Associativité

X \xrightarrow{\;u\;} Y \xrightarrow{\;v\;} Z \xrightarrow{\;w\;} T

À prouver w(vu) = (wv)u Le premier membre est égal à :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & & X \times Y \times Z \times T \arrow[dl, "\alpha'"'] \arrow[drrr, "\nu'"] & & & & \\ & X \times Y \times Z \arrow[dl, "\lambda"'] \arrow[d, "\mu"] \arrow[dr, "\nu"] & & & & X \times Z \times T \arrow[dlll, "\alpha"'] \arrow[d, "\gamma"] \arrow[dr, "\beta"] & \\ X \times Y & Y \times Z & X \times Z & & & X \times T & Z \times T \end{tikzcd}

Le but de \mu est écrit Y \times Z par-dessus une première lettre ; une petite inscription le long de \nu est .

w(vu) \stackrel{\text{déf}}{=} \gamma_{*}\bigl( \beta^{*}(w)\, \alpha^{*}(vu) \bigr) \stackrel{\text{déf de } vu}{=} \gamma_{*}\Bigl( \beta^{*}(w)\, \alpha^{*}\bigl( \nu_{*}( \mu^{*}(v)\, \lambda^{*}(u) ) \bigr) \Bigr) car \alpha^{*} \nu_{*} = \nu'_{*} \alpha'^{*} [échange] = \gamma_{*}\Bigl( \beta^{*}(w)\, \nu'_{*}\bigl( \alpha'^{*}( \mu^{*}(v)\, \lambda^{*}(u) ) \bigr) \Bigr) avec \alpha'^{*}\mu^{*}(v)\, \alpha'^{*}\lambda^{*}(u) = p_{YZ}^{*}(v)\, p_{X,Y}^{*}(u) \| formule de proj. (att. signes !) \nu'_{*}\bigl( \nu'^{*}\beta^{*}(w)\, p_{YZ}^{*}(v)\, p_{XY}^{*}(u) \bigr), \qquad \nu'^{*}\beta^{*}(w) = p_{ZT}^{*}(w) = p_{XT*}\bigl( p_{ZT}^{*}(w)\, p_{YZ}^{*}(v)\, p_{XY}^{*}(u) \bigr)

À gauche de ces lignes, un fragment biffé : (-1) .

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & & X \times Y \times Z \times T \arrow[dl, "n'"'] \arrow[dr, "b'"] & & \\ & X \times Y \times T \arrow[dl, "a"'] \arrow[d, "c"] \arrow[dr, "b"] & & Y \times Z \times T \arrow[dl, "n"'] \arrow[d, "l"] \arrow[dr, "m"] & \\ X \times Y & X \times T & Y \times T & Y \times Z & Z \times T \end{tikzcd}

(wv)u = c_{*}\bigl( b^{*}(wv)\, a^{*}(u) \bigr) = c_{*}\Bigl( b^{*}\bigl( n_{*}( m^{*}(w)\, l^{*}(v) ) \bigr)\, a^{*}(u) \Bigr) Dans la seconde expression, un premier m_{*} est biffé et remplacé par n_{*}. formule d'échange : n'_{*}\bigl( b'^{*}( m^{*}(w)\, l^{*}(v) ) \bigr), \qquad b'^{*}\bigl( m^{*}(w)\, l^{*}(v) \bigr) = p_{ZT}^{*}(w)\, p_{YZ}^{*}(v) = c_{*}\Bigl( n'_{*}\bigl( p_{ZT}^{*}(w)\, p_{YZ}^{*}(v) \bigr)\, a^{*}(u) \Bigr) — formule de proj. (att. signes !) = c_{*} = n'_{*}\bigl( p_{ZT}^{*}(w)\, p_{YZ}^{*}(v)\; n'^{*} a^{*}(u) \bigr), \qquad n'^{*}a^{*}(u) = p_{XY}^{*}(u) = p_{XT*}\bigl( p_{ZT}^{*}(w)\, p_{YZ}^{*}(v)\, p_{XY}^{*}(u) \bigr)

Devant a^{*}(u) dans l'avant-dernière ligne, un symbole est biffé et surchargé, lu n'^{*} d'après l'accolade qui le rend p_{XY}^{*}(u). La dernière égalité est écrite dans la marge droite et sort de la feuille.

Unités

On définit \Delta_{X} \in \operatorname{Hom}_{\mathcal{V}^{A}}(X,X) = A(X \times X) en considérant \delta_{X} \colon X \to X \times X \qquad (\text{diag.}) et définissant \Delta_{X} = A(\delta_{X})_{*}(1_{A(X)}) Après le signe =, un premier état est biffé : .

Prouvons que \Delta_{X} est une unité bilatère pour la composition : i.e. X \xrightarrow{\;\Delta_{X}\;} X \xrightarrow{\;u\;} Y u \circ \Delta_{X} = p_{31*}\bigl( p_{32}^{*}(u)\, p_{21}^{*}(\Delta_{X}) \bigr)

\begin{tikzcd} & X \times X \times Y \arrow[dl, "p_{21}"'] \arrow[dr, "p_{32}"] \arrow[dd, no head] & \\ X \times X & & X \times Y \\ & X \times Y & \end{tikzcd}

\begin{tikzcd} X \times Y \arrow[r, "\delta_{X} \times \mathrm{id}_{Y} = q"] \arrow[d, "p"'] & X \times X \times Y \arrow[d, "p_{21}"] \\ X \arrow[r, "\delta_{X}"] & X \times X \end{tikzcd}

p_{21}^{*}(\Delta_{X}) = p_{21}^{*}\bigl( \delta_{X*}(1) \bigr) \stackrel{\text{échange}}{=} q_{*}\bigl( p^{*}(1) \bigr) = q_{*}(1) donc p_{32}^{*}(u)\, p_{21}^{*}(\Delta_{X}) = p_{32}^{*}(u)\, q_{*}(1) = q_{*}\bigl( q^{*}( p_{32}^{*}(u) ) \bigr) (formule de proj., attention signe !) = q_{*}(u) \quad \text{car } p_{32}\, q = \mathrm{id}_{X \times Y} donc u \circ \Delta_{X} = p_{31*}\, q_{*}(u) = u car q p_{31}\, q = \mathrm{id}.

signes (-1)^{ux} ; pour ces signes voir calculs pour \Delta_{X} \circ v = v, v \colon Y \to X

On prouve de façon analogue que \Delta_{X} \circ u = u.

Donc on trouve bien une catégorie \mathcal{V}^{A}.

[NB Pour définir la composition on n'a eu besoin que des p_{*}, p^{*} pour projections X \times Y \rightrightarrows X ; mais pour définir construire les unités on a utilisé aussi q_{*}, q^{*} pour les imm. diagonales et leurs produits par un Y ....]

De fait, pour la définit vérification de l'associativité, on n'a utilisé la formule de projection et la formule d'échange que dans le cas

\begin{tikzcd} & X \times Y \times P \arrow[dl] \arrow[dr] & \\ X \times P \arrow[dr, no head] & & Y \times P \arrow[dl, no head] \\ & P & \end{tikzcd}

Le Y de Y \times P est écrit par-dessus un X.

mais pour vérifier que les \Delta_{X} sont des unités, on a eu besoin aussi du cas

\begin{tikzcd} & X \times Y \arrow[dl] \arrow[dr, hook] & \\ X \arrow[dr, hook, "\mathrm{diag.}"'] & & X \times X \times Y \arrow[dl, "\mathrm{proj}"] \\ & X \times X & \end{tikzcd}

Définissons le foncteur \varphi, en définissant pour tout X, Y \in \operatorname{Ob} \mathcal{V} une application \varphi_{X,Y} \colon \operatorname{Hom}_{\mathcal{V}}(X,Y) \longrightarrow \operatorname{Hom}_{\mathcal{V}^{A}}(X,Y) = A(X \times Y) L'indice de \varphi ressemble ici et plus bas à « X,Z » ; le contexte impose X,Y. Soit donc f \colon X \to Y dans \mathcal{V}, on en déduit graphe \Gamma_{f} = (\mathrm{id}_{X}, f) \colon X \to X \times Y d'où A(\Gamma_{f})_{*} \colon A(X) \to A(X \times Y) Posons alors \varphi_{X,Y}(f) = A(\Gamma_{f})_{*}(1)

Il faut prouver que \varphi est bien un foncteur.

a) \varphi_{X,X}(\mathrm{id}_{X}) = \Delta_{X}. En effet, c'est la définition de \Delta_{X} !

Sur cette ligne, un premier état est biffé et la leçon « c'est la définition » est écrite au-dessus.

b) X \xrightarrow{\;f\;} Y \xrightarrow{\;g\;} Z \varphi(g)\, \varphi(f) = \varphi(gf)

Le premier membre est p_{31*}\bigl( p_{32}^{*}(\varphi(g))\, p_{21}^{*}(\varphi(f)) \bigr) avec p_{32}^{*}(\varphi(g)) = p_{32}^{*}\bigl( \Gamma_{g*}(1) \bigr) = \lambda_{*}\bigl( \mu^{*}(1) \bigr) = \lambda_{*}(1), \qquad p_{21}^{*}(\varphi(f)) = p_{21}^{*}\, \Gamma_{f*}(1) = \lambda'_{*}\bigl( \mu'^{*}(1) \bigr) = \lambda'_{*}(1) Devant \lambda_{*}(\mu^{*}(1)), un p_{*} est biffé. \varphi(g)\, \varphi(f) = p_{31*}\bigl( \lambda_{*}(1)\, \lambda'_{*}(1) \bigr) Mais \lambda_{*}(1)\, \lambda'_{*}(1) = \lambda_{*}\bigl( \lambda^{*}( \lambda'_{*}(1) ) \bigr) \quad (\text{form.\ proj.}) \lambda^{*} \lambda'_{*}(1) = \Gamma_{f*}\bigl( \Gamma_{gf}^{*}(1) \bigr) = \Gamma_{f*}(1) = \lambda_{*}\, \Gamma_{f*}(1) = \nu_{*}(1) où \nu \colon X \to X \times Y \times Z est donné par \nu(x) = (x, f(x), gf(x)).

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & & X \arrow[dl, hook, "\Gamma_{gf}"'] \arrow[dr, hook, "\Gamma_{f}"] & & \\ & X \times Z \arrow[dl, "\mu' = p_{X}"'] \arrow[dr, hook, "\lambda' = \Gamma_{f} \times Z"] & & X \times Y \arrow[dl, hook, "\lambda = \mathrm{id}_{X} \times \Gamma_{g}"'] \arrow[dr, "\mu = p_{Y}"] & \\ X \arrow[dr, hook, "\Gamma_{f}"'] & & X \times Y \times Z \arrow[dl, "p_{21}"'] \arrow[dr, "p_{32}"] \arrow[dd, "p_{31}"] & & Y \arrow[dl, hook, "\Gamma_{g}"] \\ & X \times Y & & Y \times Z & \\ & & X \times Z & & \end{tikzcd}

Le carré supérieur est marqué « (cartésien) ». Un premier croquis du même diagramme, en haut à gauche de la page, n'est pas redessiné. Sous le diagramme, les images des points : x \mapsto (x, gf(x)) \leftarrow (x, f(x), gf(x)), x \mapsto (x, f(x)) \mapsto (x, f(x), gf(x)), et en marge (x, f(x), z), (x, y, g(y)), (x, f(x), gf(x)).

Donc \varphi(g)\, \varphi(f) = p_{31*}\bigl( \nu_{*}(1) \bigr) = \Gamma_{gf*}(1) = \varphi(gf) \qquad \text{OK.}

Définissons le foncteur \psi, [i.e. posant \psi(X) = A(X),] pour u \in \operatorname{Hom}_{\mathcal{V}^{A}}(X,Y) = A(X \times Y), et x \in A(X), définissons u(x) \in A(Y) par la formule u(x) u(x) = p_{2*}\bigl( u\, p_{1}^{*}(x) \bigr) Prouvons que l'on a bien une loi fonctorielle.

a) Si X = Y, prouvons que \Delta_{X}(x) = x. Or

\begin{tikzcd} & X \arrow[d, "\delta"'] & \\ & X \times X \arrow[dl, "p_{1}"'] \arrow[dr, "p_{2}"] & \\ X & & X \end{tikzcd}

\Delta_{X}(x) = p_{2*}\bigl( \Delta_{X}\, p_{1}^{*}(x) \bigr) = p_{2*}\bigl( \delta_{*}(1)\, p_{1}^{*}(x) \bigr) — form. de proj. \delta_{*}(1)\, p_{1}^{*}(x) = \delta_{*}\bigl( 1 \cdot \delta^{*} p_{1}^{*}(x) \bigr), \qquad \delta^{*} p_{1}^{*}(x) = x = p_{2*}\, \delta_{*}(x) = x \qquad \text{OK.}

b) Prouvons v(u(x)) = (v \circ u)(x). X \xrightarrow{\;u\;} Y \xrightarrow{\;v\;} Z

\begin{tikzcd}[column sep=small] & & X \times Y \times Z \arrow[dl, "\lambda = p_{XY}"'] \arrow[dr, "\mu = p_{YZ}"] & & \\ & X \times Y \arrow[dl, "p_{1}"'] \arrow[dr, "p_{2}"] & & Y \times Z \arrow[dl, "q_{1}"'] \arrow[dr, "q_{2}"] & \\ X & & Y & & Z \end{tikzcd}

Devant q_{2*}, un p_{1}^{*} est biffé. v(u(x)) = q_{2*}\bigl( v\, q_{1}^{*}(u(x)) \bigr) = q_{2*}\Bigl( v\, q_{1}^{*}\bigl( p_{2*}( u\, p_{1}^{*}(x) ) \bigr) \Bigr) [échange] q_{1}^{*}\, p_{2*}\bigl( u\, p_{1}^{*}(x) \bigr) = \mu_{*}\bigl( \lambda^{*}( u\, p_{1}^{*}(x) ) \bigr) = \mu_{*}\bigl( \lambda^{*}(u)\, p_{X}^{*}(x) \bigr) = q_{2*}\Bigl( \mu_{*}\bigl( \mu^{*}(v)\, \lambda^{*}(u)\, p_{X}^{*}(x) \bigr) \Bigr) (proj., attention signe) = p_{Z*}\bigl( p_{YZ}^{*}(v)\, p_{XY}^{*}(u)\, p_{X}^{*}(x) \bigr)

Le signe d'égalité qui introduit la ligne de l'échange est surmonté d'une marque .

On a d'autre part

\begin{tikzcd}[column sep=small] & X \times Y \times Z \arrow[dl, "p_{XY}"'] \arrow[d, "p_{YZ}"] \arrow[dr, "p_{XZ}"] & & \\ X \times Y & Y \times Z & X \times Z \arrow[dl, "r_{1}"'] \arrow[dr, "r_{2}"] & \\ & X & & Z \end{tikzcd}

(v \circ u)(x) = r_{2*}\bigl( (v \circ u)\, r_{1}^{*}(x) \bigr) = r_{2*}\Bigl( p_{XZ*}\bigl( p_{YZ}^{*}(v)\, p_{XY}^{*}(u) \bigr)\, r_{1}^{*}(x) \Bigr) p_{XZ*}\bigl( p_{YZ}^{*}(v)\, p_{XY}^{*}(u)\, p_{XZ}^{*}\, r_{1}^{*}(x) \bigr), \qquad p_{XZ}^{*}\, r_{1}^{*}(x) = p_{X}^{*}(x) = p_{Z*}\bigl( p_{YZ}^{*}(v)\, p_{XY}^{*}(u)\, p_{X}^{*}(x) \bigr) OK.

Commutativité du carré de foncteurs

Il suffit de le voir sur les flèches, donc : prouvons pour f \colon X \to Y dans \mathcal{V}, et x \in A(X) f_{*}(x) = \varphi(f)(x) Or on a

\begin{tikzcd} & X \arrow[d, "\Gamma_{f}"] & \\ & X \times Y \arrow[dl, "p_{1}"'] \arrow[dr, "p_{2}"] & \\ X & & Y \end{tikzcd}

\varphi(f)(x) = p_{2*}\bigl( \varphi(f)\, p_{1}^{*}(x) \bigr) = p_{2*}\bigl( \Gamma_{f*}(1)\, p_{1}^{*}(x) \bigr) \Gamma_{f*}(1)\, p_{1}^{*}(x) = \Gamma_{f*}\bigl( \Gamma_{f}^{*}\, p_{1}^{*}(x) \bigr), \qquad \Gamma_{f}^{*}\, p_{1}^{*}(x) = x = p_{2*}\, \Gamma_{f*}(x) = x \qquad \text{OK.}

Le dernier membre est écrit x ; le calcul donne f_{*}(x), puisque p_{2}\Gamma_{f} = f.

Remarque Question Comment interpréter le foncteur contravariant \mathcal{V}^{\circ} \to k-mod gr. défini par A, i.e. composé de A et le foncteur \omega^{*} \colon C^{\circ} \to k-mod gr. (associant à (f_{*}, f^{*}) l'application f^{*}) ? En d'autres termes, comment interpréter A(f)^{*} \colon A(Y) \to A(X), si f \colon Y \to X ? On démontre que c'est défini par \varphi(f)^{*} \in \operatorname{Hom}_{\mathcal{V}^{A}}(Y,X) = A(Y \times X), déduit de \varphi(f) \in A(X \times Y) par l'isom. can. voir dessous. Vérification comme dessus.

« f \colon Y \to X » est bien ce qu'on lit ; pour A(f)^{*} \colon A(Y) \to A(X) on attend f \colon X \to Y.

On définit un iso. foncteur canonique s \colon \mathcal{V}^{A\circ} \to \mathcal{V}^{A\circ} induisant l'identité sur les objets, par u \mapsto {}^{t}u \colon \operatorname{Hom}_{\mathcal{V}^{A}}(X,Y) = A(X \times Y) \to \operatorname{Hom}_{\mathcal{V}^{A}}(Y,X) = A(Y \times X)

vérifier que c'est multiplicatif !

Les deux membres de s portent l'exposant A\circ sur la page ; l'usage qui en est fait page 16, \varphi^{*} = s\varphi^{\circ} \colon \mathcal{V}^{\circ} \to \mathcal{V}^{A}, demande un but sans \circ. La phrase se poursuit en tête de la page 16.

[provenant de] l'isom. canonique entre X \times Y et Y \times X. Soit alors \varphi^{*} = s \varphi^{\circ} \colon \mathcal{V}^{\circ} \to \mathcal{V}^{A} on constate alors que le composé \psi \varphi^{*} = \psi(s \varphi^{\circ}) = (\psi s) \varphi^{\circ} \colon \mathcal{V}^{\circ} \to k\text{-mod gr.} est comme égal : \omega^{*} A^{\circ} \colon \mathcal{V}^{\circ} \to k-mod gr.

à vérifier

Ainsi, \mathcal{V}^{A} apparaît comme une d'enveloppe

Cas où \mathcal{V} a un objet final e, et de plus A(e) = k, [Sinon, on remplace k par A(e) !] Alors les A(X) sont naturellement jaugés ; si c'est des alg. de Poincaré, il suffit alors de connaître ces ces alg. jaugées, + les f^{*} (f \colon X \to Y dans \mathcal{V}) pour connaître A.

Le mot lu « jaugés » revient page 18 ; il pourrait aussi être une autre forme en -gés ou -gués. Les formes k_{A(X)} qui suivent sont celles qu'il a en vue.

Soit u \in \operatorname{Hom}_{\mathcal{V}^{A}}(X,Y) = A(X \times Y) su \in \operatorname{Hom}_{\mathcal{V}^{A}}(Y,X) = A(Y \times X) d'où \tilde{u} \colon A(X) \to A(Y) \qquad \widetilde{su} \colon A(Y) \to A(X) .

Montrons que [si u central dans A(X \times Y), ] \tilde{u} et \widetilde{su} sont transposés l'un de l'autre, pour les formes k_{A(X)} et k_{A(Y)} sur A(X), A(Y), i.e. on a pour x \in A(X), y \in A(Y), u \in A(X \times Y) k_{Y}\bigl( y\, u_{*}(x) \bigr) = k_{X}\bigl( u^{*}(y)\, x \bigr) i.e. g_{*}\bigl( y\, u_{*}(x) \bigr) = f_{*}\bigl( u^{*}(y)\, x \bigr) . (Car u central !!) En effet

\begin{tikzcd} A(X) \arrow[r, bend left=20, "u_{*}"] \arrow[d, "k_{X}"'] & A(Y) \arrow[l, bend left=20, "u^{*}"] \arrow[d, "k_{Y}"] \\ k & k \end{tikzcd}

\begin{tikzcd} & X \times Y \arrow[dl, "p_{1}"'] \arrow[dr, "p_{2}"] & \\ X \arrow[dr, no head, "f"'] & & Y \arrow[dl, no head, "g"] \\ & e & \end{tikzcd}

Entre les deux k du premier diagramme, un signe =.

g_{*}\bigl( y\, u_{*}(x) \bigr) = g_{*}\bigl( y\, p_{2*}( u\, p_{1}^{*}(x) ) \bigr) = g_{*}\, p_{2*}\bigl( p_{2}^{*}(y)\, u\, p_{1}^{*}(x) \bigr) = k\bigl( p_{2}^{*}(y)\, u\, p_{1}^{*}(x) \bigr) f_{*}\bigl( u^{*}(y)\, x \bigr) = f_{*}\bigl( p_{1*}( u\, p_{2}^{*}(y) )\, x \bigr) = f_{*}\, p_{1*}\bigl( u\, p_{2}^{*}(y)\, p_{1}^{*}(x) \bigr) = k\bigl( u\, p_{2}^{*}(y)\, p_{1}^{*}(x) \bigr) = k\bigl( p_{2}^{*}(y)\, u\, p_{1}^{*}(x) \bigr) \qquad (\text{mod.\ signe !})

Remarque On n'a jamais, dans les calculs précédents, utilisé la structure additive des A(X), seulement leur structure de monoïdes. Donc il y a lieu de formuler la théorie des correspondances en prenant des X \mapsto A(X) qui sont des [foncteurs dans les] « monoïdes bivariants » .... Il faudrait être prudent rigoureux pour les signes, dans le cas de monoïdes non commutatifs, en prenant des monoïdes gradués [les diagrammes ] anticommutatifs Ce point de vue cependant me semble pas très commode dans le cas où les 2 formules de projection (gauche et droite) ne sont pas valables l'une et l'autre, et qu'il faut introduire des signes. Il faudrait plutôt remplacer les monoïdes par des « monoïdes jaugés » (A^{i})_{i \in \mathbf{Z}}, loi de composition A^{i} \times A^{j} \to A^{i+j} (NB : L'ensemble somme des A^{i} est muni d'une structure de monoïde) et applications bijectives \sigma^{i} \colon A^{i} \to A^{i} satisfaisant \sigma^{i2} = \mathrm{id}, \sigma^{i} = \mathrm{id} si i pair, pour enfin chaque A^{*} muni d'un degré d(A^{*}), qui permet d'imposer le degré des f_{*} dans (f_{*}, f^{*}) \colon A^{*} \to B^{*} comme d(B^{*}) - d(A^{*}). On peut alors imaginer comment les signes doivent être contrôlés dans les formules de projection et d'échange ( on sait que sont ).

Le passage biffé est cancellé en bloc : un trait sur « Il faudrait être prudent », corrigé en interligne, un encadré autour de la suite et un long trait ondulé par-dessus ; on n'en donne que ce qui se lit. Au milieu, « (gauche et droite) » est ajouté en interligne.

Pour tout X \in \mathcal{V}, soit A'(X) \subset A(X), [avec 1_{A(X)} \in A'(X), stables par somme.] Conditions équiv.

1°) Les A'(X) stables par images inverses, images directes par tout morphisme de \mathcal{V}, et par produit [ou encore, par produits \boxtimes].

2°) Soit a) u \in A'(X \times Y), x \in A'(X), alors u(x) \in A'(Y).

b) Si x \in A'(X), y \in A'(Y), alors x \boxtimes y \in A'(X \times Y)

c) Pour tout morphisme X \to Y [il suffit de ] le graphe \gamma_{f} = \Gamma_{f*}(1) \in A(X \times Y) est dans A'(X \times Y).

Sous la ligne de c), deux mots, « les », ne se rattachent à rien de sûr. « tout » est entouré dans c) et relié au mot « tout » de 1°) et à la note marginale.

il faudrait donner un énoncé d'équivalence plus général, où on remplace « tout » par H morphismes de \mathcal{V}

NB Les A' correspondent aux sous-catégories (pleines) de \mathcal{V}^{A} ayant mêmes objets que \mathcal{V}^{A}

NB Si \mathcal{V} a un objet final, les A' correspondent exactement aux sous-catégories de \mathcal{V}^{A} qui ont mêmes objets que \mathcal{V}^{A}, stables par \boxtimes de flèches, et contenant les morphismes de \mathcal{V} et leurs s {}^{s}\Gamma_{f} (il suffit {}^{s}\delta_{X}).

Ce second NB est récrit dans un encadré sur le premier ; « mêmes objets que » est suivi sur la page d'un A seul.

Dém 1°) \Rightarrow 2°)

1° forme simple [avec \boxtimes] implique forme non simple, car x \otimes y = \delta^{*}(x \boxtimes y) \qquad [x, y \in A(X),\ \delta = \mathrm{diag}_{X} \colon X \to X \times X] images inverses par \delta

1° forme non simple implique forme simple, car x \boxtimes y = p_{1}^{*}(x)\, p_{2}^{*}(y) . images inverses par pr.

a) car u(x) = p_{2*}\bigl( u\, p_{1}^{*}(x) \bigr) . [ = pour u^{*}(y) \in A'(X) si y \in A'(Y)] images directes, inverses par pr de 2

b) clair

c) clair, car 1_{X} \in A'(X) par hyp. images directes par graphes

2°) \Rightarrow 1°). Stabilité par images directes : car f_{*}(x) = \gamma_{f}(x) , Un premier \gamma_{f} est biffé : \gamma_{f}. on applique a) et c).

produits

Stabilité par images directes inverses : car f^{*}(y) = ({}^{t}\gamma_{f})_{*}(y), et comme \gamma_{f} \in A'(X \times Y), \Rightarrow {}^{t}\gamma_{f} \in A'(Y \times X) (stabilité par isom.),

Stabilité par \boxtimes claire.

Les notes marginales de cette démonstration sont des étiquettes encadrées qui disent quelle stabilité sert à quelle étape. La page se termine ici, la moitié inférieure blanche ; les sous-foncteurs A' sont repris page 22, dans le lot suivant.