Fonds Grothendieck, cote n° 101, pages 41–42

[Exactitude des foncteurs Ext ; le cas du module A]

titre de l'éditeur, entre crochets : les feuillets n'en portent aucun. Le feuillet 41 enchaîne sur les « Conditions » du feuillet 40 (lot 2) : A local, quotient d'un anneau régulier A', n = \dim A, k le corps résiduel, M un A-module.

Proposition. Supposons le foncteur N \mapsto \operatorname{Ext}^i(N, M) \qquad (N \text{ de longueur finie}) exact à g. Alors on a : \operatorname{Ext}^i(N, M) \simeq \operatorname{Hom}(N, H^i(M)) [~~a-t-on~~ ~~donc~~ \operatorname{Ext}^i(k, M) ou \operatorname{Ext}^{i-1}(k, M) = 0 ??] crochet en marge droite ; ses deux premières lignes sont biffées, et une flèche épaisse, repassée, les traverse vers la droite.

Supposons le foncteur exact, alors ou bien il est identiquement nul, [i.e. ~~H^i(M) = 0, ou encore~~ \operatorname{Ext}^i(k, M) = 0, ce qui implique pb.t i > n ou i < \uncertain{\mathrm{codim.\ coh.}}\ M], ou bien i = n, \widehat{H^n(M)} \simeq A^m. Alors M est fidèle, \operatorname{Ext}^n(k, M) \simeq k^m. De plus, on voit que \operatorname{Ext}^i(k, M) = 0 pour i > n [et cela implique-t-il que A est Coh. Mac., et M \simeq \Omega_A^m] « pb.t » est une abréviation que l'on ne résout pas ; « codim. coh. » est lu sur des premières lettres surchargées. Le crochet final est un ajout à l'encre noire ; sous « Coh. Mac. », un mot à l'encre bleue est biffé () et un ajout interlinéaire, bleu, ne se lit pas.

M non néc. de type fini Supposons le foncteur N \mapsto \operatorname{Ext}^{\uncertain{i-1}}(N, M) exact à droite. Je dis que l'on a ou bien \operatorname{Ext}^{\uncertain{i-1}}(k, M) = 0, ou bien \operatorname{Ext}^{\uncertain{i}}(k, M) = 0 \Longleftrightarrow H^i(M) = 0 . En effet, \operatorname{Ext}^i(N, M) \simeq \operatorname{Hom}(N, H^i(M)) les trois exposants de \operatorname{Ext} de ce paragraphe sont surchargés (un i corrigé en i-1, ou l'inverse) et leur lecture est douteuse. Le premier « ou bien » est ajouté à l'encre noire ; une accolade à l'encre noire, à gauche, embrasse les trois lignes. La note marginale est écrite en oblique, en haut à gauche du paragraphe.

0 \to M \to J \to M' \to 0

(i) \operatorname{Ext}^n(k, A) \simeq k

~~(i bis) \operatorname{Ext}^n(A/\mathfrak{N}, A) \simeq \widehat{A}~~

(ii) \operatorname{Ext}^{n-1}(k, A) = 0 la ligne biffée, dont l'étiquette « (i bis) » surcharge un « (ii) », et la ligne (ii) sont entourées ensemble d'un cadre que traverse une ligne sinueuse.

(iii) \operatorname{Ext}^{n+1}(k, A) = 0

(iii bis) \operatorname{Ext}^n(A/\mathfrak{N}, A) \simeq \widehat{A/\mathfrak{N}} ~~( : \lg \operatorname{Ext}^n(A/\mathfrak{N}, A) = \lg(A/\mathfrak{N}))~~

(iv) Le foncteur N \mapsto \operatorname{Ext}^n(N, A) est dualisant

(iv bis) [idem] exact (N de long. finie) pour (iv bis), un trait tient lieu de la ligne (iv) répétée.

(v) H^n(A) dualisant

(v bis) H^n(A) injectif

(v ter) H^n(A) comonogène [resp. N \mapsto \operatorname{Ext}^n(N, A) exact] et A équidim.

(vi) A/\sum x_i A est autodual

(vii) \overline{A} \simeq \overline{\Omega}_A

Prouver des lemmes. (i) (iii') (v bis) (vi) impliquent que l'équidimensionnalité texte encadré, en haut à droite du feuillet ; « (iii') » est lu tel quel. La fin du cadre ne se lit pas.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] {[(\mathrm{vii}) \Leftrightarrow (\mathrm{v}) \Leftrightarrow (\mathrm{v\ bis}) \Leftrightarrow (\mathrm{v\ ter})]} \arrow[d, Rightarrow] & {[(\mathrm{iv\ bis}) \Leftrightarrow (\mathrm{iv})]} \arrow[l, Rightarrow] \arrow[d, Rightarrow] \\ (\mathrm{iii}) & (\mathrm{i\ bis}) \quad (\mathrm{i}) \quad (\mathrm{vi}) \end{tikzcd}

schéma d'implications, redessiné : les deux groupes sont encadrés, et « (iii) » l'est aussi. Entre « (v) » et « (v bis) », un mot est biffé par hachures ; entre la flèche horizontale et le cadre de droite, un pavé d'encre couvre ce qui y était écrit.

A est C-M. et \overline{\Omega}_A = \overline{A} écrit à gauche, sous (vii), à la hauteur du « (iii) » encadré.

( 14 ) (Récurrence sur n, triviale si n = 0) ces deux parenthèses sont ajoutées au-dessus de la ligne suivante ; une accolade relie la seconde à « A est C.-M. ».

Prouvons que (vii) implique que A est C.-M. En effet, A est équidim. puisque le module \overline{\Omega}_A l'est. Soit x \in A non diviseur de zéro, il suffit que diviseur de zéro dans \Omega_A. Je dis donc que \overline{\Omega}_{A/xA} \simeq \Omega_A / x\,\Omega_A (d'où ~~\operatorname{Ext}^{*}_{A'}~~ le résultat grâce à la récurrence). En effet, \overline{\Omega}_{A/xA} = \struck{H^{\ill{}}(A/xA) = \ill{}} \operatorname{Ext}^{\uncertain{n-1}}_{A'}(A/x, A') or \struck{H^{\ill{}}(A/xA) = \ill{}} \operatorname{Ext}^{*}_{A'}(A/x, A') \Longleftarrow \operatorname{Ext}^i_A\bigl(A/x, \underbrace{\operatorname{Ext}^{\uncertain{j}}_{A'}(A, A')}_{\Omega^{(j)}_A}\bigr) \qquad \ill{} l'exposant du premier \operatorname{Ext}_{A'} pourrait se lire r-n ; au-dessus de la ligne biffée est écrit « r-n+1 », et au-dessus de \operatorname{Ext}^{j}_{A'}(A, A') est écrit « r-n ». Dans la première égalité, une flèche courbe renvoie de la partie biffée à \operatorname{Ext}_{A'}.

d'où \Omega^{(*)}(A/x) \Longleftarrow \operatorname{Ext}^i_A(A/x, \Omega^{(j)}_A) [Bien par A/x A-module quelconque] Lemme le crochet est en marge droite, sur quatre lignes ; la note marginale, à gauche, est soulignée deux fois pour « Lemme », le reste ne se lit pas.

d'où 0 \to \operatorname{Ext}^1_A(A/x, \Omega_A) \to \Omega_{A/x} \to \operatorname{Hom}_A(A/x, \Omega^{(1)}_A) \to 0 . \Omega_{A/x} est souligné d'un trait incurvé ; un signe, peut-être biffé, surmonte \operatorname{Hom}_A. Le dossier s'arrête sur cette ligne.