Cote n° 103 · batch 1 · pages 1–17 · Transcription · Courrier [Correspondance sur la thèse de Sinh] : copies d'article annoté (1974), lettres (1974)
Datation de l’inventaire : 1974
Édition de démonstration

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Esquisse d'une théorie des Gr-Catégories, par Mme Hoang Xuan Sinh — tapuscrit annoté (pages 1 à 6)

1Tapuscrit de six pages, corrigé et annoté à la main. Comme pour les tapuscrits des dossiers 48 et 55, les mots insérés à la main sont donnés par [] et les mots tapés biffés par ; les soulignements du tapuscrit sont rendus par l'italique. La main qui annote paraît être celle de la lettre des pages 8 à 15 ; la page ne le dit pas. En haut à droite, d'une autre main, droite : « 9/74 Envoyé par Grothendieck »

Esquisse d'une théorie des Gr-Catégories

par Mme Hoang Xuan Sinh

Nous donnons un résumé de quelques résultats sur les (Gr)-catégories, faisant l'objet d'un travail détaillé que l'auteur compte présenter prochainement comme thèse de doctorat [ ].

1. Structure des (Gr)-catégories.

Notre terminologie est celle de Saavedra [ ]. Nous nous intéressons à des catégories \(C\) munies d'une opération binaire \((X,Y) \mapsto X \otimes Y\) (foncteur de \(C \times C\) dans \(C\)) associative et unitaire à isomorphisme donné près (satisfaisant des conditions de compatibilité explicitées dans loc. cit.), appelées aussi \(\otimes\)-catégories AU (associatives-unitaires). On dit qu'une telle catégorie est une (Gr)-catégorie si [c'est un groupoïde, et si] tout objet \(X\) de \(C\) est « inversible », i.e. admet un objet « inverse » \(Y = X^{-1}\) (satisfaisant \(X \otimes Y \simeq Y \otimes X \simeq 1_C\), où \(1_C\) désigne l'objet unité de \(C\)). Les exemples abondent :

Exemples. 1. \(X\) étant un espace topologique [ponctué par \(x \in X\)], on prend pour \(C\) la catégorie des lacets de \(X\) en \(x\), avec comme morphismes les classes d'homotopie d'homotopies entre lacets, comme opération \(\otimes\) la composition des lacets (qui n'est pas associative, mais associative « à homotopie près »). Variante : \(E\) est un espace de Hopf associatif (ou simplement homotopiquement associatif en un sens suffisamment fort), \(C\) la catégorie dont les objets sont les points de \(E\), les morphismes les classes d'homotopies de chemins entre points de \(E\), la loi \(\otimes\) étant induite par la loi de composition de \(E\). (NB Lorsque \(E\) admet un espace classifiant \(X\), on retrouve essentiellement l'exemple précédent.) […]

le tapuscrit porte « Exemples 1. », puis « Exemple 2. » et « Exemple 3. » ; le mot « Exemple » est biffé à la main devant 2 et 3, et le \(s\) de « Exemples » l'est aussi : on lit donc une seule liste. Après la parenthèse de l'exemple 1, une ligne tapée est biffée au point d'être illisible

cet exemple est un cas particulier du suivant, en prenant \(E = \Omega(X,x)\) (espace des lacets)

note marginale à gauche de l'exemple 1, une flèche la rattachant à la ligne « d'homotopies entre lacets » ; la lettre devant \(\Omega(X,x)\) est douteuse, et \(\Omega\) porte peut-être un exposant

2. Si \(F\) est un faisceau sur un espace topologique (ou plus généralement sur un topos), la catégorie \(C\) des torseurs sous \(F\), munie de la composition de Baer, est une (Gr)-catégorie (et même une catégorie de Picard stricte, cf. plus bas). On peut considérer la catégorie \(C\) des Modules inversibles sur un espace (ou topos) [localement] annelé […] \((X, \underline{O}_X)\) comme le cas particulier correspondant au cas \(F = \underline{O}_X^{*}\).

3. Si \(A\) est une catégorie, la sous-catégorie pleine [\(C\)] de \(\underline{\mathrm{Hom}}(A,A)\), formée des équivalences de \(A\) avec elle-même, munie de l'opération de composition des foncteurs, est une (Gr)-catégorie. Au lieu de prendre pour \(A\) une catégorie, on peut [plus généralement] prendre pour \(A\) un objet d'une 2-catégorie quelconque. Si p.ex. \(F\) est un faisceau en groupes (pas nécessairement commutatif) sur un espace topologique (ou un topos \(X\)),

2prenant pour \(A\) la « champ » sur \(X\) formé des \(F\)-torseurs à droite, la (Gr)-catégorie des auto-équivalences de \(A\) avec lui-même s'interprète comme la catégorie des « bitorseurs » sous \(F\), i.e. des faisceaux [\(P\)] sur lesquels \(F\) opère à la fois à droite et à gauche, ces opérations commutant et chacune d'elles faisant de \(P\) un torseur (à droite ou à gauche) sous \(F\), — la composition \(\otimes\) étant la composition de Baer évidente. Lorsque \(F\) est encore de la forme \(\underline{O}_X^{*}\) (\(\underline{O}_X\) étant un faisceau d'anneaux, qu'on ne suppose plus nécessairement commutatif) ces bitorseurs s'interprètent aussi en termes de bi-Modules [«] inversibles [»] sous \(\underline{O}_X\).

Structure. Soit \(C\) une (Gr)-catégorie, on lui associe

On prouve que \(\pi_1(C)\) est un groupe commutatif et que l'on obtient bien par c) une structure de \(\pi_0(C)\)-module sur celui-ci. Ceci posé, si on choisit pour tout \(a \in \pi_0(C)\) un représentant \(L_a \in \mathrm{Ob}\, C\) de \(a\), et pour deux \(a, b\) un isomorphisme \[\varphi_{a,b} : L_a \otimes L_b \simeq L_{ab} ,\] alors pour trois éléments \(a, b, c \in \pi_0(C)\), l'isomorphisme d'associativité \[(L_a \otimes L_b) \otimes L_c \simeq L_a \otimes (L_b \otimes L_c) ,\] compte tenu des isomorphismes \(\varphi_{a,b}\), \(\varphi_{ab,c}\), \(\varphi_{b,c}\) et \(\varphi_{a,bc}\), peut s'interpréter comme un isomorphisme \[L_{abc} \simeq L_{abc} ,\] ou encore comme la tensorisation à gauche avec un élément bien déterminé \[f(a,b,c) \in \pi_1(C) .\] Les \(\varphi_{a,b}\) étant choisis, on voit donc que la donnée d'un isomorphisme d'associativité fonctoriel \((L \otimes L') \otimes L'' \simeq L \otimes (L' \otimes L'')\) équivaut à la donnée de l'application \[f : \pi_0 \times \pi_0 \times \pi_0 \longrightarrow \pi_1 .\] On vérifie alors que l'axiome standard d'autocompatibilité d'une donnée d'associativité [(axiome du pentagone)] s'exprime précisément par la condition que \(f\) soit un 3-cocycle du groupe \(\pi_0\) à valeurs dans le groupe \(\pi_1\). D'autre part, l'indétermination dans le choix du système d'isomorphismes \(\varphi_{a,b}\) est précisément donnée par une 2-cochaine arbitraire, et on voit que si on change \(\varphi\) par une 2-cochaine \(g\), \(f\) est changé en \(f + dg\) — donc l'ensemble des \(f\) correspondants à des choix différents de \(\varphi\) est exactement une classe de 3-cohomologie

3\[k(C) \in H^3(\pi_0(C), \pi_1(C)) .\] En précisant ces réflexions, on trouve que la classification, à \(\otimes\)-équivalence près, des (Gr)-catégories, se fait précisément en termes d'un groupe \(\pi_0\), d'un groupe commutatif \(\pi_1\) sur lequel \(\pi_0\) opère, et d'une classe de cohomologie (qui peut être prise arbitraire) dans \(H^3(\pi_0, \pi_1)\). La loi de groupe du \(H^3\) admet d'ailleurs une interprétation « géométrique » à la Baer, en termes d'opérations sur les (Gr)-catégories.

Cas particuliers Dans l'exemple 1, on [doit] retrouve[r] bien sûr le premier invariant de Postnikoff \(\in H^3(\pi_1(X), \pi_2(X))\), avec une interprétation « géométrique » nouvelle. Dans l'exemple 2, on trouve \(\pi_0 = H^1(X,F)\), \(\pi_1 = H^0(X,F)\) et l'élément du \(H^3\) est nul (du fait qu'on a une « catégorie de Picard stricte », cf. [Deligne] [ ]). Dans le dernier exemple, on a \(\pi_0\) = groupe des classes d'isomorphisme d'autoéquivalences de \(A\), \(\pi_1\) = groupe des automorphismes du foncteur identique de \(A\), et l'invariant \(k(C)\) semble nouveau (même dans le cas où \(C\) est la catégorie des biModules inversibles sous un Anneau \(\underline{O}_X\), où \(\pi_0\) peut donc s'interpréter comme un « groupoide de Brandt » et \(\pi_1\) comme le groupe des « unités centrales » de \(\underline{O}_X\)). Signalons cependant que lorsque \(A\) est la catégorie des torseurs sous un groupe (ordinaire) \(F\), on trouve \(\pi_0\) = groupe des automorphismes extérieurs de \(F\), \(\pi_1\) = centre de \(F\), et l'élément \(k(C)\) du \(H^3\) n'est autre que le classique invariant de Mac-Lane. Il resterait à […] [développer] un lien direct [géométrique] entre la théorie de Mac-Lane des extensions de groupes non commutatifs et des liens (« kernels » dans sa terminologie) auxquels ils sont associés, et la théorie […] esquissée ici des (Gr)-catégories et de leurs splittages.

« développer » est écrit au-dessus d'un mot tapé biffé (« établir », sans certitude), et « géométrique » au-dessus de « direct » souligné, sans que celui-ci soit biffé : on ne sait si l'un remplace l'autre

2. Catégories de Picard.

On appelle « catégorie de Picard » une \(\otimes\)-catégorie ACU (associative-commutative-unitaire, cf. [ ]) qui est une (Gr)-catégorie pour sa \(\otimes\)-structure AU. On dit que c'est une catégorie de Picard stricte si pour tout \(X \in \mathrm{Ob}\, C\), la symétrie de \(X \otimes X\) est l'identité. Ces dernières catégories sont étudiées systématiquement (dans le contexte plus général des « champs de Picards ») par Deligne [ ].

Soit \(C\) une catégorie de Picard. En tant que (Gr)-catégorie, \(C\) possède des invariants \(\pi_0\) et \(\pi_1\), mais dans le cas actuel \(\pi_0\) est aussi commutatif et agit trivialement sur \(\pi_1\). On fera attention ici qu'une équivalence de (Gr)-catégories entre deux catégories de Picard \(C, C'\) n'est pas nécessairement compatible avec les contraintes de commutativité, donc n'est pas nécessairement une équivalence de catégories de

4Picard — on peut dire que la classification « au sens Picard » est plus fine que la classification au sens des (Gr)-catégories.

Associant à tout \(X \in \mathrm{Ob}\, C\) la symétrie de \(X \otimes X\), interprété comme étant la tensorisation par un élément bien déterminé \(s(X)\) de \(\pi_1(C) = \mathrm{Aut}(1_C)\), on trouve un application [homomorphisme] canonique \[s(C) = s : \pi_0 \longrightarrow {}_2(\pi_1) ,\] où \({}_2(\pi_1)\) désigne le sous-groupe des éléments \(x\) de \(\pi_1\) tels que \(2x = 0\). Le résultat principal de la théorie de structure des catégories de Picard peut s'énoncer en disant que \(C\) est déterminée (à équivalence [non canonique] de catégories de Picard près) par la donnée des groupes commutatifs \(\pi_0\) et \(\pi_1\), et l'homomorphisme \(s : \pi_0 \to {}_2(\pi_1)\). Dire que cet homomorphisme est nul signifie d'ailleurs que \(C\) est une catégorie de Picard stricte, et on retrouve le résultat de [ ] suivant lequel une catégorie de Picard stricte est déterminée (à équivalence près) par la connaissance de ses seuls invariants \(\pi_0\) et \(\pi_1\).

les indices des \(\pi\) dans la formule \(s : \pi_0 \to {}_2(\pi_1)\) sont retouchés à la main sur le tapuscrit, qui les avait tapés autrement ; on donne la formule telle que la ligne suivante la fixe

Remarques. La théorie de loc. cit. nous permet, plus précisément, d'interpréter la 2-catégorie des catégories de Picard strictes en termes de la sous-catégorie pleine de la catégorie dérivée de (Ab) (cat. des groupes abéliens), formée des complexes \(K_{\bullet}\) tels que \(H_i(K_{\bullet}) = 0\) pour \(i \neq 0, 1\). Le résultat précédent, assez grossier, se réduit à la remarque qu'un objet de cette catégorie est déterminé à isomorphisme (non unique !) près par la connaissance de son \(H_0\) (\(= \pi_0\)) et \(H_1\) (\(= \pi_1\)). Il y aurait lieu de développer également pour les catégories de Picard non nécessairement strictes, et pour les (Gr)-catégories, une théorie de structure pour la 2-catégorie qu'ils forment. De plus, ces résultats [développements] encore dans les limbes, tout comme ceux que […] nous venons d'esquisser, devraient être un jour […] étudiés dans le cadre des champs (en (Gr)-catégories, ou en catégories de Picard) tout comme dans [Deligne] [ ].

les \(H\) de cette remarque, \(H_i(K_{\bullet})\), \(H_0\), \(H_1\), portent chacun une marque à la main sur l'indice, dont l'intention n'est pas établie — peut-être un passage de l'indice à l'exposant ; on les donne tels que tapés, comme la page 5 les tape encore. Un « alors » manuscrit court sous la formule \(H_i(K_{\bullet}) = 0\), sans signe d'insertion lisible

3. Catégories de Picard enveloppantes.

Soient \(C\) une \(\otimes\)-catégorie AUC (par exemple une catégorie avec objet final et admettant des produits cartésiens de deux éléments), \(S\) une partie de \(\mathrm{Ob}\, C\). On se pose le problème universel d'envoyer (par un \(\otimes\)-foncteur AUC) \(C\) dans une [\(\otimes\)-]catégorie [AUC] […] [\(G\)], de telle façon que pour tout \(X \in S\), \(F(X)\) soit un objet inversible de \(G\). Le résultat principal ici est que ce problème admet toujours une solution, qu'on pourra appeler la \(\otimes\)-catégorie AUC « de fractions » par rapport à l'ensemble \(S\), et noter éventuellement \(S^{-1}C\). On trouve en fait que pour toute \(G\), le foncteur naturel

5\[\underline{\mathrm{Hom}}_{\otimes \mathrm{AUC}}(S^{-1}C, G) \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}^{S}_{\otimes \mathrm{AUC}}(C, G)\] (où l'exposant \(S\) dans le deuxième membre dénote la sous-catégorie pleine formée des \(\otimes\)-foncteurs AUC \(F : C \to G\) tels que \(F(X)\) soit inversible pour tout \(X \in \mathrm{Ob}\, S\)) est un isomorphisme de catégories.

Nous n'explicitons pas ici la construction, assez naturelle, mais dont l'explicitation pas à pas, et [avec] la vérification de toutes les compatibilités voulues, est fort longue et fastidieuse. Signalons seulement ici que lorsque \(S\) est l'ensemble de tous les objets de \(C\), \(S^{-1}C\) est elle-même une catégorie de Picard (pas nécessairement stricte), qu'on pourra appeler la « catégorie de Picard enveloppante » de \(C\). C'est sans doute le cas le plus important. Les invariants \(\pi_0\) et \(\pi_1\) de cette catégorie enveloppante méritent la notation \(K^0(C)\) et \(K^1(C)\) respectivement. Par exemple, lorsque \(C\) est la catégorie des modules projectifs de type fini sur un anneau \(A\), [avec l'opération de somme,] on peut démontrer que ces groupes ne sont autres que les classiques invariants \(K^0(A)\) et \(K^1(A)\) étudiés par Grothendieck et par Whitehead-Bass. Le même résultat est sans doute valable pour toute catégorie additive \(C\) (munie de l'opération somme). Cela donne une interprétation remarquable des invariants \(K^0\) et \(K^1\) en termes d'une « catégorie stabilisée » (de la catégorie additive \(C\)), laquelle est une catégorie de Picard. Signalons seulement que, cette catégorie stabilisée (même dans le cas particulier des modules projectifs de type fini sur l'anneau \(A\)) n'étant pratiquement jamais une catégorie de Picard stricte, ces considérations semblent rendre peu probable qu'on arrive à construire un objet canonique dans la catégorie dérivée de la catégorie (Ab), qui soit un complexe de chaines satisfaisant \(H_0(K_{\bullet}) = K^0\), \(H_1(K_{\bullet}) = K^1\) — puisqu'une telle construction (grâce à la théorie de Deligne) nous fournirait précisément une catégorie de Picard stricte canonique dont les invariants seraient \(K^0\) et \(K^1\).

On peut difficilement échapper à la question d'une interpétation géométrique analogue des invariants \(K^i\) supérieurs. Il y a tout lieu de croire qu'une telle interprétation est à chercher dans la théorie des \(n\)-catégories de Picard (en un sens convenable) et la construction des \(n\)-catégories de Picard enveloppantes d'une \(\otimes\)-catégorie AUC (ou d'une \(\otimes\)-\(n\)-catégorie AUC) arbitraire \(C\), dont les invariants « homotopiques » \(\pi_i\) seraient les \(K^i\) cherchés. De tels développements obligerai-

Comme autre direction de recherche ouverte, suggérée par les résultats esquissés ici, signalons la construction d'une \(\otimes\)-catégorie de fractions d'une \(\otimes\)-catégorie AU (sans donnée de commutativité néces-

ce paragraphe, qui s'arrête en bas de page au milieu d'un mot, est biffé de grands traits obliques ; la page 6 enchaîne sur la phrase qui le précède

6ent sans doute à tirer au clair les relations très étroites qu'on pressent entre les notions de \(n\)-catégorie (et de \(\infty\)-catégorie) d'une part, celle d'ensemble simplicial (ou d'espace topologique …) d'autre part, tout comme la relation entre \(n\)-Gr-catégories (et \(\infty\)-Gr-catégories) et groupes simpliciaux (ou groupes topologiques), enfin entre \(n\)-catégories de Picard strictes et complexes de chaines tronqués à la dimension \(n\). Il y aurait à s'attendre à une fusion plus ou moins complète entre ces trois visions : algèbre homologique, algèbre homotopique, algèbre catégorique, dans une vision commune (qui pourrait bien prendre le nom d'« algèbre homologique non commutative », étant entendu que ce qui porte actuellement ce nom n'est que l'amorce de ce qui reste à [doit] venir …)

Comme dernière question, plus terre à terre, signalons celle liée à la remarque que [suivante. Lorsque] […] \(C\) est la catégorie des modules projectifs de type fini sur un anneau \(A\) commutatif (ou plus généralement une catégorie additive munie d'une opération \(\otimes\) […] [ACU] biadditive), alors la catégorie de Picard enveloppante, en plus de sa loi de composition évidente de « somme » (notée ici \(\oplus\)) donnée […] [par] sa définition même, est munie d'une opération \(\otimes\) provenant de l'opération de produit tensoriel [ordinaire] des modules, qui en fait également une \(\otimes\)-catégorie ACU (mais évidemment pas une (Gr)-catégorie), liée par des isomorphismes de distributivité évidents aux [à l']opération \(\oplus\). Il y aurait lieu d'étudier systématiquement les catégories \(A\) ainsi munies de deux opérations \(\oplus\) et \(\otimes\), toutes deux AUC (des données supplémentaires), avec une donnée de distributivité \[X \otimes (Y \oplus Z) \simeq X \otimes Y \oplus X \otimes Z\] et des compatibilités convenables pour celle-ci ; et de tenter de faire une théorie de structure pour de telles catégories qui sont de Picard pour la structure \(\oplus\). Cela implique en particulier que \(\pi_0(A)\) est un anneau unitaire commutatif, et \(\pi_1(A)\) un module sous ce dernier. Quels autres invariants faut-il introduire pour caractériser \(A\) à équivalence près respectant toutes les structures ?

A. Grothendieck à P. Deligne, de Lodève, 27.8.74 (pages 8 à 15)

8Les pages 8 à 11 sont la lettre que le dossier 134-1 porte en ses pages 3 à 6 ; cet exemplaire-ci se poursuit quatre pages de plus. La date est pâle : « 7.8.74 » se lit nettement, mais devant le 7 ne reste qu'un court trait, le pied d'un 2 effacé ; l'exemplaire du dossier 134-1 porte lisiblement « 27.8.74 »

Je n'ai pas retrouvé la lettre sur les Gr-champs que tu cites

note écrite verticalement dans la marge de gauche, d'une main que rien ne distingue de celle de la lettre ; la page ne dit pas si elle est de lui ou du destinataire

Lodève le 27.8.74

Cher Deligne,

Étant peut-être empêché par une jambe d'assurer un cours de 1er cycle au 1er trimestre, je vais peut-être à la place faire un petit séminaire d'algèbre, et envisage de le faire sur les fourbis de Mme Sinh, éventuellement transposés dans le contexte des « champs ». À ce propos, je tombe sur le truc suivant, qui pour l'instant reste heuristique. Si \(M\), \(N\) sont deux faisceaux abéliens sur un topos \(X\), et \[\tau_{\leq 2}\, R\underline{\mathrm{Hom}}(M,N) = E(M,N)\] est le complexe ayant les invariants \[\begin{cases} \underline{H}^i = \underline{\mathrm{Ext}}^i(M,N) & \text{pour } 0 \leq i \leq 2 \\ \underline{H}^i = 0 & \text{si } i \notin [0,2] \end{cases}\] il doit y avoir un triangle distingué canonique \((T)\) :

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\begin{tikzcd}
& \underline{\mathrm{Hom}}(M, {}_2 N)[-2] \arrow[dl] & \\
E(M,N) \arrow[rr] & & E'(M,N) \arrow[ul]
\end{tikzcd}

9donc \(E'(M,N)\) est un complexe dont les invariants \(\underline{H}^i\) sont ceux de \(E(M,N)\) en degré \(i+2\), et qui en degré 2 donne lieu à une suite exacte \[(*) \qquad 0 \longrightarrow \underline{\mathrm{Ext}}^2(M,N) \longrightarrow \underbrace{\underline{H}^2(E'(M,N))}_{P(M,N)} \xrightarrow{\ \sigma\ } \underline{\mathrm{Hom}}(M, {}_2 N) \longrightarrow 0\] Heuristiquement, \(E'(M,N)\) est le complexe qui exprime le « 2-champ de Picard "strict" » formé des 1-champs de Picard (pas nécessairement stricts) « épinglés » par \(M\), \(N\) sur des objets variables de \(X\), en admettant que la théorie pour les 1-champs de Picard stricts s'étend aux 2-champs de Picard stricts (ce qui pour moi ne fait guère de doute) ; de même \(E(M,N)\) correspond aux champs de Picard stricts épinglés par \(M\), \(N\).

La suite exacte \((*)\) se construit en tous cas canoniquement « à la main »), où le terme médian est le faisceau des classes à « équivalence » près des

« épinglés par \(M\), \(N\) » et « stricts » (après « 1-champs de Picard ») sont insérés en interligne. La parenthèse fermante après « à la main » est sur la page, sans ouvrante

10catégories [champs] de Picard épinglés par \(M\), \(N\), \(\sigma\) étant l'invariant qui s'obtient en associant à toute section \(L\) d'un champ de Picard la symétrie de […] \(L \otimes L\), interprétée comme section de \({}_2 N\). Je sais prouver (sauf erreur) que tout hom. \(M \to {}_2 N\) provient d'un champ de Picard convenable (épinglé par \(M\), \(N\)) (a priori l'obstruction est dans \(\mathrm{Ext}^3(X; M, N)\), mais un argument « universel » prouve qu'elle est nulle). Cela prouve que l'extension \((*)\) est bien proche d'être splittée : toute section du troisième faisceau, sur un objet quelconque de \(X\), se relève — en d'autres termes l'extension a une section « ensembliste ». Bien sûr, il y a mieux en fait : toute section sur un \(U \in \mathrm{Ob}\, X\) « provient » d'un élément de \(\mathbb{H}^2(U, E'(M,N))\) (hypercohomologie \(\mathbb{H}^2\)).

« champs » est écrit au-dessus de « catégories » biffé ; « s'obtient en » et « \(L\) » sont insérés en interligne. L'exemplaire du dossier 134-1 porte la même insertion. Devant \(L \otimes L\) un symbole est biffé

11Exemple Soit \(A\) un anneau sur \(X\), soient \(M\), \(N\) respectivement les faisceaux \(K^0\) et \(K^1\) associés au champ additif des \(A\)-Modules projectifs de t.f. (p.ex.). Alors le raisonnement de Mme Sinh nous fournit un champ de Picard épinglé par \(M\), \(N\), d'où une section de canonique du terme médian \(P(M,N)\) de \((*)\).

NB Tout ce qui précède a les fonctorialités évidentes en \(M\), \(N\), \(X\) …

Question : Le triangle exact \((T)\) et la suite exacte \((*)\) sont ils connus par les compétences (Quillen, Breen, Illusie …) ? Connaissent-ils des variantes « supérieures » ? (Un principe « géométrique » pour les obtenir pourrait être via des \(n\)-champs de Picard non néc. stricts …)

12L'ordre des archivistes n'est probablement pas l'ordre d'écriture : cette page renvoie à « \(B_e \to B_G\) plus haut », et \(B_G\) n'apparaît qu'aux pages 14 et 15 ; la page 13 s'achève sur « J'ai » et la page 14 s'ouvre sur « Je te signale ». La suite 8–11, 14–15, 12–13 se lit sans rupture, et le feuillet qui suivait la page 13 n'est pas dans le dossier. On transcrit dans l'ordre des archivistes

Je profite de l'occasion pour soulever une question sur la « cohomologie relative ». Soit \(q : X \to Y\) un morphisme de topos. Si \(F\) est un faisceau abélien (ou un complexe d'iceux) sur \(Y\), peut-on définir fonctoriellement en \(F\) la cohomologie relative \(R\Gamma(Y \bmod X, F)\) (de la catégorie dérivée de \(\mathrm{Ab}(Y)\) dans celle de \(\mathrm{Ab}\)) ? L'interprétation « géométrique » en termes d'opérations sur des \(n\)-champs de Picard (\(n\) « grand ») suggère que ça doit exister. Mais je ne vois de constructions évidentes « à la main » que dans les deux cas extrêmes :

a) \(q\) est « \((-1)\)-acyclique » i.e. pour tt \(F\) sur \(Y\), \(F \to q_* q^* F\) est injectif (NB c'est le cas de \(Y_{/P} \to Y\) où \(P \to e_Y\) est un épimorphisme — c'est donc le cas de \(B_e \to B_G\) plus haut). On prend \[R\Gamma_Y\bigl(\mathrm{Coker}(F \to q_*(C(q^*(F))))[-1]\bigr)\]

« résol. inj. » est écrit sous le \(C\), qui désigne donc une résolution injective ; l'indice \(Y\) de \(R\Gamma_Y\) est empâté

13b) \(\forall F\) injectif sur \(Y\), \(q^*(F)\) est injectif et \(F \to q_* q^* F\) est un épimorphisme (ex : \(q\) inclusion d'un ouvert \(U \subset e_Y\)). On prend \[R\Gamma_Y\bigl(\mathrm{Ker}(C(F) \to q_* q^*(C(F)))\bigr)\]

« rés. inj. » sous le premier \(C\) ; après \(q_* q^*\) le trait d'ouverture est fait comme un \(C\), et l'on pourrait lire \(q_* q^* C(C(F))\)

Dans le cas général, la difficulté provient du fait que le cône d'un morphisme de complexes (tel que \(F \to q_*(q^*(F))\) […] ) n'est pas fonctoriel (dans la catégorie dérivée) p.r. à la flèche dont on veut prendre le cône.

Et pourtant, dans les cas particuliers actuels, il devrait y avoir un choix fonctoriel. Est-ce évident ?

Question pour Illusie : Dans sa théorie des déformations de schémas en groupes plats, il tombe sur des \(H^3(B_G/X,\ )\) resp. des \(\mathrm{Ext}^2(X,\ )\). Peut-on court-circuiter sa théorie via la théorie (supposée écrite) des Gr-champs — resp. via la théorie des champs de Picard ? J'ai

les seconds arguments des \(H^3\) et du \(\mathrm{Ext}^2\) sont laissés en blanc sur la page ; la lettre dans le \(\mathrm{Ext}^2\) est douteuse (\(X\) ou \(K\), avec un point souscrit). Le « J'ai » final n'a pas de suite dans le dossier

14Je te signale que j'ai réfléchi aux Gr-champs sur \(X\). Si \(G\) est un Groupe sur \(X\), \(N\) un \(G\)-Module les Gr-champs sur \(X\) « épinglés par \(G\), \(N\) » forment a priori une 2-catégorie et même une 2-catégorie de Picard stricte, grâce à l'opération évidente à la Baer. On trouve que le complexe [(de cochaînes)] tronqué à l'échelon 2 qui leur correspond est le tronqué \[\tau_{\leq 2}\bigl( R\Gamma(B_G \bmod X, N)[1] \bigr)\] (NB la cohomologie de \(R\Gamma(B_G \bmod X, N)\) commence en degré 1) Plus géométriquement, un Gr-champ sur \(X\) épinglé [par \((G,N)\)] est essentiellement « la même chose » qu'une 2-gerbe sur \(B_G\), liée par \(N\), et […] munie d'une trivialisation au dessus de \(X \approx B_e = (B_G)_{/P}\) (où \(P\) est le « objet de \(B_G\) "torseur universel sous \(G\)" »). Ces 2-gerbes forment en fait une 3-catégorie de Picard a priori, mais il se

« (de cochaînes) » est inséré en interligne, « par \((G,N)\) » dans la marge de gauche avec un trait de renvoi

15trouve que dans celle-ci, les 3-flèches sont triviales (i.e. si source = but, ce sont des identités) — cela un fait qui exprime \(H^0(B_G/X, N) = 0\) (i.e. \(H^0(B_G, N) \to H^0(X, N)\) injectif …). Donc la 3-catégorie peut être regardée comme une 2-catégorie — et « c'est » celle des Gr-champs sur \(X\) épinglés par \(G\), \(N\). Si on veut localiser sur \(X\), et décrire le 2-champ [de Picard] sur \(X\) des champs de Picard (sur des objets variables de \(X\)) épinglés par \(G\), \(N\), on trouve qu'il est exprimé par le complexe \[\tau_{\leq 2}\bigl( R p_{G*}\, \mathrm{Coker}(N \to R q_{G*}\, C(q_G^* N)) \bigr)\] où \(p_G : B_G \to X\) et \(q_G : B_e \simeq X \simeq (B_G)_{/P} \to B_G\). Toutes ces descriptions étant compatibles avec des variations de \(G\), \(N\), \(X\), cela donne en principe une description de la 2-catégorie des Gr-champs, avec \(X\), \(G\), \(N\) variables …

« rés. inj. » au-dessus du \(C\) de la formule

A. Grothendieck à Deligne, Giraud et Verdier, de Villecun, 23.6.1974 (pages 16 et 17)

16Lettre tapée à la machine, signée à la main ; une insertion manuscrite au dernier paragraphe

Villecun le 23.6.1974

Chers Deligne, Giraud, Verdier,

Vous savez peut-être qu'une mathématicienne vietnamienne, Hoang Xuan Sinh, a travaillé depuis mon séjour au Vietnam en 1967 à un sujet de recherche que je lui avais proposé, savoir une théorie de structure des (Gr)-catégories, et la construction d'une (Gr)-catégorie (ou plutôt catégorie de Picard) enveloppante pour une catégorie avec produit \(\otimes\) associatif et commutatif. J'ai reçu récemment une copie du manuscript en forme (dont la confection s'est faite au prix de mille difficultés — il est douteux qu'il soit possible d'avoir d'autres copies dans un avenir proche, à moins d'en faire d'après cet exemplaire-là), et j'ai envoyé un rapport officiel au sujet de ce travail à M. Ta Quang Buu, ministre de l'enseignement supérieur et technique de la RDV, rapport dont je vous envoie une copie ci-joint. Mme Sinh, avec mon accord, a demandé à présenter ce travail comme thèse de doctorat, et à faire sa soutenance en France. À l'heure où j'écris, je n'ai pas connaissance d'un accord des autorités vietnamiennes pour l'un ni pour l'autre ; il y a eu un certain nombre de difficultés soulevées, qu'il est inutile de détailler ici, et qui j'espère vont s'aplanir. J'ai appris par ailleurs que Mme Hoang Xuan Sinh figurerait sur la liste officielle de la délégation vietnamienne au congrès international de mathématiciens à Vancouver du 20 août 1974. Si c'est bien ainsi, il serait très souhaitable qu'elle puisse profiter de cette occasion pour faire sa soutenance à Orsay au retour de Vancouver, fin Septembre ou début Octobre, et il me semble plausible que les autorités vietnamiennes y donneront leur accord. Aussi il serait assez urgent, vu les lenteurs administratives, de constituer un jury. Par la présente, je vous demande si vous seriez disposé en principe à faire partie (avec moi) de ce jury de thèse — ce qui suppose évidemment que vous vous trouviez dans la région parisienne au moment prévu pour la soutenance. À celui qui m'en ferait la demande, je peux envoyer le texte de la thèse complète, ou un résumé assez détaillé rédigé par Mme Hoang Xuan Sinh, ou enfin un résumé moins détaillé de 13 pages manuscrites (rédigées en vue d'une publication aux CR, mais beaucoup trop long à cet effet). Ce serait gentil de me répondre rapidement, et en cas d'impossibilité, de voir autour de vous s'il y a des gens « dans le bain » […] [de choses] que fait Mme Sinh, et qui seraient intéressés à faire partie du jury.

le rapport annoncé « ci-joint » n'est pas dans le dossier. Deux mots tapés sont biffés devant « que fait Mme Sinh », et « de choses » écrit au-dessus

17Pour ce qui est des formalités administratives, c'est le frère de Mme Hoan Xuan Man, qui habite à Antony, qui s'en occupera pour elle. A toutes fin utile, je vous passe son adresse :

le nom est tapé ainsi, sic. La ligne suivante, l'adresse postale et le numéro de téléphone du frère, n'est pas reproduite

Dans l'attente d'une réponse prochaine, bien cordialement

Schurik

la signature est manuscrite

PS N'ayant pas l'adresse de Giraud, je demande à Verdier s'il peut bien lui transmettre la lettre et le rapport. Je pense que celui-ci doit pouvoir servir comme rapport de thèse aussi vis à vis de l'administration universitaire en France.