Fonds Grothendieck, cote n° 12, pages 21–40 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-23)Opus 5.5 (claude-opus-5-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-09-25
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https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)12
Généralités (sous-groupes de Galois motiviques) (1964 ?) : notes manuscrites (s.d.), tapuscrit (s.d.)
Pages 21 à 40 de la cote, dans la
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page) ; lot 2 de vingt pages.
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mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.1964-[vers 1971]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/12.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
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l'université : la page n des archivistes
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facs de chaque
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conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
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https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurPremière passe de transcription.Export TEI depuis la source LaTeX.
Motifs
titre de sa main, souligné, en tête du feuillet 22. La rédaction qui
suit n'est pas paginée par lui ; ses paragraphes numérotés 1) à 10)
reprennent un à un les dix premiers points de la table « Motifs » du feuillet
20 (lot 1)
1) À tout préschéma noeth. (éventuellement de type fini sur un anneau
noethérien) X est associée une catégorie abélienne\mathcal{M}^{+}(X), dite catégorie des motifs effectifs sur X. C'est une
\mathbb{Q}-catégorie de \mathbb{Q}-modules abélienne, i.e. pour
tt M \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{+}(X), et n \in \mathbb{Z},
n \neq 0, n\, \mathrm{id}_{M} est un isom de M. De plus,
\mathcal{M}^{+}(X) est muni d'un produit tensoriel commutatif et unitaire
(exact à droite), l'unité est notée \mathbf{1}_{X} ou \mathbb{Q}_{X}(0).
On peut en tirer les constructions des foncteurs
\wedge^{i} M, etc.…
On considère aussi la catégorie dérivée bornée \mathrm{D}^{b}(\mathcal{M}^{+}(X))
de \mathcal{M}^{+}(X). Le produit tensoriel est étendu en un bifoncteur
M \overset{L}{\otimes} N pour M, N \in \mathrm{D}^{b}(\mathcal{M}^{+}(X)).
2) Soit f : X \to Y un morphisme de préschémas noeth., il
lui est associé un foncteur exactf^{*} : \mathcal{M}^{+}(Y) \to \mathcal{M}^{+}(X),
d'où
Lf^{*} : \mathrm{D}^{b}(\mathcal{M}^{+}(Y)) \to \mathrm{D}^{b}(\mathcal{M}^{+}(X)),
compatible avec \otimes. (Cond. de transitivité.)
Si f est de type fini, et propre ouY excellent, on a
défini de même un foncteur
Rf_{*} : \mathrm{D}^{b}(\mathcal{M}^{+}(X)) \to \mathrm{D}^{b}(\mathcal{M}^{+}(Y))
Considérer aussi le formulaire de dualité entre Rf_{*},
f^{*}, et les foncteurs f^{!}, Rf_{!} et leurs relations,
de dualité et enfin les formules d'Alexander reliant tous
ces foncteurs —
satisfaisant une formule de transitivité, une formule de projection
Rf_{*}(M \otimes Lf^{*}(N)) \simeq Rf_{*}(M) \otimes N .
3) Supposons X = \varprojlim X_{i}, système projectif filtrant à morph. affines.
Alors pour les foncteurs images inverses, on a
\mathcal{M}^{+}(X) \simeq \varinjlim \mathcal{M}^{+}(X_{i}) .
En particulier, si X est de type fini sur S = \operatorname{Spec}(A),
alors X est limite de préschémas X_{i} de type fini sur \mathbb{Z}, et
la détermination de \mathcal{M}^{+}(X), avec ses structures déjà envisagées
est dit ramenée au cas des préschémas de type fini.
De même, si (S_{i}) est un système projectif filtrant à morph. affines,
S = \varprojlim S_{i}, et si X, Y de t.f. sur S,
définis par X_{i}, (Y_{i}) de la façon habituelle, si
M_{i_{0}} \in \operatorname{Ob} \mathrm{D}^{b}(\mathcal{M}^{+}(X_{i_{0}})),
d'où M_{i}, M, on a pour f_{i} : X_{i} \to Y_{i} la relation
Rf_{*}(M) = \varinjlim v_{i}^{*}(Rf_{i*}(M_{i}))
où v_{i} : Y \to Y_{i} est le morphisme canonique.
4) Soit \ell \in \mathbb{P} tel que \ell \mathbf{1}_{X} \in \Gamma(X,
\mathcal{O}_{X}) soit inversible. Alors on a un foncteur
T_{\ell} = T_{\ell}^{(X)} : \mathcal{M}^{+}(X) \to \mathcal{M}_{\ell}(X)
où \mathcal{M}_{\ell}(X) est la catégorie des « \mathbb{Q}_{\ell}-modules
constructibles sur X », i.e. la catégorie déduite de la catégorie des
« systèmes projectifs \ell-adiques de faisceaux de \ell-torsion
constructibles » en négligeant les faisceaux de torsion. Le foncteur
T_{\ell} est compatible avec \otimes et unités, exact et
fidèle (mais non pleinement fidèle), compatible avec les
compatibilité avec f^{!}, Rf_{!}, avec etc.…changement de basef^{*}, et compatible également avecRf_{*}. [N.B. T_{\ell} s'étend évidemment en un foncteur
\mathrm{D}^{b}(\mathcal{M}(X)) \to \mathrm{D}^{b}(\mathcal{M}_{\ell}(X)).]
\{La détermination des T_{\ell} est encore ramenée au cas où X est de
t.f. sur \mathbb{Z}.
Si X est un \mathbb{Q}-préschéma de type fini, on a aussi un foncteur
T_{\infty} = T_{\infty}^{(X)} : \mathrm{D}^{b}(\mathcal{M}(X)) \to \mathcal{M}_{\infty}(X)
où \mathcal{M}_{\infty}(X) est la catégorie des Modules cohérents. Ce foncteur T_{\infty} est encore exact et
fidèle, compatible avec f^{*} et Rf_{*}.
tout ce paragraphe sur T_{\infty} est encadré puis biffé de deux
diagonales ; « de type fini » est ajouté au-dessus d'un mot bifféNB. Ceci exclut déjà la chose triviale
\mathcal{M}^{+}(X) = 0 pour tt X, car il faudrait que
R^{*}f_{*}(\mathbb{Z}_{\ell}) = 0 pour f, \ell, ce qui n'est pas
vrai en général…
Signalons aussi la compatibilité de T_{\ell} avec l'isom. de
Künneth.
5) Pour tout X, on a un élément canonique
\mathbb{Q}_{X}(-1) \quad\text{ou}\quad \mathbf{1}_{X}(-1) \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{+}(X)
dont la formation est compatible avec changement de base (il suffit donc de
le considérer sur \operatorname{Spec} \mathbb{Z}), avec des isom
T_{\ell}(\mathbb{Q}(-1)) \simeq \mathbb{Q}_{\ell}(-1)
= \underbrace{T_{\ell}(\mathbb{G}_{m})^{-1}}_{\text{Module de Tate inverse de } \mathbb{G}_{m}}
et le cas échéant (X sur \mathbb{Q}). On peut définir
\mathbb{Q}(-1) comme R^{2} f_{*}(\struck{\mathbb{Z}}\, \mathbf{1}_{\mathbb{P}^{1}_{X}}),
où f : \mathbb{P}^{1}_{X} \to X est la projection canonique. Posant
\mathbb{Q}(-n) = \mathbb{Q}(-1)^{\otimes n} pour n \geqslant 0 on peut
prouver, à l'aide des axiomes déjà posés, que si f : X \to S est lisse
projectif à fibres géom. connexes et non vides, partout de dim
relative d, alors
R^{2d} f_{*}(\mathbf{1}_{X}) \simeq \mathbb{Z}_{S}(-d)
et si on oublie l'hyp « projectif » mais seulement f quasi-projectif, on
trouve encore
R^{2d} f_{!}(\mathbf{1}_{X}) \simeq \mathbb{Z}_{S}(-d)
On veut exige de plus compatibilité, que si X/S est lisse
et Y \overset{i}{\subset} X est lisse sur S, de codim d dans X,
l'isom
Ri^{!}(\mathbf{1}_{X}) \simeq \mathbb{Q}_{Y}(-d)
compatible avec les isom déjà connus du point de vue \ell-adique —.
6) Chaque \mathcal{M}(X) est plongé dans Le foncteur
M \mapsto M(-1) = M \otimes \mathbb{Q}(-1) de \mathcal{M}^{+}(X) dans
lui-même est pleinement fidèle mais pas une équivalence en général. Il
y a donc une façon canonique d'élargir\mathcal{M}^{+}(X) en
\mathcal{M}(X) de telle façon que \otimes \mathbb{Q}(-1) devienne une
équivalence : en prenant la pseudo-limite inductive de des
\mathcal{M}^{+} \xrightarrow{\otimes \mathbb{Q}(-1)} \mathcal{M}^{+}
\xrightarrow{\otimes \mathbb{Q}(-1)} \mathcal{M}^{+} \to \cdots
On prolonge à \mathcal{M}(X) la structure \otimes, dont \mathbb{Q}(-1)
devient inversible, d'inverse \mathbb{Q}(1), et tt élément de
\mathcal{M}(X) peut s'écrire,
\mathcal{M}^{+}(X) est sous-catégorie pleine épaisse
abélienne de \mathcal{M}(X) ;
n assez grand, sous la forme M_{n}(n), avec
M_{n} \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{+}(X) [pour n fixé, M_{n} est
bien déterminé par M à isom unique près, et
(M_{n}(n) \simeq M_{n+1}(n+1)) \Leftrightarrow (M_{n+1} \simeq M_{n}(-1)) ;
on retrouve la description de \mathcal{M}(X) en termes de \varinjlim.]. T_{\ell} s'étend à \mathcal{M}(X), de façon unique à
isom unique près, compatible avec \otimes.
Les foncteurs
7) Dans \mathcal{M}(X), on a aussi des foncteurs
\underline{\mathrm{Hom}}, liés à \otimes par la formule habituelle
\mathrm{Hom}(P \otimes Q, R) \simeq \mathrm{Hom}(P, \underline{\mathrm{Hom}}(Q, R))
\simeq \mathrm{Hom}(Q, \underline{\mathrm{Hom}}(P, R))
et satisfaisant qui s'étendent en
R\underline{\mathrm{Hom}}(P, Q) \qquad P, Q \in \operatorname{Ob} \mathrm{D}^{b}\mathcal{M}(X)
satisfaisant à la relation analogue relativement à \overset{L}{\otimes}.
La formation des \underline{\mathrm{Hom}} et R\underline{\mathrm{Hom}} est
compatible avec les T_{\ell}.
les soulignements des Hom de la formule ne se distinguent pas tous ;
on a souligné les Hom internes
N.B. [N.B. On retrouve la formation des f^{!} —]
8) Soient \ell, \ell' \in \mathbb{P} premiers aux car. rés. de X. Soit
M \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{+}(X). On veut que
\begin{array}{c}
T_{\ell}(M) \text{ faisceau constant tordu} \\
\Updownarrow \\
T_{\ell'}(M) \text{ faisceau constant tordu}
\end{array}
et que sous ces conditions, T_{\ell}(M) et T_{\ell'}(M) doivent avoir
même rang en chaque pt.
Pour vérifier l'égalité des rangs, on est ramené au cas où X est le spectre
d'un corps (qu'on peut supposer si on veut, alg. clos). Plus généralement,
si u est un endomorphisme de M, et (X = \operatorname{Spec} k, k un
corps), on en déduit
T_{\ell}(u) \in \operatorname{End} T_{\ell}(M), \qquad
T_{\ell'}(u) \in \operatorname{End}(T_{\ell'}(M))
et on désire que
\boxed{\operatorname{Tr} T_{\ell}(u) = \operatorname{Tr} T_{\ell'}(u) \in \mathbb{Q}}
d'où, remplaçant u par \wedge^{n} u, la formule
\boxed{P(T_{\ell}(u), t) = P(T_{\ell'}(u), t) \in \mathbb{Q}[t]}
[où il s'agit des polynômes caractéristiques]. Pour ceci, notons que
u \in \operatorname{Hom}(\mathbf{1}_{X}, \underline{\mathrm{Hom}}(M, M))
= \operatorname{Hom}(\mathbf{1}_{X}, M^{\vee} \otimes M)
et on a un morphisme contractionM^{\vee} \otimes M \to \mathbf{1}_{X}à inclure dans le formalisme tensoriel
d'où un c(u) \in \operatorname{Hom}(\mathbf{1}_{X}, \mathbf{1}_{X}) et
\operatorname{Tr} T_{\ell}(u) = T_{\ell}(c(u)) \in \mathbb{Q}_{\ell} .
et il suffit de savoir :
\boxed{X \text{ connexe} \Longrightarrow \operatorname{Hom}(\mathbf{1}_{X}, \mathbf{1}_{X}) = \mathbb{Q}\, \mathrm{id}_{\mathbf{1}_{X}}}
9) Filtration de \mathcal{M}^{+}(X) et \mathcal{M}(X)
titre de sa main, souligné, au milieu du feuillet 30
1°) Filtration par le poids
indices en bas\mathcal{M}^{+0}(X) \subset \mathcal{M}^{+1}(X) \subset \cdots \subset \mathcal{M}^{+i}(X) \subset \cdots
filtration exhaustive de \mathcal{M}^{+}(X). [L'appartenance à
\mathcal{M}^{+i}(X) se vérifie fibre sur \mathbb{Z} par fibre,
(géométriques si on veut) [et dans le cas où X de t.f.] il
suffit de vérifier en ses pts fermés. (Pour , il y a un critère par
Frobenius, cf.
Généraliser compatibilité avec \varprojlim des
préschémas…
plus bas).] \mathcal{M}^{i}(X) est « engendré » par les R^{i}f_{*}loc. pour L'appartenance à \mathcal{M}^{i}(X) de
M|x implique l'appartenance compatible f^{*}, et
l'appart.M|x \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{+i}(k(x))
\Longrightarrow \exists\, U \ni x voisinage de \bar{x}, tel que
M|U \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{+i}(U). Soit f : X \to Y, alors
R^{j}f_{!} : \mathcal{M}^{+i}(X) \to \mathcal{M}^{+i+j}(Y) ;l'exposant de R se lit mal ; le j est lu d'après le but
de plus, \mathcal{M}^{+i}(k) (k un corps alg. clos) est « engendré » par
les sous-quotients de
R^{i}f_{!}(\mathbb{Z} \cdot \mathbf{1}_{X})
pour X si on veut projectif lisse de dim \leqslant j sur kindices en bas
[on sait que toutM \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{i}(k) a une
filtration dont les facteurs sont isomorphes à des tels sous-quotients].
« \mathcal{M}^{+i}(k) » est écrit par-dessus un X biffé
on a mieux :
M \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{+i}(X) \Longleftrightarrow
M(-j) \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{+i+2j}(X)
De cette façon, la filtration de \mathcal{M}^{+}(X) par les
\mathcal{M}^{+i}(X) (i \geqslant 0) permet de prolonger en une filtration
de \mathcal{M}(X) par des \mathcal{M}^{i}(X) (i \in \mathbb{Z}) de telle
façon que pour i \geqslant 0, on ait la filtration déjà
\mathcal{M}(X) envisagée, et pour i quelconque, on définit
M \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{i}(X) \Longleftrightarrow
M(-j) \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{i+2j}(X)
si on prend j assez grand tel que
M(-j) \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{+}(X). On notera que
\mathcal{M}^{+i}(X) = \mathcal{M}^{i}(X) \cap \mathcal{M}^{+}(X)
si i \geqslant 0, et pour tt i si on définit
\mathcal{M}^{+i}(X) = \{0\} \struck{\mathcal{M}^{+}(X)} \quad \text{si } i < 0\mathcal{M}^{+}(X) dans par \mathcal{M}^{+i}(X)consisteindices en bas
On aura
\begin{array}{rcl}
\otimes \mathbb{Q}(-1) & : & \mathcal{M}^{i}(X) \overset{\text{équiv.}}{\simeq} \mathcal{M}^{i+2}(X) \\
\otimes \mathbb{Q}(j) & : & \mathcal{M}^{i}(X) \overset{\text{équiv.}}{\simeq} \mathcal{M}^{i-2j}(X)
\end{array}les deux \mathbb{Q} sont écrits par-dessus une autre lettre, biffée ;
l'exposant de la seconde ligne se lit i-2j d'après l'argument
mais par l'inclusion
\begin{array}{l}
\mathbb{Q}(-1) \otimes \mathcal{M}^{+i}(X) \hookrightarrow \mathcal{M}^{+(i+2)}(X) \qquad \text{plus gén.} \\
\mathbb{Q}(-j) \otimes \mathcal{M}^{+i}(X) \hookrightarrow \mathcal{M}^{+(i+2j)}(X)
\end{array}
est stricte en général, i.e. n'est pas une équivalence de catégories.
indices en bas
Notons que \mathcal{M}^{+i}(X) est épaisse dans \mathcal{M}^{+j}(X)[elle est définie dans la catégorie], et de même
\mathcal{M}^{i}(X) \text{ épaisse dans } \mathcal{M}^{j}(X) \qquad (i \leqslant j).
Les quotients
\mathcal{G}^{+}_{i}(X) = \mathrm{Gr}^{F}_{i}(\mathcal{M}^{+}(X)) \simeq
\mathcal{M}^{+}_{i}(X)/\mathcal{M}^{+}_{i-1}(X) et
\mathcal{G}_{i}(X) = \mathrm{Gr}^{F}_{i}(\mathcal{M}(X)) =
\mathcal{M}_{i}(X)/\mathcal{M}_{i-1}(X) sont fort intéressants.
Notons que les \mathcal{G}_{i}(X) sont , équiv. entre
euxisomorphes par twisting \mathbb{Z}(-j) :
\mathcal{G}_{i}(X) \simeq \mathcal{G}_{i+2j}(X) ,
on équiv. can. à \mathcal{G}_{0}(X).
D'ailleurs
\mathcal{G}^{+}_{i}(X) \subsetneq \mathcal{G}_{i}(X) \simeq \mathcal{G}_{0}(X)un tilde est écrit sous l'inclusion stricte : il faut lire
« équivalente à une sous-catégorie », comme le dit l'ajout qui suit
équiv. à une sous-catégorie pleine et épaisse de
\mathcal{G}_{i}(X) \simeq \mathcal{G}_{0}(X).
b) Filtration par « le dimension type dimensionnel »
On pose pour i \geqslant 0D_{i}(\mathcal{M}^{+}(X)) = \struck{\mathcal{M}^{i}} \text{ sous-catégorie pleine}
de \mathcal{M}^{+}(X) formée des objets qui se loc. étale [(dans
, fibre par fibre)] objets de la forme
\struck{\ill{}} \; M(-j), \quad \text{avec } M \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{+i}(X), \; j \in \mathbb{Z},\ j \geqslant 0
i.e. on prend () la filtration minimale qui majore celle par le poids,
qui soit stable par \otimes \mathbb{Q}(-1), et
épaisse.
une note de la marge droite, écrite de bas en haut et en partie biffée,
ne se lit pas
Les D_{i}(\mathcal{M}^{+}(X)) sont stables par l'image inverse, et par
l'image directe on a
\begin{array}{l}
R^{j}f_{!}(D_{i}(\mathcal{M}^{+}(X))) \subset D_{i+j}(\mathcal{M}^{+}(Y)) \\
R^{j}f_{*}(D_{i}(\mathcal{M}^{+}(X))) \subset D_{i+j}(\mathcal{M}^{+}(Y)) \quad \text{?}
\end{array}le point d'interrogation de la seconde ligne est cerclé dans la marge formellement les filtrations D_{i}(\mathcal{M}) et
\mathcal{M}_{i} !cette note de la marge gauche est reliée par une flèche à la ligne de
R^{j}f_{*}
[On a seulementR^{j}f_{*}(\mathcal{M}^{+(i)}(X)) \subset \mathcal{M}^{+(i+2j)}(Y) !?]
On a :
M \in \operatorname{Ob} D_{i}(\mathcal{M}^{+}(X)) \Longrightarrow
M(-j) \in \operatorname{Ob} D_{i}(\mathcal{M}^{+}(X))pas D_{i+j} !!le D_i du second membre est écrit par-dessus un autre indice et
cerclé, la flèche menant à la note « pas D_{i+j} !! »tout se passe en termes de la dim. de X !
et la filtration de \mathcal{M}^{+}(X) par les D_{i}(\mathcal{M}^{+}(X))
s'étend en une filtration de \mathcal{M}(X) par des D_{i}(\mathcal{M}(X)),
en utilisant la filtration donnée, i.e. on a
M \in \operatorname{Ob} D_{i}(\mathcal{M}(X)) \Longleftrightarrow
M(-j) \in \operatorname{Ob} D_{i}(\mathcal{M}(X))
pour jqui.
On a
D_{i}(\mathcal{M}^{+}(X))/D_{i-1}(\mathcal{M}^{+}(X)) \xrightarrow{\ \approx\ } D_{i}(\mathcal{M}(X))/D_{i-1}(\mathcal{M}(X))D_{i}(\mathcal{M}(X)) \otimes D_{j}(\mathcal{M}(X)) \subset D_{i+j}(\mathcal{M}(X))
(mais \mathbb{Z}(-j) \in \operatorname{Ob} D_{0}(\mathcal{M}(X)) pour tt j.)
et de = en mettant des +.
Enfin, on a
\underline{\underline{\mathrm{Ext}}}^{i}(D_{j}(\mathcal{M}(X)), D_{k}(\mathcal{M}(X))) \subset D_{j+k}(\mathcal{M}(X))
(par une formule aussi simple en termes des \mathcal{M}_{\alpha}(X) !).
10) Motifs constants tordus. Anneaux M^{+}(X) et M(X)
titre de sa main, souligné en deux morceaux, au bas du feuillet 35
Soit \mathcal{M}^{+}(X)_{\mathrm{spec.}} la sous-catégorie de
\mathcal{M}^{+}(X) formée des motifs effectifs constants tordus.
[Par condition locale, qui se vérifie sur T_{\ell}(M),
cf. No 8], et de même on définit \mathcal{M}(X)_{\mathrm{spec.}}N.A. par M et. AinsiM \text{ est tordu} \Longleftrightarrow M(j) \text{ est tordu.}\mathcal{M}^{+}(X)_{\mathrm{spec.}} et \mathcal{M}(X)_{\mathrm{spec.}}
sont des sous-catégories abéliennesstables parextensions, dont tt objet est de
longueur finie. Elle est stable par \otimes, cette catégorie
les \mathrm{Ext}^{i} (i > 0) sont nuls, et la catégorie est
aussi stable par \underline{\mathrm{Hom}} (cas de
\mathcal{M}(X)_{\mathrm{spec.}}). C'est une « catégorie tensorielle sur
\mathbb{Q} ».
Le \lambda-anneau défini par cette catégorie est noté M^{+}(X)
resp. M(X).
Notons que \xi = \mathrm{cl}\, \struck{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}_{X}(-1) est un
élément de M^{+}(X), et on a
M(X) = M^{+}(X)_{\xi} = M^{+}(X)\bigl[\tfrac{1}{\xi}\bigr] .
En fait, \xi est non diviseur de 0 : M^{+}(X) est un \mathbb{Z}-module
libre admettant comme base les classes d' objets
simples de \mathcal{M}^{+}(X), et x \mapsto \xi \cdot x dans
M^{+}(X) est défini par une application injective des objets
simples de \mathcal{M}^{+}(X). [N.B. M simple \LongleftrightarrowM
simple dans \mathcal{M}(X)\LongleftrightarrowM(-1) simple, comme il
résulte que \mathcal{M}^{+}(X) est épaisse dans \mathcal{M}(X) et
\otimes \mathbb{Z}(-1) une autoéquivalence]
Si \Sigma^{+}(X) = ensemble des classes d'objets simples de
\mathcal{M}^{+}(X),
\Sigma(X) = \varinjlim_{\text{par } e \mapsto \xi e} \Sigma^{+}(X) ,
on a M(K) un diagramme :
Alors \mathcal{M}_{i}(X) se définit en termes \Sigma^{+}_{(i)}(X) \quad \text{et} \quad \Sigma_{i}(X),
d'une partie , d'où
M^{+}_{i}(X) = \mathbb{Z}^{\Sigma^{+}_{(i)}(X)}
ce qui donne une filtration croissante sur l'anneau M^{+}(X), et une
filtration analogue sur M(X).
En fait, posant
\Sigma^{+}_{i}(X) = \Sigma^{+}_{(i)}(X) - \Sigma^{+}_{(i-1)}(X)
on aura \Sigma^{+}_{i}(X) \cdot \Sigma^{+}_{j}(X) \subset \mathbb{Z}^{\Sigma^{+}_{i+j}(X)}
donc M^{+}(X) devient un anneau
gradué [i.e. à degrés \geqslant 0], et \xi est de degré 1. De cette
façon, M(X) devient gradué [i.e. à degrés de tout signe, \xi étant un
élément inversible de degré 1]. Notons que
M_{0}(X) \simeq \mathbb{Z}^{\Sigma_{0}(X)}
avec
\Sigma_{0}(X) = \varinjlim_{\text{par } x \mapsto \xi x} \Sigma^{+}_{i}(X)
et
\begin{array}{l}
M^{\text{pair}}(X) = M_{0}(X)[\xi] \qquad (\xi \text{ de degré } 1) \\
M^{\text{impair}}(X) = \underline{M}_{1}(X) \otimes_{M_{0}(X)} M_{0}(X)[\xi]
\end{array}la seconde ligne est surchargée de petits ajouts au-dessus du produit
tensoriel, qui ne se lisent pas ; le M_1 est soulignédonc la structure d'anneau gradué de M(X) est déterminée en
termes de la structure d'anneau de M_{0}(X), et la structure de
Module M_{1}(X) sur M_{0}(X), et l'application de mult.
M_{1}(X) \otimes_{M_{0}(X)} M_{1}(X) \to M_{0}(X)
définie par .
D'autre part, les objets de D_{i}(\mathcal{M}^{+}(X)) sont
ceux dont la classe dans M^{+}(X)
sontM^{+}(X) sont dans
\mathbb{Z}^{D_{i}(\Sigma^{+}(X))}
où
\begin{aligned}
D_{i}(\Sigma^{+}(X)) &= \coprod_{j \geqslant 0} \xi^{j}\, \Sigma^{+}_{(i)}(X) \\
&= \coprod_{\substack{j \geqslant 0 \\ 0 \leqslant k \leqslant i}} \xi^{j}\, \Sigma^{+}_{k}(X)
\end{aligned}un premier symbole après le signe = est biffé ; à droite des deux
lignes, derrière une accolade, un ajout se lit à peu près
« \xi^{j}\Sigma^{+}_{[j]}(X) », peut-être biffé
Posons
\struck{\Sigma}\; \sigma_{i}(X) = \Sigma^{+}_{i}(X) - \bigcup_{\alpha \geqslant 0} \xi^{\alpha}\, \Sigma^{+}_{i-2\alpha}(X)sic pour \alpha \geqslant 0 : pour \alpha = 0 la réunion contiendrait
\Sigma^{+}_{i}(X) tout entier ; un indice biffé est écrit sous la réunion
(donc on a une partition (au sens large))
\Sigma_{i}(X) = \sigma_{i}(X) \cup \xi\, \sigma_{i-2}(X) \cup \cdots \cup
\left\{
\begin{array}{l}
\xi^{i/2}\, \sigma_{0}(X) \\
\xi^{\frac{i-1}{2}}\, \sigma_{1}(X)
\end{array}
\right.suivant la parité de iéléments primitifs de poids ila note cerclée « éléments primitifs de poids i » est reliée par un
trait à \sigma_i(X) ; la note « suivant la parité de i », à droite de
l'accolade, porte des traits qui la biffent peut-être
et on a donc
D_{i}(\Sigma^{+}(X)) \cap \Sigma^{+}_{j}(X) =
\begin{cases}
\Sigma^{+}_{j}(X) & \text{si } j \leqslant i \\
\xi^{j-i}\, \sigma_{i}(X) \cup \xi^{j-i+1}\, \sigma_{i-1}(X) \cup \cdots \cup \xi^{j}\, \sigma_{0}(X) & \text{si } j > i
\end{cases}
Ainsi
\begin{aligned}
D_{i}(M^{+}(X)) / D_{i-1}(M^{+}(X)) &\simeq \mathbb{Z}^{D_{i}(\Sigma^{+}(X)) - D_{i-1}(\Sigma^{+}(X))} \\
&\simeq \mathbb{Z}^{\sigma_{i}(X) + \xi \sigma_{i-2}(X) + \xi^{2} \sigma_{i-4}(X) + \cdots}
\end{aligned}\mathbb{Z}^{\sigma_{i}(X)}
N.B. on voit la structure additive des deux
filtrations, et de l'opération \xi \cdot, M^{+}(X) et M(X) sont
complètement déterminés par la connaissance la famille
(\sigma_{i}(X))_{i \geqslant 0} des ens.\sigma_{i}(X).
Pour la structure multiplicative il faut connaître de plus les applications
\sigma_{i}(X) \times \sigma_{j}(X) \longrightarrow
\mathbb{Z}^{\left(\coprod_{k \leqslant i+j-2} \sigma_{k}(X)\right)}x, y \mapsto définies par l'indice sous le coproduit se lit mal
Nous allons expliciter plus bas la détermination de \sigma^{0}(X) et
\sigma^{1}(X).
Il y a lieu également de préciser les opérations \vee et \lambda^{i}. Pour
la première, notons que
\struck{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}(-i)\, [\mathcal{M}^{+}_{i}(X)]^{\vee} \subset \mathcal{M}^{+}_{i}(X)
d'où on conclut que x \mapsto \check{x}\, \xi^{i} définit une
involution. Mais en fait il résulterait de la théorie que
cette dernière est l'identité, i.e. l'opération \vee dans
M_{i}(X)n'est autre quex \mapsto \xi^{-i} x,
Quant aux opérations \lambda^{i}, leur détermination devrait se faire en
termes de groupes finis d'opérateurs (tels les \mathfrak{S}_{p} —).
le paragraphe 10) s'arrête ici ; le bas du feuillet est vierge