Fonds Grothendieck, cote n° 11, pages 21–40

Sous-anneaux bivariants sur \mathcal{V}

Les titres de section reprennent ses propres mots en tête de page. La page 22 reprend les sous-foncteurs A' \subset A stables de la page 20 (lot précédent) ; aucune phrase ne franchit la limite des pages 20 et 21.

~~Sommes~~

Sous-anneaux bivariants sur \mathcal{V}. [satisfaisant compte les form. de proj. et d'échange]

Intersection de tels est idem ; définition du foncteur « stable » engendré. Soit A_{sp} \subset A le plus petit ss-foncteur stable

engendré. La ligne s'arrête après « stable » et « engendré. » est seul sur la suivante : ce qui engendre A_{sp} n'est pas dit sur la page.

NB A_{sp}(X) contient les f_{*}(U_{Y}) pour f : Y \to X dans \mathcal{V}. Dans beaucoup de cas importants, il est = identique à l'ens. des f_{*}(U_{Y}) pour tous les f : Y \to X dans \mathrm{Ob}(\mathcal{V}_{/X}). Cela marche p. ex. si \mathcal{V} la catégorie des schémas projectifs lisses sur k alg. clos, dans les cas envisagés plus haut, — dans car. 0 si on admet la résolution des singularités. U_{Y} est l'élément unité de A(Y), noté ailleurs 1_{Y}.

A' \subset A donné, stable

Une application A(X_{1}) \times \dots \times A(X_{n}) \to A(X) est dite du type A' si elle est de la forme x_{1}, \dots, x_{n} \longmapsto u(x_{1} \boxtimes \dots \boxtimes x_{n}) avec u \in A'(X_{1} \times \dots \times X_{n} \times X). En particulier, cas défini si n = 1. Composées de telles applications : \varphi une application \psi : A(X) \to A(X') qui est de type A', est une application qui est du type A'. Plus général. ~~Plus général. De~~ , comp. des applications ~~des applications (X_{i})_{i \in I}~~ \begin{aligned} \varphi(X_{1}, \dots, X_{n}) &: A(X_{1}) \times \dots \times A(X_{n}) \to A(X) \\ \psi(Y_{1}, \dots, Y_{m}) &: A(Y_{1}) \times \dots \times A(Y_{m}) \to A(Y) \end{aligned} avec \chi : A(X) \times A(Y) \to A(Z)

avec \varphi, \psi, \chi du type A', on trouve une application ~~A(X~~ \chi(\varphi, \psi) : A(X_{1}, \dots, X_{n}) \times A(Y_{1}) \times \dots \times A(Y_{m}) \to A(Z) qui est ~~A'-admissible~~ du type A' : de type A'.

Dans le produit des deux applications ~~admissibles~~ du type A' [] est A' du type A', i.e. = le produit par un élément de A'(X).

Application ~~Soit E \subset \mathcal{V}, et~~ X \in \mathcal{V}, supposons donné un E_{X} \subset A(X) (qui peut être vide).

Alors le plus petit sous-foncteur stable B \subset A contenant A' et les E_{X} est défini ainsi : B(X) = ensemble des éléments de ~~A(X) dans A'(X)~~ A'(X) \cup de la forme \varphi(x_{1}, \dots, x_{n}), où \varphi est une application A'-admissible de A(X_{1}) \times \dots \times A(X_{n}), les X_{i} \in \mathrm{Ob}\, \mathcal{V}, x_{i} \in E(X_{i}) pour i = 1, \dots, n.

En effet, les B(X) [ainsi définis] sont stables par images directes et inverses, et contiennent les 1, et les A' ; réciproquement il par de \mathcal{V} pour par multiplication OK.

Le haut de la page, jusqu'au trait horizontal, est barré de deux longs traits obliques ; il se lit.

\begin{tikzcd} A \times B \arrow[r, "s_{A,B}"] \arrow[d, "f \times g"'] & B \times A \arrow[d, "g \times f"] \\ A' \times B' \arrow[r, "s_{A',B'}"] & B' \times A' \end{tikzcd}

(g \times f)_{*}\bigl(s(x \otimes y)\bigr) = (g \times f)_{*}(y \otimes x)(-1)^{xy} = g_{*}(y) \otimes f_{*}(x)\,(-1)^{xy + fx} s\bigl((f \times g)_{*}(x \otimes y)\bigr) = s\bigl(f_{*}(x) \otimes g_{*}(y)\bigr)(-1)^{gx} = g_{*}(y) \otimes f_{*}(x)\,(-1)^{gx + (x+f)(y+g)} (-1)^{xy + fx + gx + gx + fy + xy + fg} \qquad (-1)^{f(x+y+g)} \qquad (-1)^{fy + gx + fg} ~~= (-1)^{(f+x)(g+y)}~~ Dans la première formule de cette ligne, les termes xy, gx, gx, xy sont barrés un à un, laissant fx + fy + fg ; dans la dernière, un xy est barré devant fy. Les exposants fx et gx des deux lignes précédentes sont cerclés.

Un grand « A » souligné ouvre la section ; « \mathcal{V}^{\circ} » est écrit au-dessus du « 1) ».

1) Catégorie \mathcal{V}^{\circ} des alg. de Poincaré A sur k : alg. graduées anticommutatives de t.f. à degrés \geq 0, munie d'un hom. \kappa_{A} : A \to k de degré d^{\circ}(A) dépendant de A tel que (x, y) \mapsto \kappa_{A}(xy) soit une forme strictement non dégénérée — Il écrit k_{A} ; la lettre est notée \kappa_{A} pour la distinguer de l'anneau k, comme dans le lot 3. « strictement » est ajouté au-dessus de « non ». ~~de \mathcal{V}^{\circ}~~

Les hom. de \mathcal{V}^{\circ} : ce sont les hom. d'algèbres graduées, sans plus (donc il n'est pas question dans la définition de \mathcal{V}^{\circ} hom. des \kappa_{A}).

NB Un morph. de cette catégorie n'est pas nécessairement compatible avec les \kappa_{A}, \kappa_{B}.

2) Foncteur contravariant \varphi : (\mathcal{V}^{\circ})^{\circ} = \mathcal{V} \to \mathrm{Modgrad}(k) a) sur les objets : \varphi(A) = A dénuée de la multiplication

b) sur les morphismes : soit f^{*} : B \to A, on pose \varphi(f^{*}) = f_{*} : A \to B défini par la condition que \kappa_{A}\bigl(f^{*}(b)\, a\bigr) = \kappa_{B}\bigl(b\, f_{*}(a)\bigr) On vérifie \varphi(g^{*} f^{*}) = \varphi(f^{*})\, \varphi(g^{*}), \varphi(\mathrm{id}) = \mathrm{id}, et formule de proj. f_{*}(a)\, b = f_{*}\bigl(a\, f^{*} b\bigr) et ~~\kappa_{B}(f_{*}(a))~~ \kappa_{B} f_{*} = \kappa_{A}.

Donc on trouve un foncteur ~~contravariant~~ \mathcal{V} \longrightarrow \text{algèbres bivariantes graduées}

3) Dans \mathcal{V}^{\circ} ~~il y a~~ il y a objet initial : k.

Si A, B \in \mathcal{V}^{\circ}, il existe un coproduit dans \mathcal{V}^{\circ} (produit dans \mathcal{V}), savoir le produit tensoriel gauche A \otimes B. Si f^{*} : A \to A', g^{*} : B \to B', alors f^{*} \otimes g^{*} : A \otimes B \to A' \otimes B' défini par f^{*} \otimes g^{*}(a \otimes b) = f^{*}(a) \otimes g^{*}(b) et l'hom. A \otimes B [correspondant ] des coproduits. On convient de défini par (produit tensoriel gauche d'homom. homogènes de degrés gradués) \kappa_{A \otimes B} = \kappa_{A} \otimes \kappa_{B} produit tensoriel gauche d'homom. homogènes des produits gradués i.e. \kappa_{A \otimes B}(x \otimes y) = \kappa_{A}(x)\,\kappa_{B}(y)\,(-1)^{Bx} \varphi(f^{*} \otimes g^{*}) = \varphi(f^{*}) \otimes \varphi(g^{*}) Le passage est surchargé : deux mots encadrés et barrés à gauche de la formule, des renvois qui se croisent ; l'ordre donné ici est celui des flèches.

i.e. (*) \qquad (f \times g)_{*}(a' \otimes b') = f_{*}(a') \otimes g_{*}(b')\,(-1)^{g a'} Mais c'est faux si on ne suppose pas f et g de degrés pairs.

Les deux membres de formule (*) diffèrent par un facteur (-1)^{ag + bf + Bf}

Si dans la définition de \kappa_{A \otimes B} on n'avait pas mis de signe (-1)^{Bx}, les signes qui viendraient comme seraient (-1)^{a'g + bf}

Si en plus on se dispensant des ~~produits~~ tordus, et qu'on prend le signe (-1)^{g a'}, on trouverait un signe (-1)^{bf} = (-1)^{B'f}

Si on prenant \kappa tordu, \otimes ordinaire, le signe serait (-1)^{bf + (AB + A'B')}

C'est donc le signe prend tout ordinaire (\kappa_{A \otimes B} = \kappa_{A} \otimes \kappa_{B} et f_{*} \otimes g_{*}) qui est le plus simple. On trouve donc \boxed{\ (f \times g)_{*} = \bigl(f_{*} \overset{\mathrm{ord}}{\otimes} g_{*}\bigr)\bigl(\mathrm{id}_{A} \otimes [(-1)^{B}]_{B'}^{\deg f}\bigr)\ } Le second facteur est surchargé : le crochet [(-1)^{B}], l'indice B' et l'exposant « \deg f » se lisent, leur disposition exacte est douteuse. Il n'y a aucun signe dès que f est pair.

Pour la suite, on se borne aux f = (f^{*}, f_{*}) de degré pair, donc on trouve (f \times g)_{*} = f_{*} \overset{\mathrm{ord}}{\otimes} g_{*}.

Considérons l'isom. de symétrie de A \otimes B sur B \otimes A [considérés comme produits cart. dans \mathcal{V}], on vérifie que c'est s(x \otimes y) = (-1)^{xy}\, y \otimes x. On a bien, comme il convient (g \times f)_{*}\bigl(s(x \otimes y)\bigr) = s\bigl((f \times g)_{*}(x \otimes y)\bigr) \begin{aligned} s(x \otimes y) &= y \otimes x\,(-1)^{xy}, & (f \times g)_{*}(x \otimes y) &= f_{*}(x) \otimes g_{*}(y), \\ g_{*}(y) \otimes f_{*}(x)\,(-1)^{xy} &\ \Vert & g_{*}(y) \otimes f_{*}(x)\,&(-1)^{(x+f)(y+g)} . \end{aligned} Sur la page, les deux membres sont développés sous des accolades ; les deux derniers termes sont égaux puisque f et g sont pairs.

Prouvons les formules de permutation

\begin{tikzcd} X \arrow[d, "f"'] & X \times S \arrow[l, "q"'] \arrow[d, "f'"] \\ Y & Y \times S \arrow[l, "p"] \end{tikzcd}

\left\{ \begin{aligned} p^{*}\bigl(f_{*}(x)\bigr) &= f'_{*}\bigl(q^{*}(x)\bigr) \\ f^{*}\bigl(p_{*}(m)\bigr) &= q_{*}\bigl(f'^{*}(m)\bigr) \end{aligned} \right. Sous la flèche p, une étoile est ajoutée puis surchargée : p^{*}.

\begin{tikzcd} B \arrow[r, "q^{*}(b) = b \otimes 1"] & B \otimes R \\ A \arrow[u, "f^{*}"] \arrow[r, "p^{*}(a) = a \otimes 1"'] & A \otimes R \arrow[u, "f^{*} \otimes \mathrm{id}_{R} = f'^{*}"'] \end{tikzcd}

« x \in B » est écrit devant le B du carré. Au coin supérieur droit, un A est surchargé en R.

f_{*}(x) \otimes 1 = (f_{*} \otimes 1)(x \otimes 1) \qquad \text{OK} f^{*}\bigl((\mathrm{id}_{A} \otimes \kappa_{R})(a \otimes r)\bigr) \overset{?}{=} (\mathrm{id}_{B} \otimes \kappa_{R})(f^{*} \otimes \mathrm{id}_{R})(a \otimes r) \kappa(r)\, a \ \mapsto\ \kappa(r)\, f^{*}(a) \qquad\qquad f^{*}(a)\, r \ \mapsto\ \kappa(r)\, f^{*}(a) \qquad \text{O.K.} Les deux membres sont calculés sous des accolades : (\mathrm{id}_{A} \otimes \kappa_{R})(a \otimes r) = \kappa(r) a, (f^{*} \otimes \mathrm{id}_{R})(a \otimes r) = f^{*}(a) r ; sous la première, un premier essai est biffé.

X \xrightarrow{\ f\ } Y \xrightarrow{\ g\ } Z \qquad\qquad A \xleftarrow{\ f^{*}\ } B \xleftarrow{\ g^{*}\ } C

\begin{tikzcd} & X \arrow[dl, "\Gamma_{gf}"'] \arrow[dr, "\Gamma_{f}"] & \\ X \times Z \arrow[dr, "\Gamma_{f} \times \mathrm{id}_{Z} = \lambda"'] & & X \times Y \arrow[dl, "\mathrm{id}_{X} \times \Gamma_{g} = \lambda'"] \\ & X \times Y \times Z & \end{tikzcd}

\begin{tikzcd} & A & \\ A \otimes C \arrow[ur] & & A \otimes B \arrow[ul] \\ & A \otimes B \otimes C \arrow[ul, "\lambda^{*}"] \arrow[ur, "\lambda'^{*}"'] & \end{tikzcd}

Les éléments sont écrits le long du diagramme : a \otimes b \otimes c sous A \otimes B \otimes C, (a f^{*}(b)) \otimes c près de A \otimes C, a \otimes b\, g^{*}(c) près de A \otimes B, et au-dessus de A a f^{*}(b) \cdot f^{*} g^{*}(c). Une flèche biffée monte d'un symbole raturé vers A \otimes C.

\therefore\ \lambda'^{*}\bigl(\lambda_{*}(u)\bigr) = (\Gamma_{f})_{*}\bigl(\Gamma_{gf}^{*}(u)\bigr) et formule symétrique

Question Trouver un cas général commun où la formule d'échange soit vraie. Suffit-il que le produit fibré soit dans \mathcal{V} et que les dim. soient correctes ?

Catégorie des algèbres bivariantes (sur un anneau k)

Catégorie des algèbres bivariantes (sur un anneau k) [munie d'une forme \kappa_{A} : A \to k]

C'est la catégorie dont les objets sont les k-algèbres, et les morphismes de A dans B les couples f = (f_{*}, f^{*}), où f^{*} : B \to A est un hom. d'algèbres [], et où f_{*} : A \to B est un hom. B-linéaire, i.e. un hom. additif satisfaisant la « formule de projection » \bigl[\, f_{*}\bigl(x f^{*}(y)\bigr) = f_{*}(x)\, y \,\bigr], \quad f_{*}\bigl(f^{*}(y)\, x\bigr) = y\, f_{*}(x) Une note entre crochets, reliée à la première formule par une flèche : « signe (-1)^{\delta j} dans le cas gradué ; si la deuxième formule est vraie, y de degré j, f_{*} de degré \delta ». et de plus : \kappa_{B} f_{*} = \kappa_{A}.

il faut choisir entre l'une et l'autre formule !

On une variante graduée, et on aura à travailler dans diverses sous-catégories pleines, ou même non pleines.

Dans le cas gradué anticommutatif (où f^{*} est donc hom. d'alg. graduées [en degré pair], et où f_{*} gradué) (les ), les deux formules (*) sont équivalentes.

Remarque Pour que (f_{*}, f^{*}) soit un isomorphisme, il faut et il suffit que f^{*} soit ~~surjectif~~ bijectif f_{*} , i.e. f^{*} un isom. et f_{*}(1) inversible ; les « bons » isom. sont ceux où f_{*}(1) = 1, i.e. f^{*} et f_{*} inverses l'un de l'autre. La remarque est écrite en oblique dans la marge gauche, dans une bulle reliée au paragraphe précédent.

Soit A une algèbre munie d'une forme \kappa_{A} : A \to k ~~que~~ dans la forme bilinéaire (x, y) \longmapsto \kappa(xy) (= deux !), sur A \times A ~~soit séparante, dans~~ définissant un hom. ~~injectif~~ \varphi_{A} : A \to \check{A} \qquad \bigl(\check{A} = \mathrm{Hom}_{k\text{-mod}}(A, k)\bigr), \qquad \langle y, \varphi_{A}(x) \rangle = \kappa(yx) . Supposons que \varphi_{B} soit injectif, B de même muni de \kappa_{B} : B \to k, et soit f^{*} : B \to A tel que l'hom. transposé {}^{t}f^{*} : \check{A} \to \check{B} applique \mathrm{Im}\, \varphi_{A} dans \mathrm{Im}\, \varphi_{B} [ce qui n'est pas une restriction si \varphi_{B} : B \xrightarrow{\sim} \check{B} !]. Alors l'application induite, [unique], f_{*} est donc caractérisée par (***) \qquad \kappa\bigl(y\, f_{*}(x)\bigr) = \kappa\bigl(f^{*}(y)\, x\bigr) et satisfait de ce fait la 2ème relation (*), [dans le premier cas commutatif, ou gradué anticommutatif] [De plus, il satisfait (**) (faire y = 1 dans (***))] quand f^{*} est hom. d'alg. unitaire près]. ~~Supposons A, B~~ Réciproquement, hom. (f^{*}, f_{*}) de (A, \kappa_{A}) dans (B, \kappa_{B}), f_{*} satisfait (***), complètement déterminé par f^{*}. « injectif » est lu en surcharge au-dessus d'un mot barré, dans « Supposons que \varphi_{B} soit injectif ».

gradué anticommutatif, f^{*} homogène. Supposons qu'il existe ~~deux~~ entier d = d(A) tel que \kappa_{A} soit composé A \to A^{d} \xrightarrow{\ \bar{\kappa}_{A}^{(d)}\ } k , et de même d' = d(B). Alors si x est de degré i, la forme \varphi_{A}(x) est nulle en degré \neq d - i ; donc \langle f^{*}(y), \varphi_{A}(x) \rangle = \kappa\bigl(f^{*}(y), x\bigr) est nulle en degré \neq d - i ; ~~donc si x~~ , si x' est hom. de degré i', la forme \varphi_{B}(x') est nulle en degré \neq d' - i', donc on doit avoir (si \varphi_{B}(x') \neq 0) d - i = d' - i' \qquad \text{i.e.} \qquad i' = i + (d' - d) . Si donc on pose f_{*}(x) = \sum_{j} x'_{j}, on voit que l'effet de la forme \varphi_{B}(f_{*}(x)) sur B^{d'-j} est égal à \varphi_{B}(x'_{j}), donc est nul si j d' - j \neq d - i, donc dans ce cas x'_{j} = 0. Donc f_{*} augmente les degrés de d' - d.

Nous travaillons dans la catégorie [bivariante] des algèbres graduées anticommutatives, munies d'un degré d, les f_{*} : A \to B étant assujetties à [augmenter] des degrés d(B) - d(A) [et \kappa_{A} se factorisant par A^{d(A)}]. Les sous-catégories pleines des A tels que d(A) pair et commutatives [et il y a éventuellement de se borner aux algèbres A qui sont à degrés dans [0, d(A)]]. Il n'est pas question de se borner aux « algèbres de Poincaré », même en homologie modulo torsion ; les formes sur A, car les constructions universelles qui se font de fassent sentir !

~~Soient A et B deux algèbres~~

Le produit tensoriel gradué gauche A \otimes B est un foncteur sur la catégorie C [bivariante] des algèbres graduées. Le produit tensoriel (malheureusement !) ne s'interprète pas comme un produit dans la catégorie bivariante : on n'a pas d'hom. de la catégorie f : A \to A \otimes A, f = (f^{*}, f_{*}), qui jouerait le rôle d'une application diagonale. On trouve néanmoins que c'est un produit (dans C) quand A, B sont toutes deux des alg. de Poincaré ….

Algèbres bivariantes simpliciales : c'est un objet simplicial (pas \frac{1}{2} simplicial !) de la catégorie des algèbres bivariantes, donc un foncteur contravariant de la catégorie des ens. finis non vides dans C. Il est dit spécial « s'il transforme sommes en produit tensoriel », i.e. si pour I = I' \sqcup I'', les hom. A(I') \xrightarrow{\ \alpha^{*}\ } A(I), \qquad A(I'') \xrightarrow{\ \beta^{*}\ } A(I) [où \alpha : I' \to I, \beta : I'' \to I] définissent un isom. A(I') \otimes A(I'') \xrightarrow{\ \sim\ } A(I' \sqcup I'') .

Si ~~A(\Delta^{\circ}) est une algèbre~~ on se borne à la catégorie pleine des Alg. biv. simpliciales A(\cdot) telles que A(\Delta(0)) = A_{0} soit une algèbre de Poincaré, on trouve une équivalence de la catégorie des alg. biv. simpliciales et des alg. de Poincaré. L'argument écrit A(\Delta(0)) se lit mal ; c'est l'algèbre de l'ensemble à un élément, que la ligne nomme A_{0}.

Proposition Pour tout n \geq 1, soit A_{n} \subset H^{*}(X^{n}) une ss-algèbre stable par gpe sym. Conditions équivalentes :

(i) a) Pour tout ~~u \in H^{*}~~ u \in A_{n+m} \subset H^{*}(X^{n} \times X^{m}) et x \in A_{n} \in H^{*}(X^{n}), on a u(x) \in H^{*}(X^{m}).

b) Si x \in A_{n}, y \in A_{m}, alors x \boxtimes y \in A_{n+m} ; pour tout n, 1 \in A_{n}.

c) Pour ~~toute~~ ~~surjection~~ [1, n+1] \twoheadrightarrow [1, n], son graphe dans H^{*}(X^{n} \times X^{n+1}) est \in A_{2n+1}. [Et de même pour les injections [1, n] \hookrightarrow [1, n+1].]

(ii) Les ~~systèmes des~~ A_{n} sont des sous-algèbres, stables par images inverses [et images directes] par projections X^{n+1} \to X^{n}, et ~~par images inverses~~ par images directes par injections X^{n} \hookrightarrow X^{n+1}.

Ces conditions impliquent que les A_{n} sont stables par images inverses et images directes par toute application simpliciale [X^{n} \to X^{m}], et que ~~A_{n}~~ pour telles applications, H^{*}(X^{n} \times X^{m}) contient la classe du graphe…

(iii) Considérons A_{n+m} \subset H^{*}(X^{n} \times X^{m}) comme un ensemble d'homomorphismes de H^{*}(X^{n}) dans H^{*}(X^{m}), on veut que ces ensembles soient stables par composition (n, m \geq 0), contiennent les identités, soient stables par \blacksquare, et contiennent les homomorphismes images inverses et directes par une application simpliciale. Le symbole après « stables par » est un carré plein, sans doute le produit externe \boxtimes de (i) b).