Fonds Grothendieck, cote n° 117, pages 1–20 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-23)Opus 5.5 (claude-opus-5-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-09-25
Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription
est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une
machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La
source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.
https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)117
Théories homotopiques : notes manuscrites (1983, s.d.).
Pages 1 à 20 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 1 de vingt pages.
Les pages absentes de la transcription ne portent pas de
mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.1983Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/117.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement
par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \add devient
supplied ; \struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
\note devient note[@type='editorial']
(du transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
Les mathématiques sont transportées en TeX dans
formula[@notation='TeX'], les diagrammes
commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'],
sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une
formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de
la formule, sous les mêmes macros.
Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une
faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurPremière passe de transcription.Export TEI depuis la source LaTeX.
Structure des dérivateurs
titre de sa main, encadré en tête du feuillet 1
déc. 83souligné, en haut à droite du feuillet
\underline{\mathrm{Hom}}
Donnée\mathcal H(I),
(1) \quad \mathrm{Hom}(x, y) \in \mathrm{Ens}
\qquad\qquad
\mathrm{Hom}(x, y) \simeq \pi_0(\mathrm{Homhot}(x, y))(2) \quad \mathrm{Homhot}(x, y) \in (\mathrm{Hot})
\qquad\qquad
\mathrm{Homhot}(x, y) \simeq \int_I \underline{\mathrm{Homhot}}(x, y)le premier terme de la seconde formule de droite est surchargé ; lu
\mathrm{Homhot} sans certitude(3) \quad \boxed{\underline{\mathrm{Homhot}}(x, y) \in \mathrm{Hot}(I)}l'indice de \mathrm{Hot} dans l'encadré est surchargé et ne se lit
pas
Soit f : I \to J, , pour X dans \mathcal H(I), Y dans
\mathcal H(J),
(1') \quad \mathrm{Hom}(f_!(X), Y) \simeq \mathrm{Hom}(X, f^{*}Y)
adjonction
(2') \quad \mathrm{Homhot}(f_!(X), Y) \simeq \mathrm{Homhot}(X, f^{*}(Y))et plus complète, donnant(1') en passant aux
\pi_0lecture de toute la ligne incertaine(3') \quad \boxed{\underline{\mathrm{Homhot}}(f_!X, Y) \simeq f_{*}\,
\underline{\mathrm{Homhot}}(X, f^{*}(Y))}
donnant (2') en intégrant \int_J.
dualesce mot, écrit en long dans la marge gauche, est
relié par un crochet aux deux groupes de formules(1'') \quad \mathrm{Hom}(f^{*}(Y), X) \simeq \mathrm{Hom}(Y, f_{*}(X))(2'') \quad \mathrm{Homhot}(f^{*}(Y), X) \simeq \mathrm{Homhot}(Y, f_{*}(X))dans (1'') et (2'') le signe \simeq est traversé d'un trait
sinueux qui relie les deux lignes ; au-dessus de (1''), un petit
« = » isolé(3'') \quad \boxed{\underline{\mathrm{Homhot}}(Y, f_{*}(X)) \simeq f_{*}\,
\underline{\mathrm{Homhot}}(f^{*}Y, X)}dans (3'') le premier argument est d'abord écrit, puis biffé et
remplacé par Y ; sous l'encadré, un f_* isolé, comme une étiquette
brouillon sur le même papier de listing, sans phrase ; les formules
sont données dans l'ordre de la page, les croquis décrits\pi_0(x, y) = \mathrm{Hom}_{\mathcal H}(x, y) \qquad
\pi_1(x, y ; f) = \struck{\ill{}}x \xrightarrow{\ f\ } y \qquad
\mathcal H(\Delta_1) \to \mathcal H(\Delta_0) \times \mathcal H(\Delta_0),
\quad \varphi \longmapstoJ \hookrightarrow I \qquad X_J \qquad \mathcal H(J) \qquad
\mathcal H(I, J) \qquad \mathcal H(I) \to \mathcal H(J)X_i \to X_J, \qquad Y_i \to Y_J\pi_1(x, y ; f, g)ce dernier symbole est précédé d'un croquis : deux flèches f et g
de x vers y, une double flèche verticale entre elles ; ailleurs sur la
page, plusieurs croquis de 2-flèches entre deux flèches x \rightrightarrows
y, et un cycle de flèches alternées entre x et y
\mathcal H(\Delta_1) \qquad \longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow
\qquad M \ W \qquad \mathrm{Hot}
\pi_W(x, y) =
\underline{\mathrm{Hom}}\mathrm{Cl}\,(M, W)au pied de la feuille, rognée, une ligne où se lisent seulement
M et (\mathrm{Cat})
Modèles — leur importance, leur indétermination.Suites exactes longues (évt. de deux types) associées à une
flèche — liées à la construction des cylindre et cocylindre d'un
objet, modèle, et des cylindres et cocylindre d'une
application entre modèles.Notion de résolution d'un modèle (gauche ou droite) formalisme
des foncteurs dérivés (quand il y a deux th. homotopiques en
présence) « en présence » est écrit sous la ligne ; la lettre c)
est cercléeNotions homotopiques sur modèles (structures homotopiques :
W, cofibr., homotopismes…) « Résolutions définies à
homotopie près ».
mais ce sont des notions intermédiaires pour la
construction des cat. dérivéesHomotopies entre applications, homotopies entre homotopies
etc. On a sans doute , pour deux modèlesX, Y un objet \mathrm{Hom}(X, Y) dans \mathrm{Hot}ou
« simplicial »= un complexe de type convenable,
explicitant leur donnant naissance dans \mathcal H aux
\mathrm{Hom} extérieurs à valeurs en \mathrm{Hot} —, ou
dans une théorie plus riche \mathrm{Hot} — (dans Quillen, il y a
des \mathrm{Hom} simpliciaux)
« ou “simplicial” » est interlinéaire, sous
\mathrm{Hom}(X, Y) ; la phrase qui suit « convenable » ne se lit que
par morceauxf) Cf. plus basOpérations de , soit grossières
sur modèles, soit délicates sur \mathcal H.Invariants \pi_i ou H_i, à valeurs dans une
catégorie (souvent abélienne) associée à la théorie.
les lettres de ces deux derniers items sont surchargées à l'encre
noire au point de ne plus se lire ; elles sont restituées d'après la note
marginale, qui les nommef) et g) sont des aspects particulièrement peu
compris
Possibilité de définir des invariants
K(\mathcal H) via « triangles exacts », voir K_isupérieurs d'une théorie homotopique. (Cas additif
seulement ?!?)Souvent il y a des\underline{\mathrm{Hom}}
internes dans \mathcal H, avec desune formules du type
\mathrm{Hom}(\xi, \eta) = \Gamma\, \underline{\mathrm{Hom}}(\xi, \eta)\Gamma \text{ ou } \pi_0 : \mathcal H \to \mathrm{Ens}
foncteur important (souvent \mathrm{Hom}(1, -), avec 1 un obj.
final…) Souvent aussi, structure multiplicative (soit produit
cartésien, soit un produit \otimes) avec une formule
\mathrm{Hom}(x \otimes y, z) \simeq \mathrm{Hom}(x,
\underline{\mathrm{Hom}}(y, z))
les deux lettres d'item sont surchargées (un h sur un i, un i
sur un h, semble-t-il) ; une longue flèche, dans la marge gauche, part du
second item vers le haut de la page, vers le premier ; « (des) » est
interlinéaire, au-dessus de « Hom »Structure multiplicative et structure \mathrm{Hom}(24.11.83) relations entre \underline{\mathrm{Hom}} internes
et les \mathrm{Homhot}(x, y) \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Hot} dans e) ??
Sauf peut-être les structures f) et g)), il semble que tout puisse se
décrire en termes de (M, W \subset \mathrm{Fl}(M)).
Dégager les bons axiomes
Théorie (de variance) homotopique \mathcal H
première ligne du feuillet 5, de sa main ; c'est le début d'une suite
qu'il pagine lui-même de 1 à 9, au milieu du bord supérieur
p. 1 de l'auteur(1) Variance
Elle associe à toute petite catégorie A\in \mathrm{Ob}\,(\mathrm{Cat})(ou non petite) une
catégorie (non néc. petite si A l'est)
(1) \qquad \boxed{A \longmapsto \mathcal H(A)}et de plus quequi 2-contravariante
en A (de façon stricte)
(2) \qquad
\begin{array}{c} f : A \to B \\ \text{foncteur entre $U$-catégories}
\end{array}
\quad \text{implique} \quad
\mathcal H(B) \xrightarrow{\ f^{*}_{\mathcal H}\ } \mathcal H(A)
(). On pose
(3) \qquad \mathcal H(\Delta_0) = \mathrm{Hot}_{\mathcal H} on a donc pour A un foncteur
(4) \qquad \mathcal H(A) \xrightarrow{\ \alpha_A\ }
\underline{\mathrm{Hom}}(A, \struck{\mathrm{Hot}}\ \mathrm{Hot}_{\mathcal H}),
\qquad
\mathcal X \longmapsto \big(a \longmapsto (i_a)^{*}_{\mathcal H}(\mathcal X)\big)
où
i_a : \Delta_0 \longrightarrow A \quad \text{foncteur de valeur } a
(NB Pour tt B, on a
\underline{\mathrm{Hom}}(B, A) \longrightarrow
\underline{\mathrm{Hom}}(\mathcal H(A), \mathcal H(B))
d'où
\mathcal H(A) \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}(\underline{\mathrm{Hom}}(B, A),
\mathcal H(B))
si B = \Delta_0, on trouve (4).)
Pour f : A \to B morphisme de catégories, on a donc
carré numéroté (5) en marge ; l'étiquette de la flèche du bas est
écrite sous elle, avec une parenthèse fermante
(Hot 1) si A = \coprod_{i \in I} A_i, alors
\mathcal H(A) \xrightarrow{\ \sim\ } \prod_{i \in I} \mathcal H(A_i)iso
(2)\int (intégration).
le 2 est cerclé, comme « (Hot 1) »
Pour toutetoute flèche f : A \to BA petite,
i.e. A \in \mathrm{Ob}\,(\mathrm{Cat}), on donne
(6) \qquad \boxed{\mathcal H(A) \xrightarrow{\ \underline{L}_A\ }
\mathcal H(A^{\wedge})}rendant commutatif (7) \qquad \mathcal H(A) \xrightarrow{\ \underline{L}_A\ }
\mathcal H(A^{\wedge}) \xrightarrow{\ (\varepsilon_A)^{**}_{\mathcal H}\ }
\mathcal H(A),
\qquad \text{composé} = \mathrm{id}_{\mathcal H(A)}
où
\varepsilon_A : A \hookrightarrow A^{\wedge}est l'inclusion canonique.
(Hot 2)souligné, en marge de (7) ; au-dessus
de (\varepsilon_A)^{**}_{\mathcal H}, un mot biffé illisible
Hot 3\forall f : A \to B dans (\mathrm{Cat}),
\exists f_! : \mathcal H(A) \to \mathcal H(B), à
isomorphisme près, tel qu'on ait commutativité
carré numéroté (8) en marge. Tout le passage de (6) à (8) est barré de
longs traits obliques : c'est une première version de l'intégration,
abandonnée, que la page 9 remplace par (Hot 2)
p. 3 de l'auteur
On suppose
(Hot 2)\forall f : A \to B dans \mathrm{Cat}, le foncteur
f^{*} : \mathrm{Hot}(A)f^{*}_{\mathcal H} : \mathcal H(B) \to \mathcal H(A)
a un adjoint à gauchef^{\mathcal H}_{!} : \mathcal H(B) \to \mathcal H(A)sic : le but et la source de f^{\mathcal H}_! sont écrits comme ceux
de f^{*}_{\mathcal H}
\mathcal H(A)une ligne et demie qui
ne se lit pas
A. Il faudra faire attention, s'il ne faudrait pas
nous borner ici aux \astfcofibrantes.
la fin du mot souligné est surchargée
Si B = \Delta_0, on trouve
\mathcal H(A) \longrightarrow \mathrm{Hot}_{\mathcal H}
noté \int_A, et appeler foncteur d'intégration,
i.e. \pi_A : A \to \Delta_0, le prolongement(\pi_A)_!
jouant le rôle de un \varinjlim_A.
On a , par transitivité,
\int_A \mathcal X = \int_B f_!(\mathcal X)pourf : A \to B.
NB L'existence des f_! implique l'existence des sommes
dans les \mathcal H(A), et les f^{*} bien sûr y
commutent
(3) Opérations \prod_A de cointégration, des
f^{\mathcal H}_{*} adjoints à droite des f^{*}_{\mathcal H}.
(Hot 3)le 3 et « Hot 3 » sont cerclés
p. 4 de l'auteur
On déduit des foncteurs
\prod_A = (\pi_A)_{*} : \mathcal H(A) \longrightarrow \mathrm{Hot}_{\mathcal H}l'égalité est écrite verticalement, (\pi_A)_* sous \prod_A\struck{\ast}\ \prod_A \mathcal X \simeq \prod_B f_{*}(\mathcal X).L'existence des f^{\mathcal H}_{*} implique celle des produits
dans les \mathcal H(A), les f^{*} y commutent.
Dualité Posons \mathcal H^{\circ}(A) = \mathcal H(A)^{\circ} ;
on trouve
les
f^{*}_{\mathcal H^{\circ}} = (f^{*}_{\mathcal H})^{\circ} :
\mathcal H^{\circ}(B) \to \mathcal H^{\circ}(A),
et
\begin{cases}
f^{\mathcal H^{\circ}}_{!} = (f^{\mathcal H}_{*})^{\circ} \\
f^{\mathcal H^{\circ}}_{*} = (f^{\mathcal H}_{!})^{\circ}
\end{cases}
Les opérations \int et \prod s'échangent.
Cas additif les \mathcal H(A) cat.
additives (resp. k-linéaires, k anneau fixé), f^{*}_{\mathcal H}
additifs, alors les f^{\mathcal H}_{!}, f^{\mathcal H}_{*} additifs.
p. 5 de l'auteurEx 1M catégorie, avec \varinjlim et \varprojlim
quelconques. On pose
\mathcal H(A) = \underline{\mathrm{Hom}}(A, M)
Alors on sait que les foncteurs
f^{*}_{M} : \underbrace{\underline{\mathrm{Hom}}(B, M)}_{\mathcal H(B)}
\longrightarrow \underbrace{\underline{\mathrm{Hom}}(A, M)}_{\mathcal H(A)}
associés aux f : A \to B dans (\mathrm{Cat}), admettent des adjoints : à
g. f^{M}_{!} et à dr. f^{M}_{*}.
les égalités = \mathcal H(B) et = \mathcal H(A) sont écrites
verticalement sous les deux \underline{\mathrm{Hom}}
Ici \mathrm{Hot}_{\mathcal H} = M condition triviale. Ici
\begin{cases}
\int_A = \varinjlim_A \\
\prod_A = \varprojlim_A
\end{cases}
— c'est bien connu.
Ex 2 Soit (M, W), avec W \subset \mathrm{Fl}(M). On
définit
W_A \subset \mathrm{Fl}\,\underline{\mathrm{Hom}}(A, M) fibre par fibre, et on pose
\mathcal H(A) = W_A^{-1}\, \underline{\mathrm{Hom}}(A, M)l'existence desf^{*}_{\mathcal H} est évidente.
(Hot 1) est satisfait, puisque \mathcal H(\coprod A_i) \simeq \prod_{i \in I} \mathcal H(A_i)
p. 6 de l'auteur
On s'intéresse aux cas où les f^{*}_{\mathcal H} ont des adjoints : à
g. f^{\mathcal H}_{!} et à droite f^{\mathcal H}_{*}, une condition sur
W.
Remarque Soit
\underset{(W)}{M} \xrightarrow{\ f\ } \underset{(W')}{M'}
tel que f(W) \subset W'. Alors
\mathcal H_W(A) \Longrightarrow \mathcal H_{W'}(A)
homomorphisme fonctoriel en A, (i.e. compatible
aux f^{*}_{W}, f^{*}_{W'}), on ne sait nullement pas a priori
qu'il « commute » aux f_!, f_*. Par exemple si W, W' sont
réduites aux iso, dans cette commutation signifie(resp. ) que f commute aux
\varinjlim (resp. \varprojlim). Mais bien sûr si
\mathcal H_W(A) \to \mathcal H_{W'}(A)
est une équivalence
la phrase se poursuit en tête de la page 17 ; l'argument de
\mathcal H_{W'} porte un exposant illisible
p. 7 de l'auteur
pour tt A, ça sera OK.
Voici un cas où il en sera ainsi : Supposons que f admette un adjoint à
droite (disons) g satisfaisant aux conditions
\text{(i)} \quad f^{-1}(W') = W\text{(ii)} \quad fg(X') \to X' \in W' \qquad \forall\, X' \in \mathrm{Ob}\, M'
Alors
\underline{\mathrm{Hom}}(A, M)
\underset{g^{M}}{\overset{f^{M}}{\rightleftarrows}}
\underline{\mathrm{Hom}}(A, M')
sont adjoints l'un de l'autre, et les satisfont aux
mêmes conditions pour W_A, W'_A. Donc« mêmes » est écrit « =s » ; dans les deux étiquettes f^M, g^M,
une étoile est biffée\mathcal H_W(A)
\underset{g^{A}_{W}}{\overset{f^{A}_{W}}{\rightleftarrows}}
\mathcal H_{W'}(A)l'indice de \mathcal H_W et du second terme sont surchargés ; la
ligne qui suit le diagramme est biffée de plusieurs traits et ne se lit
pas
Les théories \mathcal H qui peuvent se décrire par les (M, W) sont
dites spéciales. Cela implique des conditions draconiennes, sur
(M, W)
p. 8 de l'auteur
On peut se proposer d'obtenir une vue d'ensemble sur
les (M, W) qui donnent naissance à une théorie homotopique donnée
\mathcal H. S'il y a Pour deux tels, (M_1, W_1),
(M_2, W_2), peut-on trouver une troisième (M, W), et une
\begin{array}{c}
(M_1, W_1) \longrightarrow (M, W) \\
(M_2, W_2) \nearrow
\end{array}
donnant naissance à l'iso. donné entre \mathcal H_{W_1}
et \mathcal H_{W_2} ?
les deux flèches vers (M, W) sont dessinées l'une sous l'autre, la
seconde oblique ; « proposer d'obtenir » et « (M_1,W_1), (M_2,W_2), pour
tels » sont en interligne
Ex 3 (Cas particulier)
M = (\mathrm{Cat}), W un localisateur fondamental.
J'ai prouvé l'existence des f_!, mais non encore celle des
f_*.
Il est possible qu'il faille pour les faire des hypothèses de
finitude sur les A, B…
p. 9 de l'auteurEx 4 Autres cas particuliers. Soit
M = complexes d'une catégorie abélienne, et W les quasi-isom.
\underline{\mathrm{Hom}}(A, M) = \text{complexes de }
\underline{\mathrm{Hom}}(A, \mathcal A)W_A = \text{quasi-isom.\ d'icelle.}\mathcal H(A) catégorie dérivée de \underline{\mathrm{Hom}}(A, \mathcal A).
cette dernière ligne est interlinéaire, reliée par un crochet à
W_A
Si p.ex. \mathcal A = faisceaux de k-modules sur topos
\mathcal T, alors
\underline{\mathrm{Hom}}(A, \mathcal A) = \text{faisceaux de $k$-modules
sur topos } A^{\circ\wedge} \times_{\mathrm{top}} \mathcal T
et
f^{*} : \underline{\mathrm{Hom}}(B, M) \to \underline{\mathrm{Hom}}(A, M)
est le foncteur image inverse associé :
\begin{tikzcd}
A^{\circ\wedge} \times \mathcal T \arrow[d, "f^{\circ}_{\mathrm{top}} \times \mathrm{id}_{\mathcal T}"] \\
B^{\circ\wedge} \times \mathcal T
\end{tikzcd}
à droite du diagramme, « l'induit est(\mathrm{L}
f^{\circ *}) », lecture incertaine
Le foncteur induit sur les catégories dérivéesa un adjoint
à droite a un adjoint à droite\mathrm{R}f_{*},
généralement pas d'adjoint à gauche sauf si
\mathcal T = topos ponctuel i.e. \mathcal A = (k\text{-Modules}). Si
pourtant, on se place au niveau des topos faisceaux
d'ensembles, (f^{\circ}_{\mathrm{top}})_! existe et est exact à gauche,
donc au niveau des complexes de faisceaux abéliens il
transforme quasi-isom. en q-isom., donc passe aux
catégories dérivées en \mathrm{L}f_!.
« induit sur les catégories dérivées » est en interligne, au-dessus de
« à droite » ; « complexes de » aussi
Propriétés formellesles commutations des foncteurs produits
(Hot 4)
\begin{tikzcd}
A \arrow[r, "g'"] \arrow[d, "f"'] & A' \arrow[d, "f'"] \\
B \arrow[r, "g"'] & B'
\end{tikzcd}
g^{*} f'_{!} \xleftarrow{\ \sim\ } f_{!}\, g'^{*}
\quad \text{si $f$ cofibrant [ou $g$ fibrant ??]}g^{*} f'_{*} \xrightarrow{\ \sim\ } f_{*}\, g'^{*}
\quad \text{si $f$ fibrant [ou $g$ cofibrant ??]}au centre du carré, « cart. » ; au-dessus de la première formule, deux lignes d'interligne en partie
lisibles, où se lit « de g^* » ; la flèche de la première est un
\simeq prolongé d'une pointe vers la gauche, lue \xleftarrow{\sim} sans
certitude
[Les formules sont « transposées » l'une de l'autre
(par passage aux adjoints à droite, resp. à g.)]
(Hot 5) Si A \xrightarrow{\ f\ } B pl. fid., alors
f^{*}_{\mathcal H} : \mathcal H(B) \to \mathcal H(A) \quad \text{foncteur
localisation}
(i.e.
f^{\mathcal H}_{*},\ f^{\mathcal H}_{!} : \mathcal H(A) \to \mathcal H(B)
\quad \text{sont pl.\ fid.}
et
f^{*} f_{!} \simeq \mathrm{id}, \qquad f^{*} f_{*} \simeq \mathrm{id}\,)
(Hot 6) Si f : A \to B localisation, alors
f^{*}_{\mathcal H} : \mathcal H(B) \to \mathcal H(A) \quad \text{pl.\ fid.,
i.e.}f^{\mathcal H}_{!},\ f^{\mathcal H}_{*} \quad \text{foncteurs loc.}
\quad \struck{\text{iso}} \quad \text{et} \quad
f_! f^{*} \simeq \mathrm{id} \simeq f_{*} f^{*}la dernière formule est écrite au pied du feuillet, serrée contre le
bord ; lue sans certitude