Cote n° 11 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Formalisme des correspondances : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1961]
Édition de démonstration

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2

\(\mathcal{V}\) catégorie (objets \(X, Y, \ldots\)) avec produits de deux objets (et un objet final)

\(A \colon X \mapsto A(X)\) foncteur cov. de \(\mathcal{V}\) dans la catégorie \(C\) des algèbres gr. bivariantes, satisfaisant une condition d'échange […] (au sens gr.) (dont on aura besoin […] […] […] la suite ....).

Le début de la ligne est surchargé : « gr. » est ajouté au-dessus, et un mot biffé sous « algèbres » semble être « anticommutatives » ; la lecture de cette ligne reste douteuse.

On va définir une nouvelle catégorie, notée \(\mathcal{V}^{A}\), et deux foncteurs \(\varphi, \psi\)

\begin{tikzcd}
\mathcal{V} \arrow[r, "\varphi"] \arrow[dr, "A"'] & \mathcal{V}^{A} \arrow[r, "\psi"] & k\text{-mod gr.} \\
 & C \arrow[ur, "\omega"'] &
\end{tikzcd}

(\(\omega\) : oubli de la structure d'algèbre), rendant le carré ci-dessus commutatif. De plus, le foncteur \(\varphi\) induira une bijection (en fait, une identité) sur les ensembles d'objets […] : \[\operatorname{Ob} \mathcal{V}^{A} = \operatorname{Ob} \mathcal{V} .\]

On pose \[\operatorname{Hom}_{\mathcal{V}^{A}}(X,Y) = A(X \times Y) .\] On définit le produit de composition ainsi : \[\begin{array}{ccc} \operatorname{Hom}_{\mathcal{V}^{A}}(X,Y) \times \operatorname{Hom}_{\mathcal{V}^{A}}(Y,Z) & \longrightarrow & \operatorname{Hom}_{\mathcal{V}^{A}}(X,Z) \\ (u, v) & \longmapsto & v \circ u \end{array}\] \[A(X \times Y) \times A(Y \times Z) \longrightarrow A(X \times Z)\]

\begin{tikzcd}
 & X \times Y \times Z \arrow[dl, "p_{12}"'] \arrow[dr, "p_{23}"] \arrow[dd, "p_{13}"] & \\
X \times Y & & Y \times Z \\
 & X \times Z &
\end{tikzcd}

\[\boxed{\, v \circ u = p_{31*}\bigl( p_{32}^{*}(v)\, p_{21}^{*}(u) \bigr) . \,}\]

Le diagramme porte les indices \(p_{12}, p_{13}, p_{23}\), la formule encadrée \(p_{31}, p_{32}, p_{21}\) ; on les laisse tels quels.

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Associativité

\[X \xrightarrow{\;u\;} Y \xrightarrow{\;v\;} Z \xrightarrow{\;w\;} T\]

À prouver \[w(vu) = (wv)u\] Le premier membre est égal à : […]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & & X \times Y \times Z \times T \arrow[dl, "\alpha'"'] \arrow[drrr, "\nu'"] & & & & \\
 & X \times Y \times Z \arrow[dl, "\lambda"'] \arrow[d, "\mu"] \arrow[dr, "\nu"] & & & & X \times Z \times T \arrow[dlll, "\alpha"'] \arrow[d, "\gamma"] \arrow[dr, "\beta"] & \\
X \times Y & Y \times Z & X \times Z & & & X \times T & Z \times T
\end{tikzcd}

Le but de \(\mu\) est écrit \(Y \times Z\) par-dessus une première lettre ; une petite inscription le long de \(\nu\) est […].

\[w(vu) \stackrel{\text{déf}}{=} \gamma_{*}\bigl( \beta^{*}(w)\, \alpha^{*}(vu) \bigr) \stackrel{\text{déf de } vu}{=} \gamma_{*}\Bigl( \beta^{*}(w)\, \alpha^{*}\bigl( \nu_{*}( \mu^{*}(v)\, \lambda^{*}(u) ) \bigr) \Bigr)\] car \(\alpha^{*} \nu_{*} = \nu'_{*} \alpha'^{*}\) [échange] \[= \gamma_{*}\Bigl( \beta^{*}(w)\, \nu'_{*}\bigl( \alpha'^{*}( \mu^{*}(v)\, \lambda^{*}(u) ) \bigr) \Bigr)\] avec \[\alpha'^{*}\mu^{*}(v)\, \alpha'^{*}\lambda^{*}(u) = p_{YZ}^{*}(v)\, p_{X,Y}^{*}(u)\] \(\|\) formule de proj. (att. signes !) \[\nu'_{*}\bigl( \nu'^{*}\beta^{*}(w)\, p_{YZ}^{*}(v)\, p_{XY}^{*}(u) \bigr), \qquad \nu'^{*}\beta^{*}(w) = p_{ZT}^{*}(w)\] \[= p_{XT*}\bigl( p_{ZT}^{*}(w)\, p_{YZ}^{*}(v)\, p_{XY}^{*}(u) \bigr)\]

À gauche de ces lignes, un fragment biffé : \((-1)\) […].

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & & X \times Y \times Z \times T \arrow[dl, "n'"'] \arrow[dr, "b'"] & & \\
 & X \times Y \times T \arrow[dl, "a"'] \arrow[d, "c"] \arrow[dr, "b"] & & Y \times Z \times T \arrow[dl, "n"'] \arrow[d, "l"] \arrow[dr, "m"] & \\
X \times Y & X \times T & Y \times T & Y \times Z & Z \times T
\end{tikzcd}

\[(wv)u = c_{*}\bigl( b^{*}(wv)\, a^{*}(u) \bigr) = c_{*}\Bigl( b^{*}\bigl( n_{*}( m^{*}(w)\, l^{*}(v) ) \bigr)\, a^{*}(u) \Bigr)\] Dans la seconde expression, un premier \(m_{*}\) est biffé et remplacé par \(n_{*}\). formule d'échange : \[n'_{*}\bigl( b'^{*}( m^{*}(w)\, l^{*}(v) ) \bigr), \qquad b'^{*}\bigl( m^{*}(w)\, l^{*}(v) \bigr) = p_{ZT}^{*}(w)\, p_{YZ}^{*}(v)\] \[= c_{*}\Bigl( n'_{*}\bigl( p_{ZT}^{*}(w)\, p_{YZ}^{*}(v) \bigr)\, a^{*}(u) \Bigr)\] — formule de proj. (att. signes !) \(= c_{*}\) \[= n'_{*}\bigl( p_{ZT}^{*}(w)\, p_{YZ}^{*}(v)\; n'^{*} a^{*}(u) \bigr), \qquad n'^{*}a^{*}(u) = p_{XY}^{*}(u)\] \[= p_{XT*}\bigl( p_{ZT}^{*}(w)\, p_{YZ}^{*}(v)\, p_{XY}^{*}(u) \bigr)\]

Devant \(a^{*}(u)\) dans l'avant-dernière ligne, un symbole est biffé et surchargé, lu \(n'^{*}\) d'après l'accolade qui le rend \(p_{XY}^{*}(u)\). La dernière égalité est écrite dans la marge droite et sort de la feuille.

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Unités

On définit \[\Delta_{X} \in \operatorname{Hom}_{\mathcal{V}^{A}}(X,X) = A(X \times X)\] en considérant \[\delta_{X} \colon X \to X \times X \qquad (\text{diag.})\] et définissant \[\Delta_{X} = A(\delta_{X})_{*}(1_{A(X)})\] Après le signe \(=\), un premier état est biffé : […].

Prouvons que \(\Delta_{X}\) est une unité bilatère pour la composition : i.e. \[X \xrightarrow{\;\Delta_{X}\;} X \xrightarrow{\;u\;} Y\] \[u \circ \Delta_{X} = p_{31*}\bigl( p_{32}^{*}(u)\, p_{21}^{*}(\Delta_{X}) \bigr)\]

\begin{tikzcd}
 & X \times X \times Y \arrow[dl, "p_{21}"'] \arrow[dr, "p_{32}"] \arrow[dd, no head] & \\
X \times X & & X \times Y \\
 & X \times Y &
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}
X \times Y \arrow[r, "\delta_{X} \times \mathrm{id}_{Y} = q"] \arrow[d, "p"'] & X \times X \times Y \arrow[d, "p_{21}"] \\
X \arrow[r, "\delta_{X}"] & X \times X
\end{tikzcd}

\[p_{21}^{*}(\Delta_{X}) = p_{21}^{*}\bigl( \delta_{X*}(1) \bigr) \stackrel{\text{échange}}{=} q_{*}\bigl( p^{*}(1) \bigr) = q_{*}(1)\] donc \[p_{32}^{*}(u)\, p_{21}^{*}(\Delta_{X}) = p_{32}^{*}(u)\, q_{*}(1) = q_{*}\bigl( q^{*}( p_{32}^{*}(u) ) \bigr)\] (formule de proj., attention signe !) \[= q_{*}(u) \quad \text{car } p_{32}\, q = \mathrm{id}_{X \times Y}\] donc \[u \circ \Delta_{X} = p_{31*}\, q_{*}(u) = u\] car \(q\) \(p_{31}\, q = \mathrm{id}\).

signes \((-1)^{ux}\) ; pour ces signes voir calculs pour \(\Delta_{X} \circ v = v\), \(v \colon Y \to X\)

On prouve de façon analogue que \(\Delta_{X} \circ u = u\).

Donc on trouve bien une catégorie \(\mathcal{V}^{A}\).

[NB Pour définir la composition on n'a eu besoin que des \(p_{*}, p^{*}\) pour projections \(X \times Y \rightrightarrows X\) ; mais pour définir construire les unités on a utilisé aussi \(q_{*}, q^{*}\) pour les imm. diagonales et leurs produits par un \(Y\) ....]

8

De fait, pour la définit vérification de l'associativité, on n'a utilisé la formule de projection et la formule d'échange que dans le cas

\begin{tikzcd}
 & X \times Y \times P \arrow[dl] \arrow[dr] & \\
X \times P \arrow[dr, no head] & & Y \times P \arrow[dl, no head] \\
 & P &
\end{tikzcd}

Le \(Y\) de \(Y \times P\) est écrit par-dessus un \(X\).

mais pour vérifier que les \(\Delta_{X}\) sont des unités, on a eu besoin aussi du cas

\begin{tikzcd}
 & X \times Y \arrow[dl] \arrow[dr, hook] & \\
X \arrow[dr, hook, "\mathrm{diag.}"'] & & X \times X \times Y \arrow[dl, "\mathrm{proj}"] \\
 & X \times X &
\end{tikzcd}

Définissons le foncteur \(\varphi\), en définissant pour tout \(X, Y \in \operatorname{Ob} \mathcal{V}\) une application \[\varphi_{X,Y} \colon \operatorname{Hom}_{\mathcal{V}}(X,Y) \longrightarrow \operatorname{Hom}_{\mathcal{V}^{A}}(X,Y) = A(X \times Y)\] L'indice de \(\varphi\) ressemble ici et plus bas à « \(X,Z\) » ; le contexte impose \(X,Y\). Soit donc \(f \colon X \to Y\) dans \(\mathcal{V}\), on en déduit […] graphe \[\Gamma_{f} = (\mathrm{id}_{X}, f) \colon X \to X \times Y\] d'où \[A(\Gamma_{f})_{*} \colon A(X) \to A(X \times Y)\] Posons alors […] \[\varphi_{X,Y}(f) = A(\Gamma_{f})_{*}(1)\]

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Il faut prouver que \(\varphi\) est bien un foncteur.

a) \(\varphi_{X,X}(\mathrm{id}_{X}) = \Delta_{X}\). En effet, c'est la définition de \(\Delta_{X}\) !

Sur cette ligne, un premier état est biffé et la leçon « c'est la définition » est écrite au-dessus.

b) \(X \xrightarrow{\;f\;} Y \xrightarrow{\;g\;} Z\) \[\varphi(g)\, \varphi(f) = \varphi(gf)\]

Le premier membre est \[p_{31*}\bigl( p_{32}^{*}(\varphi(g))\, p_{21}^{*}(\varphi(f)) \bigr)\] avec \[p_{32}^{*}(\varphi(g)) = p_{32}^{*}\bigl( \Gamma_{g*}(1) \bigr) = \lambda_{*}\bigl( \mu^{*}(1) \bigr) = \lambda_{*}(1), \qquad p_{21}^{*}(\varphi(f)) = p_{21}^{*}\, \Gamma_{f*}(1) = \lambda'_{*}\bigl( \mu'^{*}(1) \bigr) = \lambda'_{*}(1)\] Devant \(\lambda_{*}(\mu^{*}(1))\), un \(p_{*}\) est biffé. \[\varphi(g)\, \varphi(f) = p_{31*}\bigl( \lambda_{*}(1)\, \lambda'_{*}(1) \bigr)\] Mais \[\lambda_{*}(1)\, \lambda'_{*}(1) = \lambda_{*}\bigl( \lambda^{*}( \lambda'_{*}(1) ) \bigr) \quad (\text{form.\ proj.})\] \[\lambda^{*} \lambda'_{*}(1) = \Gamma_{f*}\bigl( \Gamma_{gf}^{*}(1) \bigr) = \Gamma_{f*}(1)\] \[= \lambda_{*}\, \Gamma_{f*}(1) = \nu_{*}(1)\] où \(\nu \colon X \to X \times Y \times Z\) est donné par \(\nu(x) = (x, f(x), gf(x))\).

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & & X \arrow[dl, hook, "\Gamma_{gf}"'] \arrow[dr, hook, "\Gamma_{f}"] & & \\
 & X \times Z \arrow[dl, "\mu' = p_{X}"'] \arrow[dr, hook, "\lambda' = \Gamma_{f} \times Z"] & & X \times Y \arrow[dl, hook, "\lambda = \mathrm{id}_{X} \times \Gamma_{g}"'] \arrow[dr, "\mu = p_{Y}"] & \\
X \arrow[dr, hook, "\Gamma_{f}"'] & & X \times Y \times Z \arrow[dl, "p_{21}"'] \arrow[dr, "p_{32}"] \arrow[dd, "p_{31}"] & & Y \arrow[dl, hook, "\Gamma_{g}"] \\
 & X \times Y & & Y \times Z & \\
 & & X \times Z & &
\end{tikzcd}

Le carré supérieur est marqué « (cartésien) ». Un premier croquis du même diagramme, en haut à gauche de la page, n'est pas redessiné. Sous le diagramme, les images des points : \(x \mapsto (x, gf(x)) \leftarrow (x, f(x), gf(x))\), \(x \mapsto (x, f(x)) \mapsto (x, f(x), gf(x))\), et en marge […] \((x, f(x), z)\), \((x, y, g(y))\), \((x, f(x), gf(x))\).

Donc \[\varphi(g)\, \varphi(f) = p_{31*}\bigl( \nu_{*}(1) \bigr) = \Gamma_{gf*}(1) = \varphi(gf) \qquad \text{OK.}\]

Définissons le foncteur \(\psi\), [i.e. posant \(\psi(X) = A(X)\),] pour \(u \in \operatorname{Hom}_{\mathcal{V}^{A}}(X,Y) = A(X \times Y)\), et \(x \in A(X)\), définissons \(u(x) \in A(Y)\) par la formule \(u(x)\) \[u(x) = p_{2*}\bigl( u\, p_{1}^{*}(x) \bigr)\] Prouvons que l'on a bien une loi fonctorielle.

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a) Si \(X = Y\), prouvons que \(\Delta_{X}(x) = x\). Or

\begin{tikzcd}
 & X \arrow[d, "\delta"'] & \\
 & X \times X \arrow[dl, "p_{1}"'] \arrow[dr, "p_{2}"] & \\
X & & X
\end{tikzcd}

\[\Delta_{X}(x) = p_{2*}\bigl( \Delta_{X}\, p_{1}^{*}(x) \bigr) = p_{2*}\bigl( \delta_{*}(1)\, p_{1}^{*}(x) \bigr)\] — form. de proj. \[\delta_{*}(1)\, p_{1}^{*}(x) = \delta_{*}\bigl( 1 \cdot \delta^{*} p_{1}^{*}(x) \bigr), \qquad \delta^{*} p_{1}^{*}(x) = x\] \[= p_{2*}\, \delta_{*}(x) = x \qquad \text{OK.}\]

b) Prouvons \(v(u(x)) = (v \circ u)(x)\). \[X \xrightarrow{\;u\;} Y \xrightarrow{\;v\;} Z\]

\begin{tikzcd}[column sep=small]
 & & X \times Y \times Z \arrow[dl, "\lambda = p_{XY}"'] \arrow[dr, "\mu = p_{YZ}"] & & \\
 & X \times Y \arrow[dl, "p_{1}"'] \arrow[dr, "p_{2}"] & & Y \times Z \arrow[dl, "q_{1}"'] \arrow[dr, "q_{2}"] & \\
X & & Y & & Z
\end{tikzcd}

Devant \(q_{2*}\), un \(p_{1}^{*}\) est biffé. \[v(u(x)) = q_{2*}\bigl( v\, q_{1}^{*}(u(x)) \bigr) = q_{2*}\Bigl( v\, q_{1}^{*}\bigl( p_{2*}( u\, p_{1}^{*}(x) ) \bigr) \Bigr)\] [échange] \[q_{1}^{*}\, p_{2*}\bigl( u\, p_{1}^{*}(x) \bigr) = \mu_{*}\bigl( \lambda^{*}( u\, p_{1}^{*}(x) ) \bigr) = \mu_{*}\bigl( \lambda^{*}(u)\, p_{X}^{*}(x) \bigr)\] \[= q_{2*}\Bigl( \mu_{*}\bigl( \mu^{*}(v)\, \lambda^{*}(u)\, p_{X}^{*}(x) \bigr) \Bigr)\] (proj., attention signe) \[= p_{Z*}\bigl( p_{YZ}^{*}(v)\, p_{XY}^{*}(u)\, p_{X}^{*}(x) \bigr)\]

Le signe d'égalité qui introduit la ligne de l'échange est surmonté d'une marque […].

On a d'autre part

\begin{tikzcd}[column sep=small]
 & X \times Y \times Z \arrow[dl, "p_{XY}"'] \arrow[d, "p_{YZ}"] \arrow[dr, "p_{XZ}"] & & \\
X \times Y & Y \times Z & X \times Z \arrow[dl, "r_{1}"'] \arrow[dr, "r_{2}"] & \\
 & X & & Z
\end{tikzcd}

\[(v \circ u)(x) = r_{2*}\bigl( (v \circ u)\, r_{1}^{*}(x) \bigr) = r_{2*}\Bigl( p_{XZ*}\bigl( p_{YZ}^{*}(v)\, p_{XY}^{*}(u) \bigr)\, r_{1}^{*}(x) \Bigr)\] \[p_{XZ*}\bigl( p_{YZ}^{*}(v)\, p_{XY}^{*}(u)\, p_{XZ}^{*}\, r_{1}^{*}(x) \bigr), \qquad p_{XZ}^{*}\, r_{1}^{*}(x) = p_{X}^{*}(x)\] \[= p_{Z*}\bigl( p_{YZ}^{*}(v)\, p_{XY}^{*}(u)\, p_{X}^{*}(x) \bigr)\] OK.

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Commutativité du carré de foncteurs

Il suffit de le voir sur les flèches, donc : prouvons pour \(f \colon X \to Y\) dans \(\mathcal{V}\), et \(x \in A(X)\) \[f_{*}(x) = \varphi(f)(x)\] Or on a

\begin{tikzcd}
 & X \arrow[d, "\Gamma_{f}"] & \\
 & X \times Y \arrow[dl, "p_{1}"'] \arrow[dr, "p_{2}"] & \\
X & & Y
\end{tikzcd}

\[\varphi(f)(x) = p_{2*}\bigl( \varphi(f)\, p_{1}^{*}(x) \bigr) = p_{2*}\bigl( \Gamma_{f*}(1)\, p_{1}^{*}(x) \bigr)\] \[\Gamma_{f*}(1)\, p_{1}^{*}(x) = \Gamma_{f*}\bigl( \Gamma_{f}^{*}\, p_{1}^{*}(x) \bigr), \qquad \Gamma_{f}^{*}\, p_{1}^{*}(x) = x\] \[= p_{2*}\, \Gamma_{f*}(x) = x \qquad \text{OK.}\]

Le dernier membre est écrit \(x\) ; le calcul donne \(f_{*}(x)\), puisque \(p_{2}\Gamma_{f} = f\).

Remarque Question Comment interpréter le foncteur contravariant \(\mathcal{V}^{\circ} \to k\)-mod gr. défini par \(A\), i.e. composé de \(A\) et le foncteur \(\omega^{*} \colon C^{\circ} \to k\)-mod gr. (associant à \((f_{*}, f^{*})\) l'application \(f^{*}\)) ? En d'autres termes, comment interpréter \(A(f)^{*} \colon A(Y) \to A(X)\), si \(f \colon Y \to X\) ? On démontre que c'est défini par \[\varphi(f)^{*} \in \operatorname{Hom}_{\mathcal{V}^{A}}(Y,X) = A(Y \times X),\] déduit de \(\varphi(f) \in A(X \times Y)\) par l'isom. can. voir dessous. Vérification comme dessus.

« \(f \colon Y \to X\) » est bien ce qu'on lit ; pour \(A(f)^{*} \colon A(Y) \to A(X)\) on attend \(f \colon X \to Y\).

On définit un iso. foncteur canonique \[s \colon \mathcal{V}^{A\circ} \to \mathcal{V}^{A\circ}\] induisant l'identité sur les objets, par \[u \mapsto {}^{t}u \colon \operatorname{Hom}_{\mathcal{V}^{A}}(X,Y) = A(X \times Y) \to \operatorname{Hom}_{\mathcal{V}^{A}}(Y,X) = A(Y \times X)\]

vérifier que c'est multiplicatif !

Les deux membres de \(s\) portent l'exposant \(A\circ\) sur la page ; l'usage qui en est fait page 16, \(\varphi^{*} = s\varphi^{\circ} \colon \mathcal{V}^{\circ} \to \mathcal{V}^{A}\), demande un but sans \(\circ\). La phrase se poursuit en tête de la page 16.

16

[provenant de] l'isom. canonique entre \(X \times Y\) et \(Y \times X\). Soit alors \[\varphi^{*} = s \varphi^{\circ} \colon \mathcal{V}^{\circ} \to \mathcal{V}^{A}\] on constate alors que le composé \[\psi \varphi^{*} = \psi(s \varphi^{\circ}) = (\psi s) \varphi^{\circ} \colon \mathcal{V}^{\circ} \to k\text{-mod gr.}\] est comme égal : \(\omega^{*} A^{\circ} \colon \mathcal{V}^{\circ} \to k\)-mod gr.

à vérifier

Ainsi, \(\mathcal{V}^{A}\) apparaît comme une […] d'enveloppe

Cas où \(\mathcal{V}\) a un objet final \(e\), et de plus \(A(e) = k\), [Sinon, on remplace \(k\) par \(A(e)\) !] Alors les \(A(X)\) sont naturellement jaugés ; si c'est des alg. de Poincaré, il suffit alors de connaître ces ces alg. jaugées, + les \(f^{*}\) (\(f \colon X \to Y\) dans \(\mathcal{V}\)) pour connaître \(A\).

Le mot lu « jaugés » revient page 18 ; il pourrait aussi être une autre forme en -gés ou -gués. Les formes \(k_{A(X)}\) qui suivent sont celles qu'il a en vue.

Soit \[u \in \operatorname{Hom}_{\mathcal{V}^{A}}(X,Y) = A(X \times Y)\] \[su \in \operatorname{Hom}_{\mathcal{V}^{A}}(Y,X) = A(Y \times X)\] d'où \[\tilde{u} \colon A(X) \to A(Y) \qquad \widetilde{su} \colon A(Y) \to A(X) .\]

Montrons que [si \(u\) central dans \(A(X \times Y)\), […]] \(\tilde{u}\) et \(\widetilde{su}\) sont transposés l'un de l'autre, pour les formes \(k_{A(X)}\) et \(k_{A(Y)}\) sur \(A(X)\), \(A(Y)\), i.e. on a pour \(x \in A(X)\), \(y \in A(Y)\), \(u \in A(X \times Y)\) \[k_{Y}\bigl( y\, u_{*}(x) \bigr) = k_{X}\bigl( u^{*}(y)\, x \bigr)\] i.e. \[g_{*}\bigl( y\, u_{*}(x) \bigr) = f_{*}\bigl( u^{*}(y)\, x \bigr) .\] (Car \(u\) central !!) En effet

\begin{tikzcd}
A(X) \arrow[r, bend left=20, "u_{*}"] \arrow[d, "k_{X}"'] & A(Y) \arrow[l, bend left=20, "u^{*}"] \arrow[d, "k_{Y}"] \\
k & k
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}
 & X \times Y \arrow[dl, "p_{1}"'] \arrow[dr, "p_{2}"] & \\
X \arrow[dr, no head, "f"'] & & Y \arrow[dl, no head, "g"] \\
 & e &
\end{tikzcd}

Entre les deux \(k\) du premier diagramme, un signe \(=\).

\[g_{*}\bigl( y\, u_{*}(x) \bigr) = g_{*}\bigl( y\, p_{2*}( u\, p_{1}^{*}(x) ) \bigr) = g_{*}\, p_{2*}\bigl( p_{2}^{*}(y)\, u\, p_{1}^{*}(x) \bigr) = k\bigl( p_{2}^{*}(y)\, u\, p_{1}^{*}(x) \bigr)\] \[f_{*}\bigl( u^{*}(y)\, x \bigr) = f_{*}\bigl( p_{1*}( u\, p_{2}^{*}(y) )\, x \bigr) = f_{*}\, p_{1*}\bigl( u\, p_{2}^{*}(y)\, p_{1}^{*}(x) \bigr) = k\bigl( u\, p_{2}^{*}(y)\, p_{1}^{*}(x) \bigr)\] \[= k\bigl( p_{2}^{*}(y)\, u\, p_{1}^{*}(x) \bigr) \qquad (\text{mod.\ signe !})\]

18

Remarque On n'a jamais, dans les calculs précédents, utilisé la structure additive des \(A(X)\), seulement leur structure de monoïdes. Donc il y a lieu de formuler la théorie des correspondances en prenant des \(X \mapsto\) \(A(X)\) qui sont des [foncteurs dans les] « monoïdes bivariants » .... Il faudrait être prudent rigoureux pour les signes, dans le cas de monoïdes non commutatifs, en prenant des monoïdes gradués [les diagrammes […]] […] anticommutatifs Ce point de vue cependant me semble pas très commode dans le cas où les 2 formules de projection (gauche et droite) ne sont pas valables l'une et l'autre, et qu'il faut introduire des signes. Il faudrait plutôt remplacer les monoïdes par des « monoïdes jaugés » \((A^{i})_{i \in \mathbf{Z}}\), loi de composition \(A^{i} \times A^{j} \to A^{i+j}\) (NB : L'ensemble somme des \(A^{i}\) est muni d'une structure de monoïde) et […] applications […] bijectives \(\sigma^{i} \colon A^{i} \to A^{i}\) satisfaisant \(\sigma^{i2} = \mathrm{id}\), \(\sigma^{i} = \mathrm{id}\) si \(i\) pair, pour enfin chaque \(A^{*}\) muni d'un degré \(d(A^{*})\), qui permet d'imposer le degré des \(f_{*}\) dans \((f_{*}, f^{*}) \colon A^{*} \to B^{*}\) comme \(d(B^{*}) - d(A^{*})\). On peut alors imaginer comment les signes doivent être contrôlés dans les formules de projection et d'échange ([…] on sait que […] sont […]).

Le passage biffé est cancellé en bloc : un trait sur « Il faudrait être prudent », corrigé en interligne, un encadré autour de la suite et un long trait ondulé par-dessus ; on n'en donne que ce qui se lit. Au milieu, « (gauche et droite) » est ajouté en interligne.

20

Pour tout \(X \in \mathcal{V}\), soit \(A'(X) \subset A(X)\), [avec \(1_{A(X)} \in A'(X)\), stables par somme.] Conditions équiv.

1°) Les \(A'(X)\) stables par images inverses, images directes par tout morphisme de \(\mathcal{V}\), et par produit [ou encore, par produits \(\boxtimes\)].

2°) Soit a) \(u \in A'(X \times Y)\), \(x \in A'(X)\), alors \(u(x) \in A'(Y)\).

b) Si \(x \in A'(X)\), \(y \in A'(Y)\), alors \(x \boxtimes y \in A'(X \times Y)\)

c) Pour tout morphisme \(X \to Y\) [il suffit de […]] le graphe \(\gamma_{f} = \Gamma_{f*}(1) \in A(X \times Y)\) est dans \(A'(X \times Y)\).

Sous la ligne de c), deux mots, « […] les », ne se rattachent à rien de sûr. « tout » est entouré dans c) et relié au mot « tout » de 1°) et à la note marginale.

il faudrait donner un énoncé d'équivalence plus général, où on remplace « tout » par […] \(H\) morphismes de \(\mathcal{V}\) […]

NB Les \(A'\) correspondent aux sous-catégories (pleines) de \(\mathcal{V}^{A}\) ayant mêmes objets que \(\mathcal{V}^{A}\)

NB Si \(\mathcal{V}\) a un objet final, les \(A'\) correspondent exactement aux sous-catégories de \(\mathcal{V}^{A}\) qui ont mêmes objets que \(\mathcal{V}^{A}\), stables par \(\boxtimes\) de flèches, et contenant les […] morphismes de \(\mathcal{V}\) et leurs \(s\) […] \({}^{s}\Gamma_{f}\) (il suffit \({}^{s}\delta_{X}\)).

Ce second NB est récrit dans un encadré sur le premier ; « mêmes objets que » est suivi sur la page d'un \(A\) seul.

Dém 1°) \(\Rightarrow\) 2°)

1° forme simple [avec \(\boxtimes\)] implique forme non simple, car \[x \otimes y = \delta^{*}(x \boxtimes y) \qquad [x, y \in A(X),\ \delta = \mathrm{diag}_{X} \colon X \to X \times X]\] images inverses par \(\delta\)

1° forme non simple implique forme simple, car \[x \boxtimes y = p_{1}^{*}(x)\, p_{2}^{*}(y) .\] images inverses par pr.

a) car \[u(x) = p_{2*}\bigl( u\, p_{1}^{*}(x) \bigr) .\] [[…] \(=\) pour \(u^{*}(y) \in A'(X)\) si \(y \in A'(Y)\)] images directes, inverses par pr de 2

b) clair

c) clair, car \(1_{X} \in A'(X)\) par hyp. images directes par graphes

2°) \(\Rightarrow\) 1°). Stabilité par images […] directes : car \[f_{*}(x) = \gamma_{f}(x) ,\] Un premier \(\gamma_{f}\) est biffé : \(\gamma_{f}\). on applique a) et c).

produits

Stabilité par images directes inverses : car \(f^{*}(y) = ({}^{t}\gamma_{f})_{*}(y)\), et comme \(\gamma_{f} \in A'(X \times Y)\), \(\Rightarrow\) \({}^{t}\gamma_{f} \in A'(Y \times X)\) (stabilité par isom.),

Stabilité par \(\boxtimes\) claire.

Les notes marginales de cette démonstration sont des étiquettes encadrées qui disent quelle stabilité sert à quelle étape. La page se termine ici, la moitié inférieure blanche ; les sous-foncteurs \(A'\) sont repris page 22, dans le lot suivant.