Cote n° 117, pages 1–20

Cote n° 117 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Théories homotopiques : notes manuscrites (1983, s.d.).
Datation de l’inventaire : 1983
Édition de démonstration

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Structure des dérivateurs

titre de sa main, encadré en tête du feuillet 1

1déc. 83 souligné, en haut à droite du feuillet

$\underline{\mathrm{Hom}}$

Donnée $\mathcal H(I)$,

\[(1) \quad \mathrm{Hom}(x, y) \in \mathrm{Ens} \qquad\qquad \mathrm{Hom}(x, y) \simeq \pi_0(\mathrm{Homhot}(x, y))\] \[(2) \quad \mathrm{Homhot}(x, y) \in (\mathrm{Hot}) \qquad\qquad \mathrm{Homhot}(x, y) \simeq \int_I \underline{\mathrm{Homhot}}(x, y)\] le premier terme de la seconde formule de droite est surchargé ; lu $\mathrm{Homhot}$ sans certitude \[(3) \quad \boxed{\underline{\mathrm{Homhot}}(x, y) \in \mathrm{Hot}(I)}\] l'indice de $\mathrm{Hot}$ dans l'encadré est surchargé et ne se lit pas

Soit $f : I \to J$, […], pour $X$ dans $\mathcal H(I)$, $Y$ dans $\mathcal H(J)$, \[(1') \quad \mathrm{Hom}(f_!(X), Y) \simeq \mathrm{Hom}(X, f^{*}Y)\] adjonction \[(2') \quad \mathrm{Homhot}(f_!(X), Y) \simeq \mathrm{Homhot}(X, f^{*}(Y))\] et plus complète, donnant $(1')$ en passant aux $\pi_0$ lecture de toute la ligne incertaine \[(3') \quad \boxed{\underline{\mathrm{Homhot}}(f_!X, Y) \simeq f_{*}\, \underline{\mathrm{Homhot}}(X, f^{*}(Y))}\] donnant $(2')$ en intégrant $\int_J$.

duales ce mot, écrit en long dans la marge gauche, est relié par un crochet aux deux groupes de formules \[(1'') \quad \mathrm{Hom}(f^{*}(Y), X) \simeq \mathrm{Hom}(Y, f_{*}(X))\] \[(2'') \quad \mathrm{Homhot}(f^{*}(Y), X) \simeq \mathrm{Homhot}(Y, f_{*}(X))\] dans $(1'')$ et $(2'')$ le signe $\simeq$ est traversé d'un trait sinueux qui relie les deux lignes ; au-dessus de $(1'')$, un petit « $=$ » isolé \[(3'') \quad \boxed{\underline{\mathrm{Homhot}}(Y, f_{*}(X)) \simeq f_{*}\, \underline{\mathrm{Homhot}}(f^{*}Y, X)}\] dans $(3'')$ le premier argument est d'abord écrit, puis biffé et remplacé par $Y$ ; sous l'encadré, un $f_*$ isolé, comme une étiquette

2brouillon sur le même papier de listing, sans phrase ; les formules sont données dans l'ordre de la page, les croquis décrits \[\pi_0(x, y) = \mathrm{Hom}_{\mathcal H}(x, y) \qquad \pi_1(x, y ; f) = \struck{\ill{}}\] \[x \xrightarrow{\ f\ } y \qquad \mathcal H(\Delta_1) \to \mathcal H(\Delta_0) \times \mathcal H(\Delta_0), \quad \varphi \longmapsto\] \[J \hookrightarrow I \qquad X_J \qquad \mathcal H(J) \qquad \mathcal H(I, J) \qquad \mathcal H(I) \to \mathcal H(J)\] \[X_i \to X_J, \qquad Y_i \to Y_J\] \[\pi_1(x, y ; f, g)\] ce dernier symbole est précédé d'un croquis : deux flèches $f$ et $g$ de $x$ vers $y$, une double flèche verticale entre elles ; ailleurs sur la page, plusieurs croquis de 2-flèches entre deux flèches $x \rightrightarrows y$, et un cycle de flèches alternées entre $x$ et $y$

\[\mathcal H(\Delta_1) \qquad \longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow \qquad M \ W \qquad \mathrm{Hot}\]

$\pi_W(x, y) =$

$\underline{\mathrm{Hom}}$ $\mathrm{Cl}\,(M, W)$ […] au pied de la feuille, rognée, une ligne où se lisent seulement $M$ et $(\mathrm{Cat})$

a)Modèles — leur importance, leur indétermination.
b)Suites exactes longues (évt. de deux types) associées à une flèche — liées à la construction des cylindre et cocylindre d'un objet, modèle, et […] des cylindres et cocylindre d'une application entre modèles.
c)Notion de résolution d'un modèle (gauche ou droite) formalisme des foncteurs dérivés (quand il y a deux th. homotopiques [en présence]) « en présence » est écrit sous la ligne ; la lettre c) est cerclée
d)Notions homotopiques sur modèles (structures homotopiques : $W$, cofibr., homotopismes…) « Résolutions définies à homotopie près ». mais ce sont des notions intermédiaires pour la construction des cat. dérivées
e)Homotopies entre applications, homotopies entre homotopies etc. On a sans doute […], pour deux modèles $X, Y$ un objet $\mathrm{Hom}(X, Y)$ dans $\mathrm{Hot}$ [ou « simplicial »] […] $=$ un complexe de type convenable, explicitant […] leur donnant naissance […] dans $\mathcal H$ aux $\mathrm{Hom}$ extérieurs à valeurs en […] $\mathrm{Hot}$ —, ou dans une théorie plus riche $\mathrm{Hot}$ — (dans Quillen, il y a des $\mathrm{Hom}$ simpliciaux) « ou “simplicial” » est interlinéaire, sous $\mathrm{Hom}(X, Y)$ ; la phrase qui suit « convenable » ne se lit que par morceaux
f) Cf. plus bas
f)Opérations de […], soit grossières sur modèles, soit délicates sur $\mathcal H$.
g)Invariants $\pi_i$ ou $H_i$, à valeurs dans une catégorie (souvent abélienne) associée à la théorie.

les lettres de ces deux derniers items sont surchargées à l'encre noire au point de ne plus se lire ; elles sont restituées d'après la note marginale, qui les nomme f) et g) sont des aspects particulièrement peu compris

h)Possibilité de définir des invariants $K(\mathcal H)$ via « triangles exacts », voir $K_i$ supérieurs d'une théorie homotopique. (Cas additif seulement ?!?)
i)Souvent il y a [des] $\underline{\mathrm{Hom}}$ internes dans $\mathcal H$, avec des [une] formules du type \[\mathrm{Hom}(\xi, \eta) = \Gamma\, \underline{\mathrm{Hom}}(\xi, \eta)\] \[\Gamma \text{ ou } \pi_0 : \mathcal H \to \mathrm{Ens}\] foncteur important (souvent $\mathrm{Hom}(1, -)$, avec $1$ un obj. final…) Souvent aussi, structure multiplicative (soit produit cartésien, soit un produit $\otimes$) avec une formule \[\mathrm{Hom}(x \otimes y, z) \simeq \mathrm{Hom}(x, \underline{\mathrm{Hom}}(y, z))\]

les deux lettres d'item sont surchargées (un $h$ sur un $i$, un $i$ sur un $h$, semble-t-il) ; une longue flèche, dans la marge gauche, part du second item vers le haut de la page, vers le premier ; « (des) » est interlinéaire, au-dessus de « Hom » Structure multiplicative et structure $\mathrm{Hom}$ (24.11.83) relations entre $\underline{\mathrm{Hom}}$ internes et les $\mathrm{Homhot}(x, y) \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Hot}$ dans e) ??

Sauf peut-être les structures f) et g)), il semble que tout puisse se décrire en termes de $(M, W \subset \mathrm{Fl}(M))$.

Dégager les bons axiomes

Théorie (de variance) homotopique $\mathcal H$

première ligne du feuillet 5, de sa main ; c'est le début d'une suite qu'il pagine lui-même de 1 à 9, au milieu du bord supérieur

5p. 1 de l'auteur (1) Variance Elle associe à toute […] [petite] catégorie $A$ $\in \mathrm{Ob}\,(\mathrm{Cat})$ (ou non petite) une catégorie (non néc. petite […] si $A$ l'est) \[(1) \qquad \boxed{A \longmapsto \mathcal H(A)}\] et de plus que qui […] 2-contravariante en $A$ (de façon stricte) \[(2) \qquad \begin{array}{c} f : A \to B \\ \text{foncteur entre $U$-catégories} \end{array} \quad \text{implique} \quad \mathcal H(B) \xrightarrow{\ f^{*}_{\mathcal H}\ } \mathcal H(A)\] ([…]). On pose \[(3) \qquad \mathcal H(\Delta_0) = \mathrm{Hot}_{\mathcal H}\] […] […] on a donc pour $A$ un foncteur \[(4) \qquad \mathcal H(A) \xrightarrow{\ \alpha_A\ } \underline{\mathrm{Hom}}(A, \struck{\mathrm{Hot}}\ \mathrm{Hot}_{\mathcal H}), \qquad \mathcal X \longmapsto \big(a \longmapsto (i_a)^{*}_{\mathcal H}(\mathcal X)\big)\] où \[i_a : \Delta_0 \longrightarrow A \quad \text{foncteur de valeur } a\] (NB Pour tt $B$, on a \[\underline{\mathrm{Hom}}(B, A) \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}(\mathcal H(A), \mathcal H(B))\] d'où \[\mathcal H(A) \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}(\underline{\mathrm{Hom}}(B, A), \mathcal H(B))\] si $B = \Delta_0$, on trouve (4).)

Pour $f : A \to B$ morphisme de catégories, on a donc

7p. 2 de l'auteur

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\begin{tikzcd}
  \mathcal H(B) \arrow[r, "\mathcal H(f)"] \arrow[d, "\alpha_B"'] & \mathcal H(A) \arrow[d, "\alpha_A"] \\
  \underline{\mathrm{Hom}}(B, \mathrm{Hot}_{\mathcal H}) \arrow[r, "f^{*}_{\mathrm{Hot}_{\mathcal H}}"'] & \underline{\mathrm{Hom}}(A, \mathrm{Hot}_{\mathcal H})
\end{tikzcd}

carré numéroté (5) en marge ; l'étiquette de la flèche du bas est écrite sous elle, avec une parenthèse fermante

(Hot 1) si $A = \coprod_{i \in I} A_i$, alors $\mathcal H(A) \xrightarrow{\ \sim\ } \prod_{i \in I} \mathcal H(A_i)$ iso

(2) $\int$ (intégration). le 2 est cerclé, comme « (Hot 1) »

Pour toute [toute flèche $f : A \to B$] $A$ petite, i.e. $A \in \mathrm{Ob}\,(\mathrm{Cat})$, on donne \[(6) \qquad \boxed{\mathcal H(A) \xrightarrow{\ \underline{L}_A\ } \mathcal H(A^{\wedge})}\] rendant commutatif […] \[(7) \qquad \mathcal H(A) \xrightarrow{\ \underline{L}_A\ } \mathcal H(A^{\wedge}) \xrightarrow{\ (\varepsilon_A)^{**}_{\mathcal H}\ } \mathcal H(A), \qquad \text{composé} = \mathrm{id}_{\mathcal H(A)}\] où \[\varepsilon_A : A \hookrightarrow A^{\wedge}\] est l'inclusion canonique. (Hot 2) souligné, en marge de (7) ; au-dessus de $(\varepsilon_A)^{**}_{\mathcal H}$, un mot biffé illisible

Hot 3 $\forall f : A \to B$ dans $(\mathrm{Cat})$, $\exists f_! : \mathcal H(A) \to \mathcal H(B)$, […] à isomorphisme près, tel qu'on ait commutativité

LaTeX source

\begin{tikzcd}
  \mathcal H(A) \arrow[r, "\underline{L}_A"] \arrow[d, "f_!"'] & \mathcal H(\widehat{A}) \arrow[d, "(f^{*}_{\wedge})^{*}_{\mathcal H} \overset{\mathrm{def}}{=} \hat f_!"] \\
  \mathcal H(B) \arrow[r, "\underline{L}_B"'] & \mathcal H(B^{\wedge})
\end{tikzcd}

carré numéroté (8) en marge. Tout le passage de (6) à (8) est barré de longs traits obliques : c'est une première version de l'intégration, abandonnée, que la page 9 remplace par (Hot 2)

9p. 3 de l'auteur On suppose

(Hot 2) $\forall f : A \to B$ dans $\mathrm{Cat}$, le foncteur $f^{*} : \mathrm{Hot}(A)$ \[f^{*}_{\mathcal H} : \mathcal H(B) \to \mathcal H(A)\] a un adjoint à gauche \[f^{\mathcal H}_{!} : \mathcal H(B) \to \mathcal H(A)\] sic : le but et la source de $f^{\mathcal H}_!$ sont écrits comme ceux de $f^{*}_{\mathcal H}$

$\mathcal H(A)$ […] […] […] une ligne et demie qui ne se lit pas

A. Il faudra faire attention, s'il ne faudrait pas nous borner ici aux $\ast$ $f$ cofibrantes. la fin du mot souligné est surchargée

Si $B = \Delta_0$, on trouve \[\mathcal H(A) \longrightarrow \mathrm{Hot}_{\mathcal H}\] noté $\int_A$, et appeler foncteur d'intégration, i.e. $\pi_A : A \to \Delta_0$, le prolongement $(\pi_A)_!$ jouant le rôle de un $\varinjlim_A$.

On a […], par transitivité, \[\int_A \mathcal X = \int_B f_!(\mathcal X)\] pour $f : A \to B$. NB L'existence des $f_!$ implique l'existence des sommes dans les $\mathcal H(A)$, et les $f^{*}$ bien sûr y commutent

(3) Opérations $\prod_A$ de cointégration, […] des $f^{\mathcal H}_{*}$ adjoints à droite des $f^{*}_{\mathcal H}$. (Hot 3) le 3 et « Hot 3 » sont cerclés

11p. 4 de l'auteur On déduit des foncteurs \[\prod_A = (\pi_A)_{*} : \mathcal H(A) \longrightarrow \mathrm{Hot}_{\mathcal H}\] l'égalité est écrite verticalement, $(\pi_A)_*$ sous $\prod_A$ \[\struck{\ast}\ \prod_A \mathcal X \simeq \prod_B f_{*}(\mathcal X).\] L'existence des $f^{\mathcal H}_{*}$ implique celle des produits dans les $\mathcal H(A)$, les $f^{*}$ y commutent.

Dualité Posons $\mathcal H^{\circ}(A) = \mathcal H(A)^{\circ}$ ; on trouve […] les \[f^{*}_{\mathcal H^{\circ}} = (f^{*}_{\mathcal H})^{\circ} : \mathcal H^{\circ}(B) \to \mathcal H^{\circ}(A),\] et \[\begin{cases} f^{\mathcal H^{\circ}}_{!} = (f^{\mathcal H}_{*})^{\circ} \\ f^{\mathcal H^{\circ}}_{*} = (f^{\mathcal H}_{!})^{\circ} \end{cases}\] Les opérations $\int$ et $\prod$ s'échangent.

Cas additif les $\mathcal H(A)$ […] cat. additives (resp. $k$-linéaires, $k$ anneau fixé), $f^{*}_{\mathcal H}$ additifs, alors les $f^{\mathcal H}_{!}$, $f^{\mathcal H}_{*}$ additifs.

13p. 5 de l'auteur Ex 1 $M$ catégorie, avec $\varinjlim$ et $\varprojlim$ quelconques. On pose \[\mathcal H(A) = \underline{\mathrm{Hom}}(A, M)\] Alors on sait que les foncteurs \[f^{*}_{M} : \underbrace{\underline{\mathrm{Hom}}(B, M)}_{\mathcal H(B)} \longrightarrow \underbrace{\underline{\mathrm{Hom}}(A, M)}_{\mathcal H(A)}\] associés aux $f : A \to B$ dans $(\mathrm{Cat})$, admettent des adjoints : à g. $f^{M}_{!}$ et à dr. $f^{M}_{*}$. les égalités $= \mathcal H(B)$ et $= \mathcal H(A)$ sont écrites verticalement sous les deux $\underline{\mathrm{Hom}}$

Ici $\mathrm{Hot}_{\mathcal H} = M$ condition triviale. Ici \[\begin{cases} \int_A = \varinjlim_A \\ \prod_A = \varprojlim_A \end{cases}\] — c'est bien connu.

Ex 2 Soit $(M, W)$, avec $W \subset \mathrm{Fl}(M)$. On définit \[W_A \subset \mathrm{Fl}\,\underline{\mathrm{Hom}}(A, M)\] […] […] fibre par fibre, et on pose \[\mathcal H(A) = W_A^{-1}\, \underline{\mathrm{Hom}}(A, M)\] l'existence des $f^{*}_{\mathcal H}$ est évidente. (Hot 1) est satisfait, puisque […] $\mathcal H(\coprod A_i) \simeq \prod_{i \in I} \mathcal H(A_i)$ […]

15p. 6 de l'auteur On s'intéresse aux cas où les $f^{*}_{\mathcal H}$ ont des adjoints : à g. $f^{\mathcal H}_{!}$ et à droite $f^{\mathcal H}_{*}$, une condition sur $W$.

Remarque Soit \[\underset{(W)}{M} \xrightarrow{\ f\ } \underset{(W')}{M'}\] tel que $f(W) \subset W'$. Alors \[\mathcal H_W(A) \Longrightarrow \mathcal H_{W'}(A)\] homomorphisme fonctoriel en $A$, (i.e. compatible aux $f^{*}_{W}$, $f^{*}_{W'}$), on ne sait nullement pas a priori qu'il « commute » […] aux $f_!$, $f_*$. Par exemple si $W, W'$ sont réduites aux iso, dans […] cette commutation signifie […] [(resp. […])] que $f$ commute aux $\varinjlim$ (resp. $\varprojlim$). Mais bien sûr si \[\mathcal H_W(A) \to \mathcal H_{W'}(A)\] est une équivalence la phrase se poursuit en tête de la page 17 ; l'argument de $\mathcal H_{W'}$ porte un exposant illisible

17p. 7 de l'auteur pour tt $A$, ça sera OK.

Voici un cas où il en sera ainsi : Supposons que $f$ admette un adjoint à droite (disons) $g$ satisfaisant aux conditions \[\text{(i)} \quad f^{-1}(W') = W\] \[\text{(ii)} \quad fg(X') \to X' \in W' \qquad \forall\, X' \in \mathrm{Ob}\, M'\] Alors \[\underline{\mathrm{Hom}}(A, M) \underset{g^{M}}{\overset{f^{M}}{\rightleftarrows}} \underline{\mathrm{Hom}}(A, M')\] sont adjoints l'un de l'autre, et les […] satisfont aux [mêmes] conditions pour $W_A, W'_A$. Donc « mêmes » est écrit « $=$s » ; dans les deux étiquettes $f^M$, $g^M$, une étoile est biffée \[\mathcal H_W(A) \underset{g^{A}_{W}}{\overset{f^{A}_{W}}{\rightleftarrows}} \mathcal H_{W'}(A)\] […] l'indice de $\mathcal H_W$ et du second terme sont surchargés ; la ligne qui suit le diagramme est biffée de plusieurs traits et ne se lit pas

Les théories $\mathcal H$ qui peuvent se décrire par les $(M, W)$ sont dites spéciales. Cela implique des conditions draconiennes, sur $(M, W)$

19p. 8 de l'auteur On peut se […] [proposer d'obtenir] une vue d'ensemble sur les $(M, W)$ qui donnent naissance à une théorie homotopique donnée $\mathcal H$. S'il y a […] Pour deux tels, $(M_1, W_1)$, $(M_2, W_2)$, peut-on trouver une troisième $(M, W)$, et une […] \[\begin{array}{c} (M_1, W_1) \longrightarrow (M, W) \\ (M_2, W_2) \nearrow \end{array}\] donnant naissance à l'iso. […] donné entre $\mathcal H_{W_1}$ et $\mathcal H_{W_2}$ ? les deux flèches vers $(M, W)$ sont dessinées l'une sous l'autre, la seconde oblique ; « proposer d'obtenir » et « $(M_1,W_1), (M_2,W_2)$, pour tels » sont en interligne

Ex 3 (Cas particulier)

$M = (\mathrm{Cat})$, $W$ un localisateur fondamental.

J'ai prouvé l'existence des $f_!$, mais non encore celle des $f_*$.

Il est possible qu'il faille pour les […] faire des hypothèses de finitude sur les $A, B$…

20p. 9 de l'auteur Ex 4 Autres cas particuliers. Soit $M =$ complexes d'une catégorie abélienne, et $W$ les quasi-isom. \[\underline{\mathrm{Hom}}(A, M) = \text{complexes de } \underline{\mathrm{Hom}}(A, \mathcal A)\] \[W_A = \text{quasi-isom.\ d'icelle.}\] $\mathcal H(A)$ catégorie dérivée de $\underline{\mathrm{Hom}}(A, \mathcal A)$. cette dernière ligne est interlinéaire, reliée par un crochet à $W_A$

Si p.ex. $\mathcal A =$ faisceaux de $k$-modules sur topos […] $\mathcal T$, alors \[\underline{\mathrm{Hom}}(A, \mathcal A) = \text{faisceaux de $k$-modules sur topos } A^{\circ\wedge} \times_{\mathrm{top}} \mathcal T\] et \[f^{*} : \underline{\mathrm{Hom}}(B, M) \to \underline{\mathrm{Hom}}(A, M)\] est le foncteur image inverse associé :

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\begin{tikzcd}
  A^{\circ\wedge} \times \mathcal T \arrow[d, "f^{\circ}_{\mathrm{top}} \times \mathrm{id}_{\mathcal T}"] \\
  B^{\circ\wedge} \times \mathcal T
\end{tikzcd}

à droite du diagramme, « l'induit est $(\mathrm{L} f^{\circ *})$ », lecture incertaine

Le foncteur [induit sur les catégories dérivées] a un adjoint à droite a un adjoint à droite $\mathrm{R}f_{*}$, […] généralement pas d'adjoint à gauche […] sauf si $\mathcal T =$ topos ponctuel i.e. $\mathcal A = (k\text{-Modules})$. Si pourtant, on se place au niveau des topos faisceaux d'ensembles, $(f^{\circ}_{\mathrm{top}})_!$ existe et est exact à gauche, donc au niveau des [complexes de] faisceaux abéliens il […] transforme quasi-isom. en q-isom., donc passe aux catégories dérivées en $\mathrm{L}f_!$. « induit sur les catégories dérivées » est en interligne, au-dessus de « à droite » ; « complexes de » aussi

Propriétés formelles […] [les commutations des foncteurs produits]

(Hot 4)

LaTeX source

\begin{tikzcd}
  A \arrow[r, "g'"] \arrow[d, "f"'] & A' \arrow[d, "f'"] \\
  B \arrow[r, "g"'] & B'
\end{tikzcd}

\[g^{*} f'_{!} \xleftarrow{\ \sim\ } f_{!}\, g'^{*} \quad \text{si $f$ cofibrant [ou $g$ fibrant ??]}\] \[g^{*} f'_{*} \xrightarrow{\ \sim\ } f_{*}\, g'^{*} \quad \text{si $f$ fibrant [ou $g$ cofibrant ??]}\] au centre du carré, « cart. » ; au-dessus de la première formule, deux lignes d'interligne en partie lisibles, où se lit « de $g^*$ » ; la flèche de la première est un $\simeq$ prolongé d'une pointe vers la gauche, lue $\xleftarrow{\sim}$ sans certitude

[Les formules sont « transposées » l'une de l'autre (par passage aux adjoints à droite, resp. à g.)]

(Hot 5) Si $A \xrightarrow{\ f\ } B$ pl. fid., alors \[f^{*}_{\mathcal H} : \mathcal H(B) \to \mathcal H(A) \quad \text{foncteur localisation}\] (i.e. \[f^{\mathcal H}_{*},\ f^{\mathcal H}_{!} : \mathcal H(A) \to \mathcal H(B) \quad \text{sont pl.\ fid.}\] et \[f^{*} f_{!} \simeq \mathrm{id}, \qquad f^{*} f_{*} \simeq \mathrm{id}\,)\]

(Hot 6) Si $f : A \to B$ localisation, alors \[f^{*}_{\mathcal H} : \mathcal H(B) \to \mathcal H(A) \quad \text{pl.\ fid., i.e.}\] \[f^{\mathcal H}_{!},\ f^{\mathcal H}_{*} \quad \text{foncteurs loc.} \quad \struck{\text{iso}} \quad \text{et} \quad f_! f^{*} \simeq \mathrm{id} \simeq f_{*} f^{*}\] la dernière formule est écrite au pied du feuillet, serrée contre le bord ; lue sans certitude

Structure des dérivateurs

Théorie (de variance) homotopique \(\mathcal H\)