Cote n° 101 · batch 3 · pages 41–42 · Transcription · Cohomologie locale : notes manuscrites (s.d.).
Édition de démonstration

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[Exactitude des foncteurs Ext ; le cas du module A]

titre de l'éditeur, entre crochets : les feuillets n'en portent aucun. Le feuillet 41 enchaîne sur les « Conditions » du feuillet 40 (lot 2) : \(A\) local, quotient d'un anneau régulier \(A'\), \(n = \dim A\), \(k\) le corps résiduel, \(M\) un \(A\)-module.

41Proposition. Supposons le foncteur \[N \mapsto \operatorname{Ext}^i(N, M) \qquad (N \text{ de longueur finie})\] exact à g. Alors on a : \[\operatorname{Ext}^i(N, M) \simeq \operatorname{Hom}(N, H^i(M))\] [a-t-on donc […] \(\operatorname{Ext}^i(k, M)\) […] ou \(\operatorname{Ext}^{i-1}(k, M) = 0\) ??] crochet en marge droite ; ses deux premières lignes sont biffées, et une flèche épaisse, repassée, les traverse vers la droite.

Supposons le foncteur exact, alors ou bien il est identiquement nul, [i.e. \(H^i(M) = 0\), ou encore \(\operatorname{Ext}^i(k, M) = 0\), ce qui implique pb.t \(i > n\) ou \(i < \uncertain{\mathrm{codim.\ coh.}}\ M\)], ou bien \(i = n\), \(\widehat{H^n(M)} \simeq A^m\). Alors \(M\) est fidèle, \(\operatorname{Ext}^n(k, M) \simeq k^m\). De plus, on voit que \(\operatorname{Ext}^i(k, M) = 0\) pour \(i > n\) [et cela implique-t-il que \(A\) est Coh. Mac., et \(M \simeq \Omega_A^m\)] « pb.t » est une abréviation que l'on ne résout pas ; « codim. coh. » est lu sur des premières lettres surchargées. Le crochet final est un ajout à l'encre noire ; sous « Coh. Mac. », un mot à l'encre bleue est biffé ([…]) et un ajout interlinéaire, bleu, ne se lit pas.

\(M\) non néc. de type fini Supposons le foncteur \(N \mapsto \operatorname{Ext}^{\uncertain{i-1}}(N, M)\) exact à droite. Je dis que l'on a ou bien \(\operatorname{Ext}^{\uncertain{i-1}}(k, M) = 0\), ou bien \[\operatorname{Ext}^{\uncertain{i}}(k, M) = 0 \Longleftrightarrow H^i(M) = 0 .\] En effet, […] […] \[\operatorname{Ext}^i(N, M) \simeq \operatorname{Hom}(N, H^i(M))\] les trois exposants de \(\operatorname{Ext}\) de ce paragraphe sont surchargés (un \(i\) corrigé en \(i-1\), ou l'inverse) et leur lecture est douteuse. Le premier « ou bien » est ajouté à l'encre noire ; une accolade à l'encre noire, à gauche, embrasse les trois lignes. La note marginale est écrite en oblique, en haut à gauche du paragraphe.

\[0 \to M \to J \to M' \to 0\]

42(i) \(\operatorname{Ext}^n(k, A) \simeq k\)

(i bis) \(\operatorname{Ext}^n(A/\mathfrak{N}, A) \simeq \widehat{A}\)

(ii) \(\operatorname{Ext}^{n-1}(k, A) = 0\) la ligne biffée, dont l'étiquette « (i bis) » surcharge un « (ii) », et la ligne (ii) sont entourées ensemble d'un cadre que traverse une ligne sinueuse.

(iii) \(\operatorname{Ext}^{n+1}(k, A) = 0\)

(iii bis) \(\operatorname{Ext}^n(A/\mathfrak{N}, A) \simeq \widehat{A/\mathfrak{N}}\) ([…] […] : \(\lg \operatorname{Ext}^n(A/\mathfrak{N}, A) = \lg(A/\mathfrak{N})\))

(iv) Le foncteur \(N \mapsto \operatorname{Ext}^n(N, A)\) est dualisant

(iv bis) [idem] exact (\(N\) de long. finie) pour (iv bis), un trait tient lieu de la ligne (iv) répétée.

(v) […] \(H^n(A)\) dualisant

(v bis) \(H^n(A)\) injectif

(v ter) \(H^n(A)\) comonogène [resp. \(N \mapsto \operatorname{Ext}^n(N, A)\) exact] et \(A\) équidim.

(vi) \(A/\sum x_i A\) est autodual

(vii) \(\overline{A} \simeq \overline{\Omega}_A\)

Prouver […] […] […] des lemmes. (i) (iii') (v bis) (vi) impliquent que l'équidimensionnalité […] […] texte encadré, en haut à droite du feuillet ; « (iii') » est lu tel quel. La fin du cadre ne se lit pas.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
{[(\mathrm{vii}) \Leftrightarrow (\mathrm{v}) \Leftrightarrow (\mathrm{v\ bis}) \Leftrightarrow (\mathrm{v\ ter})]} \arrow[d, Rightarrow] & {[(\mathrm{iv\ bis}) \Leftrightarrow (\mathrm{iv})]} \arrow[l, Rightarrow] \arrow[d, Rightarrow] \\
(\mathrm{iii}) & (\mathrm{i\ bis}) \quad (\mathrm{i}) \quad (\mathrm{vi})
\end{tikzcd}

schéma d'implications, redessiné : les deux groupes sont encadrés, et « (iii) » l'est aussi. Entre « (v) » et « (v bis) », un mot est biffé par hachures ; entre la flèche horizontale et le cadre de droite, un pavé d'encre couvre ce qui y était écrit.

\(A\) est C-M. et \(\overline{\Omega}_A = \overline{A}\) écrit à gauche, sous (vii), à la hauteur du « (iii) » encadré.

([…] […] […] 14 […]) (Récurrence sur \(n\), triviale si \(n = 0\)) ces deux parenthèses sont ajoutées au-dessus de la ligne suivante ; une accolade relie la seconde à « \(A\) est C.-M. ».

Prouvons que (vii) implique que \(A\) est C.-M. En effet, \(A\) est équidim. puisque le module \(\overline{\Omega}_A\) l'est. Soit \(x \in A\) non diviseur de zéro, il suffit que diviseur de zéro dans \(\Omega_A\). Je dis donc que \[\overline{\Omega}_{A/xA} \simeq \Omega_A / x\,\Omega_A\] (d'où \(\operatorname{Ext}^{*}_{A'}\) le résultat grâce à la récurrence). En effet, \[\overline{\Omega}_{A/xA} = \struck{H^{\ill{}}(A/xA) = \ill{}} \operatorname{Ext}^{\uncertain{n-1}}_{A'}(A/x, A')\] or \[\struck{H^{\ill{}}(A/xA) = \ill{}}\] \[\operatorname{Ext}^{*}_{A'}(A/x, A') \Longleftarrow \operatorname{Ext}^i_A\bigl(A/x, \underbrace{\operatorname{Ext}^{\uncertain{j}}_{A'}(A, A')}_{\Omega^{(j)}_A}\bigr) \qquad \ill{}\] l'exposant du premier \(\operatorname{Ext}_{A'}\) pourrait se lire \(r-n\) ; au-dessus de la ligne biffée est écrit « \(r-n+1\) », et au-dessus de \(\operatorname{Ext}^{j}_{A'}(A, A')\) est écrit « \(r-n\) ». Dans la première égalité, une flèche courbe renvoie de la partie biffée à \(\operatorname{Ext}_{A'}\).

d'où \[\Omega^{(*)}(A/x) \Longleftarrow \operatorname{Ext}^i_A(A/x, \Omega^{(j)}_A)\] [Bien […] […] par \(A/x\) […] […] […] \(A\)-module quelconque] Lemme […] […] le crochet est en marge droite, sur quatre lignes ; la note marginale, à gauche, est soulignée deux fois pour « Lemme », le reste ne se lit pas.

d'où \[0 \to \operatorname{Ext}^1_A(A/x, \Omega_A) \to \Omega_{A/x} \to \operatorname{Hom}_A(A/x, \Omega^{(1)}_A) \to 0 .\] \(\Omega_{A/x}\) est souligné d'un trait incurvé ; un signe, peut-être biffé, surmonte \(\operatorname{Hom}_A\). Le dossier s'arrête sur cette ligne.