Cote n° 119, pages 141–160

Cote n° 119 · batch 8 · pages 141–160 · Transcription · Esquisse d’un programme [dossier constitué en vue d'une candidature au CNRS (1984)] : copies de tapuscrits et de tapuscrits annotés (1972-1974, 1978-1979, 1984, 1990-1991, s.d.), tirés à part (1971), notes et copies de note manuscrites (1986, s.d.), lettres (1968, 1972, 1991).
Datation de l’inventaire : 1968-1991
Édition de démonstration

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Rapport d'activité

141pp. 141–142 : « Rapport d'activité », tapuscrit non daté de Grothendieck, titre de sa main ; déjà transcrit en ligne par le Cercle/CSG (cote U18d), il n'est pas repris ici. En deux lignes : son enseignement depuis 1978 (C4, DEA, options de DEUG) conçu comme initiation à la recherche, où la difficulté principale des étudiants est la verbalisation ; puis ses directions de thèses (topologie des surfaces) et ses sujets de réflexion — géométrie algébrique anabélienne et tour de Teichmüller, topologie modérée et dévissage des structures stratifiées, fondements de l'algèbre homotopique.

142suite du « Rapport d'activité » ; voir la note de la p. 141.

p. 143 : chemise portant, d'une main qui n'est probablement pas la sienne, « Notes de math. oubliées par Jean Malgoire » (et « (15 p) »). Elle couvre les pp. 144–160.

Topos quotient d'un espace par une relation d'équivalence locale

144Mettre où ?

Mars 1986 — « Feuilletages »

Topos quotient d'un espace $E$ [ou topos ?] par une relation d'équivalence locale ⌜$Q$⌝ (ex : feuilletages de variétés). On trouve comme quotients les espaces de la forme $(X, G)$, $X$ espace, $G$ gr. discret opérant sur $X$ (non libres), $G$ étant le groupe fondamental d'une « feuille » …) [Cas où toutes les feuilles $F_i$ sont homéomorphes, et […] : $E \to F$ induisant des iso $F_i \to F$ …]

Notion […] de l'« holonomie »

145Th Soit $C$ la catégorie des ⌜$(X, R)$, $X$⌝ esp. top. […] et $R$ rel. d'équivalence locale sur $X$ [localement] ouverte à fibres loc. […] connexes, […] (flèches : appl. continues compat. avec rel. d'équiv. locales …), et $C'$ la catégorie des flèches […], systèmes $(X, \mathcal{Y}, f)$, où $X$ espace top., $\mathcal{Y}$ mult. top., $f : \mathrm{Top}(X) \to \mathcal{Y}$ morphisme qui est ⌜(loct)⌝ ouvert, à fibres loc. connexes et […] (flèches de $C'$ : … i.e. une 2-cat. dont les $\mathrm{Hom}(\xi, \eta)$ sont des cat. discrètes). On a \[C \overset{\approx}{\underset{\approx}{\rightleftarrows}} C' .\] Variantes pour variétés […] $C^{(r)}$ ($r \in [0, +\infty] \cup \{\omega\} \cup \{\omega_{\mathbb{C}}\}$) feuilletées.

Question Quelles variétés obtient-on comme quotients des feuilletages ???

[…] cette lacune […] feuilletages […]

la note marginale de gauche, écrite en long, est presque entièrement illisible.

Addendum Esquisse d'un Programme

147pp. 147–152 : six feuillets numérotés 1 à 6 de sa main.

Addendum Esquisse d'un Programme.

Voisinage tubulaire d'une partie quelconque ⌜modérée⌝ d'un espace modéré (compact). PS évident : un point.

I) Sous-espace modéré « bordant » […] $B$ d'un espace modéré $X$. Collier autour de $B$ \[\bigl(\, \text{\struck{$B \times I \hookrightarrow$}}\; B \subset C \subset X, \quad C \text{ vois. de } B,\quad \exists\, C \xrightarrow[\sim]{\varphi} B \times I,\] \[\text{et } \dot C = \varphi^{-1}(B \times \{1\}) \,\bigr)\] il écrit $\varphi(B \times \{1\})$, l'exposant $-1$ n'étant pas visible ; au-dessus de « bordant », « bon “bord” » biffé.

$B \simeq B$ avec

LaTeX source

\begin{tikzcd}
  & B \arrow[dl] \arrow[dr, "{b \mapsto (b,0)}"] & \\
  C \arrow[rr, "\sim"] & & B \times I
\end{tikzcd}

Collier […] ⌜strict⌝. $I = [0, 1]$.

($(B, 1)$ est bordant dans ($\dot C$ est bordant dans $X \smallsetminus (C \smallsetminus \dot C)$). Collier rigidifié.

Conj 1) Soit $B$ bordant dans $X$.

a)$\exists$ Collier $(C, \dot C)$, donc aussi collier strict.
b)« L'espace » des colliers stricts est contractile.
c)L'espace des colliers ⌜rigidifiés⌝ stricts et fibrés sur collier […] est contractile, ou encore : l'espace des autom. d'un collier, induisant l'identité de $B$ (et « libres » sur $\dot C$) est contractile

i.e. les choix d'un collier ⌜strict⌝, ou d'un collier ⌜strict⌝ rigidifié, i.e. d'une rigidification d'un collier, sont anodins.

[…]

148II) Soit $a \in X$. « Cône » autour de $a$ : $a \in C \subset X$, $\dot C \subsetneq C$ tels que \[(C, \dot C) \xrightarrow[\sim]{\rho} \mathrm{Cone}(\text{\struck{$\dot Y$}}\, Y) \qquad (\text{avec } \rho(a) = o).\] sous $\dot C$ : « $Y$ espace modéré ».

Cône strict : $\dot C$ est bordant dans $X \smallsetminus (C \smallsetminus \dot C)$. Cône rigidifié.

Conj

a)Existe cône ⌜strict⌝
b)L'espace des cônes ⌜stricts⌝ est contractile
c)L'espace des rigidifications des cônes est contractile i.e. l'espace des autom. de $\mathrm{Cone}(Y)$, qui induisent l'identité sur $Y$ et fixent $o$, est contractile (Alexandroff ?)

Donc le choix d'un cône strict autour de $a$, ou d'un cône strict rigidifié, ou d'une cône rigidification sur un cône donné, est anodin.

III Catégorie ⌜PB⌝ des paires $(X, B)$, $B$ bordant dans $X$.

Catégorie ⌜PBCR⌝ des paires triples $(X, B, C, \varphi)$, des paires bordantes avec collier ⌜strict⌝ rigidifié.

Catégorie PBC $(X, B, C, \dot C)$ (paire bord. avec coll.).

Catégorie ⌜EP⌝ des paires $(X, a)$, $X$ pointé

149Catégorie ⌜EPCR⌝ des triples $(X, a, (C, \varphi))$, $(C, \varphi)$ cône strict ⌜rigidifié⌝.

Catégorie EPC des triples $(X, a, (C, \dot C))$ : espace modéré pointé, rigidifié cône strict.

On a une cascade d'équivalences de cat. […] $\infty$-isotopiques

diagramme reproduit avec ses étiquettes ; les deux 2-flèches $\alpha \Rightarrow$ et $\beta \Leftarrow$ entre la verticale « id$_{PB}$ » et les composés latéraux ne sont pas reproduites.

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=6em, row sep=large, nodes={font=\scriptsize}]
  & \mathrm{PB} \arrow[dl, "{\text{recoller } B \times I}"'] \arrow[dr, "{\text{recoller Cône}(B)}"] \arrow[dddl, bend right=20, "{\mathrm{id}_{PB}}" description] \arrow[dddr, bend left=20] & \\
  \mathrm{PBCR} \arrow[rr, dashed] \arrow[d, "\text{oubli rig.}"'] & & \mathrm{EPCR} \arrow[d, "\text{oubli rigidification cône}"] \\
  \mathrm{PBC} \arrow[rr, dashed, "{\text{contraction de } B \text{ en un point}}"] \arrow[d, "\text{oubli collier}"'] & & \mathrm{EPC} \arrow[d, "\text{oubli cône}"] \\
  \mathrm{PB} \arrow[rr] & & \mathrm{EP}
\end{tikzcd}

à côté de « recoller $B \times I$ » : « $B \times \{0\}$ nouvelle partie bordante » (et « $B \times \{1\}$ »).

Système des 11 foncteurs qui sont des équivalences $\infty$-isotopiques

NB Pour définir $\alpha$ et $\beta$, compliquer les […] […] (i.e. $C$ […]) — PBR

[…] Variante Paires Multipaires bordantes ($B = \coprod_{i \in I} B_i$), espaces multipointés ($I \hookrightarrow X$) ($I$ ens. d'indices fini variable).

le même système de catégories redessiné en perspective : PB au sommet, PBCR, EPCR, PBC, EPC, et en bas PB $\to$ EP ; flèches « recoller collier », « recoller cône », « identité », « contraction $B$ » ; un mot biffé […] à gauche.

Solution : […] […] […] […] $\infty$-isotop., […] […] pouvoir […] travailler avec l'une d'elles, via catégories équivalentes.

150IV Voisinage tubulaire d'une partie modérée $Y$ d'un espace modéré $X$.

C'est par définition un cône strict […] ⌜tubulaire⌝ autour de $o$ dans $X/Y$.

Construction : Soit $f : X \to \mathbb{R}^+$ fonction modérée telle que $f^{-1}(\{0\}) = Y$. On prend $V = f^{-1}([0, \varepsilon])$, $\varepsilon$ petit [et admissible], et $\dot V = f^{-1}(\{\varepsilon\})$.

Rigidification du voisinage tubulaire ($\Leftrightarrow$ du cône). Rigidification $Y$-admissible : j'insère dans le diagramme ([…]) \[V - Y = V^* \simeq \dot V \times [0, 1[ ,\] \[X \simeq \bigl( (X \smallsetminus (\dot V \smallsetminus V)) \amalg (\dot V \times I) \bigr) \textstyle\coprod_{\dot V \times \{1\}} Y ,\] flèches dessinées de $V - Y$ vers $X$ et de $X$ vers $Y$ ; le recollement porte « $\dot V \times \{1\}$ » en indice ; il écrit bien $X \smallsetminus (\dot V \smallsetminus V)$. pour $\varphi : \dot V \times \{1\} \to Y$ appl. modérée (déterminée de façon unique par la rigidification).

a)Rigidification $Y$-admissible existe
b)La classe d'homotopie de $\dot V \to Y$ bien déterminée

Mais on voudrait plus précis.

Choix de vois. tub. et rigidif. de vois. tub. anodins.

Notons […] $\dot V$ […]

1511°) Cas où $X$ équisingulier autour de $Y$. Je présume qu'on doit pouvoir prendre $\varphi$ fibrant (« rigidification fibrante »), et qu'on a une équivalence de catégories $\infty$-isotopiques

Syst. $(X', B,$ $Y$ $Y, \varphi)$ : $(X', B)$ paire bordante, $\varphi : B \to Y$ morphisme fibrant, \[(X', B, Y, \varphi) \longmapsto \bigl( (X' \textstyle\coprod_B (Y, \varphi)),\, Y \bigr)\] \[\Big\downarrow \approx\] \[(X, Y) \text{ paires équisingulières.}\]

NB Les $X \smallsetminus Y$, $Y$ ⌜réguliers⌝ […] alors doivent correspondre au cas où $X'$ variété avec bord $B$, et $Y$ régulier.

[…] $Y$ présumé […] $X - Y$ régulier […] $Y$ régulier […] ($Y \subset \overline{X - Y}$)

2°) Cas général (pas nécess. équising.). Il faudrait arriver à imposer des conditions […] sur $\varphi : \dot V \to Y$, pour assurer l'unicité essentielle. Peut être qq chose dans des genres suivants : Pour tout $y \in Y$, si $c(y) = \mathrm{codim}_y(Y, X)$ alors $\dim \varphi^{-1}(y) = c(y) - 1$ (cas des lisses) plus précis, loct […] $\dot V$ est […] sur $Y$

152On peut rêver trouver ainsi une description de la catégorie $\infty$-isotopique des paires ⌜emplies⌝ $(X, Y)$, en termes d'une catégorie $(X', B, \varphi : B \to Y)$, où $\varphi$ serait soumis à certaines conditions (reflétant ⌜p. ex.⌝ l'exigence dimensionnelle précédente).

trait de séparation.

Filtrations équidimensionnelles et régulières d'un espace modéré.

Il y en a, je présume, une qui est canonique dans le présent […] de choses. [Toute ⌜Plus précis.⌝ […] filtration […] […], il y a une filtration […] canonique, régulière équidimensionnelle compatible […] éventuellement] Les invariants de dévissage de cette filtration sont des invariants de la structure modérée envisagée.

Digressions combinatoires (pour Réflexions t. 4)

154pp. 154–160 : photocopie de son manuscrit. Notation fixée pour ces pages : $\mathrm{Ens}_n$ (ensembles à $n$ éléments), $\mathfrak{S}_n$ pour son $\mathfrak{S}$ gothique (groupes symétriques), $\omega(S)$ (orientations), $S^*$ (dual).

Digressions combinatoires (pour Réflexions t. 4)

Chap 1 Géométrie des ens. de cardinal $\leqslant 4$

NB Faire polygones des sommets, et dualité rigoureusement …

Chap 2 L'icosaèdre gauche : ses trois […] perspectives

Orientations […] $\alpha(F) \in \omega(S)$ défini par les trois perspectives

Chap 3 Bi-icosaèdres : les trois perspectives. […] $\mathrm{Ic}(S) \simeq S^* \times \omega(S) = \mathrm{Bic}(S)$

Chap […] Dualité des hexagrammes

ou bihexagrammes

L'autodualité $\mathrm{Ens}_6 \simeq \mathrm{Ens}_6$ ⌜décrite⌝ via $\mathrm{Aut}(S) \simeq \mathrm{Aut}(S^*)$. Application aux groupes d'autom. des bi-icosaèdres […] ⌜et⌝ icos.
Structure bi-icosaédrale par coloriage des arêtes
L'autodualité (trois perspectives)

a)$\forall\, s \in S$, $s^* \in S^*$, $S \smallsetminus \{s\} \simeq S^* \smallsetminus \{s^*\}$
b)$R \in$ […] $\mathrm{Ar}(S) \times \mathrm{Ar}(S^*)$
c)$\mathcal{B}_{3,3}(S) \simeq \mathcal{B}_{3,3}(S^*)$ avec orientations

4. Le dictionnaire de la dualité

A) $\mathrm{Ens}_5$ $\mathrm{Ens}_5 \simeq \mathrm{Ens}(1,5) \approx$ Biicos.

$\mathrm{Ens}_5^+ \simeq \mathrm{Ens}^+(1,5) \approx$ Icos

B) $\mathrm{Ens}_2 \times \mathrm{Ens}_4 \approx \mathrm{Ens}_{2,2,2} \approx \mathrm{Cub}_3$

C) $\mathrm{Ens}_{3,3} \approx \mathrm{Ens}_{3,3}$ (ditriades) dualité. Notion bi-ditriades $\equiv$ $\mathrm{Bipunt}_5$

à droite, un premier jet entièrement biffé : « A') Bipunt $\approx$ Biicos. + sommet ; Punt $\approx$ Icos. + sommet ; B') ».

A') Bi-icos. + sommets $\approx$ […]

Icos + — $\approx$ […] $\mathrm{Punt}_5$

B') Biicos + ar. $\approx$ […] $\times$ Car ; « longueur » $\mathbb{Z}/2$ $\to$ Car

à droite, un long passage raturé : « autodualité de $\mathrm{Ens}_2 \times \mathrm{Car}$ ».

C') Biicos + biface $\simeq \mathrm{Ens}_2 \times \mathrm{Ens}_3$ explication $\sim$ (hexagrammes)

$\alpha \times f \longleftarrow (\alpha, f)$

remonter à Chap 3

TSVP

155la feuille est photocopiée tête-bêche par rapport au numéro des archivistes.

B $B_1$) […] $\mathrm{Car}(S) \simeq \mathrm{Car}(S^*)$

deux petits carrés, marqués $\varepsilon$, $s(Q)$ et $\varepsilon^*$, $s(Q^*)$, reliés par $\longleftrightarrow$. \[\varepsilon \wedge \varepsilon^* \wedge \omega(Q) = 1, \qquad \omega(Q) \simeq \omega(Q^*), \qquad Q^* \simeq \varepsilon \wedge Q,\quad Q \simeq \varepsilon^* \wedge Q^*\] explicitement

$C_1$) Relation avec la donnée d'un espace plan affine $V$ $V$ sur $\mathbb{F}_3$

et donc card $P(V) = 4$, $\mathrm{Card}(E = P(V)) = 4$, Aut \[\mathfrak{S}_{P(V)} \simeq \mathrm{Aut}(V)(\mathbb{F}_3) \simeq \mathrm{GP}(1, \mathbb{F}_3)\] (ou antipodisme) et une partition $(2,2)$ de $E$, i.e. structure carrée sur $E$.

$\mathrm{card}(E_i) = 3$, $i \in E$ ; $V \xrightarrow{p_i} E_i$, $V \subset \prod E_i$ ; $E_i \times E_j \xleftarrow{\sim} V$ pour $i, j \in E$, $i \neq j$.

grille de points.

Groupe d'automorphismes trilitaire d'ordre $3^3 \times 2^4 = 3 \cdot 144$.

Opère sur $\mathfrak{S}_{\mathcal{E}}$, $\mathcal{E} = \coprod_{i \in E} E_i$, et laisse invariant trois un sous-gr. […] des 3 sous-groupes $\mathfrak{S}_\alpha$ ($\alpha \in$ […] $\mathrm{Car}(E) = \mathrm{Antip.}(E)$). Le stabilisateur d'un $\mathfrak{S}_\alpha$ est le groupe des automorphismes d'une bi-ditriade. Opère fidèlement sur $\mathfrak{S}_\alpha$, sous-groupe d'ordre 10 de $\mathrm{Aut}(\mathfrak{S}_\alpha)$ (d'ordre $2 \cdot (3!)^2$ ).

l'« ordre 10 » est lu tel quel ; la lecture « $2 \cdot (3!)^2$ » est incertaine.

les $\mathfrak{S}_\alpha$ sont […] 3-sous-groupes […] Sylow […] […] […] $\mathfrak{S}_\alpha(V_0)$ […] ([…])

la note marginale en biais en bas à gauche, en partie biffée, est presque illisible.

156page de calculs serrée, disposée en tableau ; les étiquettes entourées (1), (2), (3), (1'), (2'), (3'), (1''), (2''), (3'') renvoient aux trois correspondances du dictionnaire de la p. 154.

(3') $1, 2, 3$ : deux cases de deux et trois points $\mathrm{Ens}_2 \times \mathrm{Ens}_3$ […]

(1) $(1, 5) \longleftrightarrow$ (biicosaèdre)

(2) $(2, 4) \leftrightarrow \mathfrak{S}_4 \times \mathfrak{S}_2$ ; $(2, 2, 2)$ i.e. cube (pas […] orienté), ext. de $\mathfrak{S}_3$ par $\mathfrak{S}_2^3$

(3) $(3, 3) \circlearrowleft$ ext. de $\mathfrak{S}_2$ par $\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3$

$\longrightarrow$ avec une 2 structures biicos. i.e. 4 str. icos. formant deux paires d'opposées

voir carrés magiques $(2, 3)$

$\mathbb{F}_3^2 \simeq \mathrm{Syl}_3$, $D_4 \times \mathbb{F}_2 \simeq \mathrm{Syl}_2$

(2') carré à diagonale marquée, avec $\varepsilon$, $a_Q$, $Z_Q$ $\longleftrightarrow$ carré à deux diagonales, avec $\varepsilon^*$, $a_Q$, $Z_Q$ \[\omega(Q) \simeq \omega(Q^*) = \omega, \qquad \text{\struck{\ill{}}}\; \boxed{\varepsilon^* \wedge \varepsilon \wedge \omega = 1}\] \[\boxed{Q^* = \varepsilon \wedge Q^\vee,\quad Q \simeq \varepsilon \wedge Q^*}\] \[\varepsilon \wedge \mathrm{codiag}\, Q \simeq \varepsilon^* \wedge \mathrm{codiag}\, Q^* \qquad (\text{au-dessus : } \omega(S_6),\ \omega(S_6^*))\] i.e. $\varepsilon \wedge \varepsilon^* \wedge \mathrm{codiag}\, Q \wedge \mathrm{codiag}\, Q^* \simeq 1$ (avec $\varepsilon \wedge \varepsilon^* = \omega$), d'où $\mathrm{codiag}\, Q^* \simeq \mathrm{diag}\, Q$.

(1'') $1$ + bipentagone $\longleftrightarrow$ $1$ + bipentagone | Biicos. + sommet

le même !

$1$ + pentagone $\longleftrightarrow$ $1$ + pentagone | Icos. + sommet

(2'') $1 \mid 1 \mid$ un carré raturé, puis un carré à deux diagonales $\longleftarrow$ comparer avec (2') | bi-icos. + arête $= \boxed{\times}\ Q^*$, $\varepsilon \simeq \omega(Q^*)$ (*)

| icos. + arête petit carré à diagonale, en partie raturé

(3'') deux ovales de 2 et 3 points comparer avec (3') $u\ a'\ a\ v\ b\ u'$

| bi-icos. + biface deux triangles hachurés $\simeq f \times \varepsilon$

| icos. + face, avec pr. dans $f \times \{0, 1\}$

icosaèdre en perspective, sommets marqués $u, u', v, v', a, b$, faces hachurées. \[\{a, b\} \wedge \{u, u'\} \to \{v, v'\}\] \[\text{\struck{$\{a, b\} \wedge$}} \qquad a \wedge u = v, \qquad a \wedge v = u'\]

Programme icosaèdre \[\{a, b\} \wedge \{u, u'\} \wedge \{v, v'\} \simeq \text{\struck{\ill{}}}\; \mathrm{diag}\, Q, \qquad \{u, u'\} \wedge \{v, v'\} = \mathrm{codiag}(Q), \qquad \{a, b\} \simeq \omega(Q)\]

(*) choix d'une structure icosaédrale dans le biicos-dodé $\simeq \mathrm{diag}(Q)$. Mais ceci \[\simeq \text{\struck{\ill{}}}\; \omega(S \amalg \varepsilon) \simeq \omega(S) \wedge \varepsilon \simeq \mathrm{codiag}(Q) \wedge \varepsilon \simeq \mathrm{diag}\, Q \quad \text{OK !}\]

157feuille d'une autre nature intercalée : une liste dactylographiée de couples, renumérotée à la main, puis des projets manuscrits de notes de bas de page numérotées (98 à 107) pour un texte de lui, avec des croquis de tétraèdres ; numéro des archivistes tête-bêche.

IV$''_5$ ⌜V$''_4$⌝ Avenir, passé ⌜Devenir⌝

Avenir — Passé

destinée — histoire

pérennité — ancienneté

innovation — tradition (III)

le nouveau — l'ancien

[…]

⌜élan — enracinement⌝ (II)

IV$''_6$ ⌜V$''_5$⌝ ⌜Espace-temps⌝

Espace — temps

étendue (ou distance) — durée

⌜ubiquité — éternité⌝

$= ??$

complètement t. d. m. (+ harmonie) ; mis un peu liste ; fenêtre ouverte ; dessins …

98 (*) texte barré

99 (**) Plusieurs existences successives

100. (*) texte barré

(**) Elle qui n'a pourtant […]. Comparer note n° 162, b. d. p. (*) p. 779 « conviction et connaissance »

(***) Réf. cours 1977. Frustration.

103 (*) Autre perspective.

107 (*) Mais pas encore […] la multiplicité […].

(**) Copie

(***) chemin […] […] jusqu'ici par communication

plusieurs croquis de tétraèdres et d'octaèdres, en partie hachurés, sommets marqués $a, b, c, c', u$ ; un carré à diagonales ; le nombre 100 en marge.

\[\begin{array}{lcl} \text{\struck{$a$}}\,bc \ (\text{entouré}) & & ac \\ bcu & & bc \\ ac\,u \ (\text{entouré}) & & ab \\ \text{délicat}\ abc' & & c'a \\ \text{\struck{$c'ab$}} \text{ ou } c'ab' & & c'b' \\ \text{\struck{$c'b$}}u \text{ ou } c'bu' & & \end{array}\]

158Trialité des bi-ditriades

On peut voir la structure de deux façons, soit par un ens. : 9 éléments $V$ ⌜(plan affine sur $\mathbb{F}_3$)⌝, soit par l'ens. : 12 éléments $E$ (ens. des droites de $V$). Relations d'incidence entre $E$ et $V$.

NB Énoncé dans un plan projectif sur $\mathbb{F}_3$ privé d'un point.

A) La structure sur $V$ revient à la donnée d'une partie $E$ de $\mathcal{B}_3(V)$, telle que \[\begin{cases} \mathrm{card}\, E = 12 \\ \forall\, a, b \in E, \text{ on a } \mathrm{card}\, a \cap b \leqslant 1 \end{cases}\] […] fait

B[…] B) Structure sur $E$ : 1) partition de $E$ en quatre classes de 3 éléments (réunies les quatre directions de droites), $E = \coprod_{i \in I} E_i$

2) Ens. $V$ de parties : 4 éléments de $E$ (une des droites passant par un point ⌜de $V$⌝, une par projectif) :

a)Tout […] $D \in V$ rencontre chaque $E_i$ en un pt ⌜(au moins)⌝ ([…] ⌜au plus⌝, […] ⌜revient au même⌝) (donc $D \to$) i.e. $D \to I$ est bijectif)
b)Si $D, D' \in V$, $D \neq D'$, alors $\mathrm{Card}\, D \cap D' = 1$ NB b) résulte de a) et c) : […]
c)Si $a, b \in E$ n'appartiennent pas au même $E_i$, $\exists$ unique $D \in V$ qui y passe. (unicité provient d'ailleurs de b))

NB c implique déjà que $\mathrm{card}\, V = 9$, et compte tenu de a), que par tout point $a \in E$ passent exact 3 « droites ».

$E \cong V \amalg \{\infty\}$ ; […] […] et $E$ […] […] de $C$ […] […] ([…]) dans $\mathrm{Ens}$ […] : chaque droite […] $(E, \dot V)$ […] […] […]

la note marginale de gauche, en biais, est en grande partie illisible.

159Géométrie des ens. finis (de card $\leqslant$ 3) (Plan)

I Ens : deux éléments

Produit contracté — $\mathfrak{S}_2 \simeq \pm 1 \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \simeq \mathbb{F}_3^*$ (deux interprétations)
O[…] Orientation d'un ens. fini ($\omega(E)$). Associativité ; lien avec orientation des vectoriels réels, ou des vectoriels orthogonaux ⌜(car $\neq 2$)⌝, ou les vectoriels sur $\mathbb{F}_3$.
Hypercubes et antipodismes. Orientation induite
Carrés (sans lien avec carrés et cubes ordinaires)

II Ens : trois éléments

2-vectoriels sur $\mathbb{F}_2$ (ou ⌜droite⌝ […] projective sur $\mathbb{F}_2$) : $\mathfrak{S}_3 \simeq \mathrm{Gl}(2, \mathbb{F}_2) \simeq \mathrm{Sl}(2, \mathbb{F}_2) \simeq \mathrm{GP}(1, \mathbb{F}_2)$
Droite affine sur $\mathbb{F}_3$. Application aux ditriades et biditriades. $\mathfrak{S}_3 \simeq \mathrm{Aff}(1, \mathbb{F}_3)$ ($\to \mathbb{F}_3^* \simeq \pm 1$) ; \[1 \to \mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3 \to \mathrm{Aut} \text{ d'une bi-ditriade} \to \text{\struck{\ill{}}}\; 1\]
Quadritriades (ou tri-biditriades)

III Ens : quatre éléments

Espace ⌜Plan⌝ affine sur $\mathbb{F}_2$ : $\mathfrak{S}_4 \simeq \mathrm{Aff}(2, \mathbb{F}_2)$
Lien avec cubes : $\mathrm{Ens}_4 \times \mathrm{Ens}_2 \approx \mathrm{Cub}_3$ ; $\mathfrak{S}_4 \simeq \mathrm{Aut}^+(\mathrm{Cub}_3) \simeq$ […] $\mathfrak{S}_{3,4}$ autom. d'une partition de deux 3 sur $\mathbb{F}_3$ qui inversent une sym. des trois droites formant les bords […]
Lien avec V […] automorphismes
Droite projective sur $\mathbb{F}_3$ : $\mathfrak{S}_4 \simeq \mathrm{GP}(1, \mathbb{F}_3)$
Les quadritriades (ou tri-bitriades). \[1 \to (\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3)' \to \mathrm{Aut} \text{ d'une quadritriade} \to \mathfrak{S}_4 \to 1,\] \[(\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3)' = \{(u, v) \mid \varepsilon(u) = \varepsilon(v)\}, \qquad \mathrm{Aut} \text{ d'une quadritriade} \simeq \mathrm{Aff}(2, \mathbb{F}_3)\]

IV Ens : 5 éléments

⌜Droites proj. sur corps : 4 droites⌝ ($\mathfrak{S}_5^+ \simeq \mathrm{GP}(1, \mathbb{F}_4)$) $\mathfrak{S}_5 \simeq$ Aut. droite projective sur un corps : 4 droites non précisé

(Si $E$ droite proj. sur $k \simeq \mathbb{F}_4$, alors $\omega(E) \simeq (k^* \smallsetminus \{1\}) =$ ens. des deux gén. de $k$ sur $\mathbb{F}_2$.)

Explication renvoyant aux anharmoniques
$\mathfrak{S}_5 \simeq \mathrm{GP}(1, \mathbb{F}_5)$ sera développé avec bi-icosaèdre

en III.2 la fin de la ligne (« autom. d'une … bords ») est une addition marginale serrée dont la lecture est très incertaine ; en IV.1 la ligne « Droites proj. sur corps : 4 droites » est écrite au-dessus et entourée avec la formule.

160V Théorie combinatoire des ens. : 6 élmts et des bi-icosaèdres [Peut être scindé en deux : A) IIcosaèdre et bi-icosaèdre B) géométrie des ens. à 6 éléments]

Voir plus détaillé ailleurs …

[…]

Appendice Polygones combinatoires.

Pour bien faire, il faudrait un exposé sur les relations géométriques entre les configurations envisagées ici …