Cote n° 107 · batch 2 · pages 21–25 · Transcription · Closed models [notes postérieures à PS ?] : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1982]
Édition de démonstration

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21

au crayon, dans la marge gauche d'une feuille de listing ; trois diagrammes, sans texte

\begin{tikzcd}
A \arrow[r, "\alpha"] \arrow[d, "\text{cof.}"'] & X \arrow[d, "p"] \\
A \times I \arrow[r, "h"'] \arrow[ur] & Y
\end{tikzcd}

à droite de ce carré, deux petits croquis : une flèche verticale prise dans une lentille (deux arcs), deux fois, le second arc supérieur portant une pointe — vraisemblablement le dessin d'une homotopie entre deux flèches

\begin{tikzcd}
A & X \arrow[l] \\
A^{I} \arrow[u, "\partial_0"] & Y \arrow[u, "\text{cofib.}"'] \arrow[l, Rightarrow]
\end{tikzcd}

à gauche de \(A\), « fib. » ; à gauche de la flèche \(\partial_0\), un mot biffé, […]. La flèche du bas, \(Y \to A^I\), est tracée en trait double et appuyé

plus bas, deux signes isolés : un trait oblique et, de lecture douteuse, \(Y_{\times}\)

\begin{tikzcd}
A \arrow[r] \arrow[d] & X \arrow[d] \\
B \arrow[r] \arrow[ur] & Y
\end{tikzcd}

22

en haut, cerclé, « e » : sa lettre de page. Dans l'ordre des archivistes, cette page précède la page 24, marquée « d »

\begin{tikzcd}[column sep=6em, row sep=6em]
X \arrow[r, bend left=35, "g_0 = \varphi i"] \arrow[r, bend right=35, "g_1 = g"'] \arrow[d, "i"'] & Y \arrow[d, "p"] \\
X' \arrow[r, bend left=35, "g'_0 = p\varphi"] \arrow[r, bend right=35, "g'_1 = g'"'] \arrow[ur, bend left=15, "\theta_0 = \varphi"] \arrow[ur, dashed, bend right=15, "\theta_1 = \overline{\varphi}"'] & Y'
\end{tikzcd}

entre les deux arcs du haut, une flèche double oblique marquée \(k\) ; entre ceux du bas, une flèche marquée \(h\) (lecture \(h\)). La diagonale \(\theta_0 = \varphi\) est pleine, \(\theta_1 = \overline{\varphi}\) en tirets ; l'indice de \(\theta_0\) est surchargé

We know by assumption there exist simplicial homotopies« by assumption » et « simplicial » sont ajoutés au-dessus de la ligne, avec des traits de renvoi \[k : g_0 = \varphi i \longrightarrow g_1 = g\] […] \[h : g'_0 = p\varphi \longrightarrow g'_1 = g' .\] lecture douteuse : la lettre de la première homotopie est tracée comme un \(h\) ; les diagrammes de la page et de la page 23 la nomment \(k\)

All we have to do, is to check that we can choose these homotopies compatible with \(i\) and \(p\)trois traits verticaux dans la marge, devant la parenthèse qui suit (and in case \(Y'\) is the final object, we are through!)« we are through! » est écrit au-dessus de Consider the, biffé

à gauche de ce texte, un premier diagramme, barré par un grand trait courbe ; plusieurs de ses termes (\(X \sqcup X\), le premier \(X\) de la deuxième ligne, le premier \(\sqcup\), le \(Y\) du bas) sont en outre barrés chacun d'un trait oblique

\begin{tikzcd}[column sep=small, nodes={font=\small}]
(X \sqcup X) \arrow[d, "\text{cofib?}"'] & \sqcup & (X' \sqcup X') \arrow[d, "\text{cofib?}"'] & \\
X \otimes J & \sqcup \arrow[d] & X' \otimes J \arrow[r] & (Y \otimes J) \\
Y & \sqcup & Y' &
\end{tikzcd}

le terme d'arrivée de la flèche horizontale est de lecture douteuse : \((Y \otimes J)\) ; il est suivi de \(\sqcup\ \overline{\theta}\), biffé

diagram« diagram » n'est pas biffé ; il reste seul sous le « Consider the » biffé, au-dessus du carré qui suit

\begin{tikzcd}
X \otimes J \arrow[r, "k"] \arrow[d, "i \otimes J"'] & Y \arrow[d, "p"] \\
X' \otimes J \arrow[r, "h"'] & Y'
\end{tikzcd}

une lentille (deux arcs) va de \(X \otimes J\) à \(Y'\) à travers le carré

which a priori is not commutative, but only commutative after on \(X \sqcup X \longrightarrow X \otimes J\).

à partir d'ici, toute la moitié inférieure de la page est annulée par deux longs traits croisés ; elle est transcrite telle qu'elle se lit. À gauche de la phrase précédente, une première esquisse du même carré, barrée :

\begin{tikzcd}
X \otimes J \arrow[r, "k"] \arrow[d, "i \otimes J"'] & Y \arrow[d, "p"] \\
X' \otimes J \arrow[r, "h"'] & Y'
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=large]
X \sqcup X \arrow[d] \arrow[rd, bend left=20, "{u = (g_0,\ g_1)}"] & \\
X \otimes J \arrow[r, dashed, "k'?"] \arrow[d, "i \otimes J"'] & Y \arrow[d, "p"] \\
X' \otimes J \arrow[r, "h"'] & Y'
\end{tikzcd}

this diagram is commutative and we look for \(k'\) which keeps it commutative.

We rewrite the problem, […] shortcutting \(X' \otimes J\) by the arrow \[h \circ (i \otimes J) = v .\] « shortcutting » est écrit au-dessus du mot biffé

\begin{tikzcd}[column sep=large]
X \sqcup X \arrow[r, "{u = (g_0,\ g_1)}"] \arrow[d, "j"'] & Y \arrow[d, "p\ \text{fibration}"] \\
X \otimes J \arrow[r, "v"'] \arrow[ur, dashed, "k'?"] & Y'
\end{tikzcd}

à gauche de la flèche \(j\) : non trivial cofibration ; plus à gauche encore, un signe biffé, […]

We know there is a and we are […] ! \(k\) s.th. \(kj = u\), but […] \(pk \neq v\), only \(pk \overset{s}{\sim} v\)le mot avant \(pk \neq v\) est surchargé et souligné

(But in case \(Y'\) is final object we are evidently through!)

23

au crayon, sur une feuille de listing tenue de travers : deux esquisses du premier diagramme de la page 22, sans texte. Le listing est daté 82155, soit début juin 1982

\begin{tikzcd}[column sep=6em, row sep=4em]
X \arrow[r, bend left=35, "g_0 = \varphi i"] \arrow[r, bend right=35, "g_1 = \varphi i"'] \arrow[d] & Y \arrow[d] \\
X' \arrow[r, bend left=35, "g'_0 = g'"] \arrow[r, bend right=35, "g'_1 = p\varphi"'] & Y'
\end{tikzcd}

première esquisse : les étiquettes des arcs ne sont pas celles de la page 22 ; on les donne comme elles se lisent, et celles de \(g_1\) et de \(g'_0\) sont douteuses

\begin{tikzcd}[column sep=6em, row sep=6em]
X \arrow[r, bend left=35, "g_0 = \varphi i"] \arrow[r, bend right=35, "g_1 = g"'] \arrow[d, "i"'] & Y \arrow[d, "p"] \\
X' \arrow[r, bend left=35, "g'_0 = p\varphi"] \arrow[r, bend right=35, "g'_1 = g'"'] \arrow[ur, "\varphi" description] & Y'
\end{tikzcd}

seconde esquisse : entre les arcs du haut une flèche marquée \(k\), entre ceux du bas une flèche marquée \(h\) ; le \(Y\) du haut est surchargé

24

en haut, cerclé, « d » : sa lettre de page

Returning to our initial pb, we get […]un mot court, biffé, en tête de la formule \[\operatorname{Hom}(X_\infty, Y) \longrightarrow \varprojlim \operatorname{Hom}(X_i, Y)\] surjection (using strongly that the transition morphisms \(X_i \to X_{i+1}\) are cofibrations). To prove it injective, let \[f, f' : X_\infty \longrightarrow Y, \qquad f_i = f \,|\, X_i, \quad f'_i = f' \,|\, X_i ;\] we've to prove that \(f_i \sim f'_i\) \(\forall i\), implies \(f \sim f'\).

Consider \[\underbrace{X_\infty \times \Delta(1)}_{B} \ \underset{\text{cofib.}}{\supset}\ \underbrace{X_\infty \sqcup X_\infty}_{A} ,\] with \((f, f') : A \to Y\); we want to extend to \(X_\infty \times \Delta(1)\), and we know it is possible upon \(X_i \times \Delta(1)\) \(\forall i\). la flèche \((f,f')\) est tracée de \(A\) vers \(Y\), sous la formule

\[\begin{array}{ccc} B & \supset & A \\ \vdots & & \vdots \\ B_{i+1} & \supset & A_{i+1} \\ \text{cofib}\ \cup & & \cup\ \text{cofib} \\ B_i & \underset{\text{cofib.}}{\supset} & A_i \end{array}\]

We have to extend step by step given homotopies. The problem is to construct \(h_{i+1}\) extending \(h'_{i+1}\).

\begin{tikzcd}[column sep=4em, row sep=3.5em]
A_i \arrow[r, hook] \arrow[d, hook] \arrow[ddr, bend right=70, "\varphi_i"'] & B_i \arrow[d, hook] & \\
A_{i+1} \arrow[r, hook] \arrow[dr, "\varphi_{i+1}"'] & B'_{i+1} \arrow[r, hook] \arrow[d, "h'_{i+1}"] & B_{i+1} \arrow[dl, dashed, "h_{i+1}?"] \\
 & Y &
\end{tikzcd}

\[\begin{array}{c} \Delta(1) \times X_{i+1} \\ \cup \\ \bigl(\Delta(1) \times X_i\bigr) \cup \bigl(\{0\} \times X_{i+1}\bigr) \cup \bigl(\{1\} \times X_{i+1}\bigr) \end{array}\] les \(\{0\}\) et \(\{1\}\) sont surchargés et de lecture douteuse

\[Y \Leftarrow Z_0 \hookrightarrow Z_1 \hookrightarrow Z_2 \cdots\] Assume \(\forall i\), \(\exists\) extension \(Z_i \to Y\). Is there an extension \(Z_\infty \to Y\)?

not clear at all, the […] the whole point is to see that \(\varprojlim_i \pi_0\) […] \((Z_i ; Y) \neq \emptyset\) —« the whole » est ajouté au-dessus du mot biffé, avec un trait de renvoi ; le mot après \(\pi_0\) est souligné et surchargé

Ask Ronnie Brown!