Fonds Grothendieck, cote n° 12, pages 61–80 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-23)Opus 5.5 (claude-opus-5-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-09-25
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https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)12
Généralités (sous-groupes de Galois motiviques) (1964 ?) : notes manuscrites (s.d.), tapuscrit (s.d.).
Pages 61 à 80 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 4 de vingt pages.
Les pages absentes de la transcription ne portent pas de
mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.1964-[vers 1971]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/12.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement
par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
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note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
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https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurPremière passe de transcription.Export TEI depuis la source LaTeX.
la page continue le 2°) de la page 59 (lot précédent) : « si f : X \to Y est » …
type fini, on a
\mathbb{R}\Gamma_{X} = \mathbb{R}\Gamma_{Y}\, \mathbb{R}f_{*}
d'où des suites spectrales dans (\mathrm{Ab}),
H^{*}(X, M) \Longleftarrow H^{p}(Y, R^{q}f_{*}(M))
3°) Bien entendu, on aH^{i}(X, M) = 0 si i < 0, et
H^{0}(X, M)est exactenM. De plus,
dansfonctorielH^{0}(X, M) = \operatorname{Hom}(\mathbb{Q}_{X}(0), M)dans \mathbb{Q}_{X}(0), la lettre \mathbb{Q} est surchargée (un R repris en \mathbb{Q} ?) et entourée.
[N.B. Rien n'empêche d'introduire des hyper-ext\mathbb{E}\mathrm{xt}^{i}(X ; M, N) = \mathbb{H}^{i}(X, \mathbb{R}\underline{\mathrm{Hom}}(M, N)) .
Cela redonne bien, par le n° 7,
\operatorname{Hom}(M, N) \simeq \mathbb{E}\mathrm{xt}^{0}(X, M, N)
et on espère que \mathrm{Ext}^{1}(X ; M, N) est bien l'ensemble des
classes d'extension de M par N. [On aimerait pouvoir dire que
\mathbb{E}\mathrm{xt}^{*}(X ; M, N) est le Ext dans la
catégorie des motifs, i.e. aux foncteurs dérivés ?.
Pourtant, doutes pour les Ext^{i} (i > 0) pour être dans la catégorie des Ind-motifs ???]
Possibles …
les deux lignes « doutes … Ind-motifs ??? » sont serrées l'une sur l'autre, la seconde en interligne ; le mot lu « Possibles » est traversé d'un grand trait vertical.
Notons la suite spectrale
\mathbb{H}^{*}(X, M^{\bullet}) \Longleftarrow H^{p}(X, H^{q}(M^{\bullet}))
d'où en particulier
\mathbb{E}\mathrm{xt}^{*}(X, M, N) \Longleftarrow H^{p}(X, \underline{\mathrm{Ext}}^{q}(M, N))
4°) On veut que des conditions standardbien le\ell-foncteursur Xla ligne est biffée d'un long trait de « que » à « standard » ; au-dessus, en interligne, trois mots, dont on croit lire « dans », « bien le » et « \ell-foncteurs » ; la lecture de l'ensemble n'est pas sûre.H^{i}(X, M) \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}_{\ell} \longrightarrow H^{i}(X, T_{\ell}(M))le \otimes_{\mathbb{Q}} est repassé et à demi barré.
d'où aussi
\mathrm{Ext}^{i}(X ; M, N) \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}_{\ell} \longrightarrow \mathbb{E}\mathrm{xt}^{i}(X ; T_{\ell}(M), T_{\ell}(N))
qui, sous l'hypothèse que X est de type fini sur \mathbb{Z},
dans les conditions, d'excellence
(en invoquant le fait que les seconds membres sont de type fini
sur \mathbb{Q}_{\ell})
un double trait vertical, dans la marge, court le long de ces lignes et des trois premières de la page suivante.
soient des isomorphismes, avec le complément que H^{*}(X, M) est un
\mathbb{Q}-Module de type fini.
Ceci doit être vérifié en particulier dans les deux cas
suivants : a) X de type fini sur \mathbb{Z} ; b) X de type fini sur un
corps alg. clos.ces deux lignes et la phrase qui les introduit sont encadrées, et le cadre est barré de grandes croix.
En particulier, pour un corps alg. clos, on aurait
H^{i}(k, M) = 0 \quad \text{pour } i > 0, \quad \forall \text{ motif } M .
NB Si X est de type fini (ou projectif lisse) sur un corps alg.
clos K, telles relations précises, comme on
voit par calcul explicite (utilisant les conjectures de Tate) pour K
clôture algébrique d'un corps fini …
Le th. de Tate peut se reformuler de façon précise en énonçant :
a^{i}(X) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} \xrightarrow[\;\sim\;]{\text{ét.\ pr.\ } \mathbb{Q}_{\ell}} \Gamma_{k}\bigl(R^{i}f_{*}(\mathbb{Q}_{X}(i))\bigr)l'étiquette de la flèche, en exposant, se lit « ét. pr. \mathbb{Q}_{\ell} » sans certitude ; l'exposant de R est lu i, alors que la formule encadrée de la page suivante porte H^{2i}.
X étant projectif et lisse sur k alg. clos, simplifiantles notations (f : X \to \operatorname{Spec} k).
Une autre façon de l'écrire :
\boxed{\; a^{i}(X) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} \simeq \operatorname{Im}\bigl[ H^{2i}(X, \mathbb{Q}(i)) \longrightarrow H^{2i}(X, \mathbb{Q}_{\ell}(i)) \bigr] \;}le \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} est surchargé et en partie barré ; les deux exposants 2i sont repris sur un premier i.
NB. Si k est la clôture algébrique de \mathbb{F}_{p}, on trouve
pour X projectif lisse sur kH^{i}(X, \mathbb{Q}(j)) =
\begin{cases}
0 & \text{si } i \neq 2j, 2j+1 \\
a^{j}(X) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} & \text{si } i = 2j \quad \text{(canonique)} \\
a^{j}(X) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} & \text{si } i = 2j+1 \quad \text{(\emph{pas} canonique)}
\end{cases}pas \mathbb{Q}_{\ell}(i) !ajout au-dessus du \mathbb{Q}(j) du premier membre.
De plus, pour i \neq 2j, l'image de H^{i}(X, \mathbb{Q}(j)) dans
H^{i}(X, \mathbb{Q}_{\ell}(j)) est nulle.
C'est un fait général : si k alg. clos, dans
(X projectif lisse sur k) l'image de
H^{j}(X, \mathbb{Q}(i)) \longrightarrow H^{j}(X, \mathbb{Q}_{\ell}(i))
est nulle pour j \neq 2i (question de poids), pour j = 2ic'est les cycles algébriques à coeff.
rationnels.
les indices changent de rôle d'une formule à l'autre : H^{i}(X, \mathbb{Q}(j)) ci-dessus, H^{j}(X, \mathbb{Q}(i)) ici ; transcrits comme écrits. Le dernier ajout, en interligne au-dessus d'un mot biffé, se lit mal.
Notons le th. de dualitéabsolue :
Soient M et M^{*} deux (constructibles) motifs sur X
(de type fini sur \mathbb{Z}), qui sont « duaux » par le
couplage de motifs dualisants canonique —
[NB. Si Xest régulier de dim. n, dans\mathbb{Q}(n)[2n+1], c'est le dualisant à valeurs dans
\mathbb{Q}(n)[2n+1]]
shift« shift » est écrit deux fois dans la marge de droite, avec des flèches vers le crochet [2n+1].un mot entouré, en interligne dans le crochet, se lit « foncteur » ; sa place dans la phrase n'est pas sûre. Le second \mathbb{Q}(n)[2n+1], en fin de ligne, est biffé et surchargé.
alors \mathbb{R}\Gamma_{X}(M) et \mathbb{R}_{!}\Gamma_{X}(M^{*}) sont
duaux.
supposer qu'on sait que\mathbb{Z}ligne ajoutée entre guillemets sous la formule.
Ici [comme les coefficients sont ess. \mathbb{Q}, donc il n'y a pas de
Tor] ceci revient aussi à la formule (cas régulier)
\boxed{\;
\begin{aligned}
&H^{i}(X, M) \ \text{dual de}\ \mathrm{Ext}_{!}^{2n+1-i}(X ; M, \mathbb{Q}(n)) \\
&H^{i}_{!}(X, M) \ \text{dual de}\ \mathrm{Ext}^{2n+1-i}(X ; M, \mathbb{Q}(n))
\end{aligned}
\;}
Si X propre sur \operatorname{Spec} \mathbb{Z}, inutile de mettre des
!.
Moyennant le th. de dualité relative pour motifs, cet énoncé revient
au
cas choisi pour X = \operatorname{Spec} \mathbb{Z}, et lui-même
le cas géométrique, pour X = \operatorname{Spec} \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}.
Dans ce dernier cas, on doit vérifier simplement la dualité entre
H^{i}(\mathbb{F}_{p}, M) \quad \text{et} \quad H^{1-i}(\mathbb{F}_{p}, M^{*})\bigl( M^{*} = \underline{\mathrm{Hom}}(M, \mathbb{Q}(0)) \bigr)
à l'aide du « cup-produit » et de l'isom.
H^{1}(\mathbb{F}_{p}, \mathbb{Q}(0)) \simeq \mathbb{Q}
et il suffit de faire la vérification \ell-adiquement, en utilisant le
foncteur T_{\ell}.
à développer au sujetdes cup-produits à coeff. « abstraits » …note écrite en oblique dans la marge de gauche, à hauteur de « cup-produit ».« cup-produit » est souligné d'un trait ondulé.
Cela revient à la vérification suivante : [pour un vectoriel de dim. finie sur \mathbb{Q}_{\ell} sur lequel
\pi = \widehat{\mathbb{Z}} opère]
H^{i}(\pi, V) \quad \text{et} \quad H^{1-i}(\pi, V^{*}) \quad \text{en dualité}(V^{*} = \operatorname{Hom}_{\mathbb{Q}_{\ell}}(V, \mathbb{Q}_{\ell})) : c'est
une trivialité.
X projective lisse géom. connexe sur k corps fini à q éléments.
Par passage à la limite sur les quotientscoeff. finis, on a
\longrightarrow H^{i-1}(\overline{X}, \mathbb{Q}_{\ell}(j))_{\pi} \longrightarrow H^{i}(X, \mathbb{Q}_{\ell}(j)) \longrightarrow H^{i}(\overline{X}, \mathbb{Q}_{\ell}(j))^{\pi} \longrightarrow 0l'exposant du premier terme est surchargé ; lu i-1 d'après la suite.
d'où le résultat
\begin{aligned}
&\text{si } i \neq 2j, 2j+1, && H^{i}(X, \mathbb{Q}_{\ell}(j)) = 0 \\
&\text{si } i = 2j, && H^{2j}(X, \mathbb{Q}_{\ell}(j)) = H^{2j}(\overline{X}, \mathbb{Q}_{\ell}(j))^{\pi} \underset{\text{conj.\ de Tate}}{\simeq} a^{j}(X/k) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}_{\ell} \\
&\text{si } i = 2j+1, && H^{2j+1}(X, \mathbb{Q}_{\ell}(j)) = H^{2j}(\overline{X}, \mathbb{Q}_{\ell}(j))_{\pi} \underset{\text{Tate} + \text{action semi-simple}}{\simeq} a^{j}(X/k) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}_{\ell}
\end{aligned}les deux isomorphismes sont notés « \wr\!\wr » sous les termes, avec leur justification en petit à côté ; dans la seconde, « action » est une lecture incertaine. Dans les deux \otimes l'indice est surchargé.
Soit maintenant k_{n} l'extension de degré n de k dans \overline{k},
et étudions
\varinjlim H^{i}(X_{k_{n}}, \mathbb{Q}_{\ell}(j))
on trouve 0 pour i \neq 2j, 2j+1 ; pour i = 2j, on trouve
H^{2j}(\overline{X}, \mathbb{Q}_{\ell}(j))^{\mathfrak{J}} = a^{j}(\overline{X}) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}_{\ell},
enfin pour i = 2j+1, on trouve également en vertu du motifa^{j}(\overline{X}) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}_{\ell}.
l'exposant de H^{2j}(\overline{X}, \mathbb{Q}_{\ell}(j)) est une lettre isolée, lue \mathfrak{J} sans certitude.
Donc on a
\varinjlim H^{i}(X_{k_{n}}, \mathbb{Q}(j)) =
\begin{cases}
0 & \text{si } i \neq 2j, 2j+1 \\
a^{j}(\overline{X}) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} & \text{si } i = 2j \\
\struck{\ill{}} & \text{si } i = 2j+1, \ \text{mais pas canoniquement isomorphe à} \ldots
\end{cases}
et, sous la limite, = H^{i}(\overline{X}, \mathbb{Q}(j)).
dans la troisième ligne, la valeur est biffée et surchargée (lue « a^{j}(\overline{X})\otimes … » sous les ratures) ; la fin, en interligne, est coupée par le bord du feuillet et se termine sur « X/\overline{\mathbb{F}} ! » (lecture incertaine) ; « 2j+1 » est biffé à la fin de la ligne i = 2j.N.B. Remplaçonsk par l'isom. obtenu par lim …note serrée en bas à gauche du feuillet, en face de la dernière formule.
Slisse de type fini sur \mathbb{F}_{p},
M motif de poids \rho?\ \ H^{*}(S, M_{\ell}) \overset{?}{\Longleftarrow} H^{p}(\mathbb{F}_{p}, R^{q}f_{*}(M_{\ell}))0 \longrightarrow \underbrace{H^{i-1}(\overline{S}, \overline{M}_{\ell})_{\pi}}_{\substack{\text{poids entre} \\ \rho + i - 1 \text{ et } \rho + \mathrm{Inf}(2i-2, 2n)}} \longrightarrow H^{i}(S, M_{\ell}) \longrightarrow \underbrace{H^{i}(\overline{S}, \overline{M}_{\ell})^{\pi}}_{\substack{\text{poids entre} \\ \rho + i \text{ et } \rho + \mathrm{Inf}(2i, 2n)}} \longrightarrow 0l'exposant du premier terme est surchargé, lu i-1 ; le premier « \mathrm{Inf}(2i-2, 2n) » se lit mal et est restitué d'après la ligne qui suit.
Donc H^{i}(S, M_{\ell}) = 0si on a sauf si on a
\rho + i - 1 \leq 0 \leq \rho + 2i - 2 \quad \text{ou} \quad \rho + i \leq 0 \leq \rho + 2i
i.e.
2 - 2i \leq \rho \leq 1 - i \quad \text{ou} \quad -2i \leq \rho \leq -i
i.e.
\begin{aligned}
-2i \leq \rho &\leq -i + 1 && (\text{si } i \geq 2) \\
-2 \leq \rho &\leq 1 && (\text{si } i = 1) \\
\rho &= 0 && (\text{si } i = 0)
\end{aligned}Pour i = 1, cela donne\rhodans « 2 - 2i \leq \rho \leq 1 - i », le 1 - i est récrit sur un premier terme biffé. Dans la marge de gauche, des croquis de segments : [-2i+2, -i+1] et [-2i, -i] superposés, puis un segment gradué -2, -1, 0, 1 ; un troisième, biffé, entre les deux.
16 Relations avec les points rationnels (et la cohomologie) des variétés abéliennes sur un schéma de type fini
titre de sa main en tête du feuillet 73, précédé du numéro « 16 » souligné ; « et la cohomologie » est ajouté en interligne, et « schéma de type fini … » remplace « corps de fonctions », biffé.
Soit A_{K} VA sur un corps K de type fini pour commencer.
Alors K est le corps des fonctions d'un schéma S irréductible et
régulier, de type fini sur \mathbb{Z}, tel queA_{K} provient d'un
schéma abélien sur S. De plus, on a
A_{K}(K) = A(S)
et on sait que c'est un groupe de type fini par
Mordell-Weil-Néron-Lang.
Soit f : A \to S la projection, et considérant le motif
\mathbb{R}^{1}f_{*}(\mathbb{Q}_{A}(1)) \simeq T_{\mathrm{mot}}(A)
[oùA^{*}est le dual de A] sur Sde [qui est un motif] pur de poids 1, qui redonne A_{K} à
isogénie près (sur K ?) comme conséquence des conjectures
de Tate.
dans la formule, un indice A sous le \mathbb{Q} et un exposant * sur le f ; le second membre, « T_{\mathrm{mot}}(A) », est récrit au-dessus d'un premier terme biffé. Le mot qui suit le premier crochet est le même que celui de la page 72 (« motif de poids \rho ») et reste illisible.
On s'attend donc à pouvoir écrire A(S) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} en
termes de ce motif M.
Or en effet, des raisons heuristiques convaincantes pour nous suggèrent
A(S) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} \simeq H^{1}(S, T_{\mathrm{mot}}(A))
[NB. On doit avoir H^{0}(S, T_{\mathrm{mot}}(A)) = 0, à cause des
Mordell-Weil considérations de poids …].
Une autre façon deConsidérons
(aux\times)
0 \longrightarrow {}_{\ell^{\nu}}A \longrightarrow A \longrightarrow A \longrightarrow 0
d'où
\longrightarrow H^{0}(S, A)_{\ell^{\nu}} \longrightarrow H^{1}(S, {}_{\ell^{\nu}}A) \longrightarrow H^{1}(S, A)_{\ell^{\nu}} \longrightarrow 0les deux indices \ell^{\nu} hors des parenthèses sont placés en bas à droite ; celui du troisième terme est récrit.
et par passage à la limite et \otimes_{\mathbb{Z}_{\ell}} \mathbb{Q}_{\ell}0 \longrightarrow \underbrace{H^{0}(S, A)}_{\text{de type fini sur } \mathbb{Z}} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}_{\ell} \longrightarrow \underset{\substack{\wr\wr \\ H^{1}(S, T_{\mathrm{mot}}(A)) \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}_{\ell}}}{H^{1}(S, T_{\ell}(A))_{\mathbb{Q}_{\ell}}} \longrightarrow T_{\ell}(H^{1}(S, A))_{\mathbb{Q}_{\ell}} \longrightarrow 0plusieurs indices de cette suite sont surchargés (\otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}_{\ell} récrit sur \otimes \mathbb{Q}, le \ell de T_{\ell} repassé).
et le résultat escompté ici équivaut vraisemblablement à celui-ci :
\boxed{\; H^{1}(S, A)(\ell) \ \underline{\text{fini}} \ \text{si } \ell \text{ “premier à } S \text{”} \quad (S \text{ de type fini sur } \operatorname{Spec} \mathbb{Z}) \;}
p.ex. si S = \operatorname{Spec} \mathbb{F}_{q}, alors c'est vrai par Lang !
Si S est de type fini sur \mathbb{F}_{p}, on a (travaillant avec des
faisceaux étales) si f : S \to \operatorname{Spec} \mathbb{F}_{p}\longrightarrow H^{1}(\mathbb{F}_{p}, R^{0}f_{*}A) \longrightarrow H^{1}(S, A) \longrightarrow H^{0}(\mathbb{F}_{p}, \mathbb{R}^{1}f_{*}(A)) \longrightarrow \struck{\ill{}}H^{0}(\mathbb{F}_{p}, \mathbb{R}^{1}f_{*}(A)) = H^{1}(\overline{S}, \overline{A})^{\pi}le dernier terme de la suite est un gribouillis biffé, où l'on devine un \mathbb{F}_{p} ; l'égalité de la seconde ligne est notée par « = » vertical sous le troisième terme.
Or on a, toujours par « Kummer »
\longrightarrow \underset{\substack{\wr\wr \\ M \otimes \mathbb{Q}_{\ell}/\mathbb{Z}_{\ell}}}{H^{0}(\overline{S}, \overline{A}) \otimes \mathbb{Q}_{\ell}/\mathbb{Z}_{\ell}} \longrightarrow H^{1}(\overline{S}, {}_{\ell^{\infty}}\overline{A}) \longrightarrow H^{1}(\overline{S}, \overline{A})(\ell) \longrightarrow 0« M \otimes \mathbb{Q}_{\ell}/\mathbb{Z}_{\ell} » est écrit au-dessus du premier terme, et non au-dessous.
d'où le fait que H^{1}(\overline{S}, \overline{A})(\ell) est de poids
1 - 1 = 0si p.ex. S est projectif lisse sur \mathbb{F}_{p} — à
priori rien ne s'oppose à ce qu'il y ait un gros
module d'invariants. D'autre part, on a
0 \longrightarrow \underbrace{A^{\mathrm{tr}}}_{\ill{}\ \text{de la V.A. } A \text{ sur } S} \longrightarrow \mathbb{R}^{0}f_{*}(A) \longrightarrow \underbrace{M}_{\substack{\pi\text{-module,} \\ \text{de type fini sur } \mathbb{Z}}} \longrightarrow 0
d'où
\underset{\substack{\| \\ 0 \\ \text{par Lang}}}{H^{1}(\mathbb{F}_{p}, A^{\mathrm{tr}})} \longrightarrow H^{1}(\mathbb{F}_{p}, \mathbb{R}^{0}f_{*}(M)) \longrightarrow \underset{\substack{\| \\ (M \otimes \mathbb{Q}/\mathbb{Z})^{\pi}}}{H^{1}(\mathbb{F}_{p}, M)} \longrightarrow 0le deuxième terme porte « f_{*}(M) » là où l'on attend « f_{*}(A) » ; transcrit comme écrit. Le dernier, « (M \otimes \mathbb{Q}/\mathbb{Z})^{\pi} », est surchargé.
Si S de type fini sur \mathbb{F}_{p}, on obtient le diagramme suivant
dans la marge de gauche, le diagramme est nommé « (D) ».
[où M = H^{0}(\overline{S}, \overline{A}) / H^{0}(\overline{\mathbb{F}}_{p}, \overline{A}^{\mathrm{tr}}),
\pi est le groupe de Galois de \overline{\mathbb{F}}_{p} sur
\mathbb{F}_{p}]
Les déterminations H^{0}(S, A) \simeq M^{\pi} et
H^{0}(\overline{S}, \overline{A}) \otimes \mathbb{Q}_{\ell}/\mathbb{Z}_{\ell} \simeq M \otimes \mathbb{Q}_{\ell}/\mathbb{Z}_{\ell}
sont standard ; on voit que la première flèche verticale est un
isomorphisme mod groupes finis. D'autre part, on trouve (suite spectrale de
Leray pour f : S \to \operatorname{Spec} \mathbb{F}_{p} pour la
top. étale)
0 \longrightarrow \underset{\substack{\wr \\ \text{gr.\ fini}}}{H^{1}(\mathbb{F}_{p}, \mathbb{R}^{0}f_{*}(A))} \longrightarrow H^{1}(S, A) \longrightarrow \underset{\substack{\| \\ H^{1}(\overline{S}, \overline{A})^{\pi}}}{H^{0}(\mathbb{F}_{p}, \mathbb{R}^{1}f_{*}(A))} \longrightarrow 0sous le premier terme, le signe lu « \wr » peut être un simple trait de renvoi.
comme on voit utilisant
0 \longrightarrow \widetilde{A}^{\mathrm{tr}} \longrightarrow \mathbb{R}^{0}f_{*}(A) \longrightarrow M \longrightarrow 0 ,
et le
ce feuillet ne continue pas le précédent, dont la phrase « et le » se poursuit en tête du feuillet 78. Il commence par un signe de renvoi (un trait terminé par un rond) qu'on retrouve, avec une flèche, dans la marge de gauche du feuillet 78, à hauteur de « H^{2}(S, \mathbb{G}_{m}) » : c'est un ajout appelé de là.
H^{2}(S, A) (donc le T_{\ell} ou
H^{2}(S, T_{\ell}(A))) n'est pas nécessairement nul,
comme on voit si S est une courbe lisse projective
géom. connexe sur \mathbb{F}_{p} et A = J \times S, où J est la
jacobienne de S. On a en tous cas
H^{2}(S, T_{\ell}(A)) \simeq H^{1}(\overline{S}, T_{\ell}(\overline{A}))_{\pi} = \bigl[ T_{\ell}(\overline{J}) \otimes T_{\ell}(\overline{J}) \bigr]_{\pi}\simeq \operatorname{End}(J) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}_{\ell} \quad \bigl( \simeq (\text{classes de corr.\ divisorielles sur } S \times S) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}_{\ell} \bigr)
qui n'est pas nul ….
« classes » est une lecture incertaine ; « divisorielles » est ajouté au-dessus de « corr. ». Avant le crochet, un premier second membre est biffé : « = T_{\ell} J(\overline{\mathbb{F}}_{p}) \otimes » ; dans H^{2}(S, T_{\ell}(A)), le T_{\ell} est récrit sur une première écriture ; avant la dernière parenthèse, un mot biffé.
fait que H^{1}(\mathbb{F}_{p}, A^{\mathrm{tr}}) = 0 (Lang) et
H^{1}(\mathbb{F}_{p}, M) = \text{fini} [trivial ; attention qu'il s'agit de
la coh. étale, i.e. la coh. galoisienne de \widehat{\mathbb{Z}} !],
donc la dernière flèche verticale du diagramme (D) est aussi bijective :
H^{1}(S, A)(\ell) \xrightarrow{\;\sim\;} H^{1}(\overline{S}, \overline{A})^{\pi}(\ell)sauf à noyaufini …
dans le premier terme, le (\ell) est récrit sur une première lettre.
Donc la conjecture précédente signifie aussi
\boxed{\; H^{1}(\overline{S}, \overline{A})(\ell)^{\pi} = \text{groupe fini} \;}
Je vois une façon de la prouver
C'est aussi\pm équiv. (via des jacobiennes) à ceci : X \to S
morphisme propre [lisse de dim. relative 1], S régulier et
de type fini sur \mathbb{Z}. Prouver que
H^{2}(S, \mathbb{G}_{m}) \longrightarrow H^{2}(X, \mathbb{G}_{m})
est surjectif mod groupes finis ??
NB On devrait avoir H^{i}(S, A)(\ell) fini aussi pour
\underline{\underline{i \geq 3}}, S de type fini sur \mathbb{Z}, \ell
premier aux car. résiduelles
NB (\text{si } i \geq 2, T_{\ell}(H^{i}(S, A)(\ell)) \simeq H^{i}(S, T_{\ell}(A)))
la dernière parenthèse est serrée en bas du feuillet et se lit mal ; le « T_{\ell} » initial est ajouté sous la ligne.donc les seuls cas qui restent sont H^{0} et H^{2} pour A, H^{1}, H^{2} pour T_{\ell}(A)note écrite en oblique en bas à gauche, reliée par un trait au « i \geq 3 ».
Notons que
H^{1}(S, T_{\ell}(A)) \simeq H^{1}(\overline{S}, T_{\ell}(\overline{A}))^{\pi}
Donc notre conjecture signifie essentiellement
\operatorname{rang}_{\mathbb{Q}_{\ell}} \bigl( H^{1}(\overline{S}, T_{\ell}(\overline{A})) \bigr)^{\pi} \mathrel{\underline{\simeq}} \operatorname{rang}_{\mathbb{Z}} A(K)
et sous cette forme, est essentiellement équivalente à la conjecture de
Birch-Swinnerton-Dyer.
le T_{\ell} du premier membre est récrit sur un premier T. Le signe entre les deux rangs est un « \simeq » souligné, qu'on peut lire « = ».