Catégorie EPCR des triples (X, a, (C, \varphi)), (C, \varphi) cône strict rigidifié.

Catégorie EPC des triples (X, a, (C, \dot C)) : espace modéré pointé, rigidifié cône strict.

On a une cascade d'équivalences de cat. \infty-isotopiques

diagramme reproduit avec ses étiquettes ; les deux 2-flèches \alpha \Rightarrow et \beta \Leftarrow entre la verticale « id_{PB} » et les composés latéraux ne sont pas reproduites.

à côté de « recoller B \times I » : « B \times \{0\} nouvelle partie bordante » (et « B \times \{1\} »).

Système des 11 foncteurs qui sont des équivalences \infty-isotopiques

NB Pour définir \alpha et \beta, compliquer les (i.e. C ) — PBR

Variante Paires Multipaires bordantes (B = \coprod_{i \in I} B_i), espaces multipointés (I \hookrightarrow X) (I ens. d'indices fini variable).

le même système de catégories redessiné en perspective : PB au sommet, PBCR, EPCR, PBC, EPC, et en bas PB \to EP ; flèches « recoller collier », « recoller cône », « identité », « contraction B » ; un mot biffé à gauche.

Solution : \infty-isotop., pouvoir travailler avec l'une d'elles, via catégories équivalentes.

page de calculs serrée, disposée en tableau ; les étiquettes entourées (1), (2), (3), (1'), (2'), (3'), (1''), (2''), (3'') renvoient aux trois correspondances du dictionnaire de la p. 154.

(3') 1, 2, 3 : deux cases de deux et trois points \mathrm{Ens}_2 \times \mathrm{Ens}_3

(1) (1, 5) \longleftrightarrow (biicosaèdre)

(2) (2, 4) \leftrightarrow \mathfrak{S}_4 \times \mathfrak{S}_2 ; (2, 2, 2) i.e. cube (pas orienté), ext. de \mathfrak{S}_3 par \mathfrak{S}_2^3

(3) (3, 3) \circlearrowleft ext. de \mathfrak{S}_2 par \mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3

\longrightarrow avec une 2 structures biicos. i.e. 4 str. icos. formant deux paires d'opposées

voir carrés magiques (2, 3)

\mathbb{F}_3^2 \simeq \mathrm{Syl}_3, D_4 \times \mathbb{F}_2 \simeq \mathrm{Syl}_2

(2') carré à diagonale marquée, avec \varepsilon, a_Q, Z_Q \longleftrightarrow carré à deux diagonales, avec \varepsilon^*, a_Q, Z_Q \omega(Q) \simeq \omega(Q^*) = \omega, \qquad \text{\struck{\ill{}}}\; \boxed{\varepsilon^* \wedge \varepsilon \wedge \omega = 1} \boxed{Q^* = \varepsilon \wedge Q^\vee,\quad Q \simeq \varepsilon \wedge Q^*} \varepsilon \wedge \mathrm{codiag}\, Q \simeq \varepsilon^* \wedge \mathrm{codiag}\, Q^* \qquad (\text{au-dessus : } \omega(S_6),\ \omega(S_6^*)) i.e. \varepsilon \wedge \varepsilon^* \wedge \mathrm{codiag}\, Q \wedge \mathrm{codiag}\, Q^* \simeq 1 (avec \varepsilon \wedge \varepsilon^* = \omega), d'où \mathrm{codiag}\, Q^* \simeq \mathrm{diag}\, Q.

(1'') 1 + bipentagone \longleftrightarrow 1 + bipentagone | Biicos. + sommet

le même !

1 + pentagone \longleftrightarrow 1 + pentagone | Icos. + sommet

(2'') 1 \mid 1 \mid un carré raturé, puis un carré à deux diagonales \longleftarrow comparer avec (2') | bi-icos. + arête = \boxed{\times}\ Q^*, \varepsilon \simeq \omega(Q^*) (*)

| icos. + arête petit carré à diagonale, en partie raturé

(3'') deux ovales de 2 et 3 points comparer avec (3') u\ a'\ a\ v\ b\ u'

| bi-icos. + biface deux triangles hachurés \simeq f \times \varepsilon

| icos. + face, avec pr. dans f \times \{0, 1\}

icosaèdre en perspective, sommets marqués u, u', v, v', a, b, faces hachurées. \{a, b\} \wedge \{u, u'\} \to \{v, v'\} \text{\struck{$\{a, b\} \wedge$}} \qquad a \wedge u = v, \qquad a \wedge v = u'

Programme icosaèdre \{a, b\} \wedge \{u, u'\} \wedge \{v, v'\} \simeq \text{\struck{\ill{}}}\; \mathrm{diag}\, Q, \qquad \{u, u'\} \wedge \{v, v'\} = \mathrm{codiag}(Q), \qquad \{a, b\} \simeq \omega(Q)

(*) choix d'une structure icosaédrale dans le biicos-dodé \simeq \mathrm{diag}(Q). Mais ceci \simeq \text{\struck{\ill{}}}\; \omega(S \amalg \varepsilon) \simeq \omega(S) \wedge \varepsilon \simeq \mathrm{codiag}(Q) \wedge \varepsilon \simeq \mathrm{diag}\, Q \quad \text{OK !}