Cote n° 12 · batch 8 · pages 141–160 · Transcription · Généralités (sous-groupes de Galois motiviques) (1964 ?) : notes manuscrites (s.d.), tapuscrit (s.d.)
Datation de l’inventaire : 1964-[vers 1971]
Édition de démonstration

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141Le foncteur \(\mathcal{L}\) est pleinement fidèle (on se ramène au cas de la base \(S = \operatorname{Spec} K\)). la lettre cursive nommant le foncteur, lue \(\mathcal{L}\), est douteuse ; elle désigne sans doute le foncteur introduit au lot précédent

L'image essentielle est […] dans formée des motifs \((M, E_{\xi}, \mu_{\xi})\) tels que les \(E_{t}\) leur génération […] fournissent soit associé à un schéma abélien sur \(S\). Il faut voir aussi que \(M\) soit effectif de poids 1, i.e. qu'il soit défini par un schéma abélien \(A_{K}\) sur \(K\). […] […] « \(A_{K}\) » est écrit en interligne au-dessus de « sur \(K\) »

La question si cette condition est suffisante revient à celle-ci : Soit \(A\) un schéma abélien sur \(K\), de tel que \(\forall \ell\), les \(T_{\ell}(A)\) soit non ramifié sur \(S_{\ell}\), dans \(S\). Est-ce que si \(A\) a bonne réduction […] (critère de Ogg-Šafarevič), […] \(S\) est de dim 1, ou si \(S\) de car. nulle (critère de […]), mais peut-être pas en général [p.ex. […] inégales caractéristiques], pour \(S\) local régulier de dim 2 d'inégales caractéristiques]. l'interligne « (critère de Ogg-Šafarevič) » est d'une lecture très douteuse : on devine « O?SS » puis « Chafarevich » ; il est rattaché par un trait au « dim 1 » de la ligne suivante Pour faire un contre-exemple, il suffirait d'avoir un exemple d'un schéma abélien \(A\) sur \(S\), et d'un sous-groupe fini de \(A_{K}\) qui ne se prolonge pas en un sous-groupe fini et plat de \(A\). S'il y a un tel exemple, il y en aurait aussi avec un ordre premier …

Pb Avec la définition adoptée de motif lisse (en termes de celle de isomotif lisse, comme un isomotif sur \(K\) « galoisien » satisfaisant simplement une propriété de non-ramification pour les \(T_{\ell}\)) il ne semble pas clair comment définir l'image inverse d'un motif (resp. d'un isomotif) par \(S' \to S\), par ex. les fibres […] sur \(S\). Cette difficulté […] concerne […] les isomotifs, et vaut déjà pour ceux effectifs de poids 1. un double trait vertical de sa main, dans la marge gauche, borde tout ce paragraphe

Enveloppes pseudo-abéliennes de catégories multiplicatives (Constructions abstraites de catégories de motifs)

titre inscrit de sa main en haut à droite d'un feuillet par ailleurs vierge, la page 142, qui sert de chemise à la suite

143Construction abstraite d'une théorie de motifs semi-simples.

On part d'une catégorie \(\mathcal{V}\) […] additive\({}^{*}\), en particulier […] les […] \(\operatorname{Fl}(X,Y)\) sont munis d'une structure de groupe abélien, les accouplements de composition étant bilinéaires. [On se […] pour que […] […] […] […] […] […] existe un objet nul, […] […] […] deux objets …] un passage entre crochets, encadré et biffé de plusieurs traits obliques ; on y lit « existe un objet nul » et « deux objets » On s'intéresse, pour toute catégorie abélienne \(\mathcal{C}\), aux foncteurs […] « additifs » (i.e. commutant aux sommes finies\({}^{2}\), ou encore qui commutent aux produits finis) \[H \colon \mathcal{V}^{\circ} \longrightarrow \mathcal{C}\] et on cherche un foncteur universel de cette nature \[\underline{h} \colon \mathcal{V}^{\circ} \longrightarrow \mathcal{M}(\mathcal{V}) = \mathcal{M}\] (\(\underline{h}\) foncteur additif dans une catégorie abélienne \(\mathcal{M}\)) tel que pour toute catégorie abélienne \(\mathcal{C}\), l'application \[T \longmapsto T \circ \underline{h} \colon\quad \operatorname{Fonc\,exacts}(\mathcal{M}, \mathcal{C}) \longrightarrow \operatorname{Fonc\,add}(\mathcal{V}^{\circ}, \mathcal{C})\] soit bijective (ce qui caractérise \(\mathcal{M}\) à équivalence isomorphisme près), ou le cas échéant, que \[\operatorname{Fonc\,exacts}(\mathcal{M}, \mathcal{C}) \longrightarrow \operatorname{Fonc\,add}(\mathcal{V}^{\circ}, \mathcal{C})\] soit une équivalence de catégories (ce qui

144caractérise \(\mathcal{M}\) à équivalence près). De plus on aimerait donner des conditions moyennant lesquelles le foncteur \(\underline{h}\) est pleinement fidèle. la « \(\circ\) » en exposant de \(\mathcal{V}\) (catégorie opposée) est une lecture : il écrit \(\mathcal{V}^{\circ}\) ou \(\mathcal{V}^{*}\), et l'astérisque de « additive\({}^{*}\) » renvoie peut-être à la même marque ; « \({}^{2}\) » souligné renvoie à une note qui n'est pas sur la page

On va supposer que la structure préadditive sur \(\mathcal{V}\) peut s'enrichir en une structure \(\mathbf{Q}\)-linéaire i.e. en une structure d'anneau \(k\)-linéaire, i.e. on a \(\mathbf{Q} \to \operatorname{End}\operatorname{id}_{\mathcal{V}}\) [N.B. si \(\mathbf{Q} = \mathbf{Q}\), cet enrichissement est évidemment unique et déterminé de façon unique]. On suppose que […] les […] des […] \(\operatorname{Fl}(X,Y)\) […] […] finis sur \(k\), et que pour tout \(X\), \(\operatorname{Fl}(X,X)\) est une algèbre semi-simple de dim finie sur \(k\). Nous allons alors construire une catégorie \(\mathcal{M}^{\#}\) de la façon suivante. Un objet de \(\mathcal{M}^{\#}\) est un couple \((X, \pi)\), où \(X \in \operatorname{Ob}\mathcal{V}\), \(\pi \in \operatorname{Fl}(X,X)\), \(\pi^{2} = \pi\) (\(\pi\) est un projecteur de \(X\)). Un homomorphisme \((X,\pi) \to (X',\pi')\) est un homomorphisme \(f \colon X \to X'\) tel que \(\pi' f = f \pi\), modulo les \(f\) tels que \(f\pi = \pi' f = 0\). La composition se fait de façon évidente. D'où une catégorie \(\mathcal{M}^{\#}\), manifestement additive, et un foncteur additif le premier \(\mathbf{Q}\) du crochet est écrit gras, le second en lettre barrée ; la lettre de l'enrichissement hésite entre \(\mathbf{Q}\) et \(k\), et la marge dit « \(k\)-linéaire »

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  X \arrow[r, "\pi"] \arrow[d, "f"'] & X \arrow[d, "f"] \\
  X' \arrow[r, "\pi'"] \arrow[d, "g"'] & X' \arrow[d, "g"] \\
  X'' \arrow[r, "\pi''"] & X''
\end{tikzcd}

diagramme dessiné dans la marge inférieure gauche, en face des lignes sur la composition

145évident, d'ailleurs pleinement fidèle \[\underline{h}^{\#} \colon \mathcal{V} \longrightarrow \mathcal{M}^{\#}\] en posant \(\underline{h}^{\#}(X) = (X, \operatorname{id}_{X})\). Pour toute catégorie abélienne \(\mathcal{C}\), le foncteur \(\varphi \colon T \rightsquigarrow T \circ \underline{h}\) \[\operatorname{Fonc\,add}(\mathcal{M}, \mathcal{C}) \xrightarrow{\ \varphi\ } \operatorname{Fonc\,add}(\mathcal{V}, \mathcal{C})\] est une isomorphisme […] équivalence. Pour le voir, on construit un foncteur quasi-inverse 1°) Pleinement fidèle. Un il suffit que \(\mathcal{C}\) soit une catégorie additive où les projecteurs sont réalisables \[\psi \colon \operatorname{Fonc\,add}(\mathcal{V}, \mathcal{C}) \longrightarrow \operatorname{Fonc\,add}(\mathcal{M}, \mathcal{C})\] en associant à tout foncteur additif \(H \colon \mathcal{V} \to \mathcal{C}\) son extension canonique par \[\psi(H)(X,\pi) = \operatorname{Im} H(\pi)\] avec la loi fonctorielle évidente. On voit aussitôt que l'on a des isom. can. \[\varphi\psi(H) \simeq H, \qquad \psi\varphi(T) \simeq T .\] la marge gauche, écrite en oblique, accroche l'hypothèse « catégorie abélienne » de la ligne ; ici \(\underline{h}\) et \(\operatorname{Fonc\,add}\) sont écrits sans l'opposé de la page 143

Pour l'instant cette construction et propriété universelle de \(\mathcal{M}\) n'utilise pas les hypothèses particulières faites sur \(\mathcal{V}\) ; elle répond au Pb universel […] (dans catégories additives données) pour tous les projecteurs réalisables. l'incise « (dans catégories additives données) » est ajoutée en interligne ; un long trait, qui court sous « tous les projecteurs », la relie peut-être à la marge oblique de la page Mais les hypothèses faites sur \(\mathcal{V}\) vont impliquer que \(\mathcal{M}\) est une catégorie abélienne semi-simple (i.e. tout objet est

146provient […] […] nombre […] : un objet \(P\) de la forme \(\underline{h}(X)\), dans \(\operatorname{Fl}(P,P) \simeq \operatorname{Fl}(X,X)\), dans […] de […] […] \(\underline{h}(\alpha)\), où \(\alpha \in \operatorname{Fl}(X,X)\). Or comme \(\operatorname{Fl}(P,P)\) est un anneau semi-simple \(U\), On [Pour un tel anneau, dont idéal opérant […]] [Alors \(P\) est […] […] objet d'une catégorie […] se décompose suivant les composantes simples de \(U = \operatorname{Fl}(P,P)\) […] […] […]] deux passages successifs, encadrés et barrés, dont on ne lit que des bribes ; « \(\operatorname{Fl}(P,P) \simeq \operatorname{Fl}(X,X)\) » est ajouté en interligne

Or lorsque on a un anneau de ce type opérant sur un objet d'une catégorie abélienne, ([…]), on voit […] complexe que pour tout \(u \in U\), il existe des idempotents orthogonaux complémentaires \(\pi, \pi'\) de \(U\), \[(\pi\pi' = \pi'\pi = 0,\quad \pi + \pi' = 1,\quad \pi^{2} = \pi,\quad \pi'^{2} = \pi')\] tels que et \(\varpi, \varpi'\) tels que \(u\pi' = 0\), \(\varpi' u = 0\), et \(v \in U\) tel que \(vu\) soit un projecteur idempotent \(\pi\), \(uv\) soit \(\varpi\), et on a les relations \(\pi v = v\), \(u\pi = u\), \(\varpi u = u\), \(v\varpi = v\) ; de cette façon, on gagne donc. les quatre relations sont écrites dans une bulle, plus bas sur la page, rattachée par un trait à « et on a les relations »

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  P \simeq \pi P + \pi' P \arrow[r] & \pi P \arrow[d, "\wr"] \\
  Q \simeq \varpi Q + \varpi' Q & \varpi Q \arrow[l]
\end{tikzcd}

\[\left\{ \begin{array}{l} vu = \text{projecteur } \pi \\ uv = \text{projecteur } \varpi \end{array} \right.\]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  P \arrow[rr, "u"] \arrow[d] & & Q \\
  P' \arrow[rr, "\sim"] & & Q' \arrow[u]
\end{tikzcd}

dans la marge gauche, un premier dessin : \(P \xrightarrow{u} Q\) avec une flèche \(v\) en retour tracée au-dessus, et \(P \to P' \simeq Q' \to Q\) ; en dessous, un second schéma plus confus où figurent \(P' + P''\), \(Q' + Q''\) et une flèche épaisse \(P' \to Q'\), qui ne se laisse pas redessiner sûrement

Pour les conditions de chaînes, on utilise le fait que les \(\operatorname{Fl}(X,X)\) sont de degré de dim. finie sur \(k\). …

147cette catégorie est semi-simple). Si donc \(\mathcal{C}\) est une catégorie abélienne, les foncteurs additifs de \(\mathcal{M}\) dans \(\mathcal{C}\) sont automat. exacts. Cela prouve que le « Pb universel » (avec grain de sel) [en termes de catégories abéliennes (Variante 2)] est résolu par \(\mathcal{M}\).

Prouvons donc que \(\mathcal{M}\) est une catégorie abélienne semi-simple. Cela équivaut à ceci :

Tout monomorphisme est […]

1. (i)Tout objet […] satisfait condition des chaînes ascendante et descendante pour les sous-objets i.e. l'ens. des […]
2. (ii)Tout monomorphisme \(u \colon P \to Q\) est « direct », i.e. isom. à un monomorphisme simple \[A \times B \longrightarrow B \times C, \qquad \operatorname{inj}_{1} \circ \operatorname{pr}_{2} .\]

la formule \(\operatorname{inj}_{1} \circ \operatorname{pr}_{2}\) est écrite seule sous la flèche ; telle quelle elle n'est pas un monomorphisme de \(A \times B\), et on attendrait l'injection du facteur commun \(B\)

Pour vérifier (ii), […] considérons \(R = P \times Q\), et l'endomorphisme \(\operatorname{pr}_{1}\) \(v = \operatorname{inj}_{2}\, u \operatorname{pr}_{2}\) de \(R\). On voit aisément que […] (ii) sont vraies pour \(u\) si et seulement si […] pour \(v\), donc on peut supposer \(P = Q\). D'autre part, soit \(S\) un autre objet, et soit \(R = P + S\), \(v = u \oplus \operatorname{id}_{S}\), alors on constate que la propriété est vraie pour \(u\) si elle l'est pour \(v\). Cela […], donnons-nous […] […] […] […] il est innocent de modifier […] […] la note marginale, écrite en oblique dans l'angle inférieur gauche, accompagne un petit schéma où se lisent \(P \to Q\), \(P'\), \(Q + Q'\) et \(P \oplus P' \to Q\)

148On suppose donné trois catégories (additives) \(\mathcal{V}, \mathcal{V}', \mathcal{V}''\), d'où \(\mathcal{M}, \mathcal{M}', \mathcal{M}''\), on suppose donné un foncteur biadditif \(\mathcal{V} \times \mathcal{V}' \to \mathcal{V}''\). Alors il se prolonge de façon essent. unique en un foncteur biadditif \(\mathcal{M} \times \mathcal{M}' \to \mathcal{M}''\). En fait, on voit que la propriété (première) universelle qui définit \(\mathcal{M}\) en termes de \(\mathcal{V}\), s'étend aux bifoncteurs, …

On utilisera cette construction surtout pour un bifoncteur \(\mathcal{V} \times \mathcal{V} \to \mathcal{V}\) « symétrique » et « associatif » (et « unitaire »), noté \(\otimes\) \(\boxtimes\). Alors on trouve un bifoncteur de même nature dans \(\mathcal{M}\), noté \(\otimes\). Si \(k\) est de car. 0 (p.ex. \(\mathbf{Q}\)) on peut construire donc toutes les opérations tensorielles (covariantes) dans \(\mathcal{M}\) [en plusieurs arguments], par exemple on peut définir les \(\bigotimes^{n} M\), \(\bigwedge^{n} M\), etc \(S^{n}(M)\) etc … le signe du bifoncteur sur \(\mathcal{V}\) est un \(\otimes\) surchargé puis remplacé par un produit tensoriel dans un carré ; les exposants \(n\) sur \(\bigotimes\) et \(\bigwedge\) sont des lectures

149Considérons un foncteur additif

\begin{tikzcd}
  \mathcal{V} \arrow[rr, "H"] \arrow[dr, "\underline{h}"'] & & \mathcal{C} \\
  & \mathcal{M} \arrow[ur, "T"'] &
\end{tikzcd}

(\(\mathcal{C}\) cat. abélienne) ; comment exprimer que \(T\) est fidèle ? Comme \(T\) est exact, il revient au même de dire que […] \[\left\{ \begin{array}{l} T \text{ fidèle} \\ T(M) = 0 \Longrightarrow M = 0 \\ T \text{ conservatif} \\ T \colon \operatorname{End}(M,M) \to \operatorname{End}(T(M),T(M)) \text{ injectif} \end{array} \right.\] Cela s'exprime aussi par la propriété Pour ceci il f. et s. que \(M\) soit fidèle la phrase s'arrête là, soulignée, au-dessus d'un trait qui barre toute la largeur du feuillet ; la lettre grasse « \(M\) » est peut-être \(\mathcal{M}\) ou \(H\), et « soit fidèle » semble inachevé

Exemple \(k\) corps alg. clos. \[\begin{array}{l} \mathcal{V}_{0} \quad \text{catégorie des schémas projectifs lisses sur } k \\ \quad\downarrow \\ \mathcal{V} \quad \text{catégorie ayant mêmes objets que } \mathcal{V}_{0}, \text{ mais} \end{array}\] les morphismes sont \[\operatorname{Fl}(X,Y) = \bigoplus_{i,j} C^{m_{j}}(X_{i} \times Y_{j})\] où les \(X_{i}\) sont les comp. connexes de \(X\), les \(Y_{j}\) celles de \(Y\), \(\dim Y_{j} = m_{j}\), où \(C^{q}(Z)\) désigne les classes de cycles, à coeff. dans \(\mathbf{Q}\), modulo […] \(\mathbf{Q}_{\ell}\)-homologie, de codim. \(q\) sur \(Z\) […] \(L\). La composition se faisant suivant le signe de somme, d'abord tracé autrement, est surchargé en \(\bigoplus\) ; « à coeff. dans \(\mathbf{Q}\) » est écrit en interligne, sur un mot biffé ; la dernière ligne, au ras du bas du feuillet, porte une lettre barrée (peut-être \(\mathbf{Z}\)) et « \(L\) », que nous ne savons pas lire

150la composition connue des classes de correspondance. On a catégorie additive (objet nul est \(\varnothing\), somme est \(\amalg\)). Si on admet que l'équivalence homologique = équivalence numérique, alors on déduit (par th. de finitude de la cohomologie) que les \(\operatorname{Fl}(X,Y)\) sont des vectoriels de dim. finie sur \(\mathbf{Q}\) ; si on admet l'inégalité de Hodge, les \(\operatorname{Fl}(X,X)\) deviennent une algèbre à involution du type de Castelnuovo-Weil … donc est semi-simple. D'où une catégorie de \(\mathcal{M}\), mais on ne considère cette catégorie qu'en \(\mathcal{V}\) ; il ne reste que […] […] un foncteur contravariant additif universel \[\mathcal{V}^{\circ} \xrightarrow{\ \underline{h}\ } \mathcal{M}\] D'ailleurs, on a un foncteur évident \[H^{*}(\ ,\mathbf{Q}_{\ell}) \colon \mathcal{V}^{\circ} \longrightarrow \operatorname{Mod}_{\mathrm{t.f.}}(\mathbf{Q}_{\ell})\] en associant à tout \(X \in \operatorname{Ob}\mathcal{V}\) le module \(H^{*}(X, \mathbf{Q}_{\ell})\). Ce foncteur est fidèle, par définition même des Hom dans \(\mathcal{V}\) (+ dualité …). Il définit un foncteur exact fidèle conserv. \[T_{\ell} \colon \mathcal{M} \longrightarrow \operatorname{Mod}_{\mathrm{t.f.}}(\mathbf{Q}_{\ell})\] appelé foncteur de Tate. « par th. de finitude de la cohomologie » est une lecture très incertaine d'une ligne rapide ; le nom propre est écrit « Castelnuovo-Weil »

151Autres foncteurs canoniques remarquables sur \(\mathcal{M}\) : foncteurs de Hodge, de Hodge De Rham (fidèles en car. 0), de Betti (si \(k = \mathbf{C}\)). Il y a d'ailleurs des structures supplémentaires importantes à mettre sur ces foncteurs …

On a un bifoncteur \(\mathcal{V} \times \mathcal{V} \to \mathcal{V}\) \[X, Y \rightsquigarrow X \times Y\] […] qui est associatif et commutatif, d'où une structure multiplicative dans \(\mathcal{M}\). La formule de Künneth en cohomologie indique que \(T_{\ell}\) est un foncteur qui commute aux à l'opération \(\otimes\), donc aux opérations tensorielles.

trois traits horizontaux séparent ce qui précède de ce qui suit

Revenons à la situation abstraite générale. Nous supposons maintenant que pour tout \(X \in \operatorname{Ob}\mathcal{V}\), on se donne des projecteurs \((\pi_{i} \in \operatorname{Fl}(X,X)\) \((i \in \mathbf{N}))\), presque tous nuls, (de somme \(1\), deux à deux orthogonaux, fonctoriels en

152\(X\). En d'autres termes, on suppose donnés un homomorphisme d'anneaux topologiques éléments \[\pi_{i} \in \operatorname{End}\operatorname{id}_{\mathcal{V}}, \quad \text{avec } \pi_{i}^{2} = \pi_{i},\ \pi_{i}\pi_{j} = \pi_{j}\pi_{i} = 0 \text{ si } i \neq j,\] \(k[[\pi_{1}, \ldots, \pi_{n}, \ldots]] / (\pi_{i}^{2} - \pi_{i}, \pi_{i}\pi_{j}, \Sigma\pi_{i} - 1)\) et \(\Sigma\pi_{i} = 1\) (somme infinie !). Alors les \(\pi_{i}\) s'étendent à \(\mathcal{M}\), qui devient une catégorie graduée, i.e. produit « somme » de catégories \(\mathcal{M}^{i}\), dont les objets sont appelés « motifs effectifs de poids \(i\) ». « effectifs » est ajouté en interligne ; la lettre « \(\xi\) » qu'on devine sous l'exposant de \(\mathcal{M}^{i}\) ne se lit pas sûrement

Si on suppose de plus que […] pour \(X \boxtimes Y\), on a \[\pi_{n}(X \boxtimes Y) = \sum_{i+j=n} \pi_{i}(X) \boxtimes \pi_{j}(Y) ;\] ceci implique alors que \(\mathcal{M}^{i} \times \mathcal{M}^{j} \to \mathcal{M}^{i+j}\) par l'accouplement \(\otimes\), et fournit donc un lien étroit entre les \(\mathcal{M}^{i}\). Ainsi, le groupe des classes \(K\) de \(\mathcal{M}\) est un \(\lambda\)-anneau gradué. L'objet unité \(\Lambda(0)\) est de degré \(0\). On va supposer que c'est le seul objet simple de ce degré, et que son anneau […] […] […] identique à \(\mathbf{Q}\). les deux lignes biffées se lisent en partie : « le seul objet simple », « de ce degré », « identique à \(\mathbf{Q}\) »

[…] Je suppose maintenant fixé, dans bien, un objet […] \(\Lambda(1)\) de \(\mathcal{M}\) (de degré \(p \geq 1\)), tel que, posant […] \(M(1) = M \otimes \Lambda(1)\), […] […] le « de degré \(p \geq 1\) » est une insertion en interligne, reliée par un trait à la parenthèse ouvrante devant « tel » ; la phrase continue au feuillet suivant

153foncteur \(M \rightsquigarrow M(1)\) soit pleinement fidèle. On itère pour avoir les \(M \rightsquigarrow M(n) = M \otimes \Lambda(n)\), \(\Lambda(n) \simeq \Lambda(1)^{\otimes n}\). Notons que \[\operatorname{Hom}(\Lambda(n), \Lambda(n)) \simeq \operatorname{Hom}(\Lambda(0), \Lambda(0)) \simeq \mathbf{Q}\] On introduit alors formellement aussi les \(M(n)\), \(n \in \mathbf{Z}\), en considérant la catégorie pseudo-\(\varinjlim\) des copies de \(\mathcal{M}\), par les foncteurs \(M(1)\). Ainsi tout objet de la nouvelle catégorie \(\widetilde{\mathcal{M}}\) « motifs […] » s'écrit \[M(i) \qquad i \in \mathbf{Z},\ M \in \operatorname{Ob}\mathcal{M},\] avec \[\operatorname{Hom}(M(i), N(j)) = \operatorname{Hom}(M(i+r), N(j+r))\] où \(r\) est pris tel que \(i+r, j+r \geq 0\), de sorte que \(M(i+r)\), \(N(j+r)\) est défini comme motif. La catégorie \(\widetilde{\mathcal{M}}\) est encore graduée (de manière évidente), et périodique de période \(p\) par les foncteurs \(M \rightsquigarrow M(1)\). En dim. \(i \geq 0\) (ou quelconque, […] […] négatif) la […] s'écrit comme \[\operatorname{Ps}\varinjlim_{k} \mathcal{M}^{i+kp}, \qquad \text{où } \mathcal{M}^{i+kp} \longrightarrow \mathcal{M}^{i+(k+1)p} \text{ est le foncteur pl.\ fid.\ } M \rightsquigarrow M(1).\] \(\Lambda(1)\) de poids \(p\) N.B. Un sous-motif d'un motif effectif est effectif. la note « \(\Lambda(1)\) de poids \(p\) » est dans la marge gauche, en face de la ligne sur \(M(i+r)\) ; le N.B. est écrit en petit dans l'angle inférieur droit. « \(\operatorname{Ps}\varinjlim\) » abrège la pseudo-limite inductive nommée plus haut

154Décomposition canonique

Niveau d'un motif titre souligné de sa main, sous un premier titre biffé qu'on lit « Décomposition canonique »

a) Motif effectif. \(M\) de degré \(i \geq 0\) est dit de niveau \(\leq i - kp\) s'il est isomorphe à un […] motif de la forme \(M'(k)\), où \(M'\) est un motif effectif de degré \(i - kp\). Les motifs effectifs, de degré \(i \geq 0\) fixé, de niveau \(\leq i - kp\), forment une sous-catégorie épaisse de \(\mathcal{M}^{i}\), donc tout objet \(M\) de \(\mathcal{M}^{i}\) se décompose canoniquement en une somme d'un sous-objet maximal ([…]) \(M'\) de niveau \(\leq i - kp\), et d'un autre sous-objet […]. « \(M\) » est écrit en exposant après « tout objet » ; « maximal » est ajouté en interligne au-dessus de « objet », et une insertion reliée à la dernière parenthèse, peut-être « autre sous-objet », ne se lit pas sûrement

Ainsi, \[\mathcal{M}^{i} \simeq \mathcal{P}^{i} \times \mathcal{P}^{i-p}(1) \times \mathcal{P}^{i-2p}(2) \times \cdots ,\] où \(\mathcal{P}^{j}\) désigne la catégorie des motifs effectifs de degré \(j\) […] dont aucun sous-motif \(\neq 0\) n'est de niveau \(\leq j - p\). projections \(K_{i,k}\) motifs primitifs de niveau \(j\) les deux notes sont dans la marge gauche ; la seconde, écrite en oblique, est soulignée ; la lettre ronde nommant ces catégories est lue \(\mathcal{P}\) (pour « primitifs » ?), lecture incertaine. La note « projections \(K_{i,k}\) » se rapporte à la décomposition en produit

Cela donne donc une décomposition de \(\mathcal{M}^{*} = \mathcal{M}\) en termes des \(\mathcal{P}^{i}\) (pour les structures multiplicative et additive). La structure multiplicative se traduit […] par les foncteurs \[\mathcal{Q}^{i,j,k} \colon \mathcal{P}^{i} \times \mathcal{P}^{j} \longrightarrow \mathcal{P}^{i+j-kp} \qquad \mathcal{Q}^{i,j,k}(M,N) = K_{i,k}(M \otimes N)(k) .\] la lettre du foncteur, ronde et surchargée, est lue \(\mathcal{Q}\) sans certitude ; dans la formule de droite, un premier essai biffé précède « \(K_{i,k}(M \otimes N)(k)\) »

b) Niveau d'un motif quelconque (pas nécessairement effectif). On le définit en se ramenant au cas précédent …

155Duals et Homs de motifs

On supposera que (\(p = 2\) et que) pour tout motif effectif \(M\), de degré \(i \geq 0\), \(\underline{\operatorname{Hom}}(M, \Lambda(-i))\) existe (i.e. est un motif eff.), « \(p = 2\) et que » est ajouté en interligne au-dessus de « pour tout » ; l'insertion « est un motif eff. » court au-dessus de la fin de la ligne suivante et se rattache à la parenthèse « (i.e. » où \(\underline{\operatorname{Hom}}(M,N)\) est défini axiomatiquement par \[\operatorname{Hom}(P, \underline{\operatorname{Hom}}(M,N)) \simeq \operatorname{Hom}(P \otimes M, N)\] le \(\operatorname{Hom}\) interne s'écrit d'une majuscule cursive grasse, distincte du \(\operatorname{Hom}\) ordinaire à droite ; nous le rendons \(\underline{\operatorname{Hom}}\) On constate que si \(M\), \(N\) sont des motifs effectifs, de degrés \(i\), \(j\), tels que \(\underline{\operatorname{Hom}}(M,N)\) existe, alors \(\underline{\operatorname{Hom}}(M,N)\) est de degré \(j - i\). Ici, posant \[M^{*} = \underline{\operatorname{Hom}}(M, \Lambda(-i)) \qquad \deg M = i\] on trouve que \(\deg M^{*} = \deg M\). On trouve d'ailleurs que si \(\underline{\operatorname{Hom}}(M,N)\) existe dans \(\mathcal{M}\), il existe aussi dans \(\widehat{\mathcal{M}}\) et est le même. la lettre porte ici un accent circonflexe, \(\widehat{\mathcal{M}}\), et non le tilde de la catégorie \(\widetilde{\mathcal{M}}\) de la page 153 ; nous gardons ce qui est écrit

On voit que pour tout \(M\) de degré \(i\) et tout \(N\), \(\underline{\operatorname{Hom}}(M, N(-i))\) existe, car on a \[\underline{\operatorname{Hom}}(M, N(-i)) \simeq M^{*} \otimes N\] (vérification facile). D'où Cela prouve que pour tout \(N\) (non nécess. effectif)

156\(\underline{\operatorname{Hom}}(M, N(j))\) existe pour \(j\) grand, dans la catégorie des motifs effectifs. Enfin, \(\underline{\operatorname{Hom}}(M,N)\) existe dans la catégorie de tous les motifs, comme on voit en prenant \(\underline{\operatorname{Hom}}(M, N(j))(-j)\). On arrive ainsi à construire \(\underline{\operatorname{Hom}}(M,N)\) pour \(M, N \in \operatorname{Ob}\widehat{\mathcal{M}}\) quelconques, avec les règles de calcul évidentes. On définit aussi \(\check{M} = \underline{\operatorname{Hom}}(M, \Lambda(0))\), et on trouve \(\underline{\operatorname{Hom}}(M,N) \simeq \check{M} \otimes N\). Mais on fera attention que si \(M\) est effectif, \(\check{M}\) ne l'est pas si \(\deg M \neq 0\). le dernier signe, « \(\deg M = 0\) » ou « \(\neq 0\) », n'est pas net ; le sens exige \(\neq\)

\[B(M,N) \simeq \operatorname{Hom}(M \otimes N, \Lambda(-i)) \simeq \operatorname{Hom}(M, N^{*}) \simeq \operatorname{Hom}(N, M^{*})\] « formes bilinéaires », avec \(M\), \(N\) de degré \(i\). Si \(M = N\), on a la notion de forme alternée, forme symétrique. N.B. Forme non dégénérée en \(M\), i.e. \(M \to N^{*}\) mono. \(\Longleftrightarrow\) \(N \to M^{*}\) est surjectif épi. On définit de même forme non dégénérée en \(N\). ? Si \(M = N\), les deux notions sont équivalentes car […] pour un homom. \(M \to M^{*}\), dire que c'est mono. ou épi. […] revient au même […] ([…]). un grand point d'interrogation, dans la marge gauche, porte sur ces deux dernières lignes, qui sont d'une écriture très rapide ; la lettre \(B\) de la forme bilinéaire est un B cursif ouvert

157Involutions. Supposons \(\alpha \in B(M,M)\) forme fondamentale forme non dégénérée, symétrique ou […] alternée, d'où Alors pour […] un isom. \(\widetilde{\alpha} \colon M \xrightarrow{\sim} M^{*}\). Soit de même \(\beta \in B(N,N)\) d'où \(\widetilde{\beta} \colon N \to N^{*}\) (\(M\), \(N\) de deg. \(i\)). Soit \(u \colon M \to N\), on définit alors \(u' \colon N \to M\) par commutativité du diagramme ci-contre.

\begin{tikzcd}
  M \arrow[r, leftrightarrow, "u^{\sharp}"] \arrow[d, "\widetilde{\alpha}"'] & N \arrow[d, "\widetilde{\beta}"] \\
  M^{*} & N^{*} \arrow[l, "{}^{t}u^{*}"']
\end{tikzcd}

la flèche du haut porte une pointe à chaque bout, avec une seule étiquette qu'on lit \(u^{\sharp}\) (pour les deux sens \(u\) et \(u'\) ?) ; sous la flèche du bas, un trait mène au mot « transposée », lecture douteuse ; la définition de \(u'\) ne distingue pas ici \(u'\) de \(u^{\sharp}\)

On a les relations habituelles \[\begin{aligned} (u \pm v)' &= u' \pm v' \\ (uv)' &= v'u' \\ 1' &= 1 \\ (u')' &= u \end{aligned}\] si \(\alpha\) et \(\beta\) sont tous deux symétriques ou tous deux alternés. la condition sur \(\alpha\), \(\beta\) est écrite à droite de la dernière relation, en deux lignes serrées ; le mot biffé, « symétriques » peut-être, est remplacé en dessous par « ou tous deux alternés »

En particulier sur \(\operatorname{End}(M)\) on a une structure d'algèbre involutive sur \(\mathbf{Q}\). […] Si \(\alpha\) est remplacé par \(\alpha_{1}\), \(\beta\) par \(\beta_{1}\), avec \[\widetilde{\alpha}_{1} = \widetilde{\alpha} \circ A, \qquad \widetilde{\beta}_{1} = \widetilde{\beta} \circ B \qquad (A \in \operatorname{End}(M),\ B \in \operatorname{End}(N))\] alors la nouvelle « adjonction » sera \[u'' = \widetilde{\alpha}_{1}^{-1} \circ u^{*} \circ \widetilde{\beta}_{1} = A^{-1}\widetilde{\alpha}^{-1} u^{*} \widetilde{\beta} B \quad \text{i.e.}\] \[u'' = A^{-1} u' B\] En particulier, si \(M = N\), on a pour \(A\) une nouvelle involution définie modulo automorphismes intérieurs modification de nature […] : \(u \mapsto A^{-1} u' A\), où \(A\) est un élément autoadjoint (?). dans la première formule, un premier symbole biffé précède \(\widetilde{\alpha}_{1}\) ; le transposé y est écrit \(u^{*}\) et non \({}^{t}u^{*}\) comme sur le diagramme. La fin de page, après « modulo », est surchargée : « automorphismes intérieurs » est biffé et remplacé en interligne par deux ou trois mots peu lisibles

158Formes définies positives sur les motifs titre souligné de sa main, en tête du feuillet, d'une encre plus noire

Lui indiquer déjà que les \(\operatorname{End}(h^{i}(X))\) sont des algèbres de Riemann, et par suite semi-simples, (ce qui permet de construire la catégorie des motifs comme catégorie abélienne). De plus, cette catégorie des motifs \(\mathcal{M}\), et sa complétion \(\overline{\mathcal{M}}\), acquièrent d'importantes structures supplémentaires. « ½ simples » est son abréviation de « semi-simples » ; le premier mot, lu « Lui », suggère une note à l'usage d'un correspondant, sans que la page le nomme ; la complétion est ici surlignée, \(\overline{\mathcal{M}}\), et non chapeautée comme aux pages 155-156

Discutons d'abord le degré d'indétermination possible du système \(\varphi_{X}\). Pour ceci, notons que […] si on remplace les \((\varphi_{i})\) par \((\varepsilon_{i}\varphi_{i})\) (\(\varepsilon_{i}\) signes dépendant de \(i\)). Les\({}^{*}\) axiomes […] […] : (i) et (iii) restent vérifiés, mais (ii) seulement si on a \(\varepsilon_{i}\varepsilon_{j} = \varepsilon_{i+j}\), donc si \(\varepsilon_{i}\) dépend de \(i\) sous la forme […] \((\ldots)\) \(+1\) pour tout \(i\), ou \(\varepsilon^{i}\) – il est nécessaire de demander ce qu'il doit être en degré \(1\). On imposera, dans le cas de la géom., qu'il corresponde aux formes de polarisation sur les V.A. les axiomes (i), (ii), (iii) du système \(\varphi_{X}\) sont ceux que pose la page 160 (voir plus loin) : le feuillet 160 précède logiquement celui-ci ; l'astérisque de « Les\({}^{*}\) » n'a pas d'appel visible. Le raisonnement lisible : les changements de signe \(\varphi_{i} \mapsto \varepsilon_{i}\varphi_{i}\) respectant (ii) sont ceux où \(\varepsilon_{i}\varepsilon_{j} = \varepsilon_{i+j}\), i.e. \(\varepsilon_{i} = 1\) pour tout \(i\) ou \(\varepsilon_{i} = \varepsilon^{i}\), et il reste à fixer le signe en degré \(1\) par les polarisations des variétés abéliennes. La fin de la page est d'une écriture très rapide, et l'enchaînement proposé ici n'est pas sûr

160Supposons que pour tout \(X \in \mathcal{V}\) (on écrit que \(\underline{h}(X) = (\underline{h}^{i}(X))\)) soit donné […] un ensemble \(\Phi_{X}\) de formes fondamentales \(\{\varphi\}\), i.e. que \(\varphi = (\varphi_{i})\), \(\varphi_{i} \in \operatorname{Hom}(\underline{h}^{i}(X) \otimes \underline{h}^{i}(X), \Lambda(-i))\), de façon que les conditions suivantes soient vérifiées : la parenthèse « on écrit que \(\underline{h}(X) = (\underline{h}^{i}(X))\) » est une insertion, reliée par un trait à « \(X \in \mathcal{V}\) » ; la lettre de l'ensemble de formes, un \(\mathcal{L}\) ou un \(\Phi\) cursif, est lue \(\Phi\)

1. (i)Si \(\varphi \in \Phi_{X}\), \(\psi \in \Phi_{Y}\), alors \(\varphi \oplus \psi \in \Phi_{X \amalg Y}\).
2. (ii)Si \(\varphi \in \Phi_{X}\), \(\psi \in \Phi_{Y}\), et \(u \colon X \to Y\), d'où \(\underline{h}(u) \colon \underline{h}^{i}(Y) \to \underline{h}^{i}(X)\), considérons alors \(\varphi \otimes \psi \in \Phi_{X \boxtimes Y}\).
3. (iii)Sur […] \(h^{0}(X)\) (extension de \(\mathbf{Q}\)) […] \(\varphi(1)\) […] \(X = e\), donc \(\underline{h}^{0}(e) \simeq \underline{h}^{0}(e) \simeq \mathbf{Q}\), alors fini sur \(\mathbf{Q}\), les \(\varphi \in \Phi_{X}\) sont des formes définies positives [cela suffit […] pour \(X = e\)] le supposer pour […] sans doute dans […] […]
4. (iii)Si \(\varphi \in \Phi_{X}\), \(\psi \in \Phi_{Y}\), \(u \colon X \to Y\), d'où \(u^{(i)} \colon h^{i}(Y) \to h^{i}(Y)\), prenant \(s_{u}^{(i)} \colon h^{i}(Y) \to h^{i}(X)\) [relatif à \(\varphi\), \(\psi\)], on a \[\boxed{\operatorname{Tr}\bigl(s_{u}^{(i)} u^{(i)}\bigr) \geq 0, \ \text{égalité ssi } u^{(i)} = 0}\]

la condition (iii) est écrite deux fois : une première, dont le numéro porte un signe qu'on ne sait lire (« (iii)° » ?), sur la positivité en degré \(0\), plusieurs fois surchargée ; puis un « (iii) » biffé, et un nouveau (iii), la positivité de la trace, que la dernière formule encadre. Telle qu'écrite, \(u^{(i)}\) va de \(h^{i}(Y)\) dans \(h^{i}(Y)\) ; on attendrait \(h^{i}(Y) \to h^{i}(X)\) pour \(\underline{h}(u)\) et \(s_{u}^{(i)}\) en sens inverse — nous gardons la page. \(s_{u}^{(i)}\) est sans doute l'adjoint de \(u^{(i)}\) relativement à \(\varphi\), \(\psi\), au sens de la page 157