Cote n° 12 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Généralités (sous-groupes de Galois motiviques) (1964 ?) : notes manuscrites (s.d.), tapuscrit (s.d.)
Datation de l’inventaire : 1964-[vers 1971]
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Motifs

titre de sa main, souligné, en tête du feuillet 22. La rédaction qui suit n'est pas paginée par lui ; ses paragraphes numérotés 1) à 10) reprennent un à un les dix premiers points de la table « Motifs » du feuillet 20 (lot 1)

221) À tout préschéma noeth. (éventuellement de type fini sur un anneau noethérien) \(X\) est associée une catégorie abélienne \(\mathcal{M}^{+}(X)\), dite catégorie des motifs effectifs sur \(X\). C'est une \(\mathbb{Q}\)-catégorie de \(\mathbb{Q}\)-modules abélienne, i.e. pour tt \(M \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{+}(X)\), et \(n \in \mathbb{Z}\), \(n \neq 0\), \(n\, \mathrm{id}_{M}\) est un isom de \(M\). De plus, \(\mathcal{M}^{+}(X)\) est muni d'un produit tensoriel commutatif et unitaire (exact à droite), l'unité est notée \(\mathbf{1}_{X}\) ou \(\mathbb{Q}_{X}(0)\). On peut en termes des données construire des foncteurs \(\wedge^{i} M\), etc.…

On considère aussi la catégorie dérivée bornée \(\mathrm{D}^{b}(\mathcal{M}^{+}(X))\) de \(\mathcal{M}^{+}(X)\). Le produit tensoriel est étendu en un bifoncteur \(M \mathbin{\underline{\underline{\otimes}}} N\) en \(M, N \in \operatorname{Ob} \mathrm{D}^{b}(\mathcal{M}^{+}(X))\).

2) Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de préschémas […] noeth., il lui est associé un foncteur exact \[f^{*} : \mathcal{M}^{+}(Y) \to \mathcal{M}^{+}(X),\] d'où \[Lf^{*} : \mathrm{D}^{b}(\mathcal{M}^{+}(Y)) \to \mathrm{D}^{b}(\mathcal{M}^{+}(X)),\] compatible avec \(\otimes\). [On a transitivité.

Si \(f\) est de type fini, et propre ou \(Y\) excellent, on a défini de même un foncteur \[Rf_{*} : \mathrm{D}^{b}(\mathcal{M}^{+}(X)) \to \mathrm{D}^{b}(\mathcal{M}^{+}(Y))\]

23Considérer aussi la formule de dualité entre \(Rf_{*}\), \(f^{*}\), et les foncteurs \(f^{!}\), \(Rf_{!}\) et leurs relations, de dualité et enfin le formulaire standard reliant tous ces foncteurs — satisfaisant une formule de transitivité, une formule de projection \[Rf_{*}(M \otimes Lf^{*}(N)) \simeq Rf_{*}(M) \otimes N .\]

3) Supposons \(X = \varprojlim X_{i}\), système projectif filtrant ess. affine. Alors pour les foncteurs images inverses, on a \[\mathcal{M}^{+}(X) \simeq \varinjlim \mathcal{M}^{+}(X_{i}) .\] En particulier, si \(X\) est de type fini sur \(S = \operatorname{Spec}(A)\), alors \(X\) est limite de préschémas \(X_{i}\) de type fini sur \(\mathbb{Z}\), et la détermination de \(\mathcal{M}^{+}(X)\), avec ses structures déjà envisagées est dit ramenée au cas des préschémas de type fini.

De même, si \((S_{i})\) est un système projectif filtrant ess. affine, \(S = \varprojlim S_{i}\), et si \(X\), \(Y\) de t.f. sur \(S\) sont définis par \((X_{i})\), \((Y_{i})\), si on prend des

24\(M_{i_{0}} \in \operatorname{Ob} \mathrm{D}^{b}(\mathcal{M}^{+}(X_{i_{0}}))\), d'où \(M_{i}\), \(M\), on aura pour \(f_{i_{0}} : X_{i_{0}} \to Y_{i_{0}}\) la relation \[Rf_{*}(M) = \varinjlim v_{i}^{*}(Rf_{i*}(M_{i}))\] où \(v_{i} : Y \to Y_{i}\) est le morphisme canonique.

4) Soit \(\ell \in \mathbb{P}\) tel que \(\ell \mathbf{1}_{X} \in \Gamma(X, \mathcal{O}_{X})\) soit inversible. Alors on a un foncteur \[T_{\ell} = T_{\ell}^{(X)} : \mathcal{M}^{+}(X) \to \mathcal{M}^{+}_{\ell}(X)\] où \(\mathcal{M}_{\ell}(X)\) est la catégorie formée des « \(\mathbb{Q}_{\ell}\)-modules constructibles sur \(X\) », i.e. la catégorie déduite de la catégorie des « systèmes \(\ell\)-adiques de faisceaux de \(\ell\)-torsion constructibles » en négligeant précisément les faisceaux de torsion. Le foncteur \(T_{\ell}\) est compatible avec \(\otimes\) et unités, exact et fidèle (mais non pleinement fidèle), compatible avec les

25compatibilité avec \(f^{!}\) hom, \(Rf_{!}\), avec résidu etc.… changement de base \(f^{*}\), et compatible également avec \(Rf_{*}\). [N.B. \(T_{\ell}\) s'étend évidemment en un foncteur \(\mathrm{D}^{b}(\mathcal{M}(X)) \to \mathrm{D}^{b}(\mathcal{M}_{\ell}(X))\).] \(\{\)La détermination des \(T_{\ell}\) est encore ramenée au cas où \(X\) est de t.f. sur \(\mathbb{Z}\).

Si \(X\) est un \(\mathbb{Q}\)-préschéma de type fini, on a aussi un foncteur \[T_{\infty} = T_{\infty}^{(X)} : \mathrm{D}^{b}(\mathcal{M}(X)) \to \mathcal{M}_{\infty}(X)\] où \(\mathcal{M}_{\infty}(X)\) est la catégorie des Modules […] cohérents. Ce foncteur \(T_{\infty}\) est encore exact et fidèle, compatible avec \(f^{*}\) et \(Rf_{*}\). tout ce paragraphe sur \(T_{\infty}\) est encadré puis biffé de deux diagonales ; « de type fini » est ajouté au-dessus d'un mot biffé NB. Ceci exclut déjà le choix trivial \(\mathcal{M}^{+}(X) = 0\) pour tt \(X\), car il faudrait qu'on ait \(R^{*}f_{*}(\mathbb{Z}_{\ell}) = 0\) pour \(f\), \(\ell\), ce qui n'est pas vrai en général…

Signalons aussi la compatibilité de \(T_{\ell}\) avec l'isom. de Künneth.

5) Pour tout \(X\), on a un […] élément canonique \[\mathbb{Q}_{X}(-1) \quad\text{ou}\quad \mathbf{1}_{X}(-1) \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{+}(X)\]

26dont la formation est compatible avec changement de base (il suffit donc de le considérer sur \(\operatorname{Spec} \mathbb{Z}\)), avec des isom \[T_{\ell}(\mathbb{Q}(-1)) \simeq \mathbb{Q}_{\ell}(-1) = \underbrace{T_{\ell}(\mathbb{G}_{m})^{-1}}_{\text{Module de Tate inverse de } \mathbb{G}_{m}}\] et le cas échéant (\(X\) sur \(\mathbb{Q}\)). On peut définir \(\mathbb{Q}(-1)\) comme \(R^{2} f_{*}(\struck{\mathbb{Z}}\, \mathbf{1}_{\mathbb{P}^{1}_{X}})\), où \(f : \mathbb{P}^{1}_{X} \to X\) est la projection canonique. Posant \(\mathbb{Q}(-n) = \mathbb{Q}(-1)^{\otimes n}\) pour \(n \geqslant 0\) on peut prouver, à l'aide des axiomes déjà posés, que si \(f : X \to S\) est lisse projectif à fibres géom. connexes non vides, partout de dim relative \(d\), alors \[R^{2d} f_{*}(\mathbf{1}_{X}) \simeq \mathbb{Z}_{S}(-d)\] et si on enlève l'hyp « projectif » mais seulement \(f\) quasi-projectif, on trouve encore \[R^{2d} f_{!}(\mathbf{1}_{X}) \simeq \mathbb{Z}_{S}(-d)\]

27On veut exige de plus compatibilité, que si \(X/S\) est lisse et \(Y \overset{i}{\subset} X\) est lisse sur \(S\), de codim \(d\) dans \(X\), l'isom \[Ri^{!}(\mathbf{1}_{X}) \simeq \mathbb{Q}_{Y}(-d)\] compatible avec les isom déjà connus du point de vue \(\ell\)-adique —.

6) Chaque \(\mathcal{M}(X)\) est plongé dans Le foncteur \(M \mapsto M(-1) = M \otimes \mathbb{Q}(-1)\) de \(\mathcal{M}^{+}(X)\) dans lui-même est pleinement fidèle mais pas une équivalence en général. Il y a donc une façon canonique d'élargir \(\mathcal{M}^{+}(X)\) en \(\mathcal{M}(X)\) de telle façon que \(\otimes \mathbb{Q}(-1)\) devienne une équivalence : en prenant la pseudo-limite inductive des \[\mathcal{M}^{+} \xrightarrow{\otimes \mathbb{Q}(-1)} \mathcal{M}^{+} \xrightarrow{\otimes \mathbb{Q}(-1)} \mathcal{M}^{+} .\] On prolonge à \(\mathcal{M}(X)\) la structure \(\otimes\), dont \(\mathbb{Q}(-1)\) devient inversible, soit \(\mathbb{Q}(1)\) son inverse, et tt élément de \(\mathcal{M}(X)\) peut s'écrire, pour \(\mathcal{M}^{+}(X)\) est une sous-catégorie abélienne épaisse de \(\mathcal{M}(X)\) ; l'appartenance à \(\mathcal{M}^{+}(X)\) se vérifie fibre par fibre …

28\(n\) assez grand, sous la forme \(M_{n}(n)\), avec \(M_{n} \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{+}(X)\) [pour \(n\) fixé, \(M_{n}\) est bien déterminé par \(M\) à isom unique près, et \((M_{n}(n) \simeq M_{n+1}(n+1)) \Leftrightarrow (M_{n+1} \simeq M_{n}(-1))\) ; on retrouve la description de \(\mathcal{M}(X)\) en termes de Pseudo \(\varinjlim\).]. Les foncteurs \(T_{\ell}\) s'étendent à \(\mathcal{M}(X)\), de façon unique, de façon à rester compatibles avec \(\otimes\).

7) Dans \(\mathcal{M}(X)\), on a aussi des foncteurs \(\underline{\mathrm{Hom}}\), liés à \(\otimes\) par la formule habituelle \[\mathrm{Hom}(P \otimes Q, R) \simeq \mathrm{Hom}(P, \underline{\mathrm{Hom}}(Q, R)) \simeq \mathrm{Hom}(Q, \underline{\mathrm{Hom}}(P, R))\] et satisfaisant qui s'étendent en \[R\underline{\mathrm{Hom}}(P, Q) \qquad P, Q \in \operatorname{Ob} \mathrm{D}^{b}\mathcal{M}(X)\] satisfaisant à la relation analogue relativement à \(\overset{L}{\otimes}\). La formation des \(\underline{\mathrm{Hom}}\) et \(R\underline{\mathrm{Hom}}\) est compatible avec les \(T_{\ell}\). les soulignements des Hom de la formule ne se distinguent pas tous ; on a souligné les Hom internes

N.B. [N.B. On retrouve la formation des \(f^{!}\) —]

298) Soient \(\ell, \ell' \in \mathbb{P}\) premiers aux car. rés. de \(X\). Soit \(M \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{+}(X)\). On veut que \[\begin{array}{c} T_{\ell}(M) \text{ faisceau constant tordu} \\ \Updownarrow \\ T_{\ell'}(M) \text{ faisceau constant tordu} \end{array}\] et que sous ces conditions, \(T_{\ell}(M)\) et \(T_{\ell'}(M)\) doivent avoir même rang en chaque pt.

Pour vérifier l'égalité des rangs, on est ramené au cas où \(X\) est le spectre d'un corps (fini si on veut, ou clôture alg. d'un tel). Plus généralement, si \(u\) est un endomorphisme de \(M\), et (\(X = \operatorname{Spec} k\), \(k\) un corps), on en déduit \[T_{\ell}(u) \in \operatorname{End} T_{\ell}(M), \qquad T_{\ell'}(u) \in \operatorname{End}(T_{\ell'}(M))\] et je dis que l'on a \[\boxed{\operatorname{Tr} T_{\ell}(u) = \operatorname{Tr} T_{\ell'}(u) \in \mathbb{Q}}\] d'où, remplaçant \(u\) par \(\wedge^{i} u\), le fait \[\boxed{P(T_{\ell}(u), t) = P(T_{\ell'}(u), t) \in \mathbb{Q}[t]}\]

30[où il s'agit des polynômes caractéristiques]. Pour ceci, notons que \[u \in \operatorname{Hom}(\mathbf{1}_{X}, \underline{\mathrm{Hom}}(M, M)) = \operatorname{Hom}(\mathbf{1}_{X}, M^{\vee} \otimes M)\] et on a un morphisme contraction \[M^{\vee} \otimes M \to \mathbf{1}_{X}\] à inclure dans le formalisme tensoriel d'où un \(c(u) \in \operatorname{Hom}(\mathbf{1}_{X}, \mathbf{1}_{X})\) et […] \[\operatorname{Tr} T_{\ell}(u) = T_{\ell}(c(u)) \in \mathbb{Q}_{\ell} .\] et il suffit de savoir : \[\boxed{X \text{ connexe} \Longrightarrow \operatorname{Hom}(\mathbf{1}_{X}, \mathbf{1}_{X}) = \mathbb{Q}\, \mathrm{id}_{\mathbf{1}_{X}}}\]

9) Filtration de \(\mathcal{M}^{+}(X)\) et \(\mathcal{M}(X)\)

titre de sa main, souligné, au milieu du feuillet 30

1°) Filtration par le poids

indices en bas […] \[\mathcal{M}^{+0}(X) \subset \mathcal{M}^{+1}(X) \subset \cdots \subset \mathcal{M}^{+i}(X) \subset \cdots\] filtration exhaustive de \(\mathcal{M}^{+}(X)\). [L'appartenance à \(\mathcal{M}^{+i}(X)\) se vérifie fibre par fibre, […] (géométriques si on veut) [et dans le cas où \(X\) de t.f. sur \(\mathbb{Z}\)] il suffit de vérifier en ses pts fermés. (Pour ceux-ci, il y a un critère par Frobenius, cf.

31Généraliser compatibilité avec \(\varprojlim\) des préschémas… plus bas).] \(\mathcal{M}^{i}(X)\) est « engendré » par les \(R^{i}f_{*}\) loc. pour […] L'appartenance à \(\mathcal{M}^{i}(X)\) […] de \(M|x\) implique l'appartenance Compatible avec \(f^{*}\), et l'appart. \(M|x \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{+i}(k(x)) \Longrightarrow \exists\, U \ni x\) voisinage de \(\bar{x}\), tel que \(M|U \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{+i}(U)\). Soit \(f : X \to Y\), alors \[R^{j}f_{!} : \mathcal{M}^{+i}(X) \to \mathcal{M}^{+i+j}(Y) ;\] l'exposant de \(R\) se lit mal ; le \(j\) est lu d'après le but de plus, \(\mathcal{M}^{+i}(k)\) (\(k\) un corps alg. clos) est « engendré » par les sous-espaces de \[R^{j}f_{!}(\struck{\mathbb{Z}}\, \mathbf{1}_{X})\] pour \(X\) si on veut projectif lisse de dim \(\leqslant j\) sur \(k\) indices en bas [au sens que tout \(M \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{i}(k)\) a une filtration dont les facteurs sont isomorphes à des tels sous-espaces]. « \(\mathcal{M}^{+i}(k)\) » est écrit par-dessus un \(X\) biffé

\(\mathcal{M}^{i}(X) \otimes \mathbb{Z}(-1)\) \[\left\{ \begin{array}{l} \mathcal{M}^{+i}(X) \otimes \mathcal{M}^{+k}(X) \subset \mathcal{M}^{+i+k}(X) \\ \mathbb{Z}(-1) \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{+2}(X) \end{array} \right.\] d'où \[\mathcal{M}^{+i}(X) \otimes \mathbb{Z}(-j) \subset \mathcal{M}^{+i+2j}(X) \qquad \text{pour } j \geqslant 0\]

32on a mieux : \[M \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{+i}(X) \Longleftrightarrow M(-j) \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{+i+2j}(X)\] De cette façon, la filtration de \(\mathcal{M}^{+}(X)\) par les \(\mathcal{M}^{+i}(X)\) (\(i \geqslant 0\)) peut se prolonger en une filtration de \(\mathcal{M}(X)\) par des \(\mathcal{M}^{i}(X)\) (\(i \in \mathbb{Z}\)) de telle façon que pour \(i \geqslant 0\), ce soit la filtration déjà \(\mathcal{M}(X)\) envisagée, et pour \(i\) quelconque, on définit \[M \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{i}(X) \Longleftrightarrow M(-j) \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{i+2j}(X)\] où on prend \(j\) assez grand pour que \(M(-j) \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{+}(X)\). On notera que \[\mathcal{M}^{+i}(X) = \mathcal{M}^{i}(X) \cap \mathcal{M}^{+}(X)\] si \(i \geqslant 0\), et pour tt \(i\) si on définit \[\mathcal{M}^{+i}(X) = \{0\} \struck{\mathcal{M}^{+}(X)} \quad \text{si } i < 0\] […] \(\mathcal{M}^{+}(X)\) […] dans […] par \(\mathcal{M}^{+i}(X)\) consiste […] indices en bas

On aura \[\begin{array}{rcl} \otimes \mathbb{Q}(-1) & : & \mathcal{M}^{i}(X) \overset{\text{équiv.}}{\simeq} \mathcal{M}^{i+2}(X) \\ \otimes \mathbb{Q}(j) & : & \mathcal{M}^{i}(X) \overset{\text{équiv.}}{\simeq} \mathcal{M}^{i-2j}(X) \end{array}\] les deux \(\mathbb{Q}\) sont écrits par-dessus une autre lettre, biffée ; l'exposant de la seconde ligne se lit \(i-2j\) d'après l'argument

33mais on fera (fait) attention que l'inclusion \[\begin{array}{l} \mathbb{Q}(-1) \otimes \mathcal{M}^{+i}(X) \hookrightarrow \mathcal{M}^{+(i+2)}(X) \qquad \text{plus gén.} \\ \mathbb{Q}(-j) \otimes \mathcal{M}^{+i}(X) \hookrightarrow \mathcal{M}^{+(i+2j)}(X) \end{array}\] est stricte en général, i.e. n'est pas une équivalence de catégories.

indices en bas Notons que \(\mathcal{M}^{+i}(X)\) est épaisse dans \(\mathcal{M}^{+j}(X)\) [elle est définie dans la catégorie], et de même \[\mathcal{M}^{i}(X) \text{ épaisse dans } \mathcal{M}^{j}(X) \qquad (i \leqslant j).\] Les quotients \(\mathcal{G}^{+}_{i}(X) = \mathrm{Gr}^{F}_{i}(\mathcal{M}^{+}(X)) \simeq \mathcal{M}^{+}_{i}(X)/\mathcal{M}^{+}_{i-1}(X)\) et \(\mathcal{G}_{i}(X) = \mathrm{Gr}^{F}_{i}(\mathcal{M}(X)) \simeq \mathcal{M}_{i}(X)/\mathcal{M}_{i-1}(X)\) sont fort intéressants.

Notons que les \(\mathcal{G}_{i}(X)\) sont tous, équiv. entre eux isomorphes par twisting \(\mathbb{Z}(-j)\) : \[\mathcal{G}_{i}(X) \simeq \mathcal{G}_{i+2j}(X) ,\] en particulier tous équiv. can. […] à \(\mathcal{G}_{0}(X)\). D'ailleurs \[\mathcal{G}^{+}_{i}(X) \subsetneq \mathcal{G}_{i}(X) \simeq \mathcal{G}_{0}(X)\] un tilde est écrit sous l'inclusion stricte : il faut lire « équivalente à une sous-catégorie », comme le dit l'ajout qui suit équiv. à une sous-catégorie pleine et épaisse de \(\mathcal{G}_{i}(X) \simeq \mathcal{G}_{0}(X)\).

34

b) Filtration par « le dimension type dimensionnel »

On pose pour \(i \geqslant 0\) \[D_{i}(\mathcal{M}^{+}(X)) = \struck{\mathcal{M}^{i}} \text{ sous-catégorie pleine}\] de \(\mathcal{M}^{+}(X)\) formée des objets qui se dévissent loc. étale (du moins fibre par fibre) en objets de la forme \[\struck{\ill{}} \; M(-j), \quad \text{avec } M \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{+i}(X), \; j \in \mathbb{Z},\ j \geqslant 0\] i.e. on prend (du moins pour \(X = \operatorname{Spec} K\) d'un corps) la filtration minimum qui majore celle par le poids, […] qui soit stable par \(\otimes \mathbb{Q}(-1)\), et épaisse. […] une note de la marge droite, écrite de bas en haut et en partie biffée, ne se lit pas

Les \(D_{i}(\mathcal{M}^{+}(X))\) sont stables par l'image inverse, et par l'image directe on a \[\begin{array}{l} R^{j}f_{!}(D_{i}(\mathcal{M}^{+}(X))) \subset D_{i+j}(\mathcal{M}^{+}(Y)) \\ R^{j}f_{*}(D_{i}(\mathcal{M}^{+}(X))) \subset D_{i+j}(\mathcal{M}^{+}(Y)) \quad \text{?} \end{array}\] le point d'interrogation de la seconde ligne est cerclé dans la marge cela distingue formellement les filtrations \(D_{i}(\mathcal{M})\) et \(\mathcal{M}_{i}\) ! cette note de la marge gauche est reliée par une flèche à la ligne de \(R^{j}f_{*}\) [On a seulement \(R^{j}f_{*}(\mathcal{M}^{+(i)}(X)) \subset \mathcal{M}^{+(i+2j)}(Y)\) !?]

On […] a : \[M \in \operatorname{Ob} D_{i}(\mathcal{M}^{+}(X)) \Longrightarrow M(-j) \in \operatorname{Ob} D_{i}(\mathcal{M}^{+}(X))\] pas \(D_{i+j}\) !! le \(D_i\) du second membre est écrit par-dessus un autre indice et cerclé, la flèche menant à la note « pas \(D_{i+j}\) !! » tout se passe […] en termes de la dim. de \(X\) ! et la filtration de \(\mathcal{M}^{+}(X)\) par les \(D_{i}(\mathcal{M}^{+}(X))\) s'étend en une filtration de \(\mathcal{M}(X)\) par des \(D_{i}(\mathcal{M}(X))\),

35induisant la filtration donnée, […] i.e. on a \[M \in \operatorname{Ob} D_{i}(\mathcal{M}(X)) \Longleftrightarrow M(-j) \in \operatorname{Ob} D_{i}(\mathcal{M}(X))\] pour \(j\) grand.

On a \(D_{i}(\mathcal{M}^{+}(X))/D_{i-1}(\mathcal{M}^{+}(X)) \xrightarrow{\ \approx\ } D_{i}(\mathcal{M}(X))/D_{i-1}(\mathcal{M}(X))\) \[D_{i}(\mathcal{M}(X)) \otimes D_{j}(\mathcal{M}(X)) \subset D_{i+j}(\mathcal{M}(X))\] (mais \(\mathbb{Z}(-j) \in \operatorname{Ob} D_{0}(\mathcal{M}(X))\) pour tt \(j\).) et de \(=\) en mettant des \(+\).

Enfin, on a \[\underline{\underline{\mathrm{Ext}}}^{i}(D_{j}(\mathcal{M}(X)), D_{k}(\mathcal{M}(X))) \subset D_{j+k}(\mathcal{M}(X))\] (pas de formule aussi simple en termes des \(\mathcal{M}_{\alpha}(X)\) !).

10) Motifs constants tordus. Anneaux \(M^{+}(X)\) et \(M(X)\)

titre de sa main, souligné en deux morceaux, au bas du feuillet 35

Soit \(\mathcal{M}^{+}(X)_{\mathrm{spec.}}\) la sous-catégorie de \(\mathcal{M}^{+}(X)\) formée des motifs effectifs constants tordus. [Par condition locale, qui se vérifie sur \(T_{\ell}(M)\), cf. No 8], et de même on définit \(\mathcal{M}(X)_{\mathrm{spec.}}\) N.A. par […] \(M\) et. Ainsi \[M \text{ ct tordu} \Longleftrightarrow M(j) \text{ ct tordu.}\] \(\mathcal{M}^{+}(X)_{\mathrm{spec.}}\) et \(\mathcal{M}(X)_{\mathrm{spec.}}\) sont des sous-catégories abéliennes stables par extensions, dont tt objet est de

36longueur finie. Elle est stable par \(\otimes\), sur cette catégorie les \(\mathrm{Ext}^{i}\) (\(i > 0\)) sont nuls, et la catégorie est aussi stable par \(\underline{\mathrm{Hom}}\) (cas de \(\mathcal{M}(X)_{\mathrm{spec.}}\)). On a une « catégorie tensorielle sur \(\mathbb{Q}\) ».

Le \(\lambda\)-anneau défini par cette catégorie est noté \(M^{+}(X)\) resp. \(M(X)\).

Notons que \(\xi = \mathrm{cl}\, \struck{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}_{X}(-1)\) est un élément de \(M^{+}(X)\), et on a \[M(X) = M^{+}(X)_{\xi} = M^{+}(X)\bigl[\tfrac{1}{\xi}\bigr] .\] En fait, \(\xi\) est non diviseur de \(0\) : \(M^{+}(X)\) comme \(\mathbb{Z}\)-module admet comme base les classes d'[…] objets simples de \(\mathcal{M}^{+}(X)\), et \(x \mapsto \xi \cdot x\) dans \(M^{+}(X)\) est défini par une application injective sur l'ens. de ces objets simples de \(\mathcal{M}^{+}(X)\). [N.B. \(M\) simple \(\Longleftrightarrow\) \(M\) simple dans \(\mathcal{M}(X)\) \(\Longleftrightarrow\) \(M(-1)\) simple, comme il résulte du fait que \(\mathcal{M}^{+}(X)\) est épaisse dans \(\mathcal{M}(X)\) et \(\otimes \mathbb{Z}(-1)\) une autoéquivalence]

37Si \(\Sigma^{+}(X) =\) ensemble des classes d'objets simples de \(\mathcal{M}^{+}(X)\), \[\Sigma(X) = \varinjlim_{\text{par } e \mapsto \xi e} \Sigma^{+}(X) ,\] on aura \(M(K)\) un diagramme comm. :

\begin{tikzcd}
  M^{+}(X) \arrow[d, hook] & = & \mathbb{Z}^{(\Sigma^{+}(X))} \arrow[d, hook] \\
  M(X) & = & \mathbb{Z}^{(\Sigma(X))}
\end{tikzcd}

Alors \(\mathcal{M}^{+}_{i}(X)\) se définit en termes d'une partie \[\Sigma^{+}_{(i)}(X) \quad \text{de} \quad \Sigma_{i}(X),\] d'où \[M^{+}_{i}(X) = \mathbb{Z}^{\Sigma^{+}_{(i)}(X)}\] ce qui donne une filtration croissante sur l'anneau \(M^{+}(X)\), et une filtration analogue sur \(M(X)\).

En fait, posant \[\Sigma^{+}_{i}(X) = \Sigma^{+}_{(i)}(X) - \Sigma^{+}_{(i-1)}(X)\] on aura mêmeil écrit « = » pour « même » \[\Sigma^{+}_{i}(X) \cdot \Sigma^{+}_{j}(X) \subset \mathbb{Z}^{\Sigma^{+}_{i+j}(X)}\] donc \(M^{+}(X)\) devient un anneau

38gradué [i.e. à degrés \(\geqslant 0\)], et \(\xi\) est de degré 1. De cette façon, \(M(X)\) devient gradué [i.e. à degrés de tout signe, \(\xi\) étant un élément inversible de degré 1]. Notons que \[M_{0}(X) \simeq \mathbb{Z}^{\Sigma_{0}(X)}\] avec \[\Sigma_{0}(X) = \varinjlim_{\text{par } x \mapsto \xi x} \Sigma^{+}_{i}(X)\] et \[\begin{array}{l} M^{\text{pair}}(X) = \underset{\text{de d° 0}}{M_{0}(X)}[\underset{\text{de degré } 1}{\xi}] \\ M^{\text{impair}}(X) = \underline{M}_{1}(X) \otimes_{M_{0}(X)} M_{0}(X)[\xi] \end{array}\] la seconde ligne est surchargée de petits ajouts au-dessus du produit tensoriel, qui ne se lisent pas ; le \(M_1\) est souligné donc la structure d'anneau gradué de \(M(X)\) est déterminée en termes de la structure d'anneau de \(M_{0}(X)\), et la structure de Module \(M_{1}(X)\) sur \(M_{0}(X)\), et l'application de mult. \[M_{1}(X) \otimes_{M_{0}(X)} M_{1}(X) \to M_{0}(X)\] définie par \(u, v \mapsto \xi^{-1}uv\).

D'autre part, les objets de \(D_{i}(\mathcal{M}^{+}(X))\) sont […] ceux dont la classe dans \(M^{+}(X)\) sont \(M^{+}(X)\) sont dans \[\mathbb{Z}^{D_{i}(\Sigma^{+}(X))}\] où \[\begin{aligned} D_{i}(\Sigma^{+}(X)) &= \coprod_{j \geqslant 0} \xi^{j}\, \Sigma^{+}_{(i)}(X) \\ &= \coprod_{\substack{j \geqslant 0 \\ 0 \leqslant k \leqslant i}} \xi^{j}\, \Sigma^{+}_{k}(X) \end{aligned}\] un premier symbole après le signe \(=\) est biffé ; à droite des deux lignes, derrière une accolade, un ajout se lit à peu près « \(\xi^{j}\Sigma^{+}_{[j]}(X)\) », peut-être biffé

39Posons \[\struck{\Sigma}\; \sigma_{i}(X) = \Sigma^{+}_{i}(X) - \bigcup_{\alpha \geqslant 0} \xi^{\alpha}\, \Sigma^{+}_{i-2\alpha}(X)\] sic pour \(\alpha \geqslant 0\) : pour \(\alpha = 0\) la réunion contiendrait \(\Sigma^{+}_{i}(X)\) tout entier ; un indice biffé est écrit sous la réunion alors on a une partition (au sens large) \[\Sigma_{i}(X) = \sigma_{i}(X) \cup \xi\, \sigma_{i-2}(X) \cup \cdots \cup \left\{ \begin{array}{l} \xi^{i/2}\, \sigma_{0}(X) \\ \xi^{\frac{i-1}{2}}\, \sigma_{1}(X) \end{array} \right.\] suivant la parité de \(i\) éléments primitifs de poids \(i\) la note cerclée « éléments primitifs de poids \(i\) » est reliée par un trait à \(\sigma_i(X)\) ; la note « suivant la parité de \(i\) », à droite de l'accolade, porte des traits qui la biffent peut-être et on a donc \[D_{i}(\Sigma^{+}(X)) \cap \Sigma^{+}_{j}(X) = \begin{cases} \Sigma^{+}_{j}(X) & \text{si } j \leqslant i \\ \xi^{j-i}\, \sigma_{i}(X) \cup \xi^{j-i+1}\, \sigma_{i-1}(X) \cup \cdots \cup \xi^{j}\, \sigma_{0}(X) & \text{si } j > i \end{cases}\] Ainsi \[\begin{aligned} D_{i}(M^{+}(X)) / D_{i-1}(M^{+}(X)) &\simeq \mathbb{Z}^{D_{i}(\Sigma^{+}(X)) - D_{i-1}(\Sigma^{+}(X))} \\ &\simeq \mathbb{Z}^{\sigma_{i}(X) + \xi \sigma_{i-2}(X) + \xi^{2} \sigma_{i-4}(X) + \cdots} \end{aligned}\] \(\mathbb{Z}^{\sigma_{i}(X)}\)

N.B. Du pt de vue de la structure additive, des deux filtrations, et de l'opération \(\xi \cdot\), \(M^{+}(X)\) et \(M(X)\) sont complètement déterminés par la connaissance de la famille \((\sigma_{i}(X))_{i \geqslant 0}\) des ens. \(\sigma_{i}(X)\).

Pour la structure multiplicative il faut connaître de plus les applications \[\sigma_{i}(X) \times \sigma_{j}(X) \longrightarrow \mathbb{Z}^{\left(\coprod_{k \leqslant i+j-2} \sigma_{k}(X)\right)}\] \(u, v \mapsto uv\), défini par l'indice sous le coproduit se lit mal

40Nous allons expliciter plus bas la détermination de \(\sigma^{0}(X)\) et \(\sigma^{1}(X)\).

Il y a lieu également de préciser les opérations \(\vee\) et \(\lambda^{i}\). Pour la première, notons que \[\struck{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}(-i)\, [\mathcal{M}^{+}_{i}(X)]^{\vee} \subset \mathcal{M}^{+}_{i}(X)\] d'où on conclut de proche en proche que \(x \mapsto \check{x}\, \xi^{i}\) définit sur \(\sigma_{i}\) une involution. Mais en fait il résultera de la théorie projective que cette dernière est l'identité, i.e. l'opération \(\vee\) dans \(M_{i}(X)\) […] n'est autre que \(x \mapsto \xi^{-i} x\), […]

Quant aux opérations \(\lambda^{i}\), leur détermination devrait se faire en termes de groupes finis d'opérateurs (tels les \(\mathfrak{S}_{p}\) —). le paragraphe 10) s'arrête ici ; le bas du feuillet est vierge