Fonds Grothendieck, cote n° 12, pages 141–160 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-23)Opus 5.5 (claude-opus-5-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-09-25
Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription
est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une
machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La
source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.
https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)12
Généralités (sous-groupes de Galois motiviques) (1964 ?) : notes manuscrites (s.d.), tapuscrit (s.d.)
Pages 141 à 160 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 8 de vingt pages.
Les pages absentes de la transcription ne portent pas de
mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.1964-[vers 1971]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/12.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement
par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \add devient
supplied ; \struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
\note devient note[@type='editorial']
(du transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
Les mathématiques sont transportées en TeX dans
formula[@notation='TeX'], les diagrammes
commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'],
sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une
formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de
la formule, sous les mêmes macros.
Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une
faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurPremière passe de transcription.Export TEI depuis la source LaTeX.
Le foncteur \mathcal{L} est pleinement fidèle (on se ramène
au cas de la baseS = \operatorname{Spec} K).
la lettre cursive nommant le foncteur, lue \mathcal{L}, est douteuse ;
elle désigne sans doute le foncteur introduit au lot précédent
L'image essentielle est dans formée des motifs
(M, E_{\xi}, \mu_{\xi}) tels que lesE_{t}leurgénérationfournissentsoit
associé à un schéma abélien sur S. Il faut voir aussi que M soit
effectif de poids 1, i.e. qu'il soit défini par un schéma abélien A_{K}
sur K. « A_{K} » est écrit en interligne au-dessus de « sur K »
La question si cette condition est suffisante revient à celle-ci : Soit A un
schéma abélien sur K, de tel que \forall \ell, lesT_{\ell}(A) soit non ramifié sur S_{\ell}, dansS.
Est-ce que si A a bonne réduction
(critère de Ogg-Šafarevič), S est de
dim 1, ou si S de car. nulle (critère de ), mais peut-être pas en
général [p.ex. inégalescaractéristiques],
pourS local régulier de dim 2 d'inégales caractéristiques].
l'interligne « (critère de Ogg-Šafarevič) » est d'une lecture très
douteuse : on devine « O?SS » puis « Chafarevich » ; il est rattaché par un
trait au « dim 1 » de la ligne suivante
Pour faire un contre-exemple, il suffirait d'avoir un exemple d'un schéma
abélien A sur S, et d'un sous-groupe fini de A_{K} qui ne se prolonge pas
en un sous-groupe fini et plat de A. S'il y a un tel exemple, il y en
aurait aussi avec un ordre premier …
Pb Avec la définition adoptée de motif lisse (en termes de celle de
isomotif lisse, comme un isomotif sur K « galoisien » satisfaisant
simplement une propriété de non-ramification pour les T_{\ell}) il ne semble
pas clair comment définir l'image inverse d'un motif (resp. d'un isomotif)
par S' \to S, par ex. les fibres sur S. Cette difficulté
concerne les isomotifs, et vaut déjà pour
ceux effectifs de poids 1.
un double trait vertical de sa main, dans la marge gauche, borde tout ce
paragraphe
Enveloppes pseudo-abéliennes de catégories multiplicatives
(Constructions abstraites de catégories de motifs)
titre inscrit de sa main en haut à droite d'un feuillet par ailleurs
vierge, la page 142, qui sert de chemise à la suite
Construction abstraite d'une théorie de motifs semi-simples.
On part d'une catégorie \mathcal{V} additive{}^{*}, en
particulier les \operatorname{Fl}(X,Y) sont
munis d'une structure de groupe abélien, les accouplements de composition
étant bilinéaires.
[On se pour que existe
un objet nul, deux objets …]un passage entre crochets, encadré et biffé de plusieurs traits obliques ;
on y lit « existe un objet nul » et « deux objets »
On s'intéresse, pour toute catégorie abélienne\mathcal{C}, aux
foncteurs « additifs » (i.e. commutant aux sommes finies{}^{2},
ou encorequi commutent aux produits finis)
H \colon \mathcal{V}^{\circ} \longrightarrow \mathcal{C}
et on cherche un foncteur universel de cette nature
\underline{h} \colon \mathcal{V}^{\circ} \longrightarrow
\mathcal{M}(\mathcal{V}) = \mathcal{M}
(\underline{h} foncteur additif dans une catégorie abélienne \mathcal{M}) tel
que pour toute catégorie abélienne \mathcal{C}, l'application
T \longmapsto T \circ \underline{h} \colon\quad
\operatorname{Fonc\,exacts}(\mathcal{M}, \mathcal{C}) \longrightarrow
\operatorname{Fonc\,add}(\mathcal{V}^{\circ}, \mathcal{C})
soit bijective (ce qui caractérise \mathcal{M} à équivalence
isomorphisme près), ou le cas échéant, que
\operatorname{Fonc\,exacts}(\mathcal{M}, \mathcal{C}) \longrightarrow
\operatorname{Fonc\,add}(\mathcal{V}^{\circ}, \mathcal{C})
soit une équivalence de catégories (ce qui
caractérise \mathcal{M} à équivalence près). De plus on aimerait donner des
conditions moyennant lesquelles le foncteur \underline{h} est
pleinement fidèle.
la « \circ » en exposant de \mathcal{V} (catégorie opposée) est une
lecture : il écrit \mathcal{V}^{\circ} ou \mathcal{V}^{*}, et l'astérisque
de « additive{}^{*} » renvoie peut-être à la même marque ; « {}^{2} »
souligné renvoie à une note qui n'est pas sur la page
On va supposer que la structure préadditive sur \mathcal{V} peut
s'enrichir en une structure \mathbf{Q}-linéairei.e. en une structure d'anneau k-linéaire,
i.e. on a\mathbf{Q} \to \operatorname{End}\operatorname{id}_{\mathcal{V}}
[N.B. si \mathbf{Q} = \mathbf{Q}, cet enrichissement est
évidemment unique et déterminé de façon unique]. On suppose que
les des \operatorname{Fl}(X,Y) finis sur k, et
que pour tout X, \operatorname{Fl}(X,X) est une algèbre semi-simplede dim finie sur k. Nous allons alors construire
une catégorie \mathcal{M}^{\#} de la façon suivante. Un objet de
\mathcal{M}^{\#} est un couple (X, \pi), où X \in \operatorname{Ob}\mathcal{V},
\pi \in \operatorname{Fl}(X,X), \pi^{2} = \pi (\pi est un projecteur
de X). Un homomorphisme (X,\pi) \to (X',\pi') est un homomorphisme
f \colon X \to X' tel que \pi' f = f \pi, modulo les f tels que
f\pi = \pi' f = 0. La composition se fait de façon évidente. D'où une
catégorie \mathcal{M}^{\#}, manifestement additive, et un foncteur additif
le premier \mathbf{Q} du crochet est écrit gras, le second en lettre
barrée ; la lettre de l'enrichissement hésite entre \mathbf{Q} et k, et la
marge dit « k-linéaire »
diagramme dessiné dans la marge inférieure gauche, en face des lignes sur
la composition
évident, d'ailleurs pleinement fidèle
\underline{h}^{\#} \colon \mathcal{V} \longrightarrow \mathcal{M}^{\#}
en posant \underline{h}^{\#}(X) = (X, \operatorname{id}_{X}). Pour toute
catégorie abélienne \mathcal{C}, le foncteur
\varphi \colon T \rightsquigarrow T \circ \underline{h}\operatorname{Fonc\,add}(\mathcal{M}, \mathcal{C})
\xrightarrow{\ \varphi\ } \operatorname{Fonc\,add}(\mathcal{V}, \mathcal{C})
est une isomorphisme équivalence. Pour le voir, on
construit un foncteur quasi-inverse
1°) Pleinement fidèle. Unil suffit que \mathcal{C} soit une catégorie additive où les
projecteurs sont réalisables\psi \colon \operatorname{Fonc\,add}(\mathcal{V}, \mathcal{C})
\longrightarrow \operatorname{Fonc\,add}(\mathcal{M}, \mathcal{C})
en associant à tout foncteur additifH \colon \mathcal{V} \to
\mathcal{C} son extension canonique par
\psi(H)(X,\pi) = \operatorname{Im} H(\pi)
avec la loi fonctorielle évidente. On voit aussitôt que l'on a des isom. can.
\varphi\psi(H) \simeq H, \qquad \psi\varphi(T) \simeq T .la marge gauche, écrite en oblique, accroche l'hypothèse « catégorie
abélienne » de la ligne ; ici \underline{h} et \operatorname{Fonc\,add} sont
écrits sans l'opposé de la page 143
Pour l'instant cette construction et propriété universelle de \mathcal{M}
n'utilise pas les hypothèses particulières faites sur \mathcal{V} ; elle
répond au Pb universel (dans catégories additives données)
pour tous les projecteurs réalisables.
l'incise « (dans catégories additives données) » est ajoutée en
interligne ; un long trait, qui court sous « tous les projecteurs », la relie
peut-être à la marge oblique de la page
Mais les hypothèses faites sur \mathcal{V} vont impliquer que \mathcal{M}
est une catégorie abéliennesemi-simple (i.e. tout objet est
provientnombre : un objet P de la
forme \underline{h}(X), dans\operatorname{Fl}(P,P) \simeq
\operatorname{Fl}(X,X), dans de \underline{h}(\alpha), où \alpha \in \operatorname{Fl}(X,X). Or
comme\operatorname{Fl}(P,P) est un anneau semi-simpleU,
On[Pour un tel anneau, dont idéal opérant ][Alors P est objet d'une catégorie se décompose
suivant les composantes simples de U = \operatorname{Fl}(P,P)]deux passages successifs, encadrés et barrés, dont on ne lit que des
bribes ; « \operatorname{Fl}(P,P) \simeq \operatorname{Fl}(X,X) » est ajouté
en interligne
Or lorsque on a un anneau de ce type opérant sur un objet d'une
catégorie abélienne, (), on voit complexe
que pour tout u \in U, il existe des idempotentsorthogonauxcomplémentaires\pi, \pi' de U,
(\pi\pi' = \pi'\pi = 0,\quad \pi + \pi' = 1,\quad \pi^{2} = \pi,\quad
\pi'^{2} = \pi')tels que
et \varpi, \varpi' tels que u\pi' = 0, \varpi' u = 0, et v \in U tel
que
vu soit un projecteuridempotent\pi,
uv soit \varpi, et on a les relations
\pi v = v, u\pi = u, \varpi u = u, v\varpi = v ; de cette façon, on
gagne donc.
les quatre relations sont écrites dans une bulle, plus bas sur la page,
rattachée par un trait à « et on a les relations »
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
P \simeq \pi P + \pi' P \arrow[r] & \pi P \arrow[d, "\wr"] \\
Q \simeq \varpi Q + \varpi' Q & \varpi Q \arrow[l]
\end{tikzcd}
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
P \arrow[rr, "u"] \arrow[d] & & Q \\
P' \arrow[rr, "\sim"] & & Q' \arrow[u]
\end{tikzcd}
dans la marge gauche, un premier dessin : P \xrightarrow{u} Q avec une
flèche v en retour tracée au-dessus, et P \to P' \simeq Q' \to Q ; en
dessous, un second schéma plus confus où figurent P' + P'', Q' + Q'' et
une flèche épaisse P' \to Q', qui ne se laisse pas redessiner sûrement
Pour les conditions de chaînes, on utilise le fait que les
\operatorname{Fl}(X,X) sont de degré de dim. finie sur k. …
cette catégorie est semi-simple). Si donc \mathcal{C} est une catégorie
abélienne, les foncteurs additifs de \mathcal{M} dans \mathcal{C} sont
automat. exacts. Cela prouve que le « Pb universel » (avec grain
de sel) [en termes de catégories abéliennes (Variante 2)] est résolu par
\mathcal{M}.
Prouvons donc que \mathcal{M} est une catégorie abéliennesemi-simple. Cela équivaut à ceci :
Tout monomorphisme est
Tout objet satisfait condition des chaînes
ascendante et descendante pour les sous-objets
i.e. l'ens. des Tout monomorphisme u \colon P \to Q est « direct »,
i.e. isom. à un monomorphisme simpleA \times B \longrightarrow B \times C, \qquad
\operatorname{inj}_{1} \circ \operatorname{pr}_{2} .
la formule \operatorname{inj}_{1} \circ \operatorname{pr}_{2} est écrite
seule sous la flèche ; telle quelle elle n'est pas un monomorphisme de
A \times B, et on attendrait l'injection du facteur commun B
Pour vérifier (ii), considérons R = P \times Q,
et l'endomorphisme \operatorname{pr}_{1}v = \operatorname{inj}_{2}\, u \operatorname{pr}_{2} de R. On voit
aisément que (ii) sont vraies pour usi et seulement si pour v, donc on
peut supposer P = Q. D'autre part, soit S un autre objet, et
soit R = P + S, v = u \oplus \operatorname{id}_{S}, alors on constate que
la propriété est vraie pour u si elle l'est pour v. Cela
,
donnons-nous il est innocent de modifier
la note marginale, écrite en oblique dans l'angle inférieur gauche,
accompagne un petit schéma où se lisent P \to Q, P', Q + Q' et
P \oplus P' \to Q
On suppose donné trois catégories (additives)\mathcal{V}, \mathcal{V}', \mathcal{V}'', d'où \mathcal{M}, \mathcal{M}',
\mathcal{M}'', on suppose donné un foncteur biadditif
\mathcal{V} \times \mathcal{V}' \to \mathcal{V}''. Alors il se prolonge de
façon essent. unique en un foncteur biadditif
\mathcal{M} \times \mathcal{M}' \to \mathcal{M}''. En fait, on voit que la
propriété (première) universelle qui définit \mathcal{M} en
termes de \mathcal{V}, s'étend aux bifoncteurs, …
On utilisera cette construction surtout pour un bifoncteur
\mathcal{V} \times \mathcal{V} \to \mathcal{V} « symétrique » et
« associatif » (et « unitaire »), noté \otimes\boxtimes. Alors on
trouve un bifoncteur de même nature dans \mathcal{M}, noté \otimes. Si k
est de car. 0 (p.ex. \mathbf{Q}) on peut construire donc toutes les
opérations tensorielles (covariantes) dans \mathcal{M} [en
plusieurs arguments], par exemple on peut définir les
\bigotimes^{n} M, \bigwedge^{n} M, etcS^{n}(M) etc …
le signe du bifoncteur sur \mathcal{V} est un \otimes surchargé puis
remplacé par un produit tensoriel dans un carré ; les exposants n sur
\bigotimes et \bigwedge sont des lectures
(\mathcal{C} cat. abélienne) ; comment exprimer que T est fidèle ?
Comme T est exact, il revient au même de dire que
\left\{
\begin{array}{l}
T \text{ fidèle} \\
T(M) = 0 \Longrightarrow M = 0 \\
T \text{ conservatif} \\
T \colon \operatorname{End}(M,M) \to \operatorname{End}(T(M),T(M))
\text{ injectif}
\end{array}
\right.Cela s'exprime aussi par la propriété
Pour ceci il f. et s. que M soit fidèle
la phrase s'arrête là, soulignée, au-dessus d'un trait qui barre toute la
largeur du feuillet ; la lettre grasse « M » est peut-être \mathcal{M} ou
H, et « soit fidèle » semble inachevé
Exemplek corps alg. clos.
\begin{array}{l}
\mathcal{V}_{0} \quad \text{catégorie des schémas projectifs lisses sur } k \\
\quad\downarrow \\
\mathcal{V} \quad \text{catégorie ayant mêmes objets que } \mathcal{V}_{0},
\text{ mais}
\end{array}
les morphismes sont\operatorname{Fl}(X,Y) = \bigoplus_{i,j} C^{m_{j}}(X_{i} \times Y_{j})
où les X_{i} sont les comp. connexes de X, les Y_{j} celles de Y,
\dim Y_{j} = m_{j}, oùC^{q}(Z) désigne les classes de cycles,
à coeff. dans \mathbf{Q}, modulo\mathbf{Q}_{\ell}-homologie, de codim. q sur ZL.
La composition se faisant suivant
le signe de somme, d'abord tracé autrement, est surchargé en
\bigoplus ; « à coeff. dans \mathbf{Q} » est écrit en interligne, sur un
mot biffé ; la dernière ligne, au ras du bas du feuillet, porte une lettre
barrée (peut-être \mathbf{Z}) et « L », que nous ne savons pas lire
la composition connue des classes de correspondance. On a catégorie additive
(objet nul est \varnothing, somme est \amalg).
Si on admet que l'équivalence homologique = équivalence numérique, alors on
déduit (par th. de finitude de la cohomologie) que les
\operatorname{Fl}(X,Y) sont des vectoriels de dim. finie sur \mathbf{Q} ;
si on admet l'inégalité de Hodge, les \operatorname{Fl}(X,X) deviennent une
algèbre à involution du type de Castelnuovo-Weil … donc est semi-simple.
D'où une catégorie de\mathcal{M}, mais on ne considère cette
catégorie qu'en\mathcal{V} ; il ne reste
que un foncteur contravariant additif universel
\mathcal{V}^{\circ} \xrightarrow{\ \underline{h}\ } \mathcal{M}
D'ailleurs, on a un foncteur évident
H^{*}(\ ,\mathbf{Q}_{\ell}) \colon \mathcal{V}^{\circ} \longrightarrow
\operatorname{Mod}_{\mathrm{t.f.}}(\mathbf{Q}_{\ell})
en associant à tout X \in \operatorname{Ob}\mathcal{V} le module
H^{*}(X, \mathbf{Q}_{\ell}). Ce foncteur est fidèle, par définition
même des Hom dans \mathcal{V} (+ dualité …).
Il définit un foncteur exact fidèle conserv.T_{\ell} \colon \mathcal{M} \longrightarrow
\operatorname{Mod}_{\mathrm{t.f.}}(\mathbf{Q}_{\ell})
appelé foncteur de Tate.
« par th. de finitude de la cohomologie » est une lecture très incertaine
d'une ligne rapide ; le nom propre est écrit « Castelnuovo-Weil »
Autres foncteurs canoniquesremarquables sur
\mathcal{M} : foncteurs de Hodge, de Hodge De Rham (fidèles
en car. 0), de Betti (si k = \mathbf{C}). Il y a d'ailleurs des structures
supplémentaires importantes à mettre sur ces foncteurs …
On a un bifoncteur \mathcal{V} \times \mathcal{V} \to \mathcal{V}X, Y \rightsquigarrow X \times Y qui est associatif et commutatif, d'où une structure
multiplicative dans \mathcal{M}. La formule de Künneth en cohomologie
indique que T_{\ell} est un foncteur qui commute aux à
l'opération \otimes, donc aux opérations tensorielles.
trois traits horizontaux séparent ce qui précède de ce qui suit
Revenons à la situation abstraite générale. Nous supposons maintenant que
pour toutX \in \operatorname{Ob}\mathcal{V}, on se donne des
projecteurs(\pi_{i} \in \operatorname{Fl}(X,X)(i \in \mathbf{N})),
presque tous nuls,
(de somme 1, deux à deux orthogonaux, fonctoriels en
X. En d'autres termes, on suppose donnés un homomorphismed'anneaux topologiqueséléments\pi_{i} \in \operatorname{End}\operatorname{id}_{\mathcal{V}}, \quad
\text{avec } \pi_{i}^{2} = \pi_{i},\ \pi_{i}\pi_{j} = \pi_{j}\pi_{i} = 0
\text{ si } i \neq j,k[[\pi_{1}, \ldots, \pi_{n}, \ldots]] / (\pi_{i}^{2} - \pi_{i},
\pi_{i}\pi_{j}, \Sigma\pi_{i} - 1)
et \Sigma\pi_{i} = 1 (somme infinie !). Alors les \pi_{i} s'étendent
à \mathcal{M}, qui devient une catégorie graduée, i.e. produit
« somme » de catégories \mathcal{M}^{i}, dont les objets sont appelés
« motifs effectifs de poids i ».
« effectifs » est ajouté en interligne ; la lettre « \xi » qu'on devine
sous l'exposant de \mathcal{M}^{i} ne se lit pas sûrement
Si on suppose de plus que pour X \boxtimes Y, on a
\pi_{n}(X \boxtimes Y) = \sum_{i+j=n} \pi_{i}(X) \boxtimes \pi_{j}(Y) ;
ceci implique alors que \mathcal{M}^{i} \times \mathcal{M}^{j} \to
\mathcal{M}^{i+j} par l'accouplement \otimes, et fournit donc un lien
étroit entre les \mathcal{M}^{i}. Ainsi, le groupe des classesK de \mathcal{M} est un \lambda-anneau gradué.
L'objet unité \Lambda(0) est de degré 0.
On va supposer que c'est le seul objet simple de ce degré, et que son
anneau identique à \mathbf{Q}.les deux lignes biffées se lisent en partie : « le seul objet simple »,
« de ce degré », « identique à \mathbf{Q} »
Je suppose maintenant fixé, dansbien, un objet \Lambda(1) de \mathcal{M}
(de degré p \geq 1), tel que, posant M(1) = M \otimes \Lambda(1), le
« de degré p \geq 1 » est une insertion en interligne, reliée par un
trait à la parenthèse ouvrante devant « tel » ; la phrase continue au feuillet
suivant
foncteur M \rightsquigarrow M(1)soit pleinement fidèle. On itère
pour avoir les M \rightsquigarrow M(n) = M \otimes \Lambda(n),
\Lambda(n) \simeq \Lambda(1)^{\otimes n}. Notons que
\operatorname{Hom}(\Lambda(n), \Lambda(n)) \simeq
\operatorname{Hom}(\Lambda(0), \Lambda(0)) \simeq \mathbf{Q}
On introduit alors formellement aussi les M(n), n \in \mathbf{Z}, en
considérant la catégorie pseudo-\varinjlim des copies de
\mathcal{M}, par les foncteurs M(1). Ainsi tout objet de la nouvelle
catégorie \widetilde{\mathcal{M}}« motifs » s'écrit
M(i) \qquad i \in \mathbf{Z},\ M \in \operatorname{Ob}\mathcal{M},
avec
\operatorname{Hom}(M(i), N(j)) = \operatorname{Hom}(M(i+r), N(j+r))
où r est pris tel que i+r, j+r \geq 0, de sorte que M(i+r), N(j+r) est
définicommemotif. La catégorie
\widetilde{\mathcal{M}} est encore graduée (de manière évidente),
et périodique de période p par les foncteurs
M \rightsquigarrow M(1). En dim.i \geq 0 (ou
quelconque, négatif) la s'écrit
comme
\operatorname{Ps}\varinjlim_{k} \mathcal{M}^{i+kp}, \qquad
\text{où } \mathcal{M}^{i+kp} \longrightarrow \mathcal{M}^{i+(k+1)p}
\text{ est le foncteur pl.\ fid.\ } M \rightsquigarrow M(1).\Lambda(1) de poidspN.B. Unsous-motif d'un motif effectif
est effectif.la note « \Lambda(1) de poids p » est dans la marge gauche, en face
de la ligne sur M(i+r) ; le N.B. est écrit en petit dans l'angle inférieur
droit. « \operatorname{Ps}\varinjlim » abrège la pseudo-limite inductive
nommée plus haut
Décomposition canonique
Niveau d'un motiftitre souligné de sa main, sous un premier titre biffé qu'on lit
« Décomposition canonique »
a) Motif effectif.M de degré i \geq 0 est dit de niveau
\leq i - kp s'il est isomorphe à un motif de la forme
M'(k), où M' est un motif effectif de degré i - kp.
Les motifs effectifs, de degré i \geq 0 fixé, de niveau \leq i - kp, forment
une sous-catégorie épaisse de \mathcal{M}^{i}, donc tout objet M de
\mathcal{M}^{i} se décompose canoniquement en une somme d'un
sous-objet maximal ()M' de niveau \leq i - kp, et d'un autresous-objet.
« M » est écrit en exposant après « tout objet » ; « maximal » est
ajouté en interligne au-dessus de « objet », et une insertion reliée à la
dernière parenthèse, peut-être « autre sous-objet », ne se lit pas
sûrement
Ainsi,
\mathcal{M}^{i} \simeq \mathcal{P}^{i} \times \mathcal{P}^{i-p}(1) \times
\mathcal{P}^{i-2p}(2) \times \cdots ,
où \mathcal{P}^{j} désigne la catégorie des motifs effectifs de degré j dont aucun sous-motif \neq 0 n'est de niveau \leq j - p.
projections K_{i,k}motifs primitifs de niveau jles deux notes sont dans la marge gauche ; la seconde, écrite en oblique,
est soulignée ; la lettre ronde nommant ces catégories est lue
\mathcal{P} (pour « primitifs » ?), lecture incertaine. La note
« projections K_{i,k} » se rapporte à la décomposition en produit
Cela donne donc une décomposition de \mathcal{M}^{*} = \mathcal{M} en termes
des \mathcal{P}^{i} (pour les structures multiplicative et additive). La
structure multiplicativesetraduitpar les foncteurs
\mathcal{Q}^{i,j,k} \colon \mathcal{P}^{i} \times \mathcal{P}^{j}
\longrightarrow \mathcal{P}^{i+j-kp}
\qquad
\mathcal{Q}^{i,j,k}(M,N) = K_{i,k}(M \otimes N)(k) .la lettre du foncteur, ronde et surchargée, est lue \mathcal{Q} sans
certitude ; dans la formule de droite, un premier essai biffé précède
« K_{i,k}(M \otimes N)(k) »
b) Niveau d'un motif quelconque (pas nécessairement effectif). On le
définit en se ramenant au cas précédent …
Duals et Homs de motifs
On supposera que (p = 2 et que) pour tout motif effectif M, de
degré i \geq 0, \underline{\operatorname{Hom}}(M, \Lambda(-i)) existe
(i.e. estun motif eff.),
« p = 2 et que » est ajouté en interligne au-dessus de « pour tout » ;
l'insertion « est un motif eff. » court au-dessus de la fin de la ligne
suivante et se rattache à la parenthèse « (i.e. »
où \underline{\operatorname{Hom}}(M,N) est défini axiomatiquement par
\operatorname{Hom}(P, \underline{\operatorname{Hom}}(M,N)) \simeq
\operatorname{Hom}(P \otimes M, N)le \operatorname{Hom} interne s'écrit d'une majuscule cursive grasse,
distincte du \operatorname{Hom} ordinaire à droite ; nous le rendons
\underline{\operatorname{Hom}}
On constate que si M, N sont des motifs effectifs, de degrés i, j,
tels que \underline{\operatorname{Hom}}(M,N) existe, alors
\underline{\operatorname{Hom}}(M,N) est de degré j - i. Ici, posant
M^{*} = \underline{\operatorname{Hom}}(M, \Lambda(-i)) \qquad
\deg M = i
on trouve que \deg M^{*} = \deg M. On trouve d'ailleurs que si
\underline{\operatorname{Hom}}(M,N) existe dans \mathcal{M}, il existe
aussi dans \widehat{\mathcal{M}} et est le même.
la lettre porte ici un accent circonflexe, \widehat{\mathcal{M}}, et non
le tilde de la catégorie \widetilde{\mathcal{M}} de la page 153 ; nous
gardons ce qui est écrit
On voit que pour tout M de degré i et tout N,
\underline{\operatorname{Hom}}(M, N(-i)) existe, car on a
\underline{\operatorname{Hom}}(M, N(-i)) \simeq M^{*} \otimes N
(vérification facile). D'où Cela prouve que pour tout N (nonnécess.effectif)
\underline{\operatorname{Hom}}(M, N(j)) existe pour j grand, dans la
catégorie des motifs effectifs. Enfin, \underline{\operatorname{Hom}}(M,N)
existe dans la catégorie de tous les motifs, comme on voit en prenant
\underline{\operatorname{Hom}}(M, N(j))(-j). On arrive ainsi à construire
\underline{\operatorname{Hom}}(M,N) pour M, N \in
\operatorname{Ob}\widehat{\mathcal{M}} quelconques, avec les règles de calcul
évidentes. On définit aussi
\check{M} = \underline{\operatorname{Hom}}(M, \Lambda(0)), et on trouve
\underline{\operatorname{Hom}}(M,N) \simeq \check{M} \otimes N. Mais on fera
attention que si M est effectif, \check{M} ne l'est pas si
\deg M \neq 0.
le dernier signe, « \deg M = 0 » ou « \neq 0 », n'est pas net ; le
sens exige \neq
B(M,N) \simeq \operatorname{Hom}(M \otimes N, \Lambda(-i)) \simeq
\operatorname{Hom}(M, N^{*}) \simeq \operatorname{Hom}(N, M^{*})
« formes bilinéaires », avec M, N de degré i.
Si M = N, on a la notion de forme alternée, forme symétrique.
N.B. Forme non dégénérée en M, i.e. M \to N^{*}mono.\LongleftrightarrowN \to M^{*} est surjectifépi.
On définit de même forme non dégénérée en N.
?
Si M = N, les deux notions sont équivalentes carpourunhomom.M \to M^{*},
direque c'est mono.ouépi.revientaumême().
un grand point d'interrogation, dans la marge gauche, porte sur ces deux
dernières lignes, qui sont d'une écriture très rapide ; la lettre B de la
forme bilinéaire est un B cursif ouvert
Involutions. Supposons \alpha \in B(M,M)forme
fondamentale forme non dégénérée, symétrique ou
alternée, d'où Alors pour un isom.\widetilde{\alpha} \colon M \xrightarrow{\sim} M^{*}. Soit de même
\beta \in B(N,N) d'où \widetilde{\beta} \colon N \to N^{*}
(M, N de deg. i). Soit u \colon M \to N, on définit alors
u' \colon N \to M par commutativité du diagramme ci-contre.
\begin{tikzcd}
M \arrow[r, leftrightarrow, "u^{\sharp}"] \arrow[d, "\widetilde{\alpha}"'] & N \arrow[d, "\widetilde{\beta}"] \\
M^{*} & N^{*} \arrow[l, "{}^{t}u^{*}"']
\end{tikzcd}
la flèche du haut porte une pointe à chaque bout, avec une seule
étiquette qu'on lit u^{\sharp} (pour les deux sens u et u' ?) ; sous la
flèche du bas, un trait mène au mot « transposée », lecture douteuse ; la
définition de u' ne distingue pas ici u' de u^{\sharp}
On a les relations habituelles
\begin{aligned}
(u \pm v)' &= u' \pm v' \\
(uv)' &= v'u' \\
1' &= 1 \\
(u')' &= u
\end{aligned}
si \alpha et \beta sont tous deux symétriques ou
tous deux alternés.
la condition sur \alpha, \beta est écrite à droite de la dernière
relation, en deux lignes serrées ; le mot biffé, « symétriques » peut-être,
est remplacé en dessous par « ou tous deux alternés »
En particulier sur \operatorname{End}(M)on a une structure
d'algèbre involutive sur \mathbf{Q}.
Si \alpha est remplacé par \alpha_{1}, \beta par \beta_{1}, avec
\widetilde{\alpha}_{1} = \widetilde{\alpha} \circ A, \qquad
\widetilde{\beta}_{1} = \widetilde{\beta} \circ B \qquad
(A \in \operatorname{End}(M),\ B \in \operatorname{End}(N))alors la nouvelle « adjonction » serau'' = \widetilde{\alpha}_{1}^{-1} \circ u^{*} \circ \widetilde{\beta}_{1}
= A^{-1}\widetilde{\alpha}^{-1} u^{*} \widetilde{\beta} B \quad \text{i.e.}u'' = A^{-1} u' B
En particulier, si M = N, on a pourAunenouvelle involution définie moduloautomorphismes intérieursmodification de
nature : u \mapsto A^{-1} u' A, où A est un élément
autoadjoint (?).
dans la première formule, un premier symbole biffé précède
\widetilde{\alpha}_{1} ; le transposé y est écrit u^{*} et non
{}^{t}u^{*} comme sur le diagramme. La fin de page, après « modulo », est
surchargée : « automorphismes intérieurs » est biffé et remplacé en
interligne par deux ou trois mots peu lisibles
Formes définies positives sur les motifstitre souligné de sa main, en tête du feuillet, d'une encre plus noire
Lui indiquer déjà que les \operatorname{End}(h^{i}(X)) sont des
algèbres de Riemann, et par suite semi-simples, (ce qui permet de
construire la catégorie des motifs comme catégorie abélienne).
De plus, cette catégorie des motifs \mathcal{M}, et sa complétion
\overline{\mathcal{M}}, acquièrent d'importantes structures
supplémentaires.
« ½ simples » est son abréviation de « semi-simples » ; le premier mot,
lu « Lui », suggère une note à l'usage d'un correspondant, sans que la page
le nomme ; la complétion est ici surlignée, \overline{\mathcal{M}}, et non
chapeautée comme aux pages 155-156
Discutons d'abord le degré d'indétermination possible du système
\varphi_{X}. Pour ceci, notons que si on
remplace les (\varphi_{i}) par (\varepsilon_{i}\varphi_{i})
(\varepsilon_{i}signesdépendant de i). Les{}^{*}
axiomes : (i) et (iii) restent vérifiés, mais (ii) seulement si on a
\varepsilon_{i}\varepsilon_{j} = \varepsilon_{i+j}, donc si \varepsilon_{i}dépenddei sous la forme (\ldots)+1 pour tout i, ou \varepsilon^{i}– il est
nécessairededemandercequ'ildoitêtreen degré 1.
On imposera, dans le cas de la géom., qu'il corresponde aux formes
de polarisation sur les V.A.
les axiomes (i), (ii), (iii) du système \varphi_{X} sont ceux que
pose la page 160 (voir plus loin) : le feuillet 160 précède logiquement
celui-ci ; l'astérisque de « Les{}^{*} »
n'a pas d'appel visible. Le raisonnement lisible : les changements de signe
\varphi_{i} \mapsto \varepsilon_{i}\varphi_{i} respectant (ii) sont ceux où
\varepsilon_{i}\varepsilon_{j} = \varepsilon_{i+j}, i.e. \varepsilon_{i} = 1
pour tout i ou \varepsilon_{i} = \varepsilon^{i}, et il reste à fixer le
signe en degré 1 par les polarisations des variétés abéliennes. La fin de la
page est d'une écriture très rapide, et l'enchaînement proposé ici n'est pas
sûr
Supposons que pour tout X \in \mathcal{V} (on écrit que\underline{h}(X) = (\underline{h}^{i}(X))) soit donné un ensemble \Phi_{X} de formes fondamentales \{\varphi\},
i.e. que \varphi = (\varphi_{i}),
\varphi_{i} \in \operatorname{Hom}(\underline{h}^{i}(X) \otimes
\underline{h}^{i}(X), \Lambda(-i)), de façon que les conditions suivantes
soient vérifiées :
la parenthèse « on écrit que \underline{h}(X) = (\underline{h}^{i}(X)) »
est une insertion, reliée par un trait à « X \in \mathcal{V} » ; la lettre
de l'ensemble de formes, un \mathcal{L} ou un \Phi cursif, est lue
\Phi
Si \varphi \in \Phi_{X}, \psi \in \Phi_{Y}, alors
\varphi \oplus \psi \in \Phi_{X \amalg Y}.Si \varphi \in \Phi_{X}, \psi \in \Phi_{Y},
et u \colon X \to Y, d'où \underline{h}(u) \colon
\underline{h}^{i}(Y) \to \underline{h}^{i}(X), considérons
alors \varphi \otimes \psi \in \Phi_{X \boxtimes Y}.Sur h^{0}(X)(extension
de \mathbf{Q})\varphi(1)X = e, donc\underline{h}^{0}(e) \simeq \underline{h}^{0}(e) \simeq \mathbf{Q},
alorsfini sur \mathbf{Q}, les \varphi \in \Phi_{X} sont
des formes définies positives [cela suffit pourX = e] lesupposer pour sansdoutedansSi \varphi \in \Phi_{X}, \psi \in \Phi_{Y},
u \colon X \to Y, d'où u^{(i)} \colon h^{i}(Y) \to h^{i}(Y), prenant
s_{u}^{(i)} \colon h^{i}(Y) \to h^{i}(X) [relatif à
\varphi, \psi], on a
\boxed{\operatorname{Tr}\bigl(s_{u}^{(i)} u^{(i)}\bigr) \geq 0,
\ \text{égalité ssi } u^{(i)} = 0}
la condition (iii) est écrite deux fois : une première, dont le numéro
porte un signe qu'on ne sait lire (« (iii)° » ?), sur la positivité en degré
0, plusieurs fois surchargée ; puis un « (iii) » biffé, et un nouveau (iii),
la positivité de la trace, que la dernière formule encadre. Telle qu'écrite,
u^{(i)} va de h^{i}(Y) dans h^{i}(Y) ; on attendrait
h^{i}(Y) \to h^{i}(X) pour \underline{h}(u) et s_{u}^{(i)} en sens
inverse — nous gardons la page. s_{u}^{(i)} est sans doute l'adjoint de
u^{(i)} relativement à \varphi, \psi, au sens de la page 157