Fonds Grothendieck, cote n° 107, pages 21–25

au crayon, dans la marge gauche d'une feuille de listing ; trois diagrammes, sans texte

\begin{tikzcd} A \arrow[r, "\alpha"] \arrow[d, "\text{cof.}"'] & X \arrow[d, "p"] \\ A \times I \arrow[r, "h"'] \arrow[ur] & Y \end{tikzcd}

à droite de ce carré, deux petits croquis : une flèche verticale prise dans une lentille (deux arcs), deux fois, le second arc supérieur portant une pointe — vraisemblablement le dessin d'une homotopie entre deux flèches

\begin{tikzcd} A & X \arrow[l] \\ A^{I} \arrow[u, "\partial_0"] & Y \arrow[u, "\text{cofib.}"'] \arrow[l, Rightarrow] \end{tikzcd}

à gauche de A, « fib. » ; à gauche de la flèche \partial_0, un mot biffé, . La flèche du bas, Y \to A^I, est tracée en trait double et appuyé

plus bas, deux signes isolés : un trait oblique et, de lecture douteuse, Y_{\times}

\begin{tikzcd} A \arrow[r] \arrow[d] & X \arrow[d] \\ B \arrow[r] \arrow[ur] & Y \end{tikzcd}

en haut, cerclé, « e » : sa lettre de page. Dans l'ordre des archivistes, cette page précède la page 24, marquée « d »

\begin{tikzcd}[column sep=6em, row sep=6em] X \arrow[r, bend left=35, "g_0 = \varphi i"] \arrow[r, bend right=35, "g_1 = g"'] \arrow[d, "i"'] & Y \arrow[d, "p"] \\ X' \arrow[r, bend left=35, "g'_0 = p\varphi"] \arrow[r, bend right=35, "g'_1 = g'"'] \arrow[ur, bend left=15, "\theta_0 = \varphi"] \arrow[ur, dashed, bend right=15, "\theta_1 = \overline{\varphi}"'] & Y' \end{tikzcd}

entre les deux arcs du haut, une flèche double oblique marquée k ; entre ceux du bas, une flèche marquée h (lecture h). La diagonale \theta_0 = \varphi est pleine, \theta_1 = \overline{\varphi} en tirets ; l'indice de \theta_0 est surchargé

We know by assumption there exist simplicial homotopies« by assumption » et « simplicial » sont ajoutés au-dessus de la ligne, avec des traits de renvoi k : g_0 = \varphi i \longrightarrow g_1 = g h : g'_0 = p\varphi \longrightarrow g'_1 = g' . lecture douteuse : la lettre de la première homotopie est tracée comme un h ; les diagrammes de la page et de la page 23 la nomment k

All we have to do, is to check that we can choose these homotopies compatible with i and ptrois traits verticaux dans la marge, devant la parenthèse qui suit (and in case Y' is the final object, we are through!)« we are through! » est écrit au-dessus de ~~Consider the~~, biffé

à gauche de ce texte, un premier diagramme, barré par un grand trait courbe ; plusieurs de ses termes (X \sqcup X, le premier X de la deuxième ligne, le premier \sqcup, le Y du bas) sont en outre barrés chacun d'un trait oblique

\begin{tikzcd}[column sep=small, nodes={font=\small}] (X \sqcup X) \arrow[d, "\text{cofib?}"'] & \sqcup & (X' \sqcup X') \arrow[d, "\text{cofib?}"'] & \\ X \otimes J & \sqcup \arrow[d] & X' \otimes J \arrow[r] & (Y \otimes J) \\ Y & \sqcup & Y' & \end{tikzcd}

le terme d'arrivée de la flèche horizontale est de lecture douteuse : (Y \otimes J) ; il est suivi de ~~\sqcup\ \overline{\theta}~~, biffé

diagram« diagram » n'est pas biffé ; il reste seul sous le « Consider the » biffé, au-dessus du carré qui suit

\begin{tikzcd} X \otimes J \arrow[r, "k"] \arrow[d, "i \otimes J"'] & Y \arrow[d, "p"] \\ X' \otimes J \arrow[r, "h"'] & Y' \end{tikzcd}

une lentille (deux arcs) va de X \otimes J à Y' à travers le carré

which a priori is not commutative, but only commutative ~~after~~ on X \sqcup X \longrightarrow X \otimes J.

à partir d'ici, toute la moitié inférieure de la page est annulée par deux longs traits croisés ; elle est transcrite telle qu'elle se lit. À gauche de la phrase précédente, une première esquisse du même carré, barrée :

\begin{tikzcd} X \otimes J \arrow[r, "k"] \arrow[d, "i \otimes J"'] & Y \arrow[d, "p"] \\ X' \otimes J \arrow[r, "h"'] & Y' \end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=large] X \sqcup X \arrow[d] \arrow[rd, bend left=20, "{u = (g_0,\ g_1)}"] & \\ X \otimes J \arrow[r, dashed, "k'?"] \arrow[d, "i \otimes J"'] & Y \arrow[d, "p"] \\ X' \otimes J \arrow[r, "h"'] & Y' \end{tikzcd}

this diagram is commutative and we look for k' which keeps it commutative.

We rewrite the problem, shortcutting X' \otimes J by the arrow h \circ (i \otimes J) = v . « shortcutting » est écrit au-dessus du mot biffé

\begin{tikzcd}[column sep=large] X \sqcup X \arrow[r, "{u = (g_0,\ g_1)}"] \arrow[d, "j"'] & Y \arrow[d, "p\ \text{fibration}"] \\ X \otimes J \arrow[r, "v"'] \arrow[ur, dashed, "k'?"] & Y' \end{tikzcd}

à gauche de la flèche j : ~~non~~ trivial cofibration ; plus à gauche encore, un signe biffé,

We know there is a ~~and we are~~ ! k s.th. kj = u, but pk \neq v, only pk \overset{s}{\sim} vle mot avant pk \neq v est surchargé et souligné

(But in case Y' is final object we are evidently through!)

au crayon, sur une feuille de listing tenue de travers : deux esquisses du premier diagramme de la page 22, sans texte. Le listing est daté 82155, soit début juin 1982

\begin{tikzcd}[column sep=6em, row sep=4em] X \arrow[r, bend left=35, "g_0 = \varphi i"] \arrow[r, bend right=35, "g_1 = \varphi i"'] \arrow[d] & Y \arrow[d] \\ X' \arrow[r, bend left=35, "g'_0 = g'"] \arrow[r, bend right=35, "g'_1 = p\varphi"'] & Y' \end{tikzcd}

première esquisse : les étiquettes des arcs ne sont pas celles de la page 22 ; on les donne comme elles se lisent, et celles de g_1 et de g'_0 sont douteuses

seconde esquisse : entre les arcs du haut une flèche marquée k, entre ceux du bas une flèche marquée h ; le Y du haut est surchargé

en haut, cerclé, « d » : sa lettre de page

Returning to our initial pb, we get un mot court, biffé, en tête de la formule \operatorname{Hom}(X_\infty, Y) \longrightarrow \varprojlim \operatorname{Hom}(X_i, Y) surjection (using strongly that the transition morphisms X_i \to X_{i+1} are cofibrations). To prove it injective, let f, f' : X_\infty \longrightarrow Y, \qquad f_i = f \,|\, X_i, \quad f'_i = f' \,|\, X_i ; we've to prove that f_i \sim f'_i \forall i, implies f \sim f'.

Consider \underbrace{X_\infty \times \Delta(1)}_{B} \ \underset{\text{cofib.}}{\supset}\ \underbrace{X_\infty \sqcup X_\infty}_{A} , with (f, f') : A \to Y; we want to extend to X_\infty \times \Delta(1), and we know it is possible upon X_i \times \Delta(1) \forall i. la flèche (f,f') est tracée de A vers Y, sous la formule

\begin{array}{ccc} B & \supset & A \\ \vdots & & \vdots \\ B_{i+1} & \supset & A_{i+1} \\ \text{cofib}\ \cup & & \cup\ \text{cofib} \\ B_i & \underset{\text{cofib.}}{\supset} & A_i \end{array}

We have to extend step by step given homotopies. The problem is to construct h_{i+1} extending h'_{i+1}.

\begin{tikzcd}[column sep=4em, row sep=3.5em] A_i \arrow[r, hook] \arrow[d, hook] \arrow[ddr, bend right=70, "\varphi_i"'] & B_i \arrow[d, hook] & \\ A_{i+1} \arrow[r, hook] \arrow[dr, "\varphi_{i+1}"'] & B'_{i+1} \arrow[r, hook] \arrow[d, "h'_{i+1}"] & B_{i+1} \arrow[dl, dashed, "h_{i+1}?"] \\ & Y & \end{tikzcd} B'_{i+1} \overset{\text{def}}{=} B_i \sqcup_{A_i} A_{i+1} les lettres \varphi_i, \varphi_{i+1} sont de lecture douteuse. Les inclusions sont tracées en traits à crochet, sans pointe ; un trait vertical relie B_i au milieu du segment A_{i+1} — B'_{i+1}. Sur la flèche en tirets B_{i+1} \to Y est d'abord tracée une flèche pleine, raturée. À gauche du diagramme, un trait isolé

\begin{array}{c} \Delta(1) \times X_{i+1} \\ \cup \\ \bigl(\Delta(1) \times X_i\bigr) \cup \bigl(\{0\} \times X_{i+1}\bigr) \cup \bigl(\{1\} \times X_{i+1}\bigr) \end{array} les \{0\} et \{1\} sont surchargés et de lecture douteuse

Y \Leftarrow Z_0 \hookrightarrow Z_1 \hookrightarrow Z_2 \cdots Assume \forall i, \exists extension Z_i \to Y. Is there an extension Z_\infty \to Y?

not clear at all, the the whole point is to see that \varprojlim_i \pi_0 (Z_i ; Y) \neq \emptyset —« the whole » est ajouté au-dessus du mot biffé, avec un trait de renvoi ; le mot après \pi_0 est souligné et surchargé

Ask Ronnie Brown!