Cote n° 11 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Formalisme des correspondances : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1961]
Édition de démonstration

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Sous-anneaux bivariants sur \(\mathcal{V}\)

Les titres de section reprennent ses propres mots en tête de page. La page 22 reprend les sous-foncteurs \(A' \subset A\) stables de la page 20 (lot précédent) ; aucune phrase ne franchit la limite des pages 20 et 21.

22

[…] Sommes

Sous-anneaux bivariants sur \(\mathcal{V}\). [satisfaisant […] compte les form. de proj. et d'échange]

Intersection de tels est idem ; définition du foncteur « stable » engendré. Soit \(A_{sp} \subset A\) le plus petit ss-foncteur stable

engendré. La ligne s'arrête après « stable » et « engendré. » est seul sur la suivante : ce qui engendre \(A_{sp}\) n'est pas dit sur la page.

NB \(A_{sp}(X)\) contient les \(f_{*}(U_{Y})\) pour \(f : Y \to X\) dans \(\mathcal{V}\). Dans beaucoup de cas importants, il est \(=\) identique à l'ens. des \(f_{*}(U_{Y})\) pour tous les \(f : Y \to X\) dans \(\mathrm{Ob}(\mathcal{V}_{/X})\). Cela marche p. ex. si \(\mathcal{V}\) la catégorie des schémas projectifs lisses […] sur \(k\) alg. clos, dans les cas envisagés plus haut, — dans car. 0 si on admet la résolution des singularités. \(U_{Y}\) est l'élément unité de \(A(Y)\), noté ailleurs \(1_{Y}\).

\(A' \subset A\) donné, stable

Une application \(A(X_{1}) \times \dots \times A(X_{n}) \to A(X)\) est dite du type \(A'\) si elle est de la forme \[x_{1}, \dots, x_{n} \longmapsto u(x_{1} \boxtimes \dots \boxtimes x_{n})\] avec \(u \in A'(X_{1} \times \dots \times X_{n} \times X)\). En […] particulier, cas défini si \(n = 1\). Composées […] [de] telle[s] applications : \(\varphi\) […] une application \(\psi : A(X) \to A(X')\) qui est de type \(A'\), […] est une application qui est du type \(A'\). Plus général. Plus général. De […], […] comp. des applications des applications \((X_{i})_{i \in I}\) \[\begin{aligned} \varphi(X_{1}, \dots, X_{n}) &: A(X_{1}) \times \dots \times A(X_{n}) \to A(X) \\ \psi(Y_{1}, \dots, Y_{m}) &: A(Y_{1}) \times \dots \times A(Y_{m}) \to A(Y) \end{aligned}\] […] avec \(\chi : A(X) \times A(Y) \to A(Z)\)

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avec \(\varphi, \psi, \chi\) du type \(A'\), on trouve une application \(A(X\) \[\chi(\varphi, \psi) : A(X_{1}, \dots, X_{n}) \times A(Y_{1}) \times \dots \times A(Y_{m}) \to A(Z)\] qui est \(A'\)-admissible du type \(A'\) [:] de type \(A'\).

Dans le produit des deux applications admissibles du type \(A'\) [[…]] est \(A'\) du type \(A'\), i.e. \(=\) le produit par un élément de \(A'(X)\).

Application Soit \(E \subset \mathcal{V}\), et […] […] \(X \in \mathcal{V}\), supposons donné un \(E_{X}\) \(\subset\) \(A(X)\) (qui peut être vide).

Alors le plus petit sous-foncteur stable \(B \subset A\) contenant \(A'\) et les \(E_{X}\) est défini ainsi : \(B(X) =\) ensemble des éléments de \(A(X)\) dans \(A'(X)\) \(A'(X) \cup\) […] de la forme \(\varphi(x_{1}, \dots, x_{n})\), où \(\varphi\) est une application \(A'\)-admissible de \(A(X_{1}) \times \dots \times A(X_{n})\), les \(X_{i} \in \mathrm{Ob}\, \mathcal{V}\), \(x_{i} \in E(X_{i})\) pour \(i = 1, \dots, n\).

En effet, les \(B(X)\) [ainsi définis] sont stables par images directes et inverses, et contiennent les \(1\), et les \(A'\) ; réciproquement il […] par […] de \(\mathcal{V}\) […] pour […] par multiplication OK.

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Le haut de la page, jusqu'au trait horizontal, est barré de deux longs traits obliques ; il se lit.

\begin{tikzcd}
A \times B \arrow[r, "s_{A,B}"] \arrow[d, "f \times g"'] & B \times A \arrow[d, "g \times f"] \\
A' \times B' \arrow[r, "s_{A',B'}"] & B' \times A'
\end{tikzcd}

\[(g \times f)_{*}\bigl(s(x \otimes y)\bigr) = (g \times f)_{*}(y \otimes x)(-1)^{xy} = g_{*}(y) \otimes f_{*}(x)\,(-1)^{xy + fx}\] \[s\bigl((f \times g)_{*}(x \otimes y)\bigr) = s\bigl(f_{*}(x) \otimes g_{*}(y)\bigr)(-1)^{gx} = g_{*}(y) \otimes f_{*}(x)\,(-1)^{gx + (x+f)(y+g)}\] \[(-1)^{xy + fx + gx + gx + fy + xy + fg} \qquad (-1)^{f(x+y+g)} \qquad (-1)^{fy + gx + fg}\] \(= (-1)^{(f+x)(g+y)}\) Dans la première formule de cette ligne, les termes \(xy\), \(gx\), \(gx\), \(xy\) sont barrés un à un, laissant \(fx + fy + fg\) ; dans la dernière, un \(xy\) est barré devant \(fy\). Les exposants \(fx\) et \(gx\) des deux lignes précédentes sont cerclés.

A

Un grand « A » souligné ouvre la section ; « \(\mathcal{V}^{\circ}\) » est écrit au-dessus du « 1) ».

1) Catégorie \(\mathcal{V}^{\circ}\) des alg. de Poincaré \(A\) sur \(k\) : alg. graduées anticommutatives de t.f. à degrés \(\geq 0\), munie d'un hom. \(\kappa_{A} : A \to k\) de degré \(d^{\circ}(A)\) dépendant de \(A\) tel que \((x, y) \mapsto \kappa_{A}(xy)\) soit une forme strictement non dégénérée — Il écrit \(k_{A}\) ; la lettre est notée \(\kappa_{A}\) pour la distinguer de l'anneau \(k\), comme dans le lot 3. « strictement » est ajouté au-dessus de « non ». […] de \(\mathcal{V}^{\circ}\) […]

Les hom. [de] \(\mathcal{V}^{\circ}\) : ce sont les hom. d'algèbres graduées, sans plus (donc il n'est pas question dans la définition de \(\mathcal{V}^{\circ}\) hom. des \(\kappa_{A}\)).

NB Un morph. de cette catégorie n'est pas nécessairement compatible avec les \(\kappa_{A}\), \(\kappa_{B}\).

2) Foncteur contravariant \(\varphi : (\mathcal{V}^{\circ})^{\circ} = \mathcal{V} \to \mathrm{Modgrad}(k)\) a) sur les objets : \(\varphi(A) = A\) dénuée de la multiplication

b) sur les morphismes : soit \(f^{*} : B \to A\), on pose \(\varphi(f^{*}) = f_{*} : A \to B\) défini par la condition que \[\kappa_{A}\bigl(f^{*}(b)\, a\bigr) = \kappa_{B}\bigl(b\, f_{*}(a)\bigr)\] On vérifie \(\varphi(g^{*} f^{*}) = \varphi(f^{*})\, \varphi(g^{*})\), \(\varphi(\mathrm{id}) = \mathrm{id}\), et formule de proj. \[f_{*}(a)\, b = f_{*}\bigl(a\, f^{*} b\bigr)\] et \(\kappa_{B}(f_{*}(a))\) \(\kappa_{B} f_{*} = \kappa_{A}\).

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Donc on trouve un foncteur contravariant \[\mathcal{V} \longrightarrow \text{algèbres bivariantes graduées}\]

3) Dans \(\mathcal{V}^{\circ}\) il y a […] il y a objet initial : \(k\).

Si \(A, B \in \mathcal{V}^{\circ}\), il existe un coproduit dans \(\mathcal{V}^{\circ}\) (produit dans \(\mathcal{V}\)), savoir le produit tensoriel gauche \(A \otimes B\). Si \(f^{*} : A \to A'\), \(g^{*} : B \to B'\), alors \(f^{*} \otimes g^{*} : A \otimes B \to A' \otimes B'\) défini par \[f^{*} \otimes g^{*}(a \otimes b) = f^{*}(a) \otimes g^{*}(b)\] et l'hom. \(A \otimes B\) [correspondant […]] des coproduits. […] On convient de […] défini par (produit tensoriel gauche d'homom. homogènes de degrés gradués) \[\kappa_{A \otimes B} = \kappa_{A} \otimes \kappa_{B}\] produit tensoriel gauche d'homom. homogènes des produits gradués i.e. \(\kappa_{A \otimes B}(x \otimes y) = \kappa_{A}(x)\,\kappa_{B}(y)\,(-1)^{Bx}\) […] \[\varphi(f^{*} \otimes g^{*}) = \varphi(f^{*}) \otimes \varphi(g^{*})\] Le passage est surchargé : deux mots encadrés et barrés à gauche de la formule, des renvois qui se croisent ; l'ordre donné ici est celui des flèches.

i.e. \[(*) \qquad (f \times g)_{*}(a' \otimes b') = f_{*}(a') \otimes g_{*}(b')\,(-1)^{g a'}\] Mais c'est faux si on ne suppose pas \(f\) et \(g\) de degrés pairs.

Les deux membres de formule \((*)\) diffèrent par un facteur \[(-1)^{ag + bf + Bf}\]

Si dans la définition de \(\kappa_{A \otimes B}\) on n'avait pas mis de signe \((-1)^{Bx}\), les signes qui viendraient comme […] seraient \[(-1)^{a'g + bf}\]

Si en plus on se dispensant des produits tordus, et qu'on prend […] le signe \((-1)^{g a'}\), on trouverait un signe \[(-1)^{bf} = (-1)^{B'f}\]

Si on prenant \(\kappa\) tordu, \(\otimes\) ordinaire, le signe serait \[(-1)^{bf + (AB + A'B')}\]

C'est donc le signe […] prend tout ordinaire (\(\kappa_{A \otimes B} = \kappa_{A} \otimes \kappa_{B}\) et \(f_{*} \otimes g_{*}\)) qui est le plus simple. On trouve donc \[\boxed{\ (f \times g)_{*} = \bigl(f_{*} \overset{\mathrm{ord}}{\otimes} g_{*}\bigr)\bigl(\mathrm{id}_{A} \otimes [(-1)^{B}]_{B'}^{\deg f}\bigr)\ }\] Le second facteur est surchargé : le crochet \([(-1)^{B}]\), l'indice \(B'\) et l'exposant « \(\deg f\) » se lisent, leur disposition exacte est douteuse. […] Il n'y a aucun signe dès que \(f\) est pair.

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Pour la suite, on se borne aux \(f = (f^{*}, f_{*})\) de degré pair, donc on trouve \((f \times g)_{*} = f_{*} \overset{\mathrm{ord}}{\otimes} g_{*}\).

Considérons l'isom. de symétrie de \(A \otimes B\) sur \(B \otimes A\) [considérés comme produits cart. dans \(\mathcal{V}\)], on vérifie que c'est \(s(x \otimes y) = (-1)^{xy}\, y \otimes x\). On a bien, comme il convient \[(g \times f)_{*}\bigl(s(x \otimes y)\bigr) = s\bigl((f \times g)_{*}(x \otimes y)\bigr)\] \[\begin{aligned} s(x \otimes y) &= y \otimes x\,(-1)^{xy}, & (f \times g)_{*}(x \otimes y) &= f_{*}(x) \otimes g_{*}(y), \\ g_{*}(y) \otimes f_{*}(x)\,(-1)^{xy} &\ \Vert & g_{*}(y) \otimes f_{*}(x)\,&(-1)^{(x+f)(y+g)} . \end{aligned}\] Sur la page, les deux membres sont développés sous des accolades ; les deux derniers termes sont égaux puisque \(f\) et \(g\) sont pairs.

Prouvons les formules de permutation

\begin{tikzcd}
X \arrow[d, "f"'] & X \times S \arrow[l, "q"'] \arrow[d, "f'"] \\
Y & Y \times S \arrow[l, "p"]
\end{tikzcd}

\[\left\{ \begin{aligned} p^{*}\bigl(f_{*}(x)\bigr) &= f'_{*}\bigl(q^{*}(x)\bigr) \\ f^{*}\bigl(p_{*}(m)\bigr) &= q_{*}\bigl(f'^{*}(m)\bigr) \end{aligned} \right.\] Sous la flèche \(p\), une étoile est ajoutée puis surchargée : \(p^{*}\).

\begin{tikzcd}
B \arrow[r, "q^{*}(b) = b \otimes 1"] & B \otimes R \\
A \arrow[u, "f^{*}"] \arrow[r, "p^{*}(a) = a \otimes 1"'] & A \otimes R \arrow[u, "f^{*} \otimes \mathrm{id}_{R} = f'^{*}"']
\end{tikzcd}

« \(x \in B\) » est écrit devant le \(B\) du carré. Au coin supérieur droit, un \(A\) est surchargé en \(R\).

\[f_{*}(x) \otimes 1 = (f_{*} \otimes 1)(x \otimes 1) \qquad \text{OK}\] \[f^{*}\bigl((\mathrm{id}_{A} \otimes \kappa_{R})(a \otimes r)\bigr) \overset{?}{=} (\mathrm{id}_{B} \otimes \kappa_{R})(f^{*} \otimes \mathrm{id}_{R})(a \otimes r)\] \[\kappa(r)\, a \ \mapsto\ \kappa(r)\, f^{*}(a) \qquad\qquad f^{*}(a)\, r \ \mapsto\ \kappa(r)\, f^{*}(a) \qquad \text{O.K.}\] Les deux membres sont calculés sous des accolades : \((\mathrm{id}_{A} \otimes \kappa_{R})(a \otimes r) = \kappa(r) a\), \((f^{*} \otimes \mathrm{id}_{R})(a \otimes r) = f^{*}(a) r\) ; sous la première, un premier essai est biffé.

\[X \xrightarrow{\ f\ } Y \xrightarrow{\ g\ } Z \qquad\qquad A \xleftarrow{\ f^{*}\ } B \xleftarrow{\ g^{*}\ } C\]

\begin{tikzcd}
 & X \arrow[dl, "\Gamma_{gf}"'] \arrow[dr, "\Gamma_{f}"] & \\
X \times Z \arrow[dr, "\Gamma_{f} \times \mathrm{id}_{Z} = \lambda"'] & & X \times Y \arrow[dl, "\mathrm{id}_{X} \times \Gamma_{g} = \lambda'"] \\
 & X \times Y \times Z &
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}
 & A & \\
A \otimes C \arrow[ur] & & A \otimes B \arrow[ul] \\
 & A \otimes B \otimes C \arrow[ul, "\lambda^{*}"] \arrow[ur, "\lambda'^{*}"'] &
\end{tikzcd}

Les éléments sont écrits le long du diagramme : \(a \otimes b \otimes c\) sous \(A \otimes B \otimes C\), \((a f^{*}(b)) \otimes c\) près de \(A \otimes C\), \(a \otimes b\, g^{*}(c)\) près de \(A \otimes B\), et au-dessus de \(A\) \(a f^{*}(b) \cdot f^{*} g^{*}(c)\). Une flèche biffée monte d'un symbole raturé vers \(A \otimes C\).

\[\therefore\ \lambda'^{*}\bigl(\lambda_{*}(u)\bigr) = (\Gamma_{f})_{*}\bigl(\Gamma_{gf}^{*}(u)\bigr)\] et formule symétrique

Question Trouver un cas général commun où la formule d'échange soit vraie. Suffit-il que le produit fibré soit dans \(\mathcal{V}\) et que les dim. soient correctes ?

Catégorie des algèbres bivariantes (sur un anneau \(k\))

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Catégorie des algèbres bivariantes (sur un anneau \(k\)) [munie d'une forme \(\kappa_{A} : A \to k\)]

C'est la catégorie dont les objets sont les \(k\)-algèbres, et les morphismes de \(A\) dans \(B\) les couples \(f = (f_{*}, f^{*})\), où \(f^{*} : B \to A\) est un hom. d'algèbres [[…]], et où \(f_{*} : A \to B\) est un hom. \(B\)-linéaire, i.e. un hom. additif satisfaisant la « formule de projection » \[\bigl[\, f_{*}\bigl(x f^{*}(y)\bigr) = f_{*}(x)\, y \,\bigr], \quad f_{*}\bigl(f^{*}(y)\, x\bigr) = y\, f_{*}(x)\] Une note entre crochets, reliée à la première formule par une flèche : « signe \((-1)^{\delta j}\) […] dans le cas gradué ; si la deuxième formule est vraie, \(y\) de degré \(j\), \(f_{*}\) de degré \(\delta\) ». et de plus : \(\kappa_{B} f_{*} = \kappa_{A}\).

il faut choisir entre l'une et l'autre formule !

On […] une variante graduée, et on aura à travailler dans diverses sous-catégories pleines, ou même non pleines.

Dans le cas gradué anticommutatif (où \(f^{*}\) est donc hom. d'alg. graduées [en degré pair], et où \(f_{*}\) gradué) […] (les […]), les deux formules \((*)\) sont équivalentes.

Remarque Pour que \((f_{*}, f^{*})\) soit un isomorphisme, il faut et il suffit que \(f^{*}\) soit surjectif bijectif […] \(f_{*}\) […], i.e. \(f^{*}\) un isom. et \(f_{*}(1)\) inversible ; les « bons » isom. sont ceux où \(f_{*}(1) = 1\), i.e. \(f^{*}\) et \(f_{*}\) inverses l'un de l'autre. La remarque est écrite en oblique dans la marge gauche, dans une bulle reliée au paragraphe précédent.

Soit \(A\) une algèbre munie d'une forme \[\kappa_{A} : A \to k\] que dans la forme bilinéaire \[(x, y) \longmapsto \kappa(xy)\] (= deux !), sur \(A \times A\) soit séparante, dans définissant un hom. injectif \[\varphi_{A} : A \to \check{A} \qquad \bigl(\check{A} = \mathrm{Hom}_{k\text{-mod}}(A, k)\bigr), \qquad \langle y, \varphi_{A}(x) \rangle = \kappa(yx) .\] Supposons que \(\varphi_{B}\) soit injectif, \(B\) […] de même muni de \(\kappa_{B} : B \to k\), et soit \(f^{*} : B \to A\) tel que l'hom. transposé \({}^{t}f^{*} : \check{A} \to \check{B}\) applique \(\mathrm{Im}\, \varphi_{A}\) dans \(\mathrm{Im}\, \varphi_{B}\) [ce qui n'est pas une restriction si \(\varphi_{B} : B \xrightarrow{\sim} \check{B}\) !]. Alors l'application induite, [unique], \(f_{*}\) est donc caractérisée par \[(***) \qquad \kappa\bigl(y\, f_{*}(x)\bigr) = \kappa\bigl(f^{*}(y)\, x\bigr)\] et satisfait de ce fait la 2ème relation \((*)\), [dans le premier cas commutatif, ou gradué anticommutatif] [De plus, il satisfait \((**)\) (faire \(y = 1\) dans \((***)\))] quand \(f^{*}\) est hom. d'alg. unitaire […] près]. Supposons […] \(A\), \(B\) Réciproquement, […] hom. \((f^{*}, f_{*})\) de \((A, \kappa_{A})\) dans \((B, \kappa_{B})\), \(f_{*}\) satisfait \((***)\), complètement déterminé par \(f^{*}\). « injectif » est lu en surcharge au-dessus d'un mot barré, dans « Supposons que \(\varphi_{B}\) soit injectif ».

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gradué anticommutatif, \(f^{*}\) homogène. Supposons qu'il existe deux entier \(d = d(A)\) tel que \(\kappa_{A}\) soit composé \[A \to A^{d} \xrightarrow{\ \bar{\kappa}_{A}^{(d)}\ } k ,\] et de même \(d' = d(B)\). Alors si \(x\) est de degré \(i\), la forme \(\varphi_{A}(x)\) est nulle en degré \(\neq d - i\) ; donc \(\langle f^{*}(y), \varphi_{A}(x) \rangle = \kappa\bigl(f^{*}(y), x\bigr)\) est nulle […] en degré \(\neq d - i\) ; donc si \(x\) […], si \(x'\) […] est hom. de degré \(i'\), la forme \(\varphi_{B}(x')\) est nulle en degré \(\neq d' - i'\), donc on doit avoir (si \(\varphi_{B}(x') \neq 0\)) \[d - i = d' - i' \qquad \text{i.e.} \qquad i' = i + (d' - d) .\] Si donc on pose \(f_{*}(x) = \sum_{j} x'_{j}\), on voit que l'effet de la forme \(\varphi_{B}(f_{*}(x))\) sur \(B^{d'-j}\) est égal à \(\varphi_{B}(x'_{j})\), donc est nul si \(j\) \(d' - j \neq d - i\), donc dans ce cas \(x'_{j} = 0\). Donc \(f_{*}\) augmente les degrés de \(d' - d\).

Nous travaillons dans la catégorie [bivariante] des algèbres graduées anticommutatives, munies d'un degré \(d\), les \(f_{*} : A \to B\) étant assujetties à [augmenter] des degrés \(d(B) - d(A)\) [et \(\kappa_{A}\) se factorisant par \(A^{d(A)}\)]. Les sous-catégories pleines des \(A\) tels que \(d(A)\) pair et commutatives [et il y a […] éventuellement de se borner aux algèbres \(A\) qui sont à degrés […] dans \([0, d(A)]\)]. Il n'est pas question de se borner aux « algèbres de Poincaré », même en homologie modulo torsion ; […] les formes sur \(A\), car les constructions universelles qui se font […] de […] […] fassent sentir !

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Soient \(A\) et \(B\) deux algèbres

Le produit tensoriel gradué gauche \(A \otimes B\) est un foncteur sur la catégorie \(C\) [bivariante] des algèbres graduées. Le produit tensoriel (malheureusement !) ne s'interprète pas comme un produit dans la catégorie bivariante : on n'a pas […] d'hom. de la catégorie \(f : A \to A \otimes A\), \(f = (f^{*}, f_{*})\), qui jouerait le rôle d'une application diagonale. On trouve néanmoins que c'est un produit (dans \(C\)) quand \(A\), \(B\) sont toutes deux des alg. de Poincaré ….

Algèbres bivariantes simpliciales : c'est un objet simplicial (pas \(\frac{1}{2}\) simplicial !) de la catégorie des algèbres bivariantes, donc un foncteur contravariant de la catégorie des ens. finis non vides dans \(C\). Il est dit spécial « s'il transforme sommes en produit tensoriel », i.e. si pour \(I = I' \sqcup I''\), les hom. \[A(I') \xrightarrow{\ \alpha^{*}\ } A(I), \qquad A(I'') \xrightarrow{\ \beta^{*}\ } A(I)\] [où \(\alpha : I' \to I\), \(\beta : I'' \to I\)] définissent un isom. \[A(I') \otimes A(I'') \xrightarrow{\ \sim\ } A(I' \sqcup I'') .\]

Si \(A(\Delta^{\circ})\) est une algèbre on se borne à la catégorie pleine des Alg. biv. simpliciales \(A(\cdot)\) telles que \(A(\Delta(0)) = A_{0}\) soit une algèbre de Poincaré, on trouve une équivalence de la catégorie des alg. biv. simpliciales et des alg. de Poincaré. L'argument écrit \(A(\Delta(0))\) se lit mal ; c'est l'algèbre de l'ensemble à un élément, que la ligne nomme \(A_{0}\).

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Proposition Pour tout \(n \geq 1\), soit \(A_{n} \subset H^{*}(X^{n})\) une ss-algèbre […] stable par gpe sym. Conditions équivalentes :

(i) a) Pour tout \(u \in H^{*}\) \(u \in A_{n+m} \subset H^{*}(X^{n} \times X^{m})\) et \(x \in A_{n} \in H^{*}(X^{n})\), on a \(u(x) \in H^{*}(X^{m})\).

b) Si \(x \in A_{n}\), \(y \in A_{m}\), alors \(x \boxtimes y \in A_{n+m}\) ; pour tout \(n\), \(1 \in A_{n}\).

c) Pour toute surjection \([1, n+1] \twoheadrightarrow [1, n]\), son graphe dans \(H^{*}(X^{n} \times X^{n+1})\) est \(\in A_{2n+1}\). [Et de même pour les injections \([1, n] \hookrightarrow [1, n+1]\).]

(ii) Les systèmes des \(A_{n}\) sont des sous-algèbres, stables par images inverses [et images directes] par projections \(X^{n+1} \to X^{n}\), et par images inverses par images directes par injections \(X^{n} \hookrightarrow X^{n+1}\).

Ces conditions impliquent que les \(A_{n}\) sont stables par images inverses et images directes par toute application simpliciale [\(X^{n} \to X^{m}\)], et que \(A_{n}\) […] pour telles applications, \(H^{*}(X^{n} \times X^{m})\) contient la classe du graphe…

(iii) Considérons \(A_{n+m} \subset H^{*}(X^{n} \times X^{m})\) comme un ensemble d'homomorphismes de \(H^{*}(X^{n})\) dans \(H^{*}(X^{m})\), on veut que ces ensembles soient stables par composition (\(n, m \geq 0\)), contiennent les identités, soient stables par \(\blacksquare\), et contiennent les homomorphismes images inverses et directes par une application simpliciale. Le symbole après « stables par » est un carré plein, sans doute le produit externe \(\boxtimes\) de (i) b).