « inductives » ajouté en interligne À partir M1 intéressant : le problème de quotients des espaces modérés, et des limites inductives finies dans (\mathrm{Esp}_{\mathcal{M}_*}). lecture très incertaine de toute cette fin de page

p. 4 de sa pagination la donnée modérée précise le , qui facilement …en biais dans la marge supérieure gauche Proposition Si R_0 \neq \emptyset \operatorname{card} R_0 \geqslant 2, alors dans \Sigma ( \Sigma (\Leftrightarrow R \in \mathcal{M}_1)) existe un (\mathrm{Hom}_\Sigma(e, R) \simeq \dots) de l'objet \mathrm{Hom}_\Sigma(R^0, R) \neq \emptyset (avec R^0 = \{e\}) alors dans \Sigma il y a des limites projectives finies (moyennant (M5)) et X \mapsto |X| y commute.les quatre premières lignes de l'énoncé sont biffées et surchargées ; seule la reprise finale est sûre dans son sens

Corollaire Sur tout ens. fini il y a une structure modérée et une seule, pour laquelle les parties modérées soient (str. mod. discrète).la ligne sous « modérée et une seule » porte une surcharge interlinéaire peu lisible Pour ne regarder construire X_1 \sqcup_Z X_2 , sans supposer Z fini. Notons d'abord ceci :

Proposition Soit I un type de diagramme fini, et (X_i)_{i \in I} un diagramme de type I dans \Sigma = \mathrm{Esp}_{\mathcal{M}_*}, i.e. d'espaces modérés. Soit X la limite inductive dans (\mathrm{Ens}) (quotient de \coprod X_i par une certaine relation). Supposons qu'il existe sur X une structure modérée, telle que les applications can. g_i : X_i \to X soient modérées. Alors X, muni de cette structure, est une \varinjlim des X_i.« \varinjlim » : il écrit « un \varinjlim_I », l'indice sous la flèche

Axiome supplémentaire (\mathrm{M}5) \qquad \forall n,\ \mathcal{M}_n \text{ stable par réunions finies} (\Leftrightarrow \emptyset \in \mathcal{M}_n, et A, B \in \mathcal{M}_n \Rightarrow A \cup B \in \mathcal{M}_n)l'étiquette (M5) a déjà servi, page 6, pour R_0 \neq \emptyset ; elle est reprise ici telle quelle

Proposition Parties modérées d'un esp. mod. stable par réunions finies.

Proposition Sur \emptyset il y a une structure modérée unique, qui en fait objet initial de \mathrm{Esp}_{\mathcal{M}_*}.

Proposition Soient X un espace modéré, (X_i)_{i \in I} une famille finie de parties modérées de X. Alors \bigcup X_i est une partie modérée de X. Si X = \bigcup_i X_i, alors X est somme amalgamée des X_i suivant les X_i \cap X_j — une application f : X \to Y entre espaces modérés est modérée ssi ses restrictions aux X_i\, le sont.

Question Donnons-nous

\begin{tikzcd}[column sep=small] & Z \arrow[dl, hook'] \arrow[dr, hook] & \\ X_1 & & X_2 \end{tikzcd}

dans \mathrm{Esp}_{\mathcal{M}_*}, existe-t-il une somme amalgamée ? Si Y = \emptyset, c'est la question de l'existence des sommes finies dans (\mathrm{Esp}_{\mathcal{M}_*}).le Z du diagramme est écrit sur une autre lettre, sans doute Y, qui reste dans « Si Y = \emptyset »

p. 5 de sa pagination Pour que la somme amalgamée existe dans Esp \Sigma et que X \mapsto |X| y commute, il faut et suffit qu'il existe une famille finie de paires de fonctions \begin{cases} f_\alpha : X_1 \to R \\ g_\alpha : X_2 \to R \end{cases} telles que l'on ait

a)f_\alpha(i_1(z)) = g_\alpha(i_2(z)) \forall \alpha \in A, z \in Z b)Si x, y les f_\alpha (f_\alpha) : les f_\alpha (g_\alpha) séparent les pts de X_1 (X_2) i.e. X_1 \to R^I \qquad (X_2 \to R^A) sont injectifs c)Si x_1 \in X_1 \setminus i_1(Z), x_2 \in X_2 \setminus i_2(Z), \exists \alpha avec f_\alpha(x_1) \neq g_\alpha(x_2)

l'ensemble d'indices est une lettre A cursive, que l'on transcrit A ; en b), le premier exposant ressemble à I, transcrit tel quel. En a), le premier indice i_1 est peu net. En c), une première lettre après x_1 est biffée

NB On peut généraliser, sous les conditions de la proposition, il existe la structure modérée quotient sur X, ssi \exists une famille finie (F_\alpha) de systèmes compatibles (f_{\alpha i})_{i \in I} \qquad f_{\alpha i} : X_i \to R \text{ modérée} , définissant des f_\alpha : X \to R telles que les f_\alpha séparent les pts de X, i.e. f = (f_\alpha) : X \hookrightarrow R^A

En effet, si Y est un espace modéré, une bijection des applications inductif X_i (dans \Sigma) dans Y, (f_i : X_i \to Y)_{i \in I}, c'est-à-dire la donnée d'une application f : X \to Y, telle que les f \circ g_i soient modérées. Il est évident : prouvons que cela implique que f est modérée, i.e. que son graphe \Gamma_f \subset X \times Y est une partie modérée. Or X étant la réunion des images des X_i, il en est que \Gamma_f est la réunion des images des \Gamma_{f_i} \subset X_i \times Y par X_i \times Y \xrightarrow{\ g_i \times \mathrm{id}_Y\ } X \times Y . Mais ces images sont modérées, et donc leur réunion aussi. le début de la page est d'une lecture incertaine ; la famille (f_i : X_i \to Y)_{i \in I} est écrite au-dessus de la ligne. Dans X_i \times Y \to X \times Y, un premier facteur est biffé

Cor Soit f : X \to Y application modérée, \mathcal{R}_f la relation d'équivalence définie par f (qui est donc une partie modérée de X \times X, et est une \Sigma-relation d'équivalence). Alors X / \mathcal{R}_f existe dans \Sigma = \mathrm{Esp}_{\mathcal{M}_*}, et est can. isomorphe à f(X) (avec structure induite).« can. » est ajouté au-dessus de la ligne

Cor. 2 Considérons

\begin{tikzcd}[column sep=small] & Z \arrow[dl, hook'] \arrow[dr, hook] & \\ X_1 & & X_2 \end{tikzcd}

dans \Sigma.le diagramme, écrit en ligne, est traversé de quatre traits obliques, qui semblent annuler la ligne ; la suite est page 12

p. 6 de sa pagination On va introduire (\mathrm{M}6) \qquad \begin{cases} \forall\, Z, X \in \mathcal{M}_n,\ Z \subset X,\ \exists\, (f_\alpha)_{\alpha \in A} \text{ famille finie de fonctions modérées } X \to R \\ \text{et des } (e_\alpha)_{\alpha \in A},\ e_\alpha \in R_0, \text{ telles que } Z = \bigcap f_\alpha^{-1}(e_\alpha) . \\ \text{De plus OPS que les } f_\alpha \text{ séparent les points de } X \smallsetminus Z \end{cases} devant l'accolade, un premier \exists est biffé ; « Z, X » est écrit sur une première lettre Il en résulte que les lim. finies des diagrammes (cont.)

()

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] X \arrow[r, hook] & R^n \times R^A \\ Z \arrow[u, hook] \arrow[r, hook] & R^n \times \lbrace e \rbrace \arrow[u, hook] \end{tikzcd}

e = (e_\alpha)_{\alpha \in A}

Il s'ensuit ceci : Z_1 \subset X_1 et Z_2 \subset X_2 tout le bloc entre la ligne « Il en résulte … » et « Z_2 \subset X_2 » est encadré de deux traits horizontaux et barré de quatre traits obliques ; le diagramme est pris dans la biffure, on le donne néanmoins

Notons que signifiant en fait que le quotient X/Z (contraction de Z en un point) existe dans \Sigma en un sens strict (i.e. X \mapsto |X| y commute). De plus, on supposera (\mathrm{M}7) \qquad \begin{cases} \forall\, Z, X \in \mathcal{M}_n,\ Z \subset X, \text{ et toute } f : Z \to R \text{ modérée,} \\ \exists\, g : X \to R \text{ modérée qui prolonge } f \end{cases}

Proposition Moyennant M5, M6, M7, les sommes amalgamées X_1 \sqcup_Z X_2 \qquad (Z \hookrightarrow X_1,\ Z \hookrightarrow X_2) existent dans \mathrm{Esp}_{\mathcal{M}_*}, et commutent au foncteur oubli… (M6) (M7) implique l'existence sommes amalgaméesen biais dans la marge gauche, en plusieurs lignes, en face du diagramme et de la Proposition ; lecture très incertaine

Soit Z \hookrightarrow R^I un plongement modéré. On peut (par M7) le prolonger en X_i \longrightarrow R^I \qquad (i \in \lbrace 1, 2 \rbrace) Soit X_i \longrightarrow R^{A_i} \qquad i \in \lbrace 1, 2 \rbrace comme dans M6 (qui définit un plongement modéré X_i / Z_i \hookrightarrow R^{A_i}, Z_i = u_i(Z)), on on a donc un X_1 \to R^{I \sqcup A_1} qui est un plongement et s'insère dans un diagramme cartésien

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] X_1 \arrow[r, hook] & R^{I \sqcup A_1} = R^I \times R^{A_1} \\ Z \arrow[u, hook] \arrow[r, hook] & R^I \times \lbrace e_1 \rbrace \arrow[u, hook] \end{tikzcd}

e_1 \in R_0^{A_1}dans ce diagramme, la flèche verticale de gauche est tracée vers le bas, de X_1 vers Z ; on la donne dans le sens de l'inclusion, qui est celui de la flèche de droite

et de même pour X_2, ce qui permet de considérer comme dans s'insérant dans suit un premier diagramme, sur deux lignes, barré de six traits obliques : X_1 \hookrightarrow R^I \times R^{A_1} \times \lbrace e_2 \rbrace \to R^I \times R^{A_1} \times R^{A_2} au-dessus de Z \to R^I \times \lbrace e_1 \rbrace \times \lbrace e_2 \rbrace \hookrightarrow R^I \times R^{A_1} \times R^{A_2} ; il est repris, corrigé, dans le diagramme (*) qui suit

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] X_1 \arrow[r, hook] & R^I \times R^{A_1} \times \lbrace e_2 \rbrace & R^I \times R^{A_1} \times R^{A_2} \arrow[l] \\ & R^I \times \lbrace e_1 \rbrace \times \lbrace e_2 \rbrace \arrow[u, hook] \arrow[r, hook] & R^I \times \lbrace e_1 \rbrace \times R^{A_2} \arrow[u, hook] \\ Z \arrow[uu, hook] \arrow[rr, hook] & & X_2 \arrow[u, hook] \end{tikzcd}

diagramme marqué (*) dans la marge gauche. La flèche de la première ligne, de R^I \times R^{A_1} \times R^{A_2} vers R^I \times R^{A_1} \times \lbrace e_2 \rbrace, est tracée de droite à gauche, sans crochet ; les deux crochets de la colonne de droite sont notés par de petites marques et leur sens est incertain ; le Z du coin inférieur est écrit sur une autre lettre

p. 7 de sa pagination M5 mais M6dans la marge supérieure gauche, en biais

(IV) Ind-structures modérées strictes

le chiffre romain est cerclé ; « espaces modérés » est écrit au-dessus de « structures modérées », et en haut à droite, entre parenthèses, « (ou Ind-espaces modérés) ». Le préfixe s'écrit ici, trois fois, avec une majuscule nette : « Ind- »

: c'est : la donnée d'un ens. E, et un ens. de parties \mathcal{M}_E sur E (les parties modérées), stable par réunions finies, (recouvrant E,) avec une structure modérée sur chacune, ces structures s'induisant mutuellement, et A \in \mathcal{M}, \ B \in \mathcal{M}_A \Rightarrow B \in \mathcal{M} . « recouvrant E » est ajouté au-dessus de la ligne ; devant « \mathcal{M}_E », une première lettre est surchargée, de même devant « A \in \mathcal{M} » Il revient au même de se donner la notion d'application modérée d'un X modéré dans E, avec quelques conditions simples… Si on suppose (\mathrm{M}8) \qquad R \text{ est réunion de ses parties modérées} (impliqué par M5)la parenthèse est écrite au-dessus de la ligne, on trouve une structure ind-modérée canonique sur R, et de même sur les R^I.ici « ind- » en minuscule, lu comme le « Ind- » du titre

M1 : M5Proposition La catégorie \mathrm{Esp}_{\mathcal{M}} (des Ind-espaces modérés stricts) admet des \varprojlim finies, et le foncteur oubli y commute. Si R_0 \neq \emptyset (idem dans \mathrm{Esp}_{\mathcal{M}} il y a sommes ) il y a des sommes directes finies dans \mathrm{Esp}_{\mathcal{M}}, et X \mapsto |X| y commute. « M1 : M5 » en marge, en face de la Proposition, comme « M1 : M7 » page 23. Le sigle de la catégorie porte un indice surchargé, \mathcal{M}_* ou \mathcal{M}. Dans la marge gauche, en biais, une remarque dont on lit « \mathrm{Esp}_{\mathcal{M}} stricts (en principe !) » ; un premier mot devant « catégorie » et un devant « dans » sont biffés

Soit \mathfrak{X} un espace ind-modéré. Une partie de \mathfrak{X} est dite loc. modérée si \forall A \in \mathcal{M}_{\mathfrak{X}}, \text{ on a } A \cap \mathfrak{Y} \in \mathcal{M}_{\mathfrak{X}} . C'est stable par intersections finies (y compris pour famille vide, i.e. \mathfrak{X} \in \vec{\mathcal{M}}_{\mathfrak{X}}), par image inverse par morphismes loc. d'espaces ind-modérés.ses lettres gothiques \mathfrak{X}, \mathfrak{Y}, \mathfrak{Z} pour les espaces ind-modérés ; la première est écrite sur une autre lettre. Il note \vec{\mathcal{M}}_{\mathfrak{X}}, une flèche au-dessus et une au-dessous, l'ensemble des parties loc. modérées

La notion d'application modérée d'un espace modéré X dans un R^I, est un cas particulier de la précédente, quand \mathcal{M}_{\mathfrak{X}} est satisfait dans X et R^I sont deux des espaces ind-modérés.

Moyennant M6, M7, il existe pas dans \mathrm{Esp}_{\mathcal{M}_*} les quotients \mathfrak{X}/\mathfrak{Y} au sens strict (i.e. qui commutent à X \mapsto |X|) si \mathfrak{Y} est partie loc. modérée, et de même \mathfrak{X}_1 \sqcup_{\mathfrak{Z}} \mathfrak{X}_2 pour \mathfrak{Z} \hookrightarrow \mathfrak{X}_1 et \mathfrak{Z} \hookrightarrow \mathfrak{X}_2 des immersions modérées i.e. correspondant à des parties loc. modérées

p. 8 de sa pagination \mathfrak{Z}_i \subset \mathfrak{X}_i et \mathfrak{Z} \simeq \mathfrak{Z}_1, \mathfrak{Z} \simeq \mathfrak{Z}_2).

NB On fera attention que contrairement à ce qui se passe dans \mathrm{Esp}_{\mathcal{M}_*}) un sous-objet d'un objet \mathfrak{X} de \mathrm{Esp}_{\mathcal{M}_*} i.e. d'un esp. ind-modéré, ne correspond pas néc. à une partie loc. modérée…le premier sigle \mathrm{Esp} est écrit sur un autre mot ; les deux portent peut-être une autre marque, qui distinguerait la catégorie des espaces ind-modérés

(V) Relations avec topologies

le chiffre romain est cerclé, le titre souligné Supposons R muni d'une topologie, donc les R^I et les « modèles » modérés aussi. On voudrait que les applications modérées soient continues — c'est OK si les parties modérées sont compactes (donc fermées, si R séparé), i.e. si Cas où les fonctions X \mapsto (\mathrm{M}9) \qquad \begin{cases} R \text{ séparé} \\ \text{les parties modérées de } R^n \text{ sont compactes} \end{cases} « Supposons donc » est écrit au-dessus de la ligne biffée ; l'étiquette (M9) est cerclée Alors le foncteur X \mapsto |X| se factorise par la cat. des espaces topologiques \mathrm{Esp}_{\mathcal{M}_*} \longrightarrow (\text{Esp.\ top.\ cpts}) dans la parenthèse, un premier « Esp » est surchargé

et ce foncteur est encore fidèle conservatif transportable ( égalité). On a une réciproque quand R \in \mathcal{M}_1 (donc R cpct) en termes d'un tel foncteur et d'un objet R \in \operatorname{Ob} \Sigma, tel que tout objet de \Sigma se plonge dans un R^n.la parenthèse après « transportable » est ajoutée au-dessus de la ligne ; devant \mathcal{M}_1, une première lettre est surchargée

Tout espace ind-modéré sera muni de la top. limite inductive. Elle induit sur chaque partie modérée sa topologie propre, quand on suppose que l'espace est ind-dénombrable, i.e. \varinjlim de suites croissantes d'espaces modérés.

On voudrait que dans un espace modéré, tout pt ait un syst. fond. de voisinages modérés. Il suffit que ce soit vrai dans R, donc dans les R^n, d'où l'axiome (\mathrm{M}10) \qquad \text{Dans } R, \text{ tout pt a un syst.\ fond.\ de voisinages} \in \mathcal{M}_1 « l'analogue » est écrit au-dessus de « ce soit vrai »

p. 9 de sa pagination On sait alors que c'est une la notion d'application X \to Y entre espaces modérés, qui est modérée au voisinage d'un pt, et on trouve…

Prop Pour qu'une application d'un espace modéré X dans un espace ind-modéré soit modérée, il faut et s. qu'elle le soit au voisinage de chaque pt.

Donc les applications modérées de X dans Y forment les sections d'un faisceau — le faisceau des applications modérées de X dans Y. La structure modérée de X est connue quand on connaît l'ens. des applications modérées de X dans R (cela résulte dans le contexte purement ensembliste, avec (M1)_0 (M2) (M3) (M4) seulement), donc aussi quand on connaît le faisceau des germes de fonctions modérées. « modérée » est ajouté au-dessus de « structure » ; « (M1)_0 » : l'indice 0 est net, cf. la note en biais de la page 7

Espace loc. modéré Esp. loc. cpct ind-modéré dont la top. est loc. cpcte séparée, et tout point admet un voisinage qui est modéré (donc l'espace est loc. cpct), et tout pt admet un syst. fond. de voisinages modérés, et les parties compactes sont les parties contenues dans une partie modérée — qui forment donc un ens. filtrant cofinal : celui des parties compactes. « ind-modéré » est écrit au-dessus de « loc. cpct » biffé

Par exemple, par (M10) R est un espace loc. modéré, donc les R^I aussi.

Les espaces loc. modérés \mathrm{Esp}_{\mathcal{M}_*} forment une sous-catégorie pleine \mathrm{Esplo}_{\mathcal{M}_*} de \mathrm{Esp}_{\mathcal{M}_*}, stable par \varprojlim finies.il écrit « Esploc », « loc » en indice partiel ; le second \mathrm{Esp}_{\mathcal{M}_*} est souligné, sans doute pour la catégorie des espaces ind-modérés

Dire que toute est contenue d'un Esp modéréeen biais, dans le coin inférieur gauche ; au-dessous, un mot isolé biffé

p. 10 de sa pagination

(VI) Relation avec structure de corps

le chiffre romain est cerclé ; le titre est écrit en biais dans la marge gauche, souligné, « de corps » au-dessus de la ligne

Oublions les structures topologiques, et supposons par contre que R est une structure de corps. On supposera alors, en plus de (M1) et (M4) (minimum pour construire \mathrm{Esp}_{\mathcal{M}_*} avec ses \varprojlim finies) l'axiome (M11) Pour toute partie modérée A de R^1, l'application a \mapsto -a de A dans R est modérée (i.e. l'ens. \lbrace (a, -a) \in R^2 \mid a \in A \rbrace est modérée ce premier énoncé de (M11) est barré de sept traits obliques ; un trait le relie à la reprise qui suit. Après « (M1) », un indice est surchargé (\mathrm{M}11) \qquad \begin{cases} \text{a) } 0 \neq 1 \text{ sont } \in R_0 \text{ i.e.\ } \lbrace 0 \rbrace, \lbrace 1 \rbrace \in \mathcal{M}_1 \\ \text{b) } \forall A \in \mathcal{M}_2, \text{ les fonctions } (x,y) \mapsto x - y, \ (x,y) \mapsto xy \\ \qquad \text{sur } A \text{ sont modérées, i.e.\ les} \\ \qquad \lbrace (x, y, x-y) \mid (x,y) \in A \rbrace \text{ et } \lbrace (x, y, xy) \mid (x,y) \in A \rbrace \\ \qquad \text{sont modérées dans } R^3 \\ \text{c) } \forall A \subset R^*,\ A \in \mathcal{M}_1,\ \exists B \in \mathcal{M}_1 \text{ avec } A^{-1} \subset B \end{cases} l'étiquette (M11) est encadrée. Entre b) et c), une première version de c), « \forall A \subset R^*, A \in \mathcal{M}_1, \exists B \in \mathcal{M}_1 tel que A^{-1} \subset B », est biffée ; en c), « A^{-1} modérée » est écrit puis repris, et en marge droite, deux fois, « (OPS B = A^{-1} !) », la première fois biffée Cela ex (les parties a) b)) équivaut à la validité de la … NB si A \in \mathcal{M}_2 (M11) pour A = R^2 en biais dans la marge gauche, en face de (M11)

Proposition Pour un espace modéré X, les fonctions modérées X \to R forment un et = une sous-R_0- sous-anneau de l'anneau des fonctions sur X. En particulier R_0 est un sous-anneau de R, et les … particulier R_0 intègreverticalement dans la marge gauche, en bas. La phrase « En particulier … » s'arrête au bas du feuillet ; la page 21 (lot 2) s'ouvre sur un signe isolé qui n'en est pas visiblement la suite