Cote n° 12 · batch 4 · pages 61–80 · Transcription · Généralités (sous-groupes de Galois motiviques) (1964 ?) : notes manuscrites (s.d.), tapuscrit (s.d.).
Datation de l’inventaire : 1964-[vers 1971]
Édition de démonstration

TEI P5 source — open the XML · download batch-04.fr.xml

61la page continue le 2°) de la page 59 (lot précédent) : « si \(f : X \to Y\) de » …

type fini, on a \[\mathbb{R}\Gamma_{X} = \mathbb{R}\Gamma_{Y}\, \mathbb{R}f_{*}\] d'où des suites spectrales dans \((\mathrm{Ab})\), \[H^{*}(X, M) \Longleftarrow H^{p}(Y, R^{q}f_{*}(M))\]

3°) Bien entendu, on veut que \(H^{i}(X, M) = 0\) si \(i < 0\), donc \(H^{0}(X, M)\) est exact à g. De plus, isom fonctoriel \[H^{0}(X, M) = \operatorname{Hom}(\mathbb{Q}_{X}(0), M)\] dans \(\mathbb{Q}_{X}(0)\), la lettre \(\mathbb{Q}\) est surchargée (un \(R\) repris en \(\mathbb{Q}\) ?) et entourée.

[N.B. Rien n'empêche d'introduire des hyper-ext \[\mathbb{E}\mathrm{xt}^{i}(X ; M, N) = \mathbb{H}^{i}(X, \mathbb{R}\underline{\mathrm{Hom}}(M, N)) .\] Cela redonne bien, par le n° 7, \[\operatorname{Hom}(M, N) \simeq \mathbb{E}\mathrm{xt}^{0}(X, M, N)\] et on espère que \(\mathrm{Ext}^{1}(X ; M, N)\) est bien l'ensemble des classes d'extension de \(M\) par \(N\). [On aimerait pouvoir dire que

62\(\mathbb{E}\mathrm{xt}^{*}(X ; M, N)\) est le […] Ext dans la catégorie des motifs, i.e. aux foncteurs dérivés ?. Pourtant, doute que les Ext\(^{i}\) (\(i > 0\)) soient [peut-être dans la catégorie des Ind-motifs ???] effaçables … les deux lignes « doute … Ind-motifs ??? » sont serrées l'une sur l'autre, la seconde en interligne ; le mot « effaçables » est traversé d'un grand trait vertical.

Notons la suite spectrale \[\mathbb{H}^{*}(X, M^{\bullet}) \Longleftarrow H^{p}(X, H^{q}(M^{\bullet}))\] d'où en particulier \[\mathbb{E}\mathrm{xt}^{*}(X, M, N) \Longleftarrow H^{p}(X, \underline{\mathrm{Ext}}^{q}(M, N))\]

4°) On veut que […] des conditions standard des hom de \(\partial\)-foncteurs sur \(X\) la ligne est biffée d'un long trait de « que » à « standard » ; « des hom de \(\partial\)-foncteurs » est écrit au-dessus, en interligne. \[H^{i}(X, M) \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}_{\ell} \longrightarrow H^{i}(X, T_{\ell}(M))\] le \(\otimes_{\mathbb{Q}}\) est repassé et à demi barré. d'où aussi \[\mathrm{Ext}^{i}(X ; M, N) \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}_{\ell} \longrightarrow \mathbb{E}\mathrm{xt}^{i}(X ; T_{\ell}(M), T_{\ell}(N))\] qui, sous l'hypothèse que \(X\) est de type fini sur \(\mathbb{Z}\), dans les conditions, d'excellence […] (en invoquant le fait que les seconds membres sont de type fini sur \(\mathbb{Q}_{\ell}\)) un double trait vertical, dans la marge, court le long de ces lignes et des trois premières de la page suivante.

63soient des isomorphismes, avec le complément que \(H^{*}(X, M)\) est un \(\mathbb{Q}\)-Module de type fini. Ceci doit être vérifié en particulier dans les deux cas suivants : a) \(X\) de type fini sur \(\mathbb{Z}\) ; b) \(X\) de type fini sur un corps alg. clos. ces deux lignes et la phrase qui les introduit sont encadrées, et le cadre est barré de grandes croix.

En particulier, pour un corps alg. clos, on aura \[H^{i}(k, M) = 0 \quad \text{pour } i > 0, \quad \forall \text{ motif } M .\]

NB Si \(X\) est de type fini (mêmeil écrit « = » pour « même » projectif lisse) sur un corps alg. clos \(K\), on n'a plus de telles relations précises, comme on voit par calcul explicite (utilisant les conjectures de Tate) pour \(K\) clôture algébrique d'un corps fini …

Le th. de Tate peut se reformuler et se préciser en énonçant : \[a^{i}(X) \otimes_{\mathbb{Z}} \underset{\text{pas } \mathbb{Q}_{\ell}}{\mathbb{Q}} \xrightarrow{\;\sim\;} \Gamma_{k}\bigl(R^{i}f_{*}(\mathbb{Q}_{X}(0))\bigr)\] « pas \(\mathbb{Q}_{\ell}\) », en petit près de la flèche, désigne par un trait le \(\mathbb{Q}\) ; l'exposant de \(R\) est lu \(i\), alors que la formule encadrée de la page suivante porte \(H^{2i}\).

64\(X\) étant projectif et lisse sur \(k\) alg. clos, morphisme structural \(f : X \to \operatorname{Spec} k\). Une autre façon est celle-ci : \[\boxed{\; a^{i}(X) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} \simeq \operatorname{Im}\bigl[ H^{2i}(X, \mathbb{Q}(i)) \longrightarrow H^{2i}(X, \mathbb{Q}_{\ell}(i)) \bigr] \;}\] le \(\otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}\) est surchargé et en partie barré ; les deux exposants \(2i\) sont repris sur un premier \(i\).

NB. Si \(k\) est la clôture algébrique de \(\mathbb{F}_{p}\), on trouve […] […] pour \(X\) projectif lisse sur \(k\) \[H^{i}(X, \mathbb{Q}(j)) = \begin{cases} 0 & \text{si } i \neq 2j, 2j+1 \\ a^{j}(X) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} & \text{si } i = 2j \quad \text{(canonique)} \\ a^{j}(X) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} & \text{si } i = 2j+1 \quad \text{(\emph{pas} canonique)} \end{cases}\] pas \(\mathbb{Q}_{\ell}(i)\) ! ajout au-dessus du \(\mathbb{Q}(j)\) du premier membre.

De plus, pour \(i \neq 2j\), l'image de \(H^{i}(X, \mathbb{Q}(j))\) dans \(H^{i}(X, \mathbb{Q}_{\ell}(j))\) est nulle.

C'est un fait général : si \(k\) alg. clos, alors (si \(X\) projectif lisse sur \(k\)) l'image de \[H^{j}(X, \mathbb{Q}(i)) \longrightarrow H^{j}(X, \mathbb{Q}_{\ell}(i))\] est nulle pour \(j \neq 2i\) (question de poids), pour \(j = 2i\) ce sont les cycles algébriques ⌜à coeff.⌝ rationnels. les indices changent de rôle d'une formule à l'autre : \(H^{i}(X, \mathbb{Q}(j))\) ci-dessus, \(H^{j}(X, \mathbb{Q}(i))\) ici ; transcrits comme écrits. Le dernier ajout, en interligne au-dessus d'un mot biffé, se lit mal.

66Notons le th. de dualité absolue :

Soient \(M\) et \(M^{*}\) deux ⌜(complexes de)⌝ motifs sur \(X\) (de type fini sur \(\mathbb{Z}\)), qui sont « duaux » pour le complexe de motifs dualisants […] canonique — [NB. Si \(X\) est régulier ⌜partout⌝ de dim. \(n\), alors c'est la dualité à valeurs dans \(\mathbb{Q}(n)[2n+1]\)] shift « shift » est écrit deux fois dans la marge de droite, avec des flèches vers le crochet \([2n+1]\). « partout » est entouré, en interligne dans le crochet. Le \(\mathbb{Q}(n)[2n+1]\) de fin de ligne est surchargé.

alors \(\mathbb{R}\Gamma_{X}(M)\) et \(\mathbb{R}_{!}\Gamma_{X}(M^{*})\) sont duaux. support propre (compact) sur \(\operatorname{Spec} \mathbb{Z}\) ligne ajoutée entre guillemets sous la formule. Ici [comme les coefficients sont ess. \(\mathbb{Q}\), donc il n'y a pas de Tor] ceci revient aussi à la formule (cas régulier) \[\boxed{\; \begin{aligned} &H^{i}(X, M) \ \text{dual de}\ \mathrm{Ext}_{!}^{2n+1-i}(X ; M, \mathbb{Q}(n)) \\ &H^{i}_{!}(X, M) \ \text{dual de}\ \mathrm{Ext}^{2n+1-i}(X ; M, \mathbb{Q}(n)) \end{aligned} \;}\] Si \(X\) propre sur \(\operatorname{Spec} \mathbb{Z}\), inutile de mettre des \(!\).

Moyennant le th. de dualité relative pour motifs, cet énoncé revient au

68mêmeil écrit « = » pour « même » énoncé pour \(X = \operatorname{Spec} \mathbb{Z}\), et dans le cas géométrique, pour \(X = \operatorname{Spec} \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\). Dans ce dernier cas, on doit vérifier simplement la dualité entre \[H^{i}(\mathbb{F}_{p}, M) \quad \text{et} \quad H^{1-i}(\mathbb{F}_{p}, M^{*})\] \[\bigl( M^{*} = \underline{\mathrm{Hom}}(M, \mathbb{Q}(0)) \bigr)\] à l'aide du « cup-produit » et de l'isom. \[H^{1}(\mathbb{F}_{p}, \mathbb{Q}(0)) \simeq \mathbb{Q}\] et il suffit de faire la vérification \(\ell\)-adiquement, en appliquant \(T_{\ell}\). à développer sans doute pour le cup-produit en cohomologie « absolue » … note écrite en oblique dans la marge de gauche, à hauteur de « cup-produit ». « cup-produit » est souligné d'un trait ondulé.

Cela ramène à la vérification suivante : [pour des vectoriels de dim. finie sur \(\mathbb{Q}_{\ell}\) sur lesquels \(\pi = \widehat{\mathbb{Z}}\) opère] \[H^{i}(\pi, V) \quad \text{et} \quad H^{1-i}(\pi, V^{*}) \quad \text{en dualité}\] \((V^{*} = \operatorname{Hom}_{\mathbb{Q}_{\ell}}(V, \mathbb{Q}_{\ell}))\) : c'est une trivialité.

70\(X\) projective lisse ⌜géom. connexe⌝ sur \(k\) corps fini à \(q\) éléments. Par passage à la limite sur les quotients ⌜coeff.⌝ finis, on trouve \[\longrightarrow H^{i-1}(\overline{X}, \mathbb{Q}_{\ell}(j))_{\pi} \longrightarrow H^{i}(X, \mathbb{Q}_{\ell}(j)) \longrightarrow H^{i}(\overline{X}, \mathbb{Q}_{\ell}(j))^{\pi} \longrightarrow 0\] l'exposant du premier terme est surchargé ; lu \(i-1\) d'après la suite. d'où le résultat \[\begin{aligned} &\text{si } i \neq 2j, 2j+1, && H^{i}(X, \mathbb{Q}_{\ell}(j)) = 0 \\ &\text{si } i = 2j, && H^{2j}(X, \mathbb{Q}_{\ell}(j)) = H^{2j}(\overline{X}, \mathbb{Q}_{\ell}(j))^{\pi} \underset{\text{conj.\ de Tate}}{\simeq} a^{j}(X/k) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}_{\ell} \\ &\text{si } i = 2j+1, && H^{2j+1}(X, \mathbb{Q}_{\ell}(j)) = H^{2j}(\overline{X}, \mathbb{Q}_{\ell}(j))_{\pi} \underset{\text{Tate} + \text{action semi-simple}}{\simeq} a^{j}(X/k) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}_{\ell} \end{aligned}\] les deux isomorphismes sont notés « \(\wr\!\wr\) » sous les termes, avec leur justification en petit à côté ; dans la seconde, « action » est une lecture incertaine. Dans les deux \(\otimes\) l'indice est surchargé.

Soit maintenant \(k_{n}\) l'extension de degré \(n\) de \(k\) dans \(\overline{k}\), et étudions \[\varinjlim H^{i}(X_{k_{n}}, \mathbb{Q}_{\ell}(j))\] on trouve \(0\) pour \(i \neq 2j, 2j+1\) ; pour \(i = 2j\), on trouve \(H^{2j}(\overline{X}, \mathbb{Q}_{\ell}(j))^{\mathfrak{g}} = a^{j}(\overline{X}) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}_{\ell}\), enfin pour \(i = 2j+1\), on trouve également ⌜en vertu du motif⌝ \(a^{j}(\overline{X}) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}_{\ell}\). l'exposant de \(H^{2j}(\overline{X}, \mathbb{Q}_{\ell}(j))\) est une lettre isolée, la lettre gothique \(\mathfrak{g}\) des feuillets 56 et 58. De mêmeil écrit « = » pour « même », on trouve \[\varinjlim H^{i}(X_{k_{n}}, \mathbb{Q}(j)) = \begin{cases} 0 & \text{si } i \neq 2j, 2j+1 \\ a^{j}(\overline{X}) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} & \text{si } i = 2j \\ \struck{\ill{}}\ \text{id.} & \text{si } i = 2j+1, \ \text{mais pas canoniquement en termes de } \overline{X}/\overline{\mathbb{F}} \text{ !} \end{cases}\] et, sous la limite, \(= H^{i}(\overline{X}, \mathbb{Q}(j))\). dans la troisième ligne, la valeur est biffée (lue « \(a^{j}(\overline{X})\otimes\) … » sous les ratures) et surchargée d'un « id. » ; la fin, en interligne, est coupée par le bord du feuillet ; « \(\overline{X}/\overline{\mathbb{F}}\) » pourrait aussi se lire « \(\overline{X}, \overline{K}\) » ; « \(2j+1\) » est biffé à la fin de la ligne \(i = 2j\). N.B. Remplacer \(k\) par \(k_{n}\) revient à multiplier l'isom obtenu par \(1/n\) note serrée en bas à gauche du feuillet, en face de la dernière formule.

72\(S\) ⌜lisse⌝ de type fini sur \(\mathbb{F}_{p}\), \(M\) motif ct tordu de poids \(\rho\) \[?\ \ H^{*}(S, M_{\ell}) \overset{?}{\Longleftarrow} H^{p}(\mathbb{F}_{p}, R^{q}f_{*}(M_{\ell}))\] \[0 \longrightarrow \underbrace{H^{i-1}(\overline{S}, \overline{M}_{\ell})_{\pi}}_{\substack{\text{poids entre} \\ \rho + i - 1 \text{ et } \rho + \mathrm{Inf}(2i-2, 2n)}} \longrightarrow H^{i}(S, M_{\ell}) \longrightarrow \underbrace{H^{i}(\overline{S}, \overline{M}_{\ell})^{\pi}}_{\substack{\text{poids entre} \\ \rho + i \text{ et } \rho + \mathrm{Inf}(2i, 2n)}} \longrightarrow 0\] l'exposant du premier terme est surchargé, lu \(i-1\) ; le premier « \(\mathrm{Inf}(2i-2, 2n)\) » se lit mal et est restitué d'après la ligne qui suit.

Donc \(H^{i}(S, M_{\ell}) = 0\) si on a sauf si on a \[\rho + i - 1 \leq 0 \leq \rho + 2i - 2 \quad \text{ou} \quad \rho + i \leq 0 \leq \rho + 2i\] i.e. \[2 - 2i \leq \rho \leq 1 - i \quad \text{ou} \quad -2i \leq \rho \leq -i\] i.e. \[\begin{aligned} -2i \leq \rho &\leq -i + 1 && (\text{si } i \geq 2) \\ -2 \leq \rho &\leq 1 && (\text{si } i = 1) \\ \rho &= 0 && (\text{si } i = 0) \end{aligned}\] Pour \(i = 1\), cela donne \(\rho\) dans « \(2 - 2i \leq \rho \leq 1 - i\) », le \(1 - i\) est récrit sur un premier terme biffé. Dans la marge de gauche, des croquis de segments : \([-2i+2, -i+1]\) et \([-2i, -i]\) superposés, puis un segment gradué \(-2, -1, 0, 1\) ; un troisième, biffé, entre les deux.

16 Relations avec les points rationnels (et la cohomologie) des variétés abéliennes sur un schéma de type fini

titre de sa main en tête du feuillet 73, précédé du numéro « 16 » souligné ; « et la cohomologie » est ajouté en interligne, et « schéma de type fini … » remplace « corps de fonctions », biffé.

73Soit \(A_{K}\) VA sur un corps \(K\) de type fini pour commencer. Alors \(K\) est le corps des fonctions d'un schéma \(S\) irréductible et régulier, de type fini sur \(\mathbb{Z}\), ⌜tel que⌝ \(A_{K}\) provient d'un schéma abélien sur \(S\). De plus, on a \[A_{K}(K) = A(S)\] et on sait que c'est un groupe de type fini par Mordell-Weil-Néron-Lang.

Soit \(f : A \to S\) la projection, et considérant le motif \[\mathbb{R}^{1}f_{*}(\mathbb{Q}_{A^{*}}(1)) \simeq T_{\mathrm{mot}}(A)\] [où \(A^{*}\) est le dual de \(A\)] ct tordu sur \(S\) de [qui est un motif] pur de poids \(1\), qui redonne \(A_{K}\) à isogénie près […] (sur \(K\) ?) comme conséquence des conjectures de Tate. dans la formule, un indice \(A^{*}\) sous le \(\mathbb{Q}\) et un exposant \(*\) sur le \(f\) ; le second membre, « \(T_{\mathrm{mot}}(A)\) », est récrit au-dessus d'un premier terme biffé. Les deux mots qui suivent le premier crochet, « ct tordu » (constant tordu), sont ceux de la page 72 (« motif ct tordu de poids \(\rho\) »).

74On s'attend donc à pouvoir écrire \(A(S) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}\) en termes de ce motif \(M\). Or en effet, des raisons heuristiques convaincantes pour nous suggèrent \[A(S) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} \simeq H^{1}(S, T_{\mathrm{mot}}(A))\] [NB. On doit avoir \(H^{0}(S, T_{\mathrm{mot}}(A)) = 0\), à cause des Mordell-Weil considérations de poids …]. Une autre façon de Considérons (pour \(\ell\) premier aux car. résiduelles de \(X\)) \[0 \longrightarrow {}_{\ell^{\nu}}A \longrightarrow A \longrightarrow A \longrightarrow 0\] d'où \[\longrightarrow H^{0}(S, A)_{\ell^{\nu}} \longrightarrow H^{1}(S, {}_{\ell^{\nu}}A) \longrightarrow {}_{\ell^{\nu}}H^{1}(S, A) \longrightarrow 0\] l'indice \(\ell^{\nu}\) du premier terme est placé en bas à droite (conoyau), celui du troisième en bas à gauche du \(H^{1}\) (noyau) ; ce dernier est récrit. et par passage à la limite et \(\otimes_{\mathbb{Z}_{\ell}} \mathbb{Q}_{\ell}\) \[0 \longrightarrow \underbrace{H^{0}(S, A)}_{\text{de type fini sur } \mathbb{Z}} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}_{\ell} \longrightarrow \underset{\substack{\wr\wr \\ H^{1}(S, T_{\mathrm{mot}}(A)) \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}_{\ell}}}{H^{1}(S, T_{\ell}(A))_{\mathbb{Q}_{\ell}}} \longrightarrow T_{\ell}(H^{1}(S, A))_{\mathbb{Q}_{\ell}} \longrightarrow 0\] plusieurs indices de cette suite sont surchargés (\(\otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}_{\ell}\) récrit sur \(\otimes \mathbb{Q}\), le \(\ell\) de \(T_{\ell}\) repassé).

et le résultat escompté ici équivaut moralement à celui-ci : \[\boxed{\; H^{1}(S, A)(\ell) \ \underline{\text{fini}} \ \text{si } \ell \text{ “premier à } S \text{”} \quad (S \text{ de type fini sur } \operatorname{Spec} \mathbb{Z}) \;}\] p.ex. si \(S = \operatorname{Spec} \mathbb{F}_{q}\), alors c'est vrai par Lang !

75Si \(S\) est de type fini sur \(\mathbb{F}_{p}\), on aura (travaillant avec des faisceaux étales) si \(f : S \to \operatorname{Spec} \mathbb{F}_{p}\) \[\longrightarrow H^{1}(\mathbb{F}_{p}, R^{0}f_{*}A) \longrightarrow H^{1}(S, A) \longrightarrow H^{0}(\mathbb{F}_{p}, \mathbb{R}^{1}f_{*}(A)) \longrightarrow 0 \ \struck{\ill{}}\] \[H^{0}(\mathbb{F}_{p}, \mathbb{R}^{1}f_{*}(A)) = H^{1}(\overline{S}, \overline{A})^{\pi}\] après le \(0\), un gribouillis biffé, où l'on devine un \(\mathbb{F}_{p}\) ; l'égalité de la seconde ligne est notée par « \(=\) » vertical sous le troisième terme.

Or on a, toujours par « Kummer » \[\longrightarrow \underset{\substack{\wr\wr \\ M \otimes \mathbb{Q}_{\ell}/\mathbb{Z}_{\ell}}}{H^{0}(\overline{S}, \overline{A}) \otimes \mathbb{Q}_{\ell}/\mathbb{Z}_{\ell}} \longrightarrow H^{1}(\overline{S}, {}_{\ell^{\infty}}\overline{A}) \longrightarrow H^{1}(\overline{S}, \overline{A})(\ell) \longrightarrow 0\] « \(M \otimes \mathbb{Q}_{\ell}/\mathbb{Z}_{\ell}\) » est écrit au-dessus du premier terme, et non au-dessous. d'où le fait que \(H^{1}(\overline{S}, \overline{A})(\ell)\) est de poids \(1 - 1 = 0\) ⌜si p.ex. \(S\) est projectif lisse sur \(\mathbb{F}_{p}\)⌝ — à priori rien ne s'oppose à ce qu'il y ait un gros module d'invariants. D'autre part, on a \[0 \longrightarrow \underbrace{A^{\mathrm{fixe}}}_{\text{partie fixe (points fixes) de la V.A. } A \text{ sur } S} \longrightarrow \mathbb{R}^{0}f_{*}(A) \longrightarrow \underbrace{M}_{\substack{\pi\text{-module,} \\ \text{de type fini sur } \mathbb{Z}}} \longrightarrow 0\] d'où \[\underset{\substack{\| \\ 0 \\ \text{par Lang}}}{H^{1}(\mathbb{F}_{p}, A^{\mathrm{fixe}})} \longrightarrow H^{1}(\mathbb{F}_{p}, \mathbb{R}^{0}f_{*}(A)) \longrightarrow \underset{\substack{\| \\ (M \otimes \mathbb{Q}/\mathbb{Z})^{\pi}}}{H^{1}(\mathbb{F}_{p}, M)} \longrightarrow 0\] Le dernier terme, « \((M \otimes \mathbb{Q}/\mathbb{Z})^{\pi}\) », est surchargé.

76Si \(S\) de type fini sur \(\mathbb{F}_{p}\), on obtient le diagramme suivant

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & M^{\pi} \otimes \mathbb{Q}_{\ell}/\mathbb{Z}_{\ell} \arrow[d, no head, "\wr" description] & & & \\
0 \arrow[r] & H^{0}(S, A) \otimes \mathbb{Q}_{\ell}/\mathbb{Z}_{\ell} \arrow[r] \arrow[d] & H^{1}(S, {}_{\ell^{\infty}}A) \arrow[r] \arrow[d] & H^{1}(S, A)(\ell) \arrow[r] \arrow[d] & 0 \\
0 \arrow[r] & (H^{0}(\overline{S}, \overline{A}) \otimes \mathbb{Q}_{\ell}/\mathbb{Z}_{\ell})^{\pi} \arrow[r] \arrow[d, no head, "\wr" description] & H^{1}(\overline{S}, {}_{\ell^{\infty}}\overline{A})^{\pi} \arrow[r] & H^{1}(\overline{S}, \overline{A})(\ell)^{\pi} \arrow[r] & 0 \\
 & (M \otimes \mathbb{Q}_{\ell}/\mathbb{Z}_{\ell})^{\pi} & & &
\end{tikzcd}

dans la marge de gauche, le diagramme est nommé « (D) ».

[où \(M = H^{0}(\overline{S}, \overline{A}) / H^{0}(\overline{\mathbb{F}}_{p}, \overline{A}^{\mathrm{fixe}})\), \(\pi\) est le groupe de Galois de \(\overline{\mathbb{F}}_{p}\) sur \(\mathbb{F}_{p}\)]

Les déterminations \(H^{0}(S, A) \simeq M^{\pi}\) et \(H^{0}(\overline{S}, \overline{A}) \otimes \mathbb{Q}_{\ell}/\mathbb{Z}_{\ell} \simeq M \otimes \mathbb{Q}_{\ell}/\mathbb{Z}_{\ell}\) sont standard ; on voit que la première flèche verticale est un isomorphisme mod groupes finis. D'autre part, on trouve (suite spectrale de Leray pour \(f : S \to \operatorname{Spec} \mathbb{F}_{p}\) pour la top. étale) \[0 \longrightarrow \underset{\substack{\wr \\ \text{gr.\ fini}}}{H^{1}(\mathbb{F}_{p}, \mathbb{R}^{0}f_{*}(A))} \longrightarrow H^{1}(S, A) \longrightarrow \underset{\substack{\| \\ H^{1}(\overline{S}, \overline{A})^{\pi}}}{H^{0}(\mathbb{F}_{p}, \mathbb{R}^{1}f_{*}(A))} \longrightarrow 0\] sous le premier terme, le signe lu « \(\wr\) » peut être un simple trait de renvoi. comme on voit utilisant \[0 \longrightarrow \widetilde{A}^{\mathrm{fixe}} \longrightarrow \mathbb{R}^{0}f_{*}(A) \longrightarrow M \longrightarrow 0 ,\] et le

77ce feuillet ne continue pas le précédent, dont la phrase « et le » se poursuit en tête du feuillet 78. Il commence par un signe de renvoi (un trait terminé par un rond) qu'on retrouve, avec une flèche, dans la marge de gauche du feuillet 78, à hauteur de « \(H^{2}(S, \mathbb{G}_{m})\) » : c'est un ajout appelé de là.

\(H^{2}(S, A)\) […] (dont le \(T_{\ell}\) est \(H^{2}(S, T_{\ell}(A))\)) n'est pas nécessairement nul, ⌜comme on voit⌝ […] si \(S\) est une courbe lisse projective géom. connexe sur \(\mathbb{F}_{p}\) et \(A = J \times S\), où \(J\) est la jacobienne de \(S\). On a en tous cas \[H^{2}(S, T_{\ell}(A)) \simeq H^{1}(\overline{S}, T_{\ell}(\overline{A}))_{\pi} = \bigl[ T_{\ell}(\overline{J}) \otimes T_{\ell}(\overline{J}) \bigr]_{\pi}\] \[\simeq \operatorname{End}(J) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}_{\ell} \quad \bigl( \simeq (\text{classes de corr.\ divisorielles sur } C \times C) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}_{\ell} \bigr)\] qui est non nul …. « classes » est une lecture incertaine ; « divisorielles » est ajouté au-dessus de « corr. ». Avant le crochet, un premier second membre est biffé : « \(= T_{\ell} J(\overline{\mathbb{F}}_{p}) \otimes\) » ; dans \(H^{2}(S, T_{\ell}(A))\), le \(T_{\ell}\) est récrit sur une première écriture ; avant la dernière parenthèse, un mot biffé.

78fait que \(H^{1}(\mathbb{F}_{p}, A^{\mathrm{fixe}}) = 0\) (Lang) et \(H^{1}(\mathbb{F}_{p}, M) = \text{fini}\) [trivial ; attention qu'il s'agit de la coh. étale, i.e. la coh. galoisienne de \(\widehat{\mathbb{Z}}\) !], donc la dernière flèche verticale du diagramme (D) est aussi bijective : \[H^{1}(S, A)(\ell) \xrightarrow{\;\sim\;} H^{1}(\overline{S}, \overline{A})^{\pi}(\ell)\] surj. à noyau fini … dans le premier terme, le \((\ell)\) est récrit sur une première lettre.

Donc la conjecture précédente signifie aussi \[\boxed{\; H^{1}(\overline{S}, \overline{A})(\ell)^{\pi} = \text{groupe fini} \;}\]

Je vois une façon de la prouver C'est ⌜aussi⌝ \(\pm\) équiv. (via des jacobiennes) à ceci : \(X \to S\) morphisme propre [lisse de dim. relative \(1\)], \(S\) régulier et de type fini sur \(\mathbb{Z}\). Prouver que \[H^{2}(S, \mathbb{G}_{m}) \longrightarrow H^{2}(X, \mathbb{G}_{m})\] est surjectif mod groupes finis ??

NB On devrait avoir \(H^{i}(S, A)(\ell)\) fini aussi pour \(\underline{\underline{i \geq 3}}\), \(S\) de type fini sur \(\mathbb{Z}\), \(\ell\) premier aux car. résiduelles ⌜NB⌝ (\(\text{si } i \geq 2\), \(T_{\ell}(H^{i}(S, A)(\ell)) \simeq H^{i}(S, T_{\ell}(A))\)) la dernière parenthèse est serrée en bas du feuillet et se lit mal ; le « \(T_{\ell}\) » initial est ajouté sous la ligne. donc les seuls invariants qui restent sont \(H^{0}\) et \(H^{2}\) pour \(A\), […] \(H^{1}\), \(H^{2}\) pour \(T_{\ell}(A)\) note écrite en oblique en bas à gauche, reliée par un trait au « \(i \geq 3\) ».

79Notons que \[H^{1}(S, T_{\ell}(A)) \simeq H^{1}(\overline{S}, T_{\ell}(\overline{A}))^{\pi}\] Donc notre conjecture signifie essentiellement \[\operatorname{rang}_{\mathbb{Q}_{\ell}} \bigl( H^{1}(\overline{S}, T_{\ell}(\overline{A})) \bigr)^{\pi} \mathrel{\underline{\simeq}} \operatorname{rang}_{\mathbb{Z}} A(K)\] et sous cette forme, est essentiellement équivalente à la conjecture de […] Birch-Swinnerton-Dyer. le \(T_{\ell}\) du premier membre est récrit sur un premier \(T\). Le signe entre les deux rangs est un « \(\simeq\) » souligné, qu'on peut lire « \(=\) ».